Propietats geomètriques i aritmètiques de la successió de Fibonacci i den nombre d'or. Demostracions d'aquestes propietats. Relació del nombre d'or amb la naturalesa, l'arquitectura, la pintura i en la bellesa i les proporcions humanes. Activitats que mostren màgicament relacions que es donen entre el nombre d'or i la successió de Fibonacci.

1. Les matemàtiques de la natura :
La màgia del nombre d’ 𝚽𝐫

2. Galileu Galilei
1564-1642
Físic i astrònom italià
Les matemàtiques són
l’alfabet amb el qual
Déu ha escrit l’univers
https://vimeo.com/9953368

5. Començarem amb una petita enquesta :
1. Quin rectangle escolliríeu :

6. 2. Quin triangle escolliríeu :

7. 3. En quina fotografia
es veu millor el
paisatge?

11. 4. Quina flor escolliries ?
a) b) c)

12. En una enquesta a 150 persones d’edats
Pregunta
Opció
1. Rectangle 2. Triangle 3. Paisatge 4. Flor

13.  Raó entre el costat llarg i
el petit :
 Essent 1 unitat
 A) 5’4/3=1’8
 B) 5/3’5 =1’43
 C) 5’3/3’7=1’43
 D) 5’8/3’6 =1’61
1. Quin rectangle escolliríeu :

14. Raó entre la longitud del
costat igual i el costat
desigual : (gran/petit) :
Essent 1 unitat
A) 4’2/2= 2’1
B) 4/2’5= 1’6
C) 3’9/2’1= 1’86
D) 4’7/2’1 = 2’23
2. Quin triangle escolliríeu :

15. 3. En quina fotografia es veu
millor el paisatge?
Raó entre el costat llarg i el petit :
Essent 1 unitat
A) 7’4/4’6=1’61
B) 7/5’1 =1’37
C) 9’1/4’2 =2’17

16. 4. Quina flor escolliries ?
a) 23 pètals b) 21 pètals c)14 pètals

17. L’explicació del resultats d’aquesta estadística només
la pot donar un nombre...

19. QUÈ ÉS EL NOMBRE D’OR?

20. El nombre d’or es representa amb la lletra grega Φ
(phi), però antigament es representava per la lletra
Tau (Τ τ) del grec τομή que significava tall o secció.
No va ser fins 1900 que es va canviar a Φ, en
majúscula (φ en minúscula). Aquest canvi el va
realitzar el matemàtic Mark Barr i va escollir la
lletra grega Φ en honor a Fídies, en grec Φειδίας,
per ser el creador de les escultures amb major nivell
estètic ( va ser l’escultor que dissenyà gegantesques
estàtues de la deessa Atenea, també el Partenó
d’Atenes i la colossal Estàtua de Zeus a l’Olímpia al
s.V aC)
Nota : Hi ha moltes maneres d’anomenar aquest
nombre : Nombre d’or, secció àuria, proporció àuria ,
divina proporció, raó àuria, mida àuria o nombre
daurat i també proporció de Déu

21. De la definició euclidiana, on diu que el número d’or és el resultat de dividir en dues parts
desiguals un segment de manera que els segments major a i menor b mantinguin la mateixa
proporció que la totalitat dels dos segments junts a+b i el segment major a.
Podem obtenir el seu resultat exacte d’aquest nombre i observarem que es tracta d’un
número irracional, és a dir, és un nombre amb infinits decimals i no és periòdic.
És per aquesta raó que es diu que dos números positius a i b estan en
proporció àuria si i només si:
Pots trobar-ne el valor exacte de Φ ? ACTIVITAT 1
QUÈ ÉS EL NOMBRE D’OR?



a
ba
b
a

22. 

























b
a
b
a
x
2
51
2
51
2
51
2
411
...618033'1
2
51



...618033'0
2
51



CALCULEM QUI ÉS EL NOMBRE D’OR?
01:
1
1
2




xxobtenimxperntMultiplica
x
x
a
b
a
a
b
a
a
ba
b
a
x
b
a
Donat que a i b són valors positius ja que fan referència a la longitud de
segments, el nombre d’or és el primer dos valors obtinguts
Podem observar que les dues solucions i són nombres inversos i oposats, és a dir Φ = -
1
𝜙

SOLUCIÓ
ACTIVITAT 1 a)
Guarda’t aquest nombre a la
memòria de la teva calucladora
(SHIFT RCL i la letra)

23. 2134...
1321...
813...
58...
351223
23112
121
1
9
8
7
6
345
234
23
2








Les potències del nombre d’or
012
 xx
Donat que és solució de
l’equació tenim
que d’on
podem observar les següents
relacions :

012

Dividint
per 
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 1 b,c,…l
ACTIVITAT 2

24. SUCCESSIÓ DE FIBONACCI
“ Certa persona va posar una parella de conills en un corral tancat completament per un
mur. Quants parells de conills hi haurà al corral en un any, si posem una parella de conills
no productius que, tardarà un mes a ser productiva i llavors engendrarà una nova parella
de conills?”
Leonardo de Pisa (Itàlia 1170 1250),
conegut com a Leonardo Fibonacci,
fou un dels matemàtics amb més
talent de l’Edat Mitjana.
És conegut actualment per haver
contribuït a la difusió del Sistema de
Numeració hindú-aràbic a Europa
gràcies a la publlicació al sXIII del seu
llibre de càlculs Liber Abaci

25. 21
21 1
 

nnn aaa
aa
SUCCESSIÓ DE FIBONACCI
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 3 a)
Temps inicial : 1 parella de conills no productiva
Passat 1r mes : 1 parella productiva
Passat el 2n mes : 2 parelles =1 productiva i l’altra no
Passat el 3r mes : 3 parelles = 2 productives i 1 no
Passat el 4t mes : 5 parelles : 3 productives i 2 no
…
Passat 12è mes : 233 parelles de conills
http://maralboran.org/web_ma/videos/fibonacci/fibonacci.htm

26. Donat que el nombre d’or és solució de l’equació :
En podem extreure unes propietats aritmètiques curioses :
Si multipliques l’expressió anterior per què obtens ...
Pots expressar la potència n-èssima de , és a dir, Φ 𝑛
en funció de
 012
xx 101 22

12




ACTIVITAT 3 b

27. 21 
 nnn
1321...
813...
58...
351223
23112
121
8
7
6
345
234
23






1 nn
n
aa
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 3 b)

28. 21 
 nnn
1321...
813...
58...
351223
23112
121
8
7
6
345
234
23






1 nn
n
aa
21
21 1
 

nnn aaa
aa
Quanta similitud !!!

29. 1. Escriu un nombre natural, el que vulguis
2. Escriu-ne un altre sota d’aquest
3. Escriu un tercer nombre sota del segon, de manera que resulti de la
suma dels dos anteriors
4. Escriu un quart nombre obtingut de la suma de 3r i el 2n
5. I així successivament fins a tenir-ne 10 nombres
6. Suma’ls
Pronostico que la SUMA és divisible per 11
ACTIVITAT 4

30. I a més, si em dones el 7è terme i jo et
donaré en un segon la suma de tots els 10

31. Aprofitant els 10 termes que has escrit, construeix dos
termes més, fins 𝒂 𝟏𝟐 :
Pronostico que:
La suma dels 10 primers termes és igual
al 12è terme menys el 2n terme
ACTIVITAT 4 a)

32. Aprofitant els 12 termes que has escrit, construeix-ne 8
més, fins 𝒂 𝟐𝟎 i divideix el terme 𝒂 𝟐𝟎/𝒂 𝟏𝟗
Pronostico que:
El nombre obtingut, aproximat al 3r
decimal és 1’618…
ACTIVITAT 4 b)

33. ACTIVITAT 4 c)

34. ACTIVITAT 4 d)

35. 1) Si sumem 10 números consecutius de la successió de Fibonacci triats a l' atzar , el
resultat sempre és múltiple d'11:
Exemples :
21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 897 + 1.597 = 4.147 = 11x377
89+ 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1.597 + 2.584 + 4.181 + 6.765 = 17.567 = 11x1.597
De fet , els resultats són iguals a multiplicar per 11 el setè número elegit, en aquests dos
casos, 377 i 1.597
Saps perquè passa i això ??
Propietats de la successió de Fibonacci
ACTIVITAT 4

36. De fet passa per a qualsevol successió de la forma
𝑎1 = 𝑎
𝑎2 = 𝑏
𝑎3 = 𝑎 + 𝑏
𝑎4= 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 𝑎 + 2𝑏
𝑎5= 2𝑎 + 3𝑏
𝑎6= 3𝑎 + 5𝑏
𝑎7 = 5𝑎 + 8𝑏
𝑎8= 8𝑎 + 13𝑏
𝑎9= 13𝑎 + 21𝑏
+ 𝑎10 = 21𝑎 + 34𝑏
𝒊=𝟏
𝟏𝟎
𝒂𝒊 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝟏𝟎 = 𝟓𝟓𝒂 + 𝟖𝟖𝒃 = 𝟏𝟏 𝟓𝒂 + 𝟖𝒃 = 𝟏𝟏𝒂 𝟕
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4

37. 𝑎1 = 𝑎
𝑎2 = 𝑏
𝑎3 = 𝑎 + 𝑏
𝑎4= 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 𝑎 + 2𝑏
𝑎5= 2𝑎 + 3𝑏
𝑎6= 3𝑎 + 5𝑏
𝑎7 = 5𝑎 + 8𝑏
𝑎8= 8𝑎 + 13𝑏
𝑎9= 13𝑎 + 21𝑏
𝑎10 = 21𝑎 + 34𝑏
𝑎11 = 34𝑎 + 55𝑏
𝑎12 = 55𝑎 + 89𝑏
𝒊=𝟏
𝟏𝟎
𝒂𝒊 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝟏𝟎 = 𝟓𝟓𝒂 + 𝟖𝟖𝒃 = 𝒂 𝟏𝟐 − 𝒂 𝟐
En particular, en la successió
de Fibonacci, com que el 2n
terme és 1 es dóna que :
𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ 𝒂 𝒏 = 𝒂 𝒏+𝟐 − 𝟏
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 a)

38. La successió de Fibonacci és plena d'anècdotes
matemàtiques que faran les delícies dels més curiosos.

39. Demostració que la successió de Fibonacci
tendeix al nombre d’or :
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 b)

40. No es compleix !!!
𝟏𝟑
𝟓
≠
𝟖
𝟑
≠
𝟓
𝟐
però s’assemblen molt
2’6, 2’666 i 2’5
i per això ens enganya la vista
Fixeu-vos que són fraccions de
termes de la successió
de Fibonacci de la forma
𝑎 𝑛+2
𝑎 𝑛
i com que
𝑎 𝑛+1+𝑎 𝑛
𝑎 𝑛
=
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
+ 1
i s’assemblen molt a 1
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 c)

41. 5𝑥13 = 82
-1
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 d)

43. n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12
𝒂) 𝒂 𝒏−𝟏 · 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏
𝟐
− 𝟏 𝒏 𝒔𝒆𝒏𝒂𝒓
1· 3= 3·8= 8·21= 21·55= 55·144=
𝟐 𝟐
− 𝟏 = 𝟓 𝟐
− 𝟏 = 𝟏𝟑 𝟐
− 𝟏 = 𝟑𝟒 𝟐
− 𝟏 = 𝟖𝟗 𝟐
− 𝟏=
3 24 168 1155 7920
𝐛) 𝒂 𝒏−𝟏 · 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏
𝟐
+ 𝟏 𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒍𝒍
1· 2= 2·5= 5·13= 13·34= 34·89=
𝟏 𝟐
+ 𝟏 = 𝟑 𝟐
+ 𝟏 = 𝟖 𝟐
+ 𝟏 = 𝟐𝟏 𝟐
+ 𝟏 = 𝟓𝟓 𝟐
+ 𝟏=
2 10 65 442 3026
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 e) f)

44. n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12
𝒂) 𝒂 𝒏−𝟏 · 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏
𝟐
− 𝟏 𝒏 𝒔𝒆𝒏𝒂𝒓
1· 3= 3·8= 8·21= 21·55= 55·144=
𝟐 𝟐
− 𝟏 = 𝟓 𝟐
− 𝟏 = 𝟏𝟑 𝟐
− 𝟏 = 𝟑𝟒 𝟐
− 𝟏 = 𝟖𝟗 𝟐
− 𝟏=
3 24 168 1155 7920
𝐛) 𝒂 𝒏−𝟏 · 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏
𝟐
+ 𝟏 𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒍𝒍
1· 2= 2·5= 5·13= 13·34= 34·89=
𝟏 𝟐
+ 𝟏 = 𝟑 𝟐
+ 𝟏 = 𝟖 𝟐
+ 𝟏 = 𝟐𝟏 𝟐
+ 𝟏 = 𝟓𝟓 𝟐
+ 𝟏=
2 10 65 442 3026
𝒂 𝒏−𝟏· 𝒂 𝒏+𝟏 =
𝒂 𝒏
𝟐
+ −𝟏 𝒏
per qualsevol n
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 g)

45. 1) 𝒊=𝟏
𝟏𝟎
𝒂𝒊 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝟏𝟎 = 𝟓𝟓𝒂 + 𝟖𝟖𝒃 = 𝟏𝟏 𝟓𝒂 + 𝟖𝒃 = 𝟏𝟏𝒂 𝟕
2) 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛+2 − 1
3) El quocient del 20è i 19è termes és 1’618 ja que s’aproxima a lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛
𝑎 𝑛−1
= Φ
4) Donat que es compleix
𝑎) 𝑎 𝑛−1 · 𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛
2
− 1 𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑟
𝒂 𝒏−𝟏· 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏
𝟐
+ −𝟏 𝒏 per qualsevol n
I aquestes propietats fan que el nombre d’𝚽 resulti màgic !!!
http://www.slideshare.net/tmartine/fibonacci-2-28764288
Propietats de la successió de Fibonacci
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12
b) 𝑎 𝑛−1 · 𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛
2
+ 1 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑙𝑙
SOLUCIÓ 4
a, b… g, h i

46. N 𝑎 𝑛 Successió 𝑎 𝑛−1 Proporció entre dos nombres consecutius:
𝑎 𝑛
𝑎 𝑛−1
1 1
2 1 1 1
3 2 1 2
4 3 2 1’5
5 5 3 1’66...
6 8 5 1’6
7 13 8 1’625
8 21 13 1’615384615...
9 34 21 1’619047619...
10 55 34 1’6176747059...
11 89 55 1’6181818...
12 144 89 ...






1n
n
a
a
lím
RELACIÓ ENTRE EL NOMBRE D’OR I LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI
SOLUCIÓ 4 i

47. Demostració que la successió de Fibonacci
tendeix al nombre d’or :
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 j)

48. Vegem més propietats
de la successió
de Fibonacci !!!

49. I què passa amb la successió dels
quadrats dels nombres Fibonacci ?
Quant sumen dos nombres consecutius de la successió de Fibonacci
obtenim un nombre de la successió, però …
https://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_the_magic_of_fibonacci_numbers?language=es#t-139288
ACTIVITAT 4 k

50. Què passa quant sumem els quadrats de dos nombres
consecutius de la successió de Fibonacci ?
Obtenim un altre nombre de la successió !!! SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 K

51. I si anem sumant la successió
dels quadrats ?
Què passarà ??
ACTIVITAT 4 l)

52. Que el seu resultat és el producte
de dos nombres de la successió de
Fibonacci !!!
I això, per què passa ?
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 l)

53. Fixeu-vos que està passant …
1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 = 104 = 8x13
12
+ 12
+ 22
+ 32
+ 52
+ 82
= 8𝑥13
Però
per què ????
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 l)

54. Us ho mostraré amb un dibuix ….
Qu
Quina és l’área d’aquest rectangle ??
ACTIVITAT 4 m)
En un full
quadriculat
comenceu a
dibuixar un quadrat
de costat 34,
després el de costat
21. Tot seguit el de
costat 13, el de
costat 8,5,3,2, 1 i 1

55. Per una banda , l’àrea del rectangle és la suma
de les àrees del quadrats que el formen
𝟏 𝟐
+ 𝟏 𝟐
+ 𝟐 𝟐
+ 𝟑 𝟐
+ 𝟓 𝟐
+ 𝟖 𝟐
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 m)

56. Per una altra banda , l’àrea del rectangle és base
per altura,
13 x 8
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 m)

57. Àrea = 𝟏 𝟐
+ 𝟏 𝟐
+ 𝟐 𝟐
+ 𝟑 𝟐
+ 𝟓 𝟐
+ 𝟖 𝟐
= 𝟖𝒙 𝟓 + 𝟖 = 𝟖𝒙𝟏𝟑
Ara ja sabem el perquè passa :
Hem calculat bé l’àrea
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 m)

58. I si això ho fem indefinidament… aquests
rectangles cada cop són més auris !!!
Però a més, s’uneixen les propietats
matemàtiques amb la bellesa geomètrica
ACTIVITAT 4 N)

59. La bellesa d’una espiral…
la bellesa en què està escrita la natura !!!
ACTIVITAT 4 o)

60. ESPIRALS LOGARÍTMIQUES

61. http://naukas.com/2012/11/02/por-que-los-huracanes-
tienden-a-formar-una-espiral-logaritmica/

62. La bellesa del nombre d’
a l’arquitectura !!!
𝜱r

63. ESPIRALS LOGARÍTMIQUES i
ELS RECTANGLES DINÀMICS

64. https://www.youtube.com/watch?v=-n1K_gKP_7Q

65. Però veiem més llocs on apareix la successió de Fibonacci
En el triangle de Pascal

66. Més curiositats de la
successió de Fibonacci :
S’ha estudiat molt la successió de Fibonacci i el
coneixement sobre ella és ampli, però no complet. De
fet, hi ha una conjectura encara sense demostrar :
La successió de Fibonacci conté infinits nombres
primers.
Es coneix com a estrella pentagonal a la qual està
inscrita en un pentàgon regular, i també està relacionada
amb la proporció àuria : el segment D que forma la
diagonal del pentàgon ( o un costat de l'estrella ), al
dividir-lo entre un costat del pentàgon C, dóna com a
resultat la proporció àuria. Aquesta estrella també ha
estat profusament representada, té molt simbolisme i és
fins i tot la base de molts jocs populars, ja que és una de
les formes de tauler més antigues que es coneixen.

67. És per aquest motiu que fa
belles certes pintures ?
LEDA ATÒMICA

68. SALVADOR DALÍ
MITJA TASSA GEGANT VOLADORA
L’ÚLTIM SOPAR
LEONARDO DA VINCI
LA GIOCONDA

69. ESPIRALS LOGARÍTMIQUES

71. La disposició dels pètals de les flors, el cargol de mar, la forma de les pinyes
que donen alguns arbres , la distribució de les pipes en un gira-sol, el gruix
que tenen les branques dels arbres ... Totes aquestes coses tenen en comú
que d'una forma o una altra estan relacionades amb la proporció àuria o la
sèrie de Fibonacci.
Per això alguns experts postulen que el nombre Phi 𝚽 sigui al
creixement orgànic el que Pi 𝝅 és al mesurament del cercle: el número
en què estan basats tots els càlculs i fenòmens.
Quina relació matemàtica relaciona el nombre
d’Or amb la natura ?
Cap on tendeix el lim
𝒏→+∞
𝒂 𝒏
𝒂 𝒏+𝟐
?
LA PROPORCIÓ ÀURIA A LA NATURALESA
ACTIVITAT 4 p)

72. Cap on tendeix el lim
𝒏→+∞
𝒂 𝒏
𝒂 𝒏+𝟐
?
Pots fer-ho de dues formes diferents :
1. Agafar termes avançats en la successió :
Per exemple 55/144= ???
2. Demostrant-ho en general :
Pots ajudar-te fent servir la següent relació :
𝒂 𝒏
𝒂 𝒏+𝟐
=
𝒂 𝒏
𝒂 𝒏+𝟏
.
𝒂 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏+𝟐
ACTIVITAT 4 p)

73. SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 p)
1. Agafar termes avançats en la successió :
Per exemple 55/144= 0’38194…
89/233=0’38197…
2. Demostrant-ho en general :
Pots ajudar-te fent servir la següent relació :
𝒂 𝒏
𝒂 𝒏+𝟐
=
𝒂 𝒏
𝒂 𝒏+𝟏
∙
𝒂 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏+𝟐
=
𝟏
𝒂 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
∙
𝟏
𝒂 𝒏+𝟐
𝒂 𝒏+𝟏
Aplicant límits a cada costat :
lim
𝒏→∞
𝒂 𝒏
𝒂 𝒏+𝟐
= lim
𝒏→∞
𝟏
𝒂 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
∙
𝟏
𝒂 𝒏+𝟐
𝒂 𝒏+𝟏
=
𝟏
𝚽
∙
𝟏
𝚽
=
𝟏
𝚽 𝟐 = 𝟎′
𝟑𝟗𝟏𝟗𝟏𝟔𝟔….

74. L’angle d’or mesura 𝟏𝟑𝟕′
𝟓 𝝄
=
𝟑𝟔𝟎°
𝜱 𝟐
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 q)

76. LES LLAVORS DELS GIRA-SOLS i LES ESPIRALS DE LES PINYES
A més, si dividim 360º /  = 222’5º
360º - 222’5º = 137’5º tornarem a tenir l’angle auri

78. ELS PÈTALS DE LES FLORS

79. Un dels motius pels quals
aquesta xifra porta segles
fascinant els que l'estudien
és que es troba de forma
natural en els llocs més
insospitats. Per exemple, la
proporció entre abelles
femella i mascle en un rusc
sol ser similar a la proporció
àuria.

80. Ja que parlem d'abelles, aquestes compleixen amb una altra regla ,
en aquesta ocasió relacionada amb la successió de Fibonacci : els
mascles tenen un arbre genealògic que la compleix :
Un abellot ( 1) neix d'un ou no fecundat, de manera que només té
mare ( 1) i no pare. La seva mare , en ser femella , va tenir dos
progenitors ( 2). Aquests, mascle i femella van tenir en total tres
progenitors ( 3) , la mare del mascle i la mare i el pare de la femella ,
és a dir , dues femelles i un mascle. Això vol dir que van tenir cinc
progenitors al seu torn ( 5) ... A mesura que ascendim , la regla es
segueix complint

81. 1.Aïlla de l’expressió anterior el nombre d’or , et sortirà
una expressió del nombre d’or com a resultat de fer
infinites d’arrels
2.Divideix l’expressió pel nombre d’or, et sortirà una
expressió del nombre d’or com una divisió infinita
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 q)

82. SOLUCIÓ
ACTIVITAT 4 q)

84. Els mòbils tenen antenes fractals per posseir la característica de l’auto semblança
I una altra característica que els fa especials és la seva dimensió fraccionaria
https://www.youtube.com/watch?v=rHLi79mdF2Y

86. 3 llaunes 9 llaunes 27 llaunes 81 llaunes 243 llaunes
729 llaunes

87. https://www.youtube.com/watch?v=_qYn1TXJbqo

88. EL RECTANGLE D’OR
Són aquells rectangles els costats del qual guarden una relació àuria.
Com es construeix un rectangle d’or ?
Demostra que el quocient entre el costat major AE i el costat menor EF
del rectangle construït de la manera anterior és un rectangle auri
𝑨𝑬
𝑬𝑭
= 𝚽? ? ?
ACTIVITAT 5

89. EL RECTANGLE D’OR Són aquells rectangles els costats del
qual guarden una relació àuria. Com
es construeix un rectangle d’or ? :
𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 𝑥 →
𝐴𝐸
𝐸𝐹
=
𝑥
2
+𝑀𝐸
𝑥
=
𝑥
2
+𝑀𝐶=
𝑥
2
+
𝑥
2
2
+𝑥2=
5𝑥2
4
𝑥
=
𝑥
2
+
𝑥
2
· 5
𝑥
=
1+ 5
2
= Φ
SOLUCIÓ
ACTIVITAT 5

90. EL RECTANGLE D’OR :El quocient entre els seus costats és Ф=1’61..
I d’aquí surt l’espiral logarítmica que hi ha en els cargols, en les
Galàxies, en la nostra orella,…, fins i tot en les faccions
de les cares més boniques!!!

91. El rectangle AEFD és un rectangle d’or ja que AE/AB=Φ,però també ho serà
el rectangle BEFC ja que EF/BE=Φ. D’aquesta manera es pot construir l’espiral
d’or, que és l’espiral de centre les dues diagonals

92. Serà un rectangle d’Or o rectangle auri si …

93. La bellesa del nombre d’or com a reclam publicitari
http://blocs.xtec.cat/elfildelesclassiques/2009/07/30/el-discobol-com-a-reclam-publicitari/

95. LA PROPORCIÓ ÀURIA AL COS HUMÀ
ALÇADA (cm) ALÇADA MELIC (cm) PROPORCIÓ
1 163 102 1’6
2 166 103 1’612
3 169 108 1’565
4 175 105 1’67
LE CORBUSIER
STEPHEN MARQUARDT

96. - La raó entre l’alçada total d’una persona
i l’alçada fins al melic
- La raó de la longitud del braç i la
longitud de la mà al colze
- La raó entre l’amplada i la llargada
de la cara
- La raó entre la primera falange de la mà
i la segona, i entre la segona i la tercera
- La raó entre la longitud de la cama i
la longitud del peu al genoll
-La raó entre la longitud del colze al
canell i del canell a la punta dels dits
de la mà
- L'úter d'una pacient té un aspecte normal si
en dividir la seva alçada per la seva amplada ,
el resultat ha de ser proper a 1,618

97. ACTIVITAT 6

98. ACTIVITAT 6

100. Si complir amb la proporció àuria fa que el cos d'una estàtua sigui bell i
estètic , hi ha persones reals que ens resultin especialment atractives pel
mateix? Pel que sembla si. Kelly Brooks és una model britànica, i ha estat
triada com la dona més pròxima a la proporció àuria, segons el cirurgià
plàstic Patrick Malluci i la Universitat de Texas

106. Es diu que l’historiador grec Heròdot
va aprendre dels sacerdots egipcis que
l’alçada al quadrat de la Gran Piràmide
era igual a l’àrea de les seves cares
triangulars” Perquè era tant important
aquesta afirmació ?
Segons aquesta afirmació :
Si anomenem x alçada de
les cares triangulars i 2a el
costat de la base
Heròdot afirma que :
h2= x· a,
ACTIVITAT 7

107. Si anomenem x alçada de les cares
triangulars i 2a el costat de la base tenim que,
segons Heròdot que :
h2= x· a aleshores
ℎ2 + 𝑎2 = 𝑥2
𝑥𝑎 + 𝑎2 = 𝑥2
dividint tota l’expressió per 𝑎2
𝑥𝑎 + 𝑎2 = 𝑥2
𝑎2
𝑥
𝑎
+ 1 =
𝑥
𝑎
2
𝑥
𝑎
2
−
𝑥
𝑎
− 1 = 0
𝑥
𝑎
= 𝛷
Per tant, la relació entre l’altura de la cara
lateral i la meitat del costat de la base és el
nostre nombre !!!
x
h
a

108. El nombre Ф en les construccions
arquitectòniques :
La piràmide de Keops i
El Partenó d’Atenes
I en la construcció dels violins !!

109. LA PROPORCIÓ ÀURIA EN ARQUITECTURA
61'1
22'19
95'30
30’95 metres l’amplada
de la façana
19’22 metres l’alçada

110. CLAUDE DEBUSSY
“Veuràs, a la pàgina 8 de Jardins
sous la Pluie, que falta un compàs –
és culpa meva, a més a més, ja que
no és al manuscrit. De tota manera,
és necessari, pel que fa al nombre;
el nombre dví.”
LUDWIG VAN BEETHOVEN
El famós fabricant
d'instruments
Antonio Stradivari
(XVII i XVIII) posava
molta cura a situar
les obertures en els
seus violins en
consonància amb la
proporció àuria.
Segurament es
tractés més d'una
qüestió estètica que
sonora , ja que no hi
ha indicis que això
tingui cap impacte en
la qualitat del so dels
instruments

112. 12

21 
 nnn
PROPIETATS DEL NOMBRE D’OR
...1111 
...1
1
1
1
1
1
1
1
1








11
1
12






1
1
1
1
1
1
012
1321...
813...
58...
351223
23112
121
8
7
6
345
234
23






Fibonacci

113. Vegem més relacions amb
de la successió
de Fibonacci i el nombre
d’ 𝚽r !!!

114. El terme general de la successió
de Fibonacci
𝑭 𝒏 = 𝑭 𝒏−𝟏+𝑭 𝒏−𝟐
Però i sense recurrència ???

115. 𝐹𝑛 =
Φ 𝑛
− −Φ)−𝑛
2Φ − 1
𝐹𝑛 =
1+ 5
2
𝑛
−
1− 5
2
𝑛
5
=
Φ 𝑛−
−1
Φ
𝑛
5
Φ 𝑛 = 𝐹𝑛Φ + 𝐹𝑛−1

116. Exercici 21 – Proves Cangur 2016 – 2n BAT ( 5punts )
En un bloc de deu pisos, hem de pintar cada planta en blau o en groc, però dues
plantes consecutives no poden estar pintades de color blau.
De quantes maneres diferents podríem pintar el bloc de pisos ?
A) 126 B) 132 C) 140 D) 144 E) 252

117. 1ª planta 2ª Planta 3ª planta 4ª planta 5ª planta 6ª planta
B G BGBGBG
B G B BGBGGB
G G BGBGGG
B BGGBGB
B G B G G BGGBGG
B G BGGGBG
B BGGGGB
G G G G BGGGG
B GBGBGB
B G G GBGBGG
B G GBGGBG
B GBGGGB
B G G G G GBGGGG
B G GGBGBG
G B G G B GGBGGB
B G
G B
G G G
2 3 5 8 13 21
A la 7ª planta 34, 8ª planta 55, 9ª planta 89 i 10ª planta 144 maneres diferents

118. 1. El seu descobriment l'hi debem, com tantes altres
coses, als grecs. Ells li van donar un tractament
bàsicament geomètric, i va ser Euclides en la seva
obra Elements un dels primers que es va referir a
aquest concepte.
1. La fascinació per la proporció àuria ha estat tal al
llarg de la història que en 1509 el matemàtic i teòleg
italià Luca Pacioli va publicar un llibre titulat La
Divina Proporció en el qual donava cinc raons que
justificaven la divinitat del nombre auri :
a) La unicitat del número, que s'assembla a la de Déu;
b) El fet que estigui definit per tres segments d'una
recta, que s'assembla a la Trinitat;
c) La incommensurabilitat del nombre, igual que Déu
és incommensurable;
d) Déu és omnipresent i invariable, igual que ho és
aquest nombre;
Per saber-ne més :
http://maralboran.org/web_ma/videos/fibonacci/fibonacci.htm

119. e) Déu va donar vida a l'univers a través de la cinquena essència, l’èter, representada per un dodecaedre i
el nombre auri va donar vida al dodecàedre.
Sòlids platònics : El foc : Tetràedre, terra : cub, aire : octàedre i aigua : icosàedre
Seguim parlant de la suposada relació entre la divina proporció i la divinitat:
f) No són pocs els que asseguren que la Bíblia està esquitxada de referències a aquest concepte ja que és
una forma que sembla agradar a Déu. En les instruccions per a l'Arca de l'Aliança que va donar a Moisès,
com les que va donar a Noè per a l'altra arca, demana unes proporcions 5x3 (casualment, dos nombres de
la successió de Fibonacci) que donen com a resultat 1,666, molt proper a phi
Però per descomptat la seva parent aritmètica, la successió de Fibonacci, va sorgir d'un problema molt més
mundà, relacionat amb la reproducció dels conills, que va plantejar Leonardo Pisano, Fibonacci, en el seu
Llibre de l'àbac en 1202

120. Els sòlids platònics
Els políedres regulars, s’anomenen també platònics,
per haver fet Plató referència a ells en el seu diàleg
Timeo per a explicar l’Univers.
Es fàcil veure que els políedres
platònics són sols cinc.
Plató els associava així:
Tetràedre foc
Octàedre aire
Hexàedre Terra
Icosàedre Aigua
Dodecàedre éter
Kepler: Harmonia mundi libri V, Linz 1619

121. El rectangle àuri
Els cinc políedres regulars estan íntimament
relacionats amb el rectangle àuri.
M
(punt mig)
quadrat
La construcció d’un rectangle àuri a partir d’un
quadrat és la següent:
Si el costat del quadrat mesura
1, la dimensió major del
rectangle àuri és:
1 5
2
b


Es a dir, el nombre d’or Φ
b= Φ=1´618…

122. Políedres platònics
Partim de tres rectangles àuris que
es tallen perpendicularment segons
les tres direccions de l’espai
Unint els dotze vèrtex dels tres
rectangles obtenim:

123. L’icosàedre
Partim de tres rectangles àuris que
es tallen perpendicularment segons
les tres direccions de l’espai
Unint els dotze vèrtex dels tres
rectangles obtenim:
Políedres platònics

124. Políedres platònics
És el cub el centre del qual
coincideix amb el centre de
l’estructura formada pels 3
rectangles àuris, i les cares del qual
són paral·leles a aquests rectangles
i d’aresta el costat menor.
Tornant als tres rectangles àuris, podem ara
construir
L’exàedre

125. Políedres platònics
Unint els centres dels costats
menors dels rectangles àuris
obtenim l’octàedre.
L’octàedre

126. Políedres platònics
Unint els centres dels costats
menors dels rectangles àuris
obtenim l’octàedre.
L’octàedre

127. Políedres platònics
Si des d’un vèrtex del cub tracem
les tres diagonals de cara que
parteixen d’aquest vèrtex, i unim els
altres tres extrems d’aquestes tres
diagonals, obtenim el tetràedre
regular.
El tetràedre

128. Políedres platònics
El tetràedre
Si des d’un vèrtex del cub tracem
les tres diagonals de cara que
parteixen d’aquest vèrtex, i unim els
altres tres extrems d’aquestes tres
diagonals, obtenim el tetràedre
regular.

129. Els 20 vèrtex del dodecàedre es
troben: 12 d’ells, per parelles, sobre
cadascun dels costats menors dels
rectangles àuris i els 8 restants són
els vèrtex del cub interior.
Per últim,
Políedres platònics
El dodecàedre

130. A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.
Rafael Alberti, “La divina proporción”

131. Els orígensdel nombred’OR
http://tube.geogebra.org/student/m1099173
Construcció dinámica d'Euclides de la secció àuria d'un segment

132. http://tube.geogebra.org/student/m88036

133. DIVISIÓ ÀURIA D’UN SEGMENT

134. DIVISIÓ ÀURIA D’UN SEGMENT

136. EL TRIANGLE D’OR :
Són aquells triangles els costats dels quals estan en raó àuria. N’hi ha de dos tipus:
𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙
𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙
= Φ 𝑞𝑢𝑒 𝑠ó𝑛 𝑎𝑐𝑢𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 𝑖 𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙
𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙
=Φ 𝑞𝑢𝑒 𝑠ó𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑠𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠

139. LA PROPORCIÓ ÀURIA EN FOTOGRAFIA
BRUCE BARNBAUM
Tenien alguna intenció de fer aparèixer la proporció àuria
a les seves fotografies?

140. L’ART GÒTIC
“Quan tot està basat en una
mesura fixa, l’església
simplement és maca. La
proporció és el cor de la
bellesa.”
CATEDRAL DE NOTRE DAME, PARÍS
41 metres d’amplada
43 metres fins a la base de les torres
63 metres fins al capdamunt de les torres


...629'1
59'15
41'25
41'2559'1541 metres
LA CATEDRAL DE BARCELONA

141. L’ART BARROC
SANT PERE DEL VATICÀ
DIMENSIONS
186 metres de llargada fins la porta
218’7 metres de longitud fins al pòrtic
71 metres d’amplada a la part més estreta
114’69 metres d’amplada de la façana
136’57 metres d’alçada fins la cúpula
2
619'2
71
186

 62'1
69'114
186
 601'1
57'136
7'218

142. PLACE DU NOMBRE D’OR, MONTPELLIER
“Les proporcions de la plaça són de
13000 m2 i deu el seu nom a la fórmula
del nombre d’or utilitzada per donar als
edificis, escultures i monuments,
proporcions particularment
harmonioses.”
TALLER D’ARQUITECTURA
RICARDO BOFILL

143. ALGUNES FAL·LÀCIES
ELS ANELLS DE SATURN
www.goldennumber.net
199'1
14600
17500
457'1
17500
25500
95'1
7500
14600
747'1
14600
25500

 LES PIRÀMIDES D’EGIPTE
“VA UTILITZAR MOZART LA
SECCIÓ ÀURIA?”

144. HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=B
RPRDUGZO9E
https://www.youtube.com/watch?v=kxhYMHE5mwc