Aplicaciones de espacios y subespacios vectoriales en la carrera de Tecnologías de la información.

1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
ALGEBRA LINEAL
PARCIAL II
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIONES DE ESPACIOS Y
SUBESPACIOS VECTORIALES EN LA
CARRERA DE TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN
Y COMUNICACIÓN
Nombres:
1.CUADRADO SANTIAGO
2.GARCIA JEAN PIERRE
3.GUERRA KEVIN
4.GUTIERREZ SARAY
5.HIDALGO DIEGO
NRC:3242
Fecha: lunes 26 de julio 2021
Período: Mayo _ septiembre 2021
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ADMINISTRATIVAS
Dra. Lucía Castro Mgs.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE

2. ÍNDICE
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS ALGEBRA LINEAL 1
1. Introducción 3
2. Objetivos 3
3. Fundamentación Teórica 3
4. Desarrollo 4
5. Conclusiones 7
6. Bibliografía 7

3. TEMA: APLICACIONESDE ESPACIOS Y
SUBESPACIOSVECTORIALES EN LA
CARRERADE TECNOLOGÍASDE LA
INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN
1. Introducción
En el presente documento se va a investigar y aprender sobre la aplicación y uso de los espacios,
subespacios vectoriales en el ámbito de la informática. Además, plantearemos ejercicios sobre el
teorema de Wronskiano, este puede usarse para determinar si un conjunto de funciones es
linealmente independiente, si el Wronskiano es distinto de cero, entonces las funciones asociadas
son linealmente independiente caso contrario es linealmente dependiente.
2. Objetivos
 Investigar el uso y la aplicación de los espacios vectoriales dentro del ámbito de
Tecnologías de la información.
 Ejecutar ejercicios sobre polinomios compuestos, producto, trigonométricas, exponenciales
aplicando el teorema de Wronskiano
3. Fundamentación Teórica
PRIMERA APLICACIÓN
Una de las aplicaciones de espacios y subespacios vectoriales en la carrera de Ingeniería en
Tecnología de la Información es la habilidad para abstraer, analizar y sintetizar problemas al
lenguaje algebraico por medio de la codificación con el fin de resolver problemas por medio de un
programa diseñado específicamente para resolver ciertas operaciones y dar resultados sin ningún
margen de error al realizarlo de manera correcta. Con esto se puede realizar sistemas generadores
con la mínima información necesaria. Esto realizando puede realizarse con la suma y el producto
por un escalar (número real) sujetas a los axiomas (u, v, w, x, z) que deben ser válidos para todos
los vectores en V y todos los escalares α y β reales. La resolución del ejercicio primero debe
resolverse a mano siguiendo como ejemplo guía lo siguiente:
 Según (Armengot, 2006) el ejemplo de los estadísticos para datos multivariantes,
considerando un estudio de distintas variables para distintos individuos. Una matriz de datos
multivariantes típica tendrá la forma:
Es una matriz de c vectores columna, donde cada vector representa a un individuo con los n
valores observados. Según la literatura puede encontrarse los datos organizados en una matriz
de vectores fila o columna. En este caso, hay que recordar:
c = número de individuos, de objetos de estudio
n = número de datos observados para cada individuo
Y en cualquier caso puede entenderse que las filas representan las variables mientras que las
columnas representan los individuos.

4. Al determinar tanto los datos como las variables y el tipo (asignación de nombres, números) se
puede elaborar el programa de manera conveniente y oportuna según lo solicitado.
SEGUNDA APLICACIÓN
Mediante la variación de algunas propiedades físicas, como el voltaje o la corriente, es posible
transmitir información a través de cables. Al representar el valor de este voltaje o corriente como
una función simple del tiempo, f (t), podemos modelar el comportamiento de la señal, estudiarlo y
analizarlo concretamente a través de la matemática. Recordemos como dijimos en la introducción
de esta aplicación, que en sistemas digitales se abstrae los voltajes para transmitir señales como 0s
y 1s en representación de valores bajos y altos de tensión, en función de que de esta manera se
puede hacer uso de la potente aritmética binaria.
Consideramos el caso de que se quiere transmitir un byte (unidad básica de datos en computación)
que se compone de 8 bits (unidad de datos fundamental e indivisible en computación), donde cada
bit puede tomar el valor 0 o 1; en consecuencia, emitiríamos una señal de datos que tenga una
duración finita (la cual todas poseen) pero a la vez manejaríamos esta como una señal periódica con
tal solo repetir el patrón enviado una y otra vez por siempre (es decir, el intervalo de T a 2T es el
mismo que de 0 a T, etcétera), dando lugar así a una función que varía con el tiempo en función del
bit que se transmite y que a la vez es periódica.
Así, con lo enunciado, tenemos definida una función f(t) que representará el patrón de bits a enviar,
y sabemos que f(t) es periódica con período T, de manera tal que podemos aplicar la Series de
Fourier para representar a la misma.
4. Desarrollo
*Funciones 1. Tres polinómicas y determinar si son li o ld con el teorema del
Wronskiano
4.1.Determine si el conjunto de funciones polinómicas{(𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒);(𝟓𝒙 − 𝟖);(𝟑𝒙 +
𝟕)}es linealmente independiente (l.i) o linealmente dependiente (l.d) por el teorema de
Wronskiano.
Para empezar a resolver debemos representar a cada una de las funciones con símbolos, en este
caso procedemos a llamarles {F1, F2, F3} respectivamente, ahora procedemos a colocarlos en
una matriz la cual será de 3x3, estas funciones deberán ser copiadas exactamente como se
presentan en el ejercicio en la primera fila de la matriz, luego sucesivamente por debajo de cada
función se escriben las derivadas de cada una de ellas hasta llegar a la segunda derivada para así
completar la matriz.
La matriz resuelta nos quedaría de la siguiente manera:
W(F1, F2,F3)= |
2𝑥2 − 6𝑥 + 4 5𝑥 − 8 3𝑥 − 7
4𝑥 − 6
4
5
0
3
0
|

5. Con esto procedemos a encontrar el determinante, si su resultado es igual a cero será l.d, caso contrario, si
su determinante es diferente de cero será l.i.
Para encontrar eldeterminante lo haremos por el método del triángulo, el cual se resuelve:
Nos quedaría de la siguiente manera:
[(2x2 − 6x + 4) ∗ 5 ∗ 0] + [(5x − 8)3 ∗ 4] + [(3x − 7) ∗ (4𝑥 − 6) ∗ 0] − [4 ∗ 5 ∗ (3𝑥 − 7)] −
[0 ∗ 3 ∗ (2x2 − 6x + 4)] − [0 ∗ (4x − 6) ∗ (5x − 8)] = 44
W(F1, F2, F3)≠0el conjunto de funciones es linealmente independiente (L.i.)
4.2.Determinar si el conjunto de funciones polinomios {(𝟔𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏);(𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙)} es
linealmente independiente (l.i) o linealmente dependiente (L.d.) por el teorema de
Wronskiano.
Procedemos a construir una matriz 3x3 respectivamente, cada una de las funciones se las
representa con una simbología única para cada una de ellas (P1, P2, P3), los valores iniciales
colocamos en la primera fila y debajo se colocan sus respectivas derivadas.
W(P1, P2,P3)= |
6𝑥4 + 8𝑥2 + 1 4𝑥3 − 10𝑥 5𝑥2 − 11𝑥
24𝑥3 + 16𝑥
72𝑥2 + 16
12𝑥2 − 10
24𝑥
10𝑥 − 11
10
|
Resolvemos:
[( 6𝑥4 + 8𝑥2 + 1) ∗( 12𝑥2 − 10)*10]+[( 4𝑥3 − 10𝑥) ∗( 10𝑥 − 11) ∗( 72𝑥2 +
16)]+[24x*(24𝑥3 + 16𝑥) ∗ ( 5𝑥2 − 11𝑥)] −[ (72𝑥2 + 16) ∗(12𝑥2 − 10)*( 5𝑥2 − 11𝑥)]-
[( 4𝑥3 − 10𝑥) ∗( 24𝑥3 + 16𝑥) ∗ 10)] − [( 10𝑥 − 11) ∗ 24𝑥 ∗(6𝑥4 + 8𝑥2 + 1)]
W(P1, P2,P3)= −240𝑥6 + 1584𝑥5 − 1800𝑥4 − 704𝑥3 − 120𝑥2 + 264𝑥 − 100
W(P1, P2,P3) ≠0  el conjunto de polinomios es linealmente independiente(L.i)
4.3.Determinar si el conjunto de funciones polinómicas {(𝒙𝟐 + 𝟓𝒙);(𝟑𝒙𝟐 − 𝒙);} es
linealmente independiente (l.i) o linealmente dependiente (L.d.) por el teorema de
Wronskiano.
Para resolver estos polinomio construimos una matriz de 2x2, cada uno de las funciones se las
representa con una simbología (P1,P2) los valores dados se pone en la primera fila y debajo se
ponen sus derivadas.
W(P1, P2)= |𝑥2 + 5𝑥 3𝑥2 − 𝑥
2𝑥 + 5 6𝑥 − 1
|

6. Resolvemos:
[( 𝑥2 + 5𝑥) ∗( 3𝑥2 − 1)] − [( 3𝑥 + 𝑥) ∗( 2𝑥 − 5)]
W(P1, P2) = 6𝑥3 − 𝑥2 + 30𝑥2 − 5𝑥 − 6𝑥3 − 15𝑥2 + 2𝑥2 + 5𝑥
W(P1,P2) 16𝑥2≠0  El conjunto de polinomios es linealmente independiente(l.i)
* Funciones 2. Dos funciones compuestas, producto, división, trigonométricas,
exponenciales, hiperbólicas, polinómicas y determinar si son li o ld con el teorema del
Wronskiano
4.4.Determinar mediante el teorema de Wronskiano si las siguientes funciones son
linealmente independientes o dependientes.
𝑦1 = 𝑥
𝑦2 = 𝑥2
𝑦3 = 4𝑥 − 3𝑥2
Teorema Wronskiano:
(𝑦1 ,𝑦2,𝑦3) = |
𝑥 𝑥2 4𝑥 − 3𝑥2
1
0
2𝑥
2
4 − 6𝑥
−6
|
(𝑦1 ,𝑦2,𝑦3) = 𝑥 |
2𝑥 4 − 6𝑥
2 −6
| − 1 |𝑥2 4𝑥 − 3𝑥2
2 −6
|
= 𝑥((−12𝑥) − (8 − 12𝑥)) − 1((6𝑥2) − (8𝑥 − 6𝑥2))
= 𝑥(−12𝑥 − 8 + 12𝑥) − (−6𝑥2 − 8𝑥 + 6𝑥2)
= (12𝑥2 − 8𝑥 + 12𝑥 + 6𝑥2 + 8𝑥 − 6𝑥2 = 0 Entonces la función es linealmente dependiente
4.5.Determinar mediante el teorema de Wronskiano si las siguientes funciones son
linealmente dependientes o independientes.
𝑦1 = 𝑒𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥)
𝑦2 = 𝑒𝛼𝑥 cos(𝛽𝑥)
Teorema Wronskiano:
(𝑦1,𝑦2) |
𝑒𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥) 𝑒𝛼𝑥 cos(𝛽𝑥)
𝛼𝑒𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥) + 𝛽𝑒𝛼𝑥 cos(𝛽𝑥) 𝛼𝑒𝛼𝑥 cos(𝛽𝑥) + 𝛽𝑒𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥)
|
= 𝑒𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥)[𝛼𝑒𝛼𝑥 cos(𝛽𝑥) − 𝛽𝑒𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥)] − 𝑒𝛼𝑥 cos(𝛽𝑥) [𝛼𝑒𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥)
+𝛽𝑒𝛼𝑥 cos(𝛽𝑥)]
= 𝛼𝑒2𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥) cos(𝛽𝑥) − 𝛽𝑒2𝛼𝑥 sin2(𝛽𝑥) − 𝛼𝑒2𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥) cos(𝛽𝑥) − 𝛽𝑒2𝛼𝑥 cos2(𝛽𝑥)
= −𝛽𝑒2𝛼𝑥 sin2 (𝛽𝑥) − 𝛽𝑒2𝛼𝑥 cos2(𝛽𝑥)
= −𝛽𝑒2𝛼𝑥(sin2(𝛽𝑥) + cos2(𝛽𝑥)
(sin2(𝛽𝑥) + cos2(𝛽𝑥) = 1
= −𝛽𝑒2𝛼𝑥 Si 𝛽 ≠ 0 Entonces las funciones (𝑦1, 𝑦2) son linealmente independientes

7. 5. Conclusiones
 Recabamos información correcta sobre eluso y la aplicación de los espacios vectoriales
dentro de la rama de la informática.
 Aplicar correctamente la teoría de Wronskiano para determinar si un espacio vectorial es
linealmente dependiente o independiente
6. Bibliografía
Armengot, M. (Septiembre de 2006). Análisis comparativo de métodos basados en subespacios ...
Obtenido de Uv.es: https://www.uv.es/marjoari/pdf/definitivo.pdf
C. X. M. Baldó, “Capitulo 1: Teoría de la comunicación”, [Internet], disponible en
http://www.ctv.es/USERS/carles/PROYECTO/cap1/cap1.html [acceso el 2 de julio de 2013].
Universidad Politécnica de Valencia, Unidad Docente de redes de Computadora, [Internet]
http://www.redes.upv.es/rds/es/practicas/ Fourier.pdf, [acceso el 2 de julio de 2013].