Curso de Elementos Finitos

1. http://gustavorabello.github.i
o
gustavo.rabello@coppe.ufrj.b
r
Sala G-210, Gabinete 5
Universidade Federal do Rio de Janeiro
UFRJ/COPPE/PEM
Departamento de Engenharia Mecânica
Prof. Gustavo R. Anjos
(COM 701)
Atualizado em: 02/02/21
Dinâmica dos Fluidos Computaciona
l
Método de Elementos Finitos
3o. período de 2020 02.02.2021
— tópicos especiais —
Nome do evento
Prof. Gustavo R. Anjos
2
Ao
fi
nal do per
í
odo o aluno dever
á
ser capaz de
analisar criticamente resultados de simulações
numéricas e os algoritmos usados para resolução das
equações diferenciais. Além disto, deverá ser capaz
de desenvolver códigos numéricos para solução de
escoamentos de
fl
uidos através do método de
elementos
fi
nitos.
Objetivo
CFD - MEF
Prof. Gustavo R. Anjos
Conteúdo
• Revisão de operadores diferenciais (análise vetorial);
• formulação de Elementos Finitos (forma fraca, integração
numérica, método de Galerkin e solução de sistemas
lineares);
• MEF em problemas problemas térmicos;
• MEF para formulação corrente-vorticidade;
• MEF para o Problema de Stokes 2D/3D;
• MEF para Navier-Stokes.
3 CFD - MEF
Prof. Gustavo R. Anjos
Referências
4
1. Método de Elementos Finito
s
a) Thomas J.R. Hughues , The Finite Element Method - Linear
Static and Dynamic Finite Element Analysis;
b) Roland W. Lewis, Perumal Nithiarasu, Kankanhally
Seetharamu, Fundamentals Of The Finite Element Method For
Heat And Fluid Flow, Editora Wiley
;
c) Fish and Sand Belytschko, A First Course in Finite Elements
;
d) O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor & J.Z. Zhu, The Finite Element
Method - Its Basis & Fundamentals
;
e) Gustavo R. Anjos, Computação Cientí
fi
ca para
Engenheiros, apostila disponível em
:
http://gustavorabello.github.io/teaching

2. CFD - MEF
Prof. Gustavo R. Anjos
Referências
5
3. Mecânica dos Fluidos, Transferência de Calor e
Computação Cientí
fi
c
a
a) M. Necati Özisik & M. Necati Ozsk, Heat Transfer: a
basic approach, Editora Mcgraw Hill College
.
b) Robert Byron Bird, Fenômenos de Transporte,
Editor LTC
.
c) Panton, R.L. Incompressible Fluid Flow, Wiley
;
d) Michael T. Heath, Scieti
fi
c Computing - An
Introductory Survey, Editora Mcgraw Hill;
CFD - MEF
Prof. Gustavo R. Anjos
Projeto
• Solução do problema térmico 3D transiente para materiais anisotrópicos;
• Solução do problema térmico conjugado 2D transiente;
• Solução do problema de Stokes 2D ou 3D;
• Solução do problema de Navier-Stokes 2D ou 3D;
6
O projeto deverá ser realizado individualmente e com livre escolha dos temas
abaixo. Qualquer linguagem de programação pode ser escolhida, no entanto
recomenda-se o uso de Python. A geometria do problema é de livre escolha, no
entanto o aluno deverá apresentar comparação de solução numérica com solução
analítica ou experimental.
CFD - MEF
Prof. Gustavo R. Anjos
História breve do MEF
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• Tem sido usado desde 1950 em mecânica dos sólidos
;
• em 1970 começou o uso em CF D
• atualmente o MEF é usado em diversos problemas de engenharia
Método de Elementos Finitos - MEF
• matemática sofisticada
• geometria complexa
• elemento mestre
• alto uso de memória
• flexível
Método deVolumes Finitos - MVF
• formulação: fluxo
• geometria complexa
• conservativo
• baixa memória
Método de Diferenças Finitas - MDF
• matemática simples
• geometria simples
• sistemas em grid
• baixa memória
• programação flexível
Transferência de calor, escoamento de
fl
uido, eletromagnetismo, acústica, biomecânica etc.
Nome do evento
Prof. Gustavo R. Anjos
• Apresentação em PDF de Ivo Babuska;
• Artigo “A Brief History of the Beginning of the Finite
Element Method”, Gupta, K.K e Meed, J.L.,
International Journal for Numerical Methods in
Engineering, 1996.
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História longa do MEF

3. CFD - MEF
Prof. Gustavo R. Anjos
A idéia do MEF
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EDP
form
a
fraca
EDO
sistema
linear
solução
aproximada
form
a
variacional
Eqs. de govern
o
(eq. de calor,
Maxwell,
Navier-Stokes,
elasticidade
etc.)
Ax=b
solução para
x
x=A-1b
x=[u,v,w,p,T,c]
Conjunto de
Equações
Differencias
Ordinárias
As funções de aproximação são combinadas com a forma fraca
para obtenção das equações de elementos
fi
nitos discretas.
funções de aproximação
:
o Método de Galerkin
CFD - MEF
Prof. Gustavo R. Anjos
Receita do MEF
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• de
fi
nição/leitura da malha
• de
fi
nição do elemento
fi
nito
• identi
fi
cação das condições de contorno
• montagem das matrizes dos operadores
• imposição das condições de contorno
• solução do sistema linear
• visualização dos resultados
No computador:
Preliminares:
• forma forte forma fraca (forma bilinear)
• integração por partes (identidade de Green)
•
aproximação método de Galerkin
⟶
u ≈ ̂
u =
n
∑
0
Ni(x)ai ⟶
Nome do evento
Prof. Gustavo R. Anjos
1. Qual a linguagem de programação tem experiência?
2. Tem experiência com prototipagem rápida usando
linguagem tipo “script”?
3. Já resolveu EDO/EDP numericamente?
4. Cálculo com operadores diferencias?
5. Como fazer visualização de resultados 1D/2D/3D?
6. Tem experiência com geração de malha manual e
automática?
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Aquecimento
(I)
Nome do evento
Prof. Gustavo R. Anjos
1. Compilada são mais rápidas, porém mais difíceis de usar.
2. Sugestão: usar Python ou Octave.
3. Sugestão: Cap. 2 da apostila do professor.
4. Sugestão: Apêndice B do livro “Fenômenos de
Transferência”, volume 1.
5. matplotlib/Paraview.
6. Sugestão: Cap. 3 da apostila do professor e Gmsh.
12
Aquecimento
(II - respostas)