Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
POLINÔMIOS

2. POLINÔMIOS
1
01. (Epcar 2017) O polinômio 3 2
P(x) x mx nx 12
= + + + é tal que P(x) 0
= admite as raízes 1
x , 2
x e 3
x . Se 1 2
x x 3
 = −
e 2 3
x x 5,
+ = então é correto afirmar que
a) P(m) 0
=
b) m n 13
− = −
c) m n 20
 =
d) n 2m 7
− = −
02. (Espcex 2017) As três raízes da equação 3 2
x 6x 21x 26 0
− + − = são m, n e p. Sabendo que m e n são complexas
e que p é uma raiz racional, o valor de 2 2
m n
+ é igual a
a) 18
−
b) 10
−
c) 0
d) 4
e) 8
03. (Ime 2016) O polinômio 3 2
x ax bx c
+ + + tem raízes reais ,
α α
− e
1
.
α
Portanto o valor da soma 2
2
b
b c ac
c
+ + + é:
a) 2
−
b) 1
−
c) 0
d) 1
e) 2
04. (Eear 2016) Dado o polinômio: 3 2
ax (2a b)x cx d 4 0,
+ + + + − = os valores de a e b para que ele seja um polinômio
de 2º grau são
a) a 0
= e b 0
=
b) a 1
= e b 0

c) a 0
= e b 0

d) a 1
= − e b 0
=
05. (Espcex 2016 Considere os polinômios 80 79 2
p(x) x 3x x x 1
= + − − − e 2
b(x) x 2x 3.
= + − Sendo r(x) o resto da
divisão de p(x) por b(x), o valor de
1
r
2
 
 
 
é igual a
a) 0
b)
1
2
c) 1
d) 2
e)
5
2

3. POLINÔMIOS
2
06. (Esc. Naval 2016) Sejam 1
r , 2
r e 3
r as raízes do polinômio 3 2
P(x) x x 4x 4.
= − − + Sabendo-se que as funções
2
1
f (x) log(4x kx 1)
= − + e 2 2
2
f (x) x 7 arc sen (wx 8),
= − − com 𝑘, 𝑤 ∈ ℝ, são tais que 1 1
f (r ) 0
= e 2 2 2 3
f (r ) f (r ) 4,
= =
onde 1
r é a menor raiz positiva do polinômio P(x), é correto afirmar que os números (w k)
+ e (w k)
− são raízes da
equação
a) 2
x 6x 2 0
− − =
b) 2
x 4x 12 0
− − =
c) 2
x 4x 21 0
− + =
d) 2
x 6x 8 0
− + =
e) 2
x 7x 10 0
− − =
07. (Epcar 2016) Considere os polinômios 2
Q(x) x 2x 1
= − + e 3 2
P(x) x 3x ax b,
= − − + sendo a e b números reais tais
que 2 2
a b 8.
− = − Se os gráficos de Q(x) e P(x) têm um ponto comum que pertence ao eixo das abscissas, então é
incorreto afirmar sobre as raízes de P(x) que
a) podem formar uma progressão aritmética.
b) são todas números naturais.
c) duas são os números a e b
d) duas são números simétricos.
08. (Efomm 2016) A solução do sistema:
x y z w 7
xy xz xw yz yw zw 4
xyz xyw xzw yzw 6
xyzw 1
+ + + =

 + + + + + =


+ + + =

 =

pode ser representada pelas raízes do polinômio
a) 3 2
x 6x 4x 7
+ + +
b) 3 2
x 6x 4x 7
+ + −
c) 4 3 2
2x 14x 8x 12x 2
− + − +
d) 4 3 2
7x 4x 6x x
− + +
e) 4 3 2
x 7x 4x 6x
+ + +
09. (Efomm 2016) Seja o polinômio 6 4 3 2
p(x) x 26x 32x 147x 96x 180.
= − − − − − A respeito das raízes da equação
p(x) 0,
= podemos afirmar que
a) todas as raízes são reais.
b) somente duas raízes são reais, sendo elas distintas.
c) somente duas raízes são reais, sendo elas iguais.
d) somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas.
e) nenhuma raiz é real.

4. POLINÔMIOS
3
10. (Espcex 2016) Sendo R a maior das raízes da equação 2
11x 6
x ,
x 4
+
=
−
então o valor de 2R 2
− é
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
11. (Ita 2016) Seja p o polinômio dado por 8 m n
p(x) x x 2x ,
= + − em que os expoentes 8, m, n formam, nesta ordem,
uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a 14. Considere as seguintes afirmações:
I. x 0
= é uma raiz dupla de p.
II. x 1
= é uma raiz dupla de p.
III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula.
Destas, é(são) verdadeira(s)
a) apenas I
b) apenas I e II
c) apenas I e III
d) apenas II e III
e) I, II e III
12. (Efomm 2016) Sabendo que
5
2
é uma raiz do polinômio 3 2
P(x) 2x 3x 9x 10,
= − − + a soma das outras raízes é igual
a
a) 2
−
b) 0
c) 10
d) 1
e) 1
−
13. (Espcex 2016) Considere o polinômio 6 5 4 3 2
p(x) x 2x 2x 4x x 2x.
= − + − + − Sobre as raízes de p(x) 0,
= podemos
afirmar que
a) quatro raízes são reais distintas.
b) quatro raízes são reais, sendo duas iguais.
c) apenas uma raiz é real.
d) apenas duas raízes são reais e iguais.
e) apenas duas raízes são reais distintas.
14. (Epcar 2015) Considere o polinômio 4 3 2
p(x) ax bx 2x 1
,
= + + + {𝑎, 𝑏} ⊂ ℝ e marque a alternativa falsa.
a) x 0
= não é raiz do polinômio p(x)
b) Existem valores distintos para a e b tais que x 1
= ou x 1
= − são raízes de p(x)
c) Se a 0
= e b 3,
= o resto da divisão de p(x) por 2
3x x 1
− + é zero.
d) Se a b 0
= = tem-se que
1
x i
2
= − é uma raiz de p(x), considerando que 2
i 1
= −

5. POLINÔMIOS
4
15. (Esc. Naval 2015) Em uma P.G.,
2 2
4
2(k 1)
a
5k
+
= e
2
1 2
25k
a ,
4(k 1)
=
+
onde 𝑘 ∈ ℝ+
∗
. Para o valor médio M de k, no
intervalo onde a P.G. é decrescente, o resto da divisão do polinômio 5 4 2
5 5
P(x) x x 25x 10
4 2
= − + − pelo binômio
15
Mx
8
 
−
 
 
é
a)
1039
32
b)
1231
16
c)
1103
32
d)
1487
32
e)
1103
16
16. (Espcex 2015) O polinômio 5 3 2
f(x) x x x 1,
= − + + quando dividido por 3
q(x) x 3x 2
= − + deixa resto r(x).
Sabendo disso, o valor numérico de r( 1)
− é
a) 10.
−
b) 4.
−
c) 0.
d) 4.
e) 10.
17. (Ime 2015) Qual o resto da divisão do polinômio 26 25 24 4 3 2
x x 6x 5x 16x 3x
− − + − + pelo polinômio
3 2
x 3x x 3?
− − +
a) 2
x x 2
+ −
b) 2
6x 4x 3
− +
c) 3x 9
−
d) 2
6x 17x 3
− −
e) 6x 1
+
18. (Espcex 2015) A função 𝑓: ℝ → ℝ definida por 4 3 2
f(x) x 5x 5x 5x 6
= − + + − tem como algumas de suas raízes os
números 1
− e 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais a função
f(x) é positiva.
a) ( ) ( )
, 1 0,1
− − 
b) ( ) ( )
, 1 2,
− −  + 
c) ( )  )
1 1
, 1 , 2,
2 2
 
− −  −  + 
 
 
d) ( )
1 5
, 3 ,2 ,
2 2
   
− −   + 
   
   
e) ( ) ( ) ( )
, 1 1,2 3,
− −   + 

6. POLINÔMIOS
5
19. (Ita 2015) Seja p o polinômio dado por
15
j
j
j 0
p(x) a x ,
=
=  com 𝑎𝑗 ∈ ℝ, j 0,1
,...,15,
= e 15
a 0.
 Sabendo-se que i é
uma raiz de p e que p(2) 1
,
= então o resto da divisão de p pelo polinômio q, dado por 3 2
q(x) x 2x x 2,
= − + − é igual
a
a) 2
1 1
x .
5 5
−
b) 2
1 1
x .
5 5
+
c) 2
2 2
x .
5 5
+
d) 2
3 3
x .
5 5
+
e) 2
3 1
x .
5 5
+
20. (Col. naval 2015) Seja x um número real tal que 3 2 1 2 3
x x x x x x 2 0.
− − −
+ + + + + + = Para cada valor possível de
x, obtém-se o resultado da soma de 2
x com seu inverso. Sendo assim, o valor da soma desses resultados é
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
GABARITO
1 - D 2 - B 3 - A 4 - C 5 - A
6 - B 7 - B 8 - C 9 - B 10 - E
11 - C 12 - E 13 - E 14 - D 15 - ANULADA
16 - A 17 - D 18 - E 19 - B 20 - D