Modélisation d'un troupeau de moutons dans un espace confiné, sous l'action d'un chien de berger. L'algorithme conçu ici a ensuite été implémenté en Python (avec animation graphique dynamique).

1. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Modélisation algorithmique d’un troupeau de
moutons
Jules Collin
2014 - 2015
Jules Collin Modélisation algorithmique d’un troupeau de moutons

2. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
1 Modélisation du troupeau et du chien
Les différentes modélisations du troupeau
Le comportement du chien de berger
2 Deux algorithmes de référence
Algorithme de Vaughan (2000)
Algorithme de Bennett (2010)
Comparaison des algorithmes
3 Proposition d’un programme Python
Principe général
Rencontre avec un berger
Le programme
Optimisation
Calcul de la complexité
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3. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Les différentes modélisations du troupeau
Le comportement du chien de berger
On considère les 4 mouvements suivants pour les moutons :
Mouvement aléatoire
Répulsion des autres moutons trop proches
Fuir le chien
Attraction vers les membres du troupeau
- Attraction vers le (ou les) mouton(s) le(s) plus proche(s)
- Attraction vers le centre de masse du troupeau (ou celui des
moutons les plus proches)
- Attraction vers un mouton quelconque
- Attraction vers tous les moutons
⇒ On les implémente toutes, en pondérant leur action.
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4. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Les différentes modélisations du troupeau
Le comportement du chien de berger
Rôle principal du chien : rassembler les moutons.
Rôle secondaire : guider le troupeau vers une zone précise.
Règle primaire : ne jamais rentrer dans le troupeau. Si le chien
se trouve dans le troupeau, il doit en sortir le plus rapidement
possible.
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5. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Algorithme de Vaughan (2000)
Algorithme de Bennett (2010)
Comparaison des algorithmes
Un robot se déplace à l’intérieur d’une clôture circulaire afin
d’emmener les oies vers un point G situé sur le bord du cercle.
Forces d’attraction et de répulsion proportionnelles à 1
r2 .
Chaque oie i subit la force suivante :
−→
Ri =
N
n=1



K1
−−−→
Di Dn + L
2
·
−−−→
Di Dn
−−−→
Di Dn
− K2 ·
−−−→
Di Dn
−−−→
Di Dn
3



− K3 ·
−−−→
Di W
−−−→
Di W
3
− K4 ·
−−→
Di R
−−→
Di R
3
Dn la position de l’oie n (1 ≤ n ≤ N), R est la position du
robot, W la position du point le plus proche du mur et
L, K1, K2, K3, K4 des constantes positives.
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6. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Algorithme de Vaughan (2000)
Algorithme de Bennett (2010)
Comparaison des algorithmes
Le robot se déplace dans le cercle selon la formule suivante :
−→r = Kr1
−→
GF ·
−→
RF
−→
RF
− Kr2 ·
−→
RG
−→
RG
G est la position finale voulue, F est le centre de masse des N
moutons et Kr1 , Kr2 sont des constantes positives.
Figure: Expérience originale de Vaughan (2000)
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7. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Algorithme de Vaughan (2000)
Algorithme de Bennett (2010)
Comparaison des algorithmes
Le chien calcule l’angle du mouton le plus éloigné et se déplace
alors selon un arc de cercle dans sa direction, en contournant
le troupeau.
Le changement du sens de rotation a lieu lorsque l’écart avec
la direction des moutons est supérieur à un angle déterminé.
Le chien parcourt l’angle θ = 180◦ − |(CD, CG)| pendant qu’il
récupère un mouton.
D est la position du chien, C celle du centre de masse du
troupeau et G celle de l’objectif final.
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8. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Algorithme de Vaughan (2000)
Algorithme de Bennett (2010)
Comparaison des algorithmes
Problème de Vaughan : aspect circulaire du modèle.
Avantage de Bennett : angles parcourus plus petits ⇒ permet
l’étude de troupeaux initialement dispersés.
Vaughan ne termine que lorsque le rayon du cercle est inférieur
à 10 m ⇒ pas transposable à un environnement ouvert.
Pas de paramètres optimaux pour tous les algorithmes, ni
même pour un seul algorithme
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9. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Principe général
Rencontre avec un berger
Le programme
Optimisation
Calcul de la complexité
Réalisation d’un programme Python avec animation graphique.
Prise en compte des 4 formes d’attractions combinées avec des
coefficients adaptés.
Le programme complet dépend de 23 paramètres indépendants.
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10. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Principe général
Rencontre avec un berger
Le programme
Optimisation
Calcul de la complexité
Etude sur un troupeau de 440 moutons.
Le Beauceron guide le troupeau à courte distance (2-3 mètres)
Caméra embarquée sur le dos du chien.
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11. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Principe général
Rencontre avec un berger
Le programme
Optimisation
Calcul de la complexité
Architecture du programme (511 lignes) :
Initialisation
Fonctions utilitaires
Implémentation des 4 attractions et de la répulsion
Algorithmes de Jarvis et de Graham, au choix, et test pour
déterminer si un point est à l’intérieur de l’enveloppe convexe
Déplacement du chien et des moutons (2 versions)
Test d’arrivée
Fonction de dessin permettant l’actualisation des positions
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12. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Principe général
Rencontre avec un berger
Le programme
Optimisation
Calcul de la complexité
⇒ On établit un ordre de priorité des actions sur les moutons en
plus des coefficients affectés aux interactions, en se penchant
sur des observations réelles.
Problème de l’incursion du chien au sein du troupeau.
⇒ Calcul de l’enveloppe convexe du troupeau avec l’algorithme
de Jarvis (O N2 ) ou Graham (O(N log N)).
Sortie du chien u =
|det(
−→
OC,
−−−→
M1M2)|
−−−→
M1M2
·
−→
GB
−→
GB
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13. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Principe général
Rencontre avec un berger
Le programme
Optimisation
Calcul de la complexité
⇒ Conditions d’exécution dans le déplacement du chien avec la
fonction test_env.
((x1 − x2)yc + (y2 − y1)xc + x2y1 − x1y2)
× ((x1 − x2)yg + (y2 − y1)xg + x2y1 − x1y2) < 0
Problème de la durée d’exécution de chaque étape.
⇒ Intégration native de fonctions coûteuses à travers la fonction
@jit du module numba.
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14. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Principe général
Rencontre avec un berger
Le programme
Optimisation
Calcul de la complexité
Complexité O N3 pour chaque appel récursif.
Etudes statistiques pour observer le temps d’exécution et le
nombre d’étapes nécessaires, en faisant varier des paramètres,
afin de déterminer une configuration la plus efficace possible.
Figure: Conditions du test
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15. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Principe général
Rencontre avec un berger
Le programme
Optimisation
Calcul de la complexité
Exécution en un temps raisonnable tant que l’on ne dépasse
pas 200 moutons.
Le nombre d’étapes également est une fonction croissante du
nombre de moutons.
Figure: Nombre d’étapes et temps nécessaires à la complétion de
l’algorithme en fonction du nombre de moutons avec incertitudes
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16. Modélisation du troupeau et du chien
Deux algorithmes de référence
Proposition d’un programme Python
Conclusion
⇒ Beaucoup de paramètres indépendants, une configuration
optimale est difficile à trouver.
⇒ On trouve cependant des paramètres efficaces qui permettent
une réalisation en un temps correct et qui traduisent les
observations recueillies sur le terrain.
⇒ On aurait pu prendre en compte l’inertie des moutons, qui les
empêcherait de changer de direction de façon trop abrupte.
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