SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 6
Baixar para ler offline
OSNA SIMETRIJA



Preslikavanje ravni, pri kojem se svaka tačka A te ravni preslikava u tačku A` , simetričnu sa A u odnosu na pravu s te

ravni, nazivamo osnom simetrijom u odnosu na pravu ( osu ) s. Najčešća oznaka za osnu simetriju je I s .

Naravno, vi obeležavajte kako kaže vaš profesor.


Za dve figure F i F ` neke ravni kažemo da su simetrične u odnosu na pravu s te ravni ( osno simetrične) , ako

svakoj tački P figure F odgovara tačka P` figure F ` , tako da je I s ( P ) = P` . Naravno, važi i obrnuto, svakoj tački

Q` figure F ` odgovara tačka Q figure F tako da je I s ( Q ) = Q` .


Osna simetrija se još naziva i osna refleksija ili samo refleksija.


Evo nekoliko primera osno simetričnih figura sa jednom ili više osa simetrije…




  jedna osa simetrije          jedna osa simetrije            dve ose simetrije              tri osa simetrije




                                        svaki precnik je
                                                   /




   cetiri osa simetrije
   /

                                        osa simetrije



Kao što vidimo na slikama, jednakokraki trapez i jednakokraki trougao imaju po jednu osu simetrije. Pravougaonik ima

dve ose simetrije, jednakostranični trougao tri ose simetrije, kvadrat četiri ,dok je kod kruga svaki prečnik osa simetrije.

                                                                                                          www.matematiranje.com


                                                                                                           1
Pre nego li krenemo sa zadacima , podsetićemo se jedne konstrukcije koju moramo raditi ( ako zahteva profesor) kod

svakog zadatka. Trebamo iz date tačke A konstruisati normalu na datu pravu p.

               A                                A                                A




    P                  Q   p        P                   Q   p          P                       Q   p




            slika 1.                                                           slika 3.
                                             slika 2.

Iz tačke A opišemo luk na pravoj p ( slika 1.)

Ubodemo šestar u tačku P , uzmemo otvor malo veći od polovine rastojanja PQ i opišemo mali luk. Isti luk opišemo iz

tačke Q ( slika 2.)

Presek tih lukova spojimo sa tačkom A i eto normale…( slika 3.)

Naravno, ako vaš profesor dozvoljava , lakše je koristiti prav ugao na trouglu ( lenjiru).

primer 1.

Datoj duži AB konstruisati duž A`B` simetričnu u odnosu na pravu s koja ne seče duž.

Rešenje:



        B                               B                                  B              B`




A                               A                                  A                               A`

                 s                              s                                  s
            slika 1.                        slika 2.                           slika 3.

Iz tačaka A i B konstruišemo normale na pravu s ( osa simetrije) što vidimo na slici 1.

U tačkama u kojima normale seku osu zabodemo šestar i prebacimo rastojanja do A , odnosno B na drugu stranu, i

dobili smo tačke A` i B` , što vidimo na slici 2.

Spojimo dobijene tačke i eto tražene simetrične duži ( slika 3.)

                                                                                                        2
Napomena

Pazite , ovo je konstrukcijski zadatak, što znači da bi trebalo raditi sve po koracima: analiza, konstrukcija, dokaz ,

diskusija. Mi ćemo vam objasniti kako se konkretno radi osna simetrija a vi , opet ponavljamo, ako vaš profesor traži,

morate sve detaljno raditi...



primer 2.


Dat je trougao ABC. Konstruisati njemu simetričan trougao u odnosu na pravu s koja sadrži teme B tog trougla

i ne seče stranicu AC.


Rešenje:



                      s                                                s


           C                                                 C                 C`




A                                                  A                                     A`

                  B                                                  B B`

                 slika 1.                                           slika 2.



Ovde imamo jednu značajnu stvar da zapamtimo: ako je tačka na osi simetrije, onda se ona ne mora preslikavati,

jer je njena osno simetrična tačka baš ta tačka, to jest B ≡ B`.

Postupak je uvek isti, iz temena A i C povučemo normale na osu s i prebacimo rastojanja na drugu stranu ose s.

Spojimo dobijene tačke i eto rešenja.


primer 3.

Prava s sadrži teme C kvadrata ABCD i seče stranicu AB. Konstruisati kvadrat simetričan kvadratu ABCD.
                                                                                                          www.matematiranje.com

                                                                                                           3
Rešenje:
                           s                                                        s
D                  C                                   D                     C =C`
                                                                               -




                                                               B`                                  D`


A                      B                               A                      B


                                                                               A`
       slika 1.                                                         slika 2.



Tačka C je na osi , pa je C ≡ C ` a za ostale tačke radimo poznati postupak…


primer 4.

Dat je oštar ugao Oab i u njemu tačka C. Konstruisati tačke A i B, A ∈ a, B ∈ b tako da obim trougla ABC

bude najmanji.

Rešenje:
                  C2                              C2                                          C2
                           b                               b                                            b

                                                  B                                           B
                               C                           C                                            C




O                                  a   O               A            a    O                         A         a
       slika 1.                            slika 2.                                     slika 3.


                           C1                              C1                                           C1


Najpre konstruišemo tačke C1 i C2 koje su simetrične sa tačkom C u odnosu na krake Oa i Ob. ( slika 1.)

Spojimo duž C1 C2 . Presek ove duži sa kracima Oa i Ob nam daje tačke A i B ( slika 2.).

Spojimo tačke A, B i C da dobijemo trougao najmanjeg obima. ( slika 3.)

Naravno, sad se pitamo zašto je baš ovaj trougao najmanjeg obima?

Njgov obim je O=AB + AC + BC, a kako je AC=A C1 i BC=B C2 , možemo reći da je obim :

O=AB + A C1 + B C2 , odnosno, obim je duž C1 C2 .
                                                                                                                 4
Ako bi uzeli neke dve druge tačke A1 i B1 , imali bismo:

                      C2
                                b

                      B
                                C
        B1



O             A1           A           a



                                C1

Obim ovog trougla bi bio: O = A1 B1 + A1 C + B1 C a kako je A1 C = A1 C1 i B1 C = B1 C2 to je obim :

O = A1 B1 + A1 C1 + B1 C2 a to je izlomljena linija koja je sigurno kraća od C1 C2 . ( vidi sliku)


primer 5.


Dva broda, brod A i brod B nalaze se usidreni na moru, nedaleko od pravolinijske obale p. Sa broda A čamac

treba da preveze jednog putnika do obale a zatim da dodje do broda B. Odrediti ( konstruisati) najkraći put

kojim čamac treba da plovi da bi obavio postavljeni zadatak.


Rešenje:

Način razmišljanja je sličan kao u prethodnom zadatku:


                              Brod B                                             Brod B

      Brod A                                               Brod A




                                     obala p                         P                obala p



         A`                                                   A`
                   slika 1.                                           slika 2.

                                                                                                       5
Nadjemo tačku A` simetričnu sa A u odnosu na obalu p kao osu simetrije.

Spojimo tačku A` sa tačkom B . U preseku te duži i prave p je tražena tačka P na kojoj treba iskrcati putnika.

Dokaz da je ovo najkraći put kojim čamac plovi je analogan dokazu prethodnog zadatka.

Recimo da se putnik iskrca na nekom drugom mestu, na primer u tački Q.


                              Brod B

          Brod A




obala p             P             Q



            A`

Najkraći put koju smo našli konstrukcijski je AP+PB, odnosno A`P+PB , to jest A`P+PB=A`B.

Putanja AQ+ QB je duža, jer je to ustvari putanja A`Q+ QB , koja predstavlja zbir dve stranice trougla A`QB, a znamo

da je zbir dve stranice uvek veći od dužine treće stranice!


                                                                                                       www.matematiranje.com




                                                                                                       6

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Прича о дечаку и Месецу
Прича о дечаку и МесецуПрича о дечаку и Месецу
Прича о дечаку и МесецуUciteljicaSmilja
 
Правилни многоуглови
Правилни многоугловиПравилни многоуглови
Правилни многоугловиRadica Miletic
 
Promenljive i nepromenljive vrste reci
Promenljive i nepromenljive vrste reciPromenljive i nepromenljive vrste reci
Promenljive i nepromenljive vrste reciMajaGerasimovic
 
6.kontrolni zadatak, duž i jedinice mere
6.kontrolni zadatak, duž i jedinice mere6.kontrolni zadatak, duž i jedinice mere
6.kontrolni zadatak, duž i jedinice mereSnežana Kovačević
 
Paralelne i normalne prave zadaci za vezbanje
Paralelne i normalne prave   zadaci za vezbanjeParalelne i normalne prave   zadaci za vezbanje
Paralelne i normalne prave zadaci za vezbanjeMilica Vasiljevic
 
Snalazenje u naselju i okolini
Snalazenje u naselju i okoliniSnalazenje u naselju i okolini
Snalazenje u naselju i okolinimilica976
 
Duz, prava, poluprava, merenje duzine
Duz, prava, poluprava, merenje duzineDuz, prava, poluprava, merenje duzine
Duz, prava, poluprava, merenje duzineMilica Vasiljevic
 
Ana Kljajevic-Obim i povrsina trougla i četvorougla
Ana Kljajevic-Obim i povrsina trougla i četvorouglaAna Kljajevic-Obim i povrsina trougla i četvorougla
Ana Kljajevic-Obim i povrsina trougla i četvorouglaDijana Milosevic
 

Mais procurados (20)

Sarenorepa
SarenorepaSarenorepa
Sarenorepa
 
Управни говор
Управни говорУправни говор
Управни говор
 
Прича о дечаку и Месецу
Прича о дечаку и МесецуПрича о дечаку и Месецу
Прича о дечаку и Месецу
 
Правилни многоуглови
Правилни многоугловиПравилни многоуглови
Правилни многоуглови
 
Promenljive i nepromenljive vrste reci
Promenljive i nepromenljive vrste reciPromenljive i nepromenljive vrste reci
Promenljive i nepromenljive vrste reci
 
6.kontrolni zadatak, duž i jedinice mere
6.kontrolni zadatak, duž i jedinice mere6.kontrolni zadatak, duž i jedinice mere
6.kontrolni zadatak, duž i jedinice mere
 
Reljef
ReljefReljef
Reljef
 
"Doživljaji mačka Toše
"Doživljaji mačka Toše"Doživljaji mačka Toše
"Doživljaji mačka Toše
 
Paralelne i normalne prave zadaci za vezbanje
Paralelne i normalne prave   zadaci za vezbanjeParalelne i normalne prave   zadaci za vezbanje
Paralelne i normalne prave zadaci za vezbanje
 
Snalazenje u naselju i okolini
Snalazenje u naselju i okoliniSnalazenje u naselju i okolini
Snalazenje u naselju i okolini
 
Deljivost brojeva
Deljivost brojevaDeljivost brojeva
Deljivost brojeva
 
Zbirne imenice - Radojka Lala Stefanović
Zbirne imenice - Radojka Lala StefanovićZbirne imenice - Radojka Lala Stefanović
Zbirne imenice - Radojka Lala Stefanović
 
иницијални тест за 5. разред
иницијални тест за 5. разрединицијални тест за 5. разред
иницијални тест за 5. разред
 
Prosvetiteljstvo
Prosvetiteljstvo Prosvetiteljstvo
Prosvetiteljstvo
 
Površina kocke
Površina kockePovršina kocke
Površina kocke
 
Skupovi
SkupoviSkupovi
Skupovi
 
Duz, prava, poluprava, merenje duzine
Duz, prava, poluprava, merenje duzineDuz, prava, poluprava, merenje duzine
Duz, prava, poluprava, merenje duzine
 
Врсте именица - 2. разред
Врсте именица - 2. разредВрсте именица - 2. разред
Врсте именица - 2. разред
 
Predlog kontrolnih l ogos
Predlog kontrolnih l ogosPredlog kontrolnih l ogos
Predlog kontrolnih l ogos
 
Ana Kljajevic-Obim i povrsina trougla i četvorougla
Ana Kljajevic-Obim i povrsina trougla i četvorouglaAna Kljajevic-Obim i povrsina trougla i četvorougla
Ana Kljajevic-Obim i povrsina trougla i četvorougla
 

Semelhante a Osna simetrija

Semelhante a Osna simetrija (20)

Konstruktovni zadaci(trougao)
Konstruktovni zadaci(trougao)Konstruktovni zadaci(trougao)
Konstruktovni zadaci(trougao)
 
Talesova teorema
Talesova teoremaTalesova teorema
Talesova teorema
 
VI разред - подударност троуглова
VI разред - подударност троугловаVI разред - подударност троуглова
VI разред - подударност троуглова
 
VI разред
VI разредVI разред
VI разред
 
Uporedjivanje - merenje površi
Uporedjivanje - merenje površiUporedjivanje - merenje površi
Uporedjivanje - merenje površi
 
Trigonometrijske funkcije oštrog ugla pravouglog trougla
Trigonometrijske funkcije oštrog ugla pravouglog trougla Trigonometrijske funkcije oštrog ugla pravouglog trougla
Trigonometrijske funkcije oštrog ugla pravouglog trougla
 
Translacija
TranslacijaTranslacija
Translacija
 
T r o u g a o
T r o u g a o T r o u g a o
T r o u g a o
 
Cetvorougao, paralelogram, pravougaonik, romb i kvadrat, trapez
Cetvorougao, paralelogram, pravougaonik, romb i kvadrat, trapezCetvorougao, paralelogram, pravougaonik, romb i kvadrat, trapez
Cetvorougao, paralelogram, pravougaonik, romb i kvadrat, trapez
 
VIII razred
VIII razredVIII razred
VIII razred
 
VIII razred
VIII razredVIII razred
VIII razred
 
VIII razred - Slicnost trouglova
VIII razred - Slicnost trouglovaVIII razred - Slicnost trouglova
VIII razred - Slicnost trouglova
 
Slicnost trouglova
Slicnost trouglovaSlicnost trouglova
Slicnost trouglova
 
Konstrukcija paralelograma
Konstrukcija paralelogramaKonstrukcija paralelograma
Konstrukcija paralelograma
 
Tanja
TanjaTanja
Tanja
 
Primene slicnosti na_pravougli_trougao
Primene slicnosti na_pravougli_trougaoPrimene slicnosti na_pravougli_trougao
Primene slicnosti na_pravougli_trougao
 
Osnovni geometrijski pojmovi
Osnovni geometrijski pojmoviOsnovni geometrijski pojmovi
Osnovni geometrijski pojmovi
 
Primena slicnosti na_krug_zlatni_presek
Primena slicnosti na_krug_zlatni_presekPrimena slicnosti na_krug_zlatni_presek
Primena slicnosti na_krug_zlatni_presek
 
1
11
1
 
Pravilni poligoni
Pravilni poligoniPravilni poligoni
Pravilni poligoni
 

Mais de Jelena Dobrivojevic (20)

Stepenovanje
StepenovanjeStepenovanje
Stepenovanje
 
Sistemi kvadratmih jednacina_sa%20dve%20nepoynate
Sistemi kvadratmih jednacina_sa%20dve%20nepoynateSistemi kvadratmih jednacina_sa%20dve%20nepoynate
Sistemi kvadratmih jednacina_sa%20dve%20nepoynate
 
Sinusna i kosinusna_teorema
Sinusna i kosinusna_teoremaSinusna i kosinusna_teorema
Sinusna i kosinusna_teorema
 
Osnovne trigonometrijske jednacine
Osnovne trigonometrijske jednacineOsnovne trigonometrijske jednacine
Osnovne trigonometrijske jednacine
 
Neke jednacine koje_se_svode_na_kvadratne
Neke jednacine koje_se_svode_na_kvadratneNeke jednacine koje_se_svode_na_kvadratne
Neke jednacine koje_se_svode_na_kvadratne
 
Logaritmi
LogaritmiLogaritmi
Logaritmi
 
Logaritamske jednacine i_nejednacine
Logaritamske jednacine i_nejednacineLogaritamske jednacine i_nejednacine
Logaritamske jednacine i_nejednacine
 
Logaritamska funkcija
Logaritamska funkcijaLogaritamska funkcija
Logaritamska funkcija
 
Kvadratna nejednacina
Kvadratna nejednacinaKvadratna nejednacina
Kvadratna nejednacina
 
Kvadratna funkcija
Kvadratna funkcijaKvadratna funkcija
Kvadratna funkcija
 
Korenovanje
KorenovanjeKorenovanje
Korenovanje
 
Kompleksni brojevi
Kompleksni brojeviKompleksni brojevi
Kompleksni brojevi
 
Iracionalne nejednacine
Iracionalne nejednacineIracionalne nejednacine
Iracionalne nejednacine
 
Iracionalne jednacine
Iracionalne jednacineIracionalne jednacine
Iracionalne jednacine
 
Graficko resavanje sistema
Graficko resavanje sistemaGraficko resavanje sistema
Graficko resavanje sistema
 
Grafici trigonometrijskih funkcija_ii_deo
Grafici trigonometrijskih funkcija_ii_deoGrafici trigonometrijskih funkcija_ii_deo
Grafici trigonometrijskih funkcija_ii_deo
 
Grafici trigonometrijskih funkcija_i_deo
Grafici trigonometrijskih funkcija_i_deoGrafici trigonometrijskih funkcija_i_deo
Grafici trigonometrijskih funkcija_i_deo
 
Eksponencijalne funkcije
Eksponencijalne funkcijeEksponencijalne funkcije
Eksponencijalne funkcije
 
Adicione formule
Adicione formuleAdicione formule
Adicione formule
 
Kvadratna jednacina
Kvadratna jednacinaKvadratna jednacina
Kvadratna jednacina
 

Osna simetrija

  • 1. OSNA SIMETRIJA Preslikavanje ravni, pri kojem se svaka tačka A te ravni preslikava u tačku A` , simetričnu sa A u odnosu na pravu s te ravni, nazivamo osnom simetrijom u odnosu na pravu ( osu ) s. Najčešća oznaka za osnu simetriju je I s . Naravno, vi obeležavajte kako kaže vaš profesor. Za dve figure F i F ` neke ravni kažemo da su simetrične u odnosu na pravu s te ravni ( osno simetrične) , ako svakoj tački P figure F odgovara tačka P` figure F ` , tako da je I s ( P ) = P` . Naravno, važi i obrnuto, svakoj tački Q` figure F ` odgovara tačka Q figure F tako da je I s ( Q ) = Q` . Osna simetrija se još naziva i osna refleksija ili samo refleksija. Evo nekoliko primera osno simetričnih figura sa jednom ili više osa simetrije… jedna osa simetrije jedna osa simetrije dve ose simetrije tri osa simetrije svaki precnik je / cetiri osa simetrije / osa simetrije Kao što vidimo na slikama, jednakokraki trapez i jednakokraki trougao imaju po jednu osu simetrije. Pravougaonik ima dve ose simetrije, jednakostranični trougao tri ose simetrije, kvadrat četiri ,dok je kod kruga svaki prečnik osa simetrije. www.matematiranje.com 1
  • 2. Pre nego li krenemo sa zadacima , podsetićemo se jedne konstrukcije koju moramo raditi ( ako zahteva profesor) kod svakog zadatka. Trebamo iz date tačke A konstruisati normalu na datu pravu p. A A A P Q p P Q p P Q p slika 1. slika 3. slika 2. Iz tačke A opišemo luk na pravoj p ( slika 1.) Ubodemo šestar u tačku P , uzmemo otvor malo veći od polovine rastojanja PQ i opišemo mali luk. Isti luk opišemo iz tačke Q ( slika 2.) Presek tih lukova spojimo sa tačkom A i eto normale…( slika 3.) Naravno, ako vaš profesor dozvoljava , lakše je koristiti prav ugao na trouglu ( lenjiru). primer 1. Datoj duži AB konstruisati duž A`B` simetričnu u odnosu na pravu s koja ne seče duž. Rešenje: B B B B` A A A A` s s s slika 1. slika 2. slika 3. Iz tačaka A i B konstruišemo normale na pravu s ( osa simetrije) što vidimo na slici 1. U tačkama u kojima normale seku osu zabodemo šestar i prebacimo rastojanja do A , odnosno B na drugu stranu, i dobili smo tačke A` i B` , što vidimo na slici 2. Spojimo dobijene tačke i eto tražene simetrične duži ( slika 3.) 2
  • 3. Napomena Pazite , ovo je konstrukcijski zadatak, što znači da bi trebalo raditi sve po koracima: analiza, konstrukcija, dokaz , diskusija. Mi ćemo vam objasniti kako se konkretno radi osna simetrija a vi , opet ponavljamo, ako vaš profesor traži, morate sve detaljno raditi... primer 2. Dat je trougao ABC. Konstruisati njemu simetričan trougao u odnosu na pravu s koja sadrži teme B tog trougla i ne seče stranicu AC. Rešenje: s s C C C` A A A` B B B` slika 1. slika 2. Ovde imamo jednu značajnu stvar da zapamtimo: ako je tačka na osi simetrije, onda se ona ne mora preslikavati, jer je njena osno simetrična tačka baš ta tačka, to jest B ≡ B`. Postupak je uvek isti, iz temena A i C povučemo normale na osu s i prebacimo rastojanja na drugu stranu ose s. Spojimo dobijene tačke i eto rešenja. primer 3. Prava s sadrži teme C kvadrata ABCD i seče stranicu AB. Konstruisati kvadrat simetričan kvadratu ABCD. www.matematiranje.com 3
  • 4. Rešenje: s s D C D C =C` - B` D` A B A B A` slika 1. slika 2. Tačka C je na osi , pa je C ≡ C ` a za ostale tačke radimo poznati postupak… primer 4. Dat je oštar ugao Oab i u njemu tačka C. Konstruisati tačke A i B, A ∈ a, B ∈ b tako da obim trougla ABC bude najmanji. Rešenje: C2 C2 C2 b b b B B C C C O a O A a O A a slika 1. slika 2. slika 3. C1 C1 C1 Najpre konstruišemo tačke C1 i C2 koje su simetrične sa tačkom C u odnosu na krake Oa i Ob. ( slika 1.) Spojimo duž C1 C2 . Presek ove duži sa kracima Oa i Ob nam daje tačke A i B ( slika 2.). Spojimo tačke A, B i C da dobijemo trougao najmanjeg obima. ( slika 3.) Naravno, sad se pitamo zašto je baš ovaj trougao najmanjeg obima? Njgov obim je O=AB + AC + BC, a kako je AC=A C1 i BC=B C2 , možemo reći da je obim : O=AB + A C1 + B C2 , odnosno, obim je duž C1 C2 . 4
  • 5. Ako bi uzeli neke dve druge tačke A1 i B1 , imali bismo: C2 b B C B1 O A1 A a C1 Obim ovog trougla bi bio: O = A1 B1 + A1 C + B1 C a kako je A1 C = A1 C1 i B1 C = B1 C2 to je obim : O = A1 B1 + A1 C1 + B1 C2 a to je izlomljena linija koja je sigurno kraća od C1 C2 . ( vidi sliku) primer 5. Dva broda, brod A i brod B nalaze se usidreni na moru, nedaleko od pravolinijske obale p. Sa broda A čamac treba da preveze jednog putnika do obale a zatim da dodje do broda B. Odrediti ( konstruisati) najkraći put kojim čamac treba da plovi da bi obavio postavljeni zadatak. Rešenje: Način razmišljanja je sličan kao u prethodnom zadatku: Brod B Brod B Brod A Brod A obala p P obala p A` A` slika 1. slika 2. 5
  • 6. Nadjemo tačku A` simetričnu sa A u odnosu na obalu p kao osu simetrije. Spojimo tačku A` sa tačkom B . U preseku te duži i prave p je tražena tačka P na kojoj treba iskrcati putnika. Dokaz da je ovo najkraći put kojim čamac plovi je analogan dokazu prethodnog zadatka. Recimo da se putnik iskrca na nekom drugom mestu, na primer u tački Q. Brod B Brod A obala p P Q A` Najkraći put koju smo našli konstrukcijski je AP+PB, odnosno A`P+PB , to jest A`P+PB=A`B. Putanja AQ+ QB je duža, jer je to ustvari putanja A`Q+ QB , koja predstavlja zbir dve stranice trougla A`QB, a znamo da je zbir dve stranice uvek veći od dužine treće stranice! www.matematiranje.com 6