1. МЕТОДИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ И
ОБРАТНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
Выполнили:
студентки группы 08ФАПИ
спец. 080801 «ПИ в экономике»
Воинова А.В., Курилова Е.И.
Научный руководитель:
Часов К.В., кпн, доцент кафедры ОНД АМТИ
В математике зачастую применяют так называемые обратные опера-
ции. К ним относятся: умножение – деление, сложение – вычитание, диффе-
ренцирование – интегрирование, и т.д.
Изучение обратных операций позволяет, несомненно, лучше понять
изучаемый материал, подметить «тонкости» в теории. Поставленная задача
может быть легче проанализирована и распознана. В результате будет проще
составить план решения и, собственно, решить задачу.
Заметим, что только выполняя обратные операции можно увидеть и
осознать те логические связи в соответствующем разделе или теме (а также и
между ними), которые до этого были не известны, или воспринимались фор-
мально, со слов учителя, без обдумывания.
Умение видеть и выполнять обратные операции позволяют иной раз за-
метить кроме стандартных способов решения поставленной задачи и нестан-
дартные.
Так, к примеру, в прошлом учебном году студент Кендюхов Вадим из
группы 07-ФА-ПИ нестандартно подошел к действиям над квадратными мат-
рицами. Он предложил для нахождения неизвестной матрицы-множителя
следующий метод решения. Вместо «классической» схемы действий, в кото-
рой необходимо найти обратную матрицу, он нашел неизвестное по извест-
ным данным (результату умножения и другой матрице-множителю) просто
разделив матрицу-произведение на известную матрицу-множитель.
Очевидно, что это уже не просто обратная операция, а новый метод вы-

2. числения неизвестной матрицы, модификация собственных знаний.
Самостоятельное получение выведенных формул значит для студента
намного больше, чем информация, сообщенная учителем не лекции или
заученная накануне коллоквиума или экзамена. Кроме того, выполняется зна-
чительное множество математических операций, применяются полученные
ранее знания.
Предложенный Кендюховым метод деления квадратных матриц может
быть использован для решения, к примеру, такого задания, как № 412 из
«Сборника задач по высшей алгебре» Д.К.Фаддеева и И.С.Соминского.
Решить систему (в матрицах второго порядка):
Задание приведено в параграфе «Обратная матрица» главы «Системы
линейных уравнений, матрицы, квадратичные формы», и предполагается, что
решать его необходимо с помощью вычисления обратных матриц.
Зная операцию вычисления обратной матрицы, студенты обычно реша-
ют приведённый выше пример следующим образом (планируют применение
математических операций по методу Гаусса):
1. Вычисляют обратную матрицу для матрицы-множителя при матрице
Х в первом уравнении;
2. Умножают на неё первое уравнение, получая при матрице Х единич-
ную матрицу;
3. Умножают слева обе части первого уравнения на матрицу-множи-
тель при матрице Х второго уравнения;
4. Вычитают из второго уравнения полученное новое уравнение пер-
вое;
5. Во втором уравнении остается неизвестной только матрица У, для её
матрицы-множителя вычисляют обратную матрицу;
6. На полученную матрицу умножают слева обе части второго уравне-

3. ния, после чего в левой части получают искомую матрицу У;
7. Подставляют матрицу У в первое уравнение и получают матрицу Х
Мы предлагаем применить к решению примера правила, полученные
Вадимом Кендюховым. С этой целью, опять же применяя метод Гаусса реше-
ния систем линейных уравнений
1. Делим обе части первого уравнения слева на матрицу-множитель
при матрице Х;
2. Умножаем обе части первого уравнения слева на матрицу-множи-
тель при матрице Х второго уравнения;
3. Вычитаем из обеих частей второго уравнения соответствующие ча-
сти полученного первого уравнения – во втором уравнении слева останется
только произведение некоторой известной матрицы и матрицы У;
4. Делим обе части второго уравнения слева на известную матрицу –
множитель при матрице У – получим искомую матрицу У;
5. Подставляем матрицу У в первое уравнение, полученное после пер-
вого шага алгоритма, получаем искомую матрицу Х.
Очевидно, что оба способа, и стандартный и нестандартный, приводят
к одному и тому же результату, что и было продемонстрировано во время
студенческой научной конференции. На наш взгляд, нестандартный способ
проще и «прозрачнее». Процесс получения обратной матрицы весьма искус-
ственный, хотя для чего её получают – очевидно.
Следующим рассмотрим вопрос об арифметических операциях над не-
квадратными матрицами. Рассматривать будем только так называемые согла-
сованные матрицы (не всякие неквадратные матрицы можно перемножать).
Решая аналогично приведённым ранее рассуждениям задачу нахожде-
ния неизвестной матрицы-множителя по известным множителю и произведе-
нию для неквадратных матриц, получим систему уравнений, в которой коли-
чество переменных и количество уравнений не совпадает. Как известно, в
этом случае решение системы может быть получено в бесчисленном виде
(т.е. решений – бесконечное множество).

4. Тем самым, можно сделать вывод о том, что в случае перемножения
неквадратных согласованных матриц обратная операция (нахождения неиз-
вестной матрицы-множителя по известной другой и результату) приводит к
множественному результату (единственность решения нарушается). И, толь-
ко в частных случаях возможно единственное решение.
Нами также замечено, что чем больше различается количество строк и
столбцов в рассматриваемых матрицах, тем большая неопределенность воз-
никает в решении.
Таким образом, мы можем сказать, что в некоторых случаях примене-
ние обратных математических операций приводит к однозначному результа-
ту, в других же возникает неопределённость (неоднозначность) в решении. С
методической точки зрения применение прямых и обратных математических
операций очень важно – позволяет заметить в учебном материале взаимо-
связь, осваивается такой учебный материал заметно глубже и основательней,
переходя из информативных сведений в наши долговременные знания. Важ-
ной стороной исследования явилась также работа с литературными источни-
ками, на что в школе практически не уделялось времени.
Исследование, аналогичное проведённому нами, несомненно, влияет на
интеллектуальное развитие, творческую самостоятельность студентов (в
частности, нашу).
Литература:
1. Кендюхов В.С., Часов К.В. Операция деления матрицы на матрицу (квад-
ратные). Сборник студенческих работ, отмеченных наградами XIV студенче-
ской научной конференции АМТИ. – Армавир: Изд-воАМТИ.– Вып.1, 2008
2. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. Учебное
пособие для студентов физмат специальностей вузов.– М.: Наука, 1977