matek I

1. A. OPERASI MATRIKS
1. Penjumlahan Matriks
Jika matriks A dan B memiliki ordo yang sama, maka jumlah matriks A dan B adalah
matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen
matriks B yang bersesuaian (seletak). Jumlah matriks A dan B dinotasikan dengan A + B.
Contoh : Diketahui : 𝐴 = [
1 0 −1
2 −3 5
], 𝐵 = [
−1 1 0
4 3 −2
], 𝐶 = [
−2 1
5 0
], dan
𝐷 = [
1 −2
−4 3
]
Tentukanlah :
a. A + B b. B + A c. C + D d. D + C e. A + C
Pembahasan : a. 𝐴 + 𝐵 = [
1 0 −1
2 −3 5
] + [
−1 1 0
4 3 −2
]
= [
1 + (−1) 0 + 1 −1 + 0
2 + 4 −3 + 3 5 + (−2)
] = [
0 1 −1
6 0 3
]
b. 𝐵 + 𝐴 = [
−1 1 0
4 3 −2
] + [
1 0 −1
2 −3 5
]
= [
−1 + 1 1 + 0 0 + (−1)
4 + 2 3 + (−3) −2 + 5
] = [
0 1 −1
6 0 3
]
c. 𝐶 + 𝐷 = [
−2 1
5 0
] + [
1 −2
−4 3
] = [
−1 −1
1 3
]
d. 𝐷 + 𝐶 = [
1 −2
−4 3
] + [
−2 1
5 0
] = [
−1 −1
1 3
]
e. Karena ordo A ≠ ordo C maka A + C dikatakan tidak terdefinisi.
Dari contoh terlihat oleh kita bahwa matriks A + B = B + A, dimana matriks A dan B
memiliki ordo yang sama. Dengan demikian, pada penjumlahan matriks berlaku sifat
komutatif.
Bukti : Misalkan = (𝑎𝑖𝑗 )
𝑚×𝑛
, 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)
𝑚×𝑛
,dan 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)
𝑚×𝑛
, dengan
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗. Oleh karena elemen-elemen matriks A maupun matriks B adalah
bilangan real yang mengikuti pada hokum komutatif,
maka 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 + 𝑎𝑖𝑗 . Sehingga dapat dikatakan A + B = B + A
(terbukti).
Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan menjadi matriks C (ditulis C = A + B) jika dan hanya
jika:
1) Ordo C = ordo A = ordo B
2) 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 untuk semua 𝑖 ∈ baris dan 𝑗 ∈ kolom
Apabila A dan B adalah dua matriks yang berordo sama maka A + B = B + A. Sifat
tersebut dinamakan sifat komutatif penjumlahan dua matriks.

2. Lalu, apakah sifat asosiatif berlaku dalam penjumlahan matriks? Untuk dapat menjawab
pertanyaan itu coba simaklah contoh berikut.
Contoh : Diketahui : 𝐴 = [
−1 0
3 2
], 𝐵 = [
−2 4
1 −5
] , dan 𝐶 = [
3 −3
−1 4
]
Tentukanlah : a. A + B + C b. (A + B) + C c. A + (B + C)
Pembahasan : a. 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = [
−1 0
3 2
] + [
−2 4
1 −3
] + [
3 −3
−1 4
]
= [
−1 + (−2) + 3 0 + 4 + (−3)
3 + 1 + (−1) 2 + (−5) + 4
] = [
0 1
3 1
]
b. ( 𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = [[
−1 0
3 2
] + [
−2 4
1 −5
]] + [
3 −3
−1 4
]
= [
−1 + (−2) 0 + 4
3 + 1 2 + (−5)
] + [
3 −3
−1 4
]
= [
−3 4
4 −3
] + [
3 −6
−1 4
] = [
0 1
1 3
]
c. 𝐴 + ( 𝐵 + 𝐶) = [
−1 0
3 2
] + [[
−2 4
1 −5
] + [
3 −3
−1 4
]]
= [
−1 0
3 2
] + [
1 1
0 −1
] = [
0 1
3 1
]
Dari Contoh di atas dapat kita ketahui bahwa pada penjumlahan matriks berlaku sifat
asosiatif.
Bukti : Misalkan 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )
𝑚×𝑛
, 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)
𝑚×𝑛
, dan 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)
𝑚× 𝑛
. Oleh karena
elemen-elemen matriks A, B, dan C merupakan bilangan real yang mengikuti
pada hukum assosiatif, maka berlaku hubungan-hubungan:
𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 + 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + (𝑏𝑖𝑗 + 𝑐𝑖𝑗) = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗) + 𝑐𝑖𝑗,sehingga dapat
dikatakan 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + ( 𝐵 + 𝐶) = ( 𝐴 + 𝐵) + 𝐶 (terbukti).
2. Pengurangan Matriks
Telah kita ketahui bahwa jika a dan b dua bilangan real, maka berlaku :
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) dengan – 𝑏 adalah lawan dari b.
karena setiap matriks mempunyai matriks lawan, maka sama seperti pada bilangan real,
pada matriks pun berlaku:
Dengan kata lain, pengurangan matriks A oleh matriks B dilakukan dengan cara
menjumlahkan amtriks A dengan lawan dari matriks B.
Contoh : Diketahui matriks 𝐴 = [
2 −1
−3 4
] dan 𝐵 = [
−5 −2
2 6
]
Tentukanlah matriks 𝐴 − 𝐵 !
Pembahasan : 𝐴 − 𝐵 = [
2 −1
−3 4
] − [
−5 −2
2 6
] = [
2 −1
−3 4
] + [
5 2
−2 −6
] = [
7 1
−5 −2
]
Apabila A, B, dan C adalah tiga matriks yang berordo sama, maka A + B + C = A + (B + C)
= (A + B) + C . Sifat tersebut dinamakan sifat asosiatif penumlahan matriks.
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵)

3. Contoh : Diketahui matriks 𝐴 = [
1 −3
2 −1
] , 𝐵 = [
2 −1
1 3
], dan 𝐶 = [
−1 3
4 −2
].
Tentukanlah: a. 𝐴 − 𝐵 c. (𝐴 − 𝐵) − 𝐶
b. 𝐵 − 𝐴 d. 𝐴 − (𝐵 − 𝐶)
Pembahasan : a. 𝐴 − 𝐵 = [
1 −3
2 −1
] − [
2 −1
1 3
] = [
1 + (−2) −3 + 1
2 + (−1) −1 + (−3)
] = [
−1 −2
1 −4
]
b. 𝐵 − 𝐴 = [
2 −1
1 3
] − [
1 −3
2 −1
] = [
2 + (−1) −1 + 3
1 + (−2) 3 + 1
] = [
1 2
−1 4
]
c. ( 𝐴 − 𝐵) − 𝐶 = [(
1 −3
2 −1
) − (
2 −1
1 3
)] − [
−1 3
4 −2
]
= [(
−1 −2
1 −4
) − (
−1 3
4 −2
)] = [
0 −5
−3 −2
]
d. 𝐴 − ( 𝐵 − 𝐶) = [
1 −3
2 −1
] − [(
2 −1
1 3
) − (
−1 3
4 −2
)]
= [
1 −3
2 −1
] − [
3 −4
−3 5
] = [
−2 1
5 −6
]
Dari Contoh di atas dapat kita ketahui bahwa dalam pengurangan matriks tidak berlaku
sifat komutatif dan asosiatif.
Contoh : Apabila A adalah matriks persegi berordo 2, selesaikanlah tiap persamaan
berikut!
a. 𝐴 + [
3 2
−1 4
] = [
5 −1
1 6
]
b. [
−1 3
0 −2
] + 𝐴 = [
2 −1
1 4
]
Pembahasan : a. 𝐴 + [
3 2
−1 4
] = [
5 −1
1 6
] ⇔ 𝐴 = [
5 −1
1 6
] − [
3 2
−1 4
] = [
2 −3
2 2
]
b. [
−1 3
0 −2
] + 𝐴 = [
2 −1
1 4
] ⇔ 𝐴 = [
2 −1
1 4
] − [
−1 3
0 −2
] = [
3 −1
1 6
]
3. Perkalian Matriks
a. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real
Perkalian bilangan real k dengan matriks A ditulis kA adalah suatu matriks yang
elemen-elemennya diperoleh dengan cara mengalikan setiap elemen matriks A dengan
bilangan real k.
Dengan demikian, jika 𝐴 = [ 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
], maka 𝑘𝐴 = [ 𝑘𝑎 𝑘𝑏
𝑘𝑐 𝑘𝑑
].
Telah kita ketahui bahwa untuk sembarang bilangan real a berlaku:
𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴
( 𝐴 − 𝐵) − 𝐶 ≠ 𝐴 − (𝐵 − 𝐶)
Dua matriks A dan C dapat memenuhi persamaan C = kA jika dan hanya jika:
1. k bilangan real, A dan C matriks berordo sama.
2. 𝑐𝑖𝑗 = 𝑘𝑎 𝑖𝑗 untuk semua 𝑖 ∈ baris dan 𝑗 ∈ kolom.

4. 𝑎 + 𝑎 = 2𝑎
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 3𝑎
Lalu, apakah pada matriks berlaku bahwa A + A = 2A, A + A + A = 3A, dan
seterusnya? Untuk mengetahuinya, simaklah uraian berikut.
Matriks 𝐴 = [
1 2
3 5
], maka berdasarkan definisi penjumlahan matriks diperoleh:
𝐴 + 𝐴 = [
1 2
3 5
] + [
1 2
3 5
] = [
1 + 1 2 + 2
3 + 3 5 + 5
] = [
2.1 2.2
2.3 2.5
] = 2 [
1 2
3 5
] = 2𝐴
𝐴 + 𝐴 + 𝐴 = [
1 2
3 5
] + [
1 2
3 5
] + [
1 2
3 5
]
= [
1 + 1 + 1 2 + 2 + 2
3 + 3 + 3 5 + 5 + 5
] = [
3.1 3.2
3.3 3.5
] = 3[
1 2
3 5
] = 3𝐴
Dengan demikian pada matriks berlaku A + A + … + A = kA sebanyak k.
Contoh : Dikethaui: 𝐴 = [
1 2
3 5
] dan 𝐵 = [
3 1
4 6
]
Tentukanlah bentuk yang paling sederhana dari matriks:
a. 3A b. A + 2B c. 2𝐴 − 3𝐵
Pembahasan : a. 3𝐴 = 3 [
1 2
3 5
] = [
3.1 3.2
3.3 3.5
] = [
3 6
9 15
]
b. 𝐴 + 2𝐵 = [
1 2
3 5
] + 2 [
3 1
4 6
] = [
1 2
3 5
] + [
6 2
8 12
] = [
7 4
11 17
]
c. 2𝐴 − 3𝐵 = 2[
1 2
3 5
] − 3[
3 1
4 6
] = [
2 4
6 10
] − [
9 3
12 18
] = [
−7 −1
−6 −8
]
Sama halnya dengan penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian matriks
dengan bilangan real memenuhi sifat-sifat tertentu, seperti yang tercantum dalam sifat
berikut.
Contoh : Dikethaui 𝐴 = [
3 0
1 −2
] 𝑑𝑎𝑛 3𝐴 + 3𝐵 = [
6 9
−3 0
]
Tentukan matriks B.
Pembahasan : 3𝐴 + 3𝐵 = 3(𝐴 + 𝐵) = [
6 9
−3 0
] = 3[
2 3
−1 0
]
Dengan demikian, 𝐴 + 𝐵 = [
2 3
−1 0
]
𝐴 + 𝐵 = [
2 3
−1 0
] ⇔ [
3 0
1 −2
] + 𝐵𝐴 = [
2 3
−1 0
]
𝐵 = [
2 3
−1 0
] − [
3 0
1 −2
] = [
−1 3
0 2
]
Jadi, 𝐵 = [
−1 3
0 2
]
Apabila k dan l adalah bilangan-bilangan real, A dan B adalah matriks berordo 𝑚 ×
𝑛, maka:
1. ( 𝑘 + 𝑙) 𝐴 = 𝑘𝐴 + 𝑙𝐴 4. 1𝐴 = 𝐴
2. 𝑘( 𝐴 + 𝐵) = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵 5. (−1) 𝐴 = −𝐴
3. 𝑘(𝑙𝐴) = ( 𝑘𝑙) 𝐴

5. B. Perkalian Matriks
Dua buah matriks A dan B sepadan untuk dikalikan, artinya matriks A dapat dikalikan
dengan matriks B, jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak kolom matriks B.
Sementara hasil perkalian matriks A dengan matriks B ditentukan dengan cara
mengalikan baris-baris matriks A dengan kolom-kolom matriks B kemudian
menjumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom tersebut.
Contoh : Di antara matriks-matriks berikut, manakah yang dapat dikalikan?
𝐴 = [
1
2
], 𝐵 = [
−1 2
0 5
], 𝐶 = [
0 3
1 2
−2 6
] , dan 𝐷 = [4 7]
Pembahasan : Diketahui matriks 𝐴2×1, 𝐵2×2, 𝐶3×2, dan 𝐷1×2.
Berdasarkan definisi 3.4, maka matriks-matriks yang dapat dikalikan adalah:
1. 𝐴2×1 . 𝐷1×2 4. 𝐶3×2 . 𝐵2×2
2. 𝐵2×2 . 𝐴2×1 5. 𝐷1×2 . 𝐴2×1
3. 𝐶3×2 . 𝐴2×1 6. 𝐷1×2 . 𝐵2×2
a. Perkalian Matriks Berordo ( 𝟏 × 𝒏) dengan matriks berordo ( 𝒏 × 𝟏)
Apabila A adalah matriks baris berordo 1 × 𝑛 dan B adalah matriks kolom berordo 𝑛 × 1
maka hasil perkalian matriks A dengan matriks B, misal C, adalah matriks baru berordo 1 ×
1. Matriks 𝐶1×1 adalah suatu skalar.
Misalkan 𝐴 = [ 𝑎11 𝑎12 𝑎13] dan 𝐵 = [
𝑏11
𝑏21
𝑏31
]
Maka 𝐴 . 𝐵 = [ 𝑎11 𝑎12 𝑎13] [
𝑏11
𝑏21
𝑏31
] = [ 𝑎11 𝑏11 + 𝑎12 𝑏21 + 𝑎13 𝑏31 ]
Contoh : Diketahui 𝐴 = [−1 2 5] dan 𝐵 = [
3
6
−2
]
Tentukanlah hasil perkalian matriks A dan B !
Pembahasan : 𝐴 . 𝐵 = [−1 2 5][
3
6
−2
] = [−1 . 3 + 2 . 6 + 5(−2)] = (−1)
b. Perkalian Matriks Berordo ( 𝒎 × 𝒏) dengan Matriks Berordo ( 𝒏 × 𝟏)
Apabila A adalah matriks berordo 𝑚 × 𝑛 dan B adalah matriks berordo 𝑛 × 1, maka hasil
perkalian matriks A dengan matriks B misal C adalah matriks baru berordo ( 𝑚 × 1).
Dua matriks A dan B dapat dikalikan dan menghasilkan matriks C jika dan
hanya jika:
1) 𝐶 𝑚×𝑛 = 𝐴 𝑚×𝑝 . 𝐵 𝑝×𝑛
2) 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖1 𝑏1𝑗 + 𝑎 𝑖2 𝑏2𝑗 + ⋯+ 𝑎 𝑖𝑝 𝑏 𝑝𝑗
Definisi :

6. Misalkan 𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
] dan 𝐵 = [
𝑏11
𝑏21
𝑏31
].
Maka 𝐴 . 𝐵 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
][
𝑏11
𝑏21
𝑏31
] = [
𝑎11 𝑏11 + 𝑎12 𝑏21 + 𝑎13 𝑏21
𝑎21 𝑏11 + 𝑎22 𝑏21 + 𝑎23 𝑏31
]
Contoh : Tentukanlah hasil dari: [
1 2 3
4 5 2
] [
−1
3
−5
]
Pembahasan : [
1 2 3
4 5 2
][
−1
3
−5
] = [
1(−1)+ 2.3 + 3(−5)
4(−1)+ 5.3 + 2(−5)
] = [
−10
1
]
c. Perkalian Matriks Berordo 𝒎 × 𝒏 dengan matriks berordo 𝒏 × 𝒑
Apabila A adalah matriks berordo 𝑚 × 𝑛 dan B adalah matriks berordo 𝑛 × 𝑝, maka hasil
perkalian matriks A dengan B, missal C, adalah matriks baru berordo 𝑚 × 𝑝.
Misalkan matriks 𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] dan 𝐵 = [
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
]
Maka 𝐴 . 𝐵 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
][
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
] = [
𝑎11 𝑏11 + 𝑎12 𝑏21 𝑎11 𝑏12 + 𝑎12 𝑏22
𝑎21 𝑏11 + 𝑎22 𝑏21 𝑎21 𝑏12 + 𝑎22 𝑏22
]
Contoh : Diketahui matriks 𝐴 = [
2 −1 3
−4 2 0
] 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = [
1 −2
3 −2
−1 2
]
Tentukanlah matriks 𝐴 . 𝐵!
Pembahasan : 𝐴 . 𝐵 = [
2 −1 3
−4 2 0
][
1 −2
3 −2
−1 2
]
= [
2.1 + (−1)3+ 3(−1) 2(−1) + (−1)(−2)+ 3.2
−4.1 + 2.3 + 0(−1) −4(−1) + 2(−2) + 0.2
] = [
−4 6
2 0
]
Contoh : Diketahui matriks 𝐴 = [
4 1
3 𝑎
], 𝐵 = [
−1 𝑎
2𝑎 + 𝑏 7
] , dan 𝐶 = [1 15
7 20
]
Jika 𝐴 . 𝐵 = 𝐶, tentukanlah nilai a dan b !
Pembahasan : 𝐴 . 𝐵 = 𝐶
[
4 1
3 𝑎
] [
−1 𝑎
2𝑎 + 𝑏 7
] = [
1 15
7 20
]
[
−4 + 2𝑎 + 𝑏 4𝑎 + 7
−3 + 𝑎(2𝑎 + 𝑏) 3𝑎 + 7𝑎
] = [
1 15
7 20
]
Diperoleh: 1) 4𝑎 + 7 = 15 , maka 𝑎 = 2
1) −4 + 2𝑎 + 𝑏 = 1 ⇔ −4 + 2 . 2 + 𝑏 = 1 ⇔ 𝑏 = 1
Jadi, nilai 𝑎 = 2 dan 𝑏 = 1
d. Sifat-sifat Perkalian Matriks
Pada bahasan sebelumnya kita telah mempelajari sifat-sifat penjumlahan dan
pengurangan matriks. Apakah sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan atau pengurangan

7. matriks berlaku pula pada perkalian matriks? Untuk mengetahuinya, simaklah beberapa
contoh berikut.
Contoh : Diketahui matriks: 𝐴 = [
1 2
4 −3
], 𝐵 = [
3 −1
5 2
] , dan 𝐶 = [
−2 4
3 −1
]
Tentukanlah: a. 𝐴 . 𝐵 d. 𝐴( 𝐵 . 𝐶)
b. 𝐵 . 𝐴 e. 𝐴( 𝐵 + 𝐶)
c. ( 𝐴 . 𝐵) 𝐶 f. 𝐴 . 𝐵 + 𝐴 . 𝐶
Pembahasan : a. 𝐴 . 𝐵 = [
1 2
4 −3
][
3 −1
5 2
] = [
3 + 10 −1 + 4
12 + (−15) −4 + (−6)
]
= [
13 3
−3 −10
]
b. 𝐵 . 𝐴 = [
3 −1
5 2
][
1 2
4 −3
] = [
3 + (−4) 6 + 3
5 + 8 10 + (−6)
] = [
−1 9
13 4
]
c. ( 𝐴 . 𝐵) 𝐶 = ([
1 2
4 −3
] [
3 −1
5 2
]) [
−2 4
3 −1
] = [
13 3
−3 −10
] [
−2 4
3 −1
]
= [
−26 + 9 52 + (−3)
6 + (−30) −12 + 10
] = [
−17 49
−24 −2
]
d. 𝐴( 𝐵 . 𝐶) = ([
1 2
4 −3
] [
3 −1
5 2
] [
−2 4
3 −1
]) = [
1 2
4 −3
] [
−9 13
−4 18
]
= [
−9 + (−8) 13 + 36
−36 + 12 52 + (−54)
] = [
−17 49
−24 −2
]
e. 𝐵 + 𝐶 = [
3 −1
5 2
] + [
−2 4
3 −1
] = [
1 3
8 1
]
𝐴( 𝐵 + 𝐶) = [
1 2
4 −3
][
1 3
8 1
] = [
17 5
−20 9
]
f. 𝐴 . 𝐶 = [
1 2
4 −3
] [
−2 4
3 −1
] = [
4 2
−17 19
]
𝐴 . 𝐵 + 𝐴 . 𝐶 = [
13 3
−3 −10
] + [
4 2
−17 19
] = [
17 5
−20 9
]
Dari contoh di atas terlihat oleh kita bahwa matriks 𝐴 . 𝐵 ≠ 𝐵 . 𝐴, sementara
( 𝐴 . 𝐵) 𝐶 = 𝐴( 𝐵 . 𝐶) dan 𝐴( 𝐵 + 𝐶) = 𝐴 . 𝐵 + 𝐴 . 𝐶. Dengan demikian, pada perkalian
matriks tidak berlaku sifat komutatif, tetapi berlaku sifat asosiatif dan distributif.
Kita ingat kembali bahwa pada penjumlahan matriks, ada matriks identitas yaitu matriks
nol (𝑂) sehingga 𝐴 + 𝑂 = 𝑂 + 𝐴. Pada perkalian matriks, ada pula matriks identitas, tetapi
bukan matriks nol (O), melainkan matriks satuan I. matriks satuan ( 𝐼) adalah matriks persegi,
missal berordo n, yang semua elemen; diagonal 𝑎11 = 𝑎22 = 𝑎33 = ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 = 1 dan elemen
lainnya nol. Beberapa contoh matriks satuan adalah:
Apabila A, B, dan C adalah matriks-matriks yang sepadan untuk dikalikan, maka
berlaku sifat-sifat perkalian matriks, yaitu:
1) Tidak bersifat komutatif, kecuali untuk matriks-matriks khusus. 𝐴. 𝐵 ≠ 𝐵. 𝐴
2) Bersifat asosiatif, ( 𝐴 . 𝐵) 𝐶 = 𝐴( 𝐵 . 𝐶)
3) Bersifat distributif, 𝐴( 𝐵+ 𝐶) = 𝐴 . 𝐵 + 𝐴 . 𝐶
Sifat 1:

8. 𝐼 = [
1 0
0 1
], 𝐼 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] , 𝑑𝑎𝑛 𝐼 = [
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
]
Bagaimanakah sifat matriks nol dan matriks identitas I terhadap perkalian matriks?
Simaklah sifat-sifat perkalian matriks berikut.
Contoh : Dikethaui matriks: 𝐴′
= [
2 1
−3 5
] dan 𝐵′
= [
4 5
−1 3
]
Tentukanlah matriks 𝐴 . 𝐵.
Pembahasan : ( 𝐴 . 𝐵)′
= 𝐵′
. 𝐴′
= [
4 5
−1 3
][
2 1
−3 5
] = [
−7 29
−11 14
]
𝐴 . 𝐵 = [( 𝐴 . 𝐵)′]′
= [
−7 −11
29 14
]
e. Pemangkatan Matriks Persegi
Apabila A adalah sebuah matriks persegi, maka pemangkatan matriks A didefinisikan
sebagai berikut. Apabila A adalah sebuah matriks persegi, maka pemangkatan matriks A
didefinisikan sebagai berikut.
𝐴2
= 𝐴 . 𝐴, 𝐴3
= 𝐴 . 𝐴2
, 𝐴4
= 𝐴 . 𝐴3
,
Contoh : Diketahui 𝐴 = [
1 −3
2 5
] dan 𝐵 = [
2 −1
0 3
]
Tentukanlah: a. 𝐴2
+ 𝐵 b. 𝐴3
c. ( 𝐴 + 𝐵)2
Pembahasan : a. 𝐴2
= 𝐴 . 𝐴 = [
1 −3
2 5
] [
1 −3
2 5
] = [
−5 −18
12 19
]
𝐴2
+ 𝐵 = [
−5 −18
12 19
] + [
2 −1
0 3
] = [
−3 −19
12 22
]
b. 𝐴3
= 𝐴 . 𝐴2
= [
1 −3
2 5
] [
−5 −18
12 19
] = [
−41 −75
5 59
]
c. 𝐴 + 𝐵 = [
1 −3
2 5
] + [
2 −1
0 3
] = [
3 −4
2 8
]
( 𝐴 + 𝐵)2
= ( 𝐴 + 𝐵)( 𝐴 + 𝐵) = [
3 −4
2 8
][
3 −4
2 8
] = [
1 −44
22 56
]
Pada perkalian matriks,
1) Ada matriks identitas I sehingga AI = IA = A
2) Jika 𝐴 . 𝐵 = 𝑂, maka belum tentu 𝐴 = 𝑂 atau 𝐵 = 𝑂
3) Jika 𝐴 . 𝐵 = 𝐴 . 𝐶, maka belum tentu 𝐵 = 𝐶
4) ( 𝐴 . 𝐵)′ = 𝐵′ . 𝐴′
Sifat 2 :
Sifat 2 (4)
Ingat ( 𝑨′)′
= 𝑨