1. CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES
1 Introduction à la fonction exponentielle
1. Équation différentielle
G On appelle équation différentielle une égalité dans laquelle figurent
une fonction et ses dérivées successives. Les solutions d’une telle équation
sont des fonctions.
G Théorème
Il existe une unique fonction non nulle, dérivable sur telle que f ′ = f
et f ( 0 ) = 1, qui soit solution de l’équation différentielle f ′ = kf.
Cette fonction est la fonction exponentielle notée exp.
G Conséquences : ( ∀x ∈ ) exp′x = exp x
exp 0 = 1
On note : exp x = e x .
2. Propriétés
• Propriété fonctionnelle caractéristique des fonctions exponentielles :
( ∀x ∈ ) ( ∀y ∈ ) f(x + y) = f(x) × f(y)
soit exp ( x + y ) = ( exp x ) × ( exp y )
ou bien e x + y = e x × e y .
• Quels que soient les réels x et y :
exp x 0 ⇔ e x 0
exp x ex
------------- = exp ( x – y ) ⇔ ---- = e x – y
- -
exp y ey
1 1
------------- = exp ( – y ) ⇔ e –y = ----
-
exp y ey
n ∈ , ( exp x ) n = exp ( nx ) ⇔ ( e x ) n = e nx .
3. Conséquences
La fonction exponentielle base e, dont la dérivée est elle-même, est stricte-
ment croissante sur . Elle est continue et bijective.
( ∀x ∈ ) ( ∀y ∈ ), exp x = exp y ⇔ x = y (bijection)
exp x exp y ⇔ x y (stricte croissance).
182

2. cours savoir-faire exercices corrigés
exemples d’application
³ En utilisant la définition de la fonction exponentielle et la propriété caracté-
1
ristique, démontrer que pour tout réel x : exp x 0 et exp ( – x ) = ------------- .
-
exp x
corrigé commenté
• Pour montrer que exp x 0, il est nécessaire de prouver qu’il n’existe pas de réel
x 0 tel que exp x 0 = 0.
Supposons qu’il existe un réel x0 tel que exp x 0 = 0, alors pour tout réel x :
exp x = exp ( x 0 + ( x – x 0 ) ) = exp x 0 × exp ( x – x 0 ) = 0 donc la fonction « exp »
serait la fonction nulle, ce qui contredit la définition.
x x
Par ailleurs ( ∀x ∈ ) exp ( x ) = exp  -- + --  = exp  --  × exp  --  .
x x
- - - -
 2 2  2  2
x 2
Soit exp ( x ) =  exp --  d’où
- exp x 0.
 2
• exp 0 = 1 ⇔ exp ( x + ( – x ) ) = 1 ⇔ exp x × exp ( – x ) = 1
soit :
1
exp ( – x ) = -------------
- car exp x ≠ 0.
exp x
· Simplifier les écritures des nombres a et b suivants :
exp ( – 3 ) × ( exp ( 3 ) ) exp ( – x ) × ( exp x ) 2
a = ----------------------------------------------------
- et b = ------------------------------------------------- .
-
( exp 1 ) 2 exp x
corrigé commenté
Il est souvent plus facile d’utiliser la notation e x pour expx.
e –3 × e 3 e0 1 1
a = ------------------- = ---- = ---- d’où a = ----
- - -.
( e1 )2 e2 e2 e2
e– x × ( ex )2
b = -------------------------- = e – x × e 2x × e – x = e 0 d’où
- b = 1.
ex
183

3. CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES
2 Étude de la fonction exponentielle base e
1. Étude et représentation graphique
G Lafonction exponentielle base e est continue et bijective et elle admet la
fonction logarithme népérien pour fonction réciproque.
∗
• x∈ et exp x = y ⇔ x = ln y avec y ∈ +
d’où ln ( exp x ) = x et exp ( ln x ) = x.
• lim exp x = 0 ; lim exp x = + ∞
x → –∞ x → +∞
donc la droite d’équation y = 0 est asymptote à la courbe représentative
de la fonction « exp ».
• e ≈ 2,718.
x –∞ 0 1 +∞ e B
exp′ ( x ) + + +
+∞ 1
e A
exp exp
1
0 0 1
Remarques
La tangente en A à exp a pour équation y = x + 1 et la tangente en B a pour
équation y = ex.
Les courbes représentant ln et exp sont symétriques l’une de l’autre par rapport
à la droite d’équation y = x.
2. Limites remarquables et croissances comparées
ex –1
• lim ------------- = 1 ; exp x ≈ 1 + x dans un voisinage de zéro.
-
x→0 x
ex
lim ---- = + ∞ ; lim xe x = 0 ;
-
x → +∞ x x→– ∞
ex
lim ----- = 0 ; avec α 0 ;
x → + ∞ xα
lim x α e x = 0 ; avec α 0.
x→–∞
ln x
• lim --------- ; avec α 0.
x → + ∞ xα
an
• Si α 0 et a 1, lim ----- = + ∞.
-
nα
184

4. cours savoir-faire exercices corrigés
exemples d’application
³ Soit f et g deux fonctions telles que :
f ( x ) = e ln x et g ( x ) = e ln x .
1. Indiquer les ensembles de définition de f et g.
2. Suivant les valeurs de x, donner une écriture de f(x) et g ( x ) sans barre de
valeur absolue.
corrigé commenté ∗
1. La fonction « ln » est définie sur +, or x 0 et x = 0 si, et seulement si,
∗ ∗
x = 0, donc Df = et D g = +.
2. Si x 0, alors x = x, donc f(x) = e ln x = x.
Si x 0, alors x = – x , donc f(x) = e ln ( –x ) = – x .
Rappel : la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction loga-
rithme népérien.
• ln x = ln x ⇔ ln x 0 ⇔ x 1.
ln x = – ln x ⇔ 0 x 1, donc :
si x 1, g ( x ) = e ln x = x ;
1 1
si 0 x 1, g ( x ) = e ( – ln x ) = --------- = -- .
- -
e ln x x
e –1 x
· Soit la fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par f ( x ) = ln  -------------- .
 x 
Déterminer les limites de f en 0 et + ∞.
corrigé commenté
ex – 1
Pour tout x de ]0 ; + ∞ [ , -------------- 0 donc f ( x ) existe bien.
x
ex – 1 ex 1 ex 1
• -------------- = ---- – -- , or lim ---- = + ∞ et lim -- = 0,
- - - -
x x x x → +∞ x x → +∞ x
ex – 1
donc lim -------------- = + ∞ et lim ln X = + ∞ d’où lim f ( x ) = + ∞ .
x → +∞ x X → +∞ x → +∞
ex – 1
• D’après le cours, lim -------------- = 1 et lim ln X = 0 d’où lim f ( x ) = 0.
x→0 x X→1 x→0
185

5. CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES
3 Autres fonctions
1. Dérivées et primitives
• Soit une fonction u, définie et dérivable sur un intervalle I.
( exp ◦ u )′ = u′ × ( exp ◦ u ).
• Les primitives des fonctions u′exp ( u ) sont les fonctions ( exp ◦ u ) + C
avec C ∈ .
2. Fonctions exponentielles base a
G Soit a un réel strictement positif et différent de 1. La fonction logarithme
∗
de base « a » est une bijection de + sur qui admet pour réciproque la
fonction exponentielle de base a notée x ax .
ln x
Rappel : ln a ( x ) = ---------
- avec a ∈ ]0 ; 1 [ ]1 ; +∞[.
ln a
G Propriétés
• a 0 = 1 ; a 1 = a ; ( ∀x ∈ ) ( ∀y ∈ ) ax + y = ax × ay .
ax
• a x – y = ---- ; a nx = ( a x ) n avec n ∈ .
-
ay
• Pour x 0 et a 0, a x = e x ln a .
0 a 1 a 1
x –∞ 0 1 +∞ a = e
a
+∞
a 0 x ax a
1
0 e
x –∞ 0 1 +∞
1
+∞
a
0 a 1 x ax 1 a
0
0 1
3. Fonctions puissances
G Pour x 0 et pour tout réel α, on appelle fonctions puissances les fonc-
tions x xα .
x α = e α ln x
186

6. cours savoir-faire exercices corrigés
Remarque : on définit la fonction racine nième, noté n , comme la réciproque sur
1
--
-
+ de x x n avec n 2 et n ∈ . On note aussi n x = xn .
G Propriétés
Pour α ∈ , β ∈ , x 0 et y 0:
xα yα = ( xy ) α ; xα xβ = xα + β ; ( xα )β = x αβ .
α 0 α 1
x 0 +∞
α = 1
x αx α – 1 –
+∞
x xα
0
0 α 1
α 0
x 0 +∞ α = 0
x αx α – 1 + α 0
+∞
x xα 0
0
exemple d’application
e3 4 e
5
--
-
Simplifier les nombres suivants : -------------- ; (5 e)3 .
3 2
e
corrigé commenté
Indication : on utilise les propriétés des racines nièmes.
1 1
--
- 3 + --
- 13 2 31
e3 4 e e3 e4 e 4 ------ – --
- ------
12
• -------------- = ------------ = ----------- = e 4 3 = e 12 =
1
- 2
- e 31 .
3 2
e --
- --
-
( e2 )3 e3
5
--
-  5 1
-- --
- -
1
--
-
• ( 5 e ) 3 =  e 3 5 = e 3 = 3 e.
187

7. CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES
4 Équations différentielles du premier ordre
1. Équations différentielles du premier ordre sans second
membre
Ce sont les équations différentielles dont le second membre est nul et qui
lient une fonction et sa dérivée première.
Ces équations sont de type y′ – ay = 0 ⇔ y′ = ay.
Les solutions sont les fonctions x Ce ax avec C ∈ .
Remarque : il existe une unique solution s’il y a une condition initiale y 0 = f ( x 0 ).
Cette condition permet de déterminer la constante C.
2. Équations différentielles du premier ordre avec second
membre
Ce sont des équations différentielles dont le second membre est une fonc-
tion quelconque.
Pour résoudre une telle équation, on cherche une solution particulière de
même forme que le second membre, puis on la résout en suivant toutes les
indications du texte.
exemple d’application
Soit l’équation différentielle (E) : y′ + 2y = 2x 3 – 4x + 7.
1. Déterminer un polynôme P du troisième degré solution de (E).
2. Soit (E′) l’équation différentielle sans second membre telle que y′ + 2y = 0.
Résoudre l’équation (E′).
3. Démontrer qu’une fonction g est solution de (E) si, et seulement si, g – P est
solution de (E′).
Écrire les solutions g de (E).
1
4. Déterminer la fonction f solution de (E) telle que f ( 0 ) = – -- .
-
4
corrigé commenté
1. Soit P le polynôme défini sur par :
P ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d avec a ≠ 0.
P est solution de (E) si, et seulement si, P′ + 2P = 2x 3 – 4x + 7.
P′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c.
188

8. cours savoir-faire exercices corrigés
P est solution de (E) si, et seulement si, quel que soit x de :
2ax 3 + ( 3a + 2b )x 2 + ( 2b + 2c )x + c + 2d = 2x 3 – 4x + 7.
Par identification des deux polynômes, quel que soit x de :
a = 1
 2a = 2 b = – --
3
-
  2
 3a + 2b = 0 
 ⇔ c = – --
1
-
 2b + 2c = – 4  2
 c + 2d = 7  15
 d = ------
 4
3 1 15
d’où : P ( x ) = x 3 – -- x 2 – -- x + ------ .
- -
2 2 4
2. (E′) : y′ + 2y = 0 ⇔ y′ = – 2 y.
Les solutions de (E′) sont les fonctions :
x Ce –2x avec C ∈ .
3. • La fonction ( g – P ) est solution de (E′) si, et seulement si,
( g – P )′ + 2 ( g – P ) = 0 soit g′ + 2g – ( P′ + 2P ) = 0 ;
( g′ + 2g ) ( x ) –  3x 2 – 3x – -- + 2x 3 – 3x 2 – x + ------ = 0 ;
1 15
soit ( ∀x ∈ ) -
 2 2
soit ( ∀x ∈ ) ( g′ + 2g ) ( x ) = 2x 3 – 4x + 7 ce qui signifie que g est solution de
l’équation (E).
• La fonction g – P est solution de (E′) signifie que g ( x ) – P ( x ) = Ce –2x avec
C∈ soit :
3 1 15
g ( x ) = x 3 – -- x 2 – -- x + ------ + Ce –2x .
- -
2 2 4
4. Soit f la fonction g particulière telle que
1 15 1
f ( 0 ) = – -- d’où ------ + Ce 0 = – -- ⇔ C = – 4.
- -
4 4 4
Par suite :
3 1 15
f ( x ) = x 3 – -- x 2 – -- x + ------ – 4e –2x .
- -
2 2 4
189