trabajo de analisis numerico

1. Análisis numérico
Michelle David Diaz 17228634
Definición de Análisis Numérico
Es en procedimientos que resuelven situaciones y realizan cálculos
aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los
instrumentos de cálculo (como calculadoras, computadoras) que nos
ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin de
calcular o aproximar alguna cantidad o función, para el estudio de errores
en los cálculos"
Definición de Número Máquina
Todas las computadoras trabajan con una cantidad fija de información. La
unidad fundamental mediante la cual se representa la información se llama
palabra. Una palabra es una unidad de información constituida por una
cadena fija de dígitos binarios o bits que son usados para representar las
instrucciones de un programa, símbolos alfabéticos, números, etc. El
número de dígitos de una palabra recibe el nombre de longitud de palabra.
Por ejemplo:
0.0158 se escribe como 0.0158 * 100
850000 se escribe como 0.850 * 106
35.519 se escribe como 0.35519 * 102
En general un número en cualquier base b se puede escribir en la forma
± 0.d1d2… * be [3]
Cada uno de los di (i = 1,2, …) son dígitos de la base b y e es un número
entero (positivo, negativo o cero) el cual determina donde se encuentra el
punto decimal.
Error Absoluto
"El error absolutoes la diferencia entre el valor exacto (un número
determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado, o sea el valor
exacto menos el valor calculado";debido a que la ecuación se dio en

2. términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una
colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse.
Cota de Errores Absolutos y Relativos
Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error
absoluto (ni el relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Se
pretende encontrar cotas superiores de esos errores. Cuanta más pequeña
sean esas cotas superiores, mejor. Sea f una función derivable en I,[a, b] Í
I, P la solución exacta de la ecuación f(x)=0 y Pn una aproximación a P.
Supongamos |f ’(x)| ³ m > 0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b]. Entonces:
Esto nos da una cota del error al tomar una aproximación de la solución
exacta, conociendo una cota inferior del valor absoluto de la derivada.
Algunas veces, en la práctica, la exactitud de una raíz aproximada Pn se
estima en función de cómo satisfaga f(Pn) = 0; es decir si el número |f(Pn)|
es pequeño, se considera entonces Pn una buena aproximación de P; pero
si |f(Pn)| es grande, entonces Pn no se considera como una buena
aproximación de la solución exacta P.
Fuentes Básicas de Errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error
de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el
número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC
(para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las
formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las
sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las
aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de
Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos
numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde
aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por
uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

3. Redondeo y Truncamiento
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los
resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases
fundamentalmente: errores de truncamiento, que resultan de representar
aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de
redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos.
En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está
dada por: Valor verdadero = valor aproximado + error, de donde se
observa que el error numérico está dado por:Ev = valor verdadero - valor
aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error. La deficiencia del
truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en
la representación decimal completa no tienen relevancia en la versión de
cortar o truncar; por lo tanto el redondeo produce un error bajo en
comparación con el truncamiento.
Error De Redondeo
Se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de
punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada
número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto
significa que todos los números en un intervalo local están representados
por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
n - (k+1)
El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 a yy después truncar
para que resulte un número de la forma
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
El último método comúnmente se designa por redondeo. En este
método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a fl; esto es,
redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después de
los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo

4. Para que obtengas información, esta es la conexión:
Error De Truncamiento
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto
flotante de y, que se representará por fl, se obtiene terminando la mantisa
de y en k cifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la
terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . .
para obtener
fl= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
Este método es bastante preciso y se llama truncar el número.
Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número
infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos. Generalmente se
refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar
la suma de una serie infinita. El error de truncamiento, a diferencia del error
de redondeo no depende directamente del sistema numérico que se emplee.
Errores De Una Suma Y Una Resta
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos
números en la computadora. Como cada suma introduce un error,
proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se
acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al
problema del cálculo de productos interiores.
En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas
en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales.
Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números
existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar
situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar
cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un

5. número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores
relativos y absolutos poco relevantes.
Errores De Una Suma Y Una Resta
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos
números en la computadora. Como cada suma introduce un error,
proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se
acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al
problema del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas
computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales
que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se
llaman bits de protección y permiten que los números existan
temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en
las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi
iguales o la división de un número muy grande entre un número muy
pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y
absolutos poco relevantes.
Estabilidad e Inestabilidad
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los
cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es
numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada
aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico
es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus
etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la
exactitud del cálculo en su conjunto.
El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería
decidirse con base en los errores relativos, es decir investigar la
inestabilidad o mal condicionamiento , lo cual significa que un cambio
relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un
cambio relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una
fórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los
cálculos.

6. Condicionamiento
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal
para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de
pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal
condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes
cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir
un número de condición: "Un número condicionado puede definirse como la
razón de los errores relativos".
Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema
mal condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se
establece un número de condición, es decir para la evaluación de una
función se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas de
ecuaciones lineales se establece otro tipo de número de condición; el
número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la
incertidumbre aumenta