Corso di digitalizzazione e reti per segretario amministrativo
Inf & sup di funzioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano]
1. Università Degli Studi di Reggio Calabria Facoltà Di Ingegneria
DOCUMENTO REDATTO DAL DOTT. S. Caltabiano
2. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)
Definizione 1
Sia AR un insieme non vuoto. Se esiste un numero mA. tale che:
m a aA
diciamo che è il minimo per l’insieme A. Usualmente il minimo di A si denota con:
min(A):=m
Ovviamente il minimo se esiste è unico.
Se esiste un numero MA tale che:
a M aA
diciamo è il massimo per l’insieme A. Usualmente il massimo di A si denota con:
max(A):=M
Ovviamente il massimo se esiste è unico.
Definizione 2
Sia AR un insieme non vuoto. Diciamo che un numero hR. è un minorante per
l’insieme A se:
h a aA
Non è detto che ogni insieme ammetta minorante, ad esempio l’intervallo ]–,0[ non
ammette minorante.
Diciamo che un numero kR. è un maggiornate per l’insieme A se:
a k aA
Non è detto che ogni insieme ammetta maggiorante, ad esempio l’intervallo ]0,+[
non ammette maggiorante.
Definizione 3
Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato inferiormente se ammette almeno
un minorante.
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Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato superiormente se ammette almeno
un maggiorante.
Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato se è limitato inferiormente e
superiormente.
Teorema 1
Se AR un insieme non vuoto
Ts: A è limitato se e solo se >0 t.c. a < aA
Teorema 2
Se AR un insieme limitato inferiormente (rispettivamente superiormente) e BA
Ts: B è limitato inferiormente (rispettivamente superiormente)
Definizione 4
Sia AR un insieme non vuoto. Se A è limitato inferiormente diciamo estremo
inferiore di A il numero:
e =max{hR : ha aA}
cioè e è il più grande dei minoranti. Usualmente l’estremo inferiore di A si denota
con la scrittura:
inf(A):= e
Ovviamente inf(A) è unico. Se l’insieme A ammette minimo, per l’unicità deve
necessariamente essere che inf(A)=min(A).
Se A è limitato superiormente diciamo estremo superiore di A il numero:
e =min{kR : ak aA}
cioè e è il più piccolo dei maggioranti. Usualmente l’estremo superiore di A si
denota con la scrittura:
sup(A):= e
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Ovviamente sup(A) è unico. Se l’insieme A ammette massimo per l’unicità deve
necessariamente essere che sup(A)=max(A).
Negli esercizi inerenti inf e sup gio0cano un ruolo fondamentali, i seguenti
semplici risultati.
Teorema 3
Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormente
Ts: inf(A)=min(A) se e solo se inf(A)A
Teorema 4
Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormente
Ts: sup(A)=max(A) se e solo se sup(A)A
Teorema 5
Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormente e sia s
s è un minorante
Ts: s =inf(A) se e solo se
0 a A t.c. a s
Teorema 6
Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormente e sia s
s è un maggiorant e
Ts: s =sup(A) se e solo se
0 a A t.c. a s
Teorema 7
Sia AR un insieme non vuoto
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Ts: Valgono allora le seguenti due affermazioni:
(1) Se l’insieme A è limitato inferiormente allora –A è limitato superiormente e si ha
inf(A)=–sup(–A)
(2) Se l’insieme A è limitato superiormente allora –A è limitato inferiormente e si ha
sup(A)=–inf(–A)
Teorema 8
Sia AR un insieme non vuoto
Ts: Valgono allora le seguenti due affermazioni:
(1) Se A ammette minimo allora –A ammette massimo e si ha min(A)=–max(–A)
(2) Se A ammette massimo allora –A ammette minimo e si ha max(A)=–min(–A)
Teorema 9
Sia AR un sottoinsieme non vuoto; sia bR e sia c R0 ; e ricordiamo che B:=
b+A:={b+a : aA} e C:=cA:={ca : aA}
Ts: Valgono allora le seguenti due affermazioni:
(1) Se A è limitato inferiormente allora gli insiemi b A e cA sono limitati
inferiormente ed inoltre inf(b+A)=b+inf(A) e inf(cA)=c inf(A)
(2) Se A è limitato superiormente allora gli insiemi b A e cA sono limitati
superiormente ed inoltre sup(b+A)=b+sup(A) e sup(cA)=c sup(A)
Teorema 10
Sia AR un insieme non vuoto; sia bR; sia c R0
Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:
(1) Se A ammette minimo allora gli insiemi b+A e cA ammettono minimo ed inoltre
min(b+A)=b+min(A) e min(cA)=c min(A)
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(2) Se A ammette massimo allora gli insiemi b+A e cA ammettono massimo ed
inoltre max(b+A)=b+max(A) e max(cA)=c max(A)
Teorema 11
Siano A,BR due insiemi non vuoti. Ricordiamo che A+B:={a+b : aA e bB}
Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:
(1) Se A e B sono limitati inferiormente allora l’insieme A+B è limitato inferiormente
e si ha che inf(A+B)=inf(A)+inf(B)
(2) Se A e B sono limitati superiormente allora l’insieme A+B è limitato
superiormente e si ha che sup(A+B)=sup(A)+sup(B)
Teorema 12
Siano A,BR due insiemi non vuoti
Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:
(3) Se A e B ammettono minimo allora l’insieme A+B ammette minimo e si ha che
min(A+B)=min(A)+min(B)
(4) Se A e B ammettono massimo allora l’insieme A+B ammette massimo e si ha che
max(A+B)=max(A)+max(B)
Teorema 13
Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormente e sia hR un minorante di A
Ts: Se hA allora h=min(A)=inf(A)
Teorema 14
Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormente e sia kR un maggiorante di A
Ts: Se kA allora k=max(A)=sup(A)
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Esempio 1
Assegnato l’insieme:
1
A:= x R : n N t.c. x
n
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Verifichiamo se l’insieme ammette maggiorante. Per fare ciò possiamo attribuire alla
n valori crescenti e vedere così l’andamento degli elementi di A:
1 1 1 1 1
1; ; ; ; ;…;
2 3 4 5 10
si intuisce che 1 è un maggiorante. Per verificare tale affermazione, dobbiamo
provare che:
1
1 nN
n
ovvero che:
n1 nN
che è palesemente vera. Un altro metodo per la ricerca dei maggioranti è quello di
affidarsi alle maggiorazioni (quest’ultimo metodo nel caso considerato ci dice
immediatamente che 1 è un maggiorante). Abbiamo già osservato che 1 è un
maggiorante e quindi ci rimane da provare che per ogni fissato >0 esiste aA tale
che a>1– e questo per come è definito A e equivale a dimostrare che:
1
n*N t.c. *
>1–
n
Se 1 allora 1–0 e di conseguenza basta scegliere un qualunque n*N. Se 0<<1
allora ambo i membri sono strettamente positivi e quindi possiamo passare ai
reciproci:
1
n*<
1
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poiché 1–<1 il secondo membro della precedente è >1 e di conseguenza basta
scegliere n*=1. In questo caso il ragionamento precedente poteva essere evitato,
infatti bastava osservare che per n=1 l’elemento corrispondente x=1/1=1 e quindi
1A e di conseguenza per il Teorema 14 max(A)=1.
Per quanto riguarda la ricerca dei minoranti di A, si può precedere come nel caso
precedente. Tuttavia si osserva che gli elementi di A sono strettamente positivi e di
conseguenza 0 è un minorante per l’insieme A. In questo caso 0A e quindi non
possiamo fare uso del Teorema 13. Verifichiamo se 0 è candidato ad essere l’estremo
inferiore, e per fare ciò adoperiamo il Teorema 5. Abbiamo già detto che 0 è un
minorante e quindi ci rimane da provare che per ogni fissato >0 esiste aA tale che
a<0+= e questo per come è definito A e equivale a dimostrare che:
1
n*N t.c. <
n*
Si isola n* e si ottiene:
1
n *>
al secondo membro della disuguaglianza abbiamo una quantità positiva finita e quindi
basta scegliere un n*N più grande di tale quantità. Quindi 0 è l’estremo inferiore A.
Per il Teorema 3 A non ammette minimo.
Esempio 2
Assegnato l’insieme:
A:= x R : n N t.c. x n 2 2
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Verifichiamo se l’insieme ammette minorante. Osserviamo che:
–1=1–2n–2n2–2 nN
e pertanto –1 è un minorante per l’insieme A, inoltre per n=1 osserviamo che il
corrispondente elemento x=12–2=1–2=–1 e quindi segue dal Teorema 13 che –1 è il
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minimo di A. Per vedere se A ammette maggiorante attribuiamo alla n valori
crescenti e vediamo così l’andamento degli elementi di A:
–1 ;2 ; 7 ; 14 ; 23 ; … ; 98
si intuisce che l’insieme A non è limitato e che quindi non ammette maggioranti. Per
verificare tale affermazione, dobbiamo provare che:
K>0 nN t.c. n2–2>K
Si isola n e si ottiene:
n> K 2
al secondo membro della disuguaglianza abbiamo una quantità positiva finita e quindi
basta scegliere un nN più grande di tale quantità.
Esempio 3
Assegnato l’insieme:
2n 3
A:= x R : n N t.c. x
5n
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Verifichiamo se l’insieme ammette maggiorante. Attribuendo valori crescenti alla n:
7 3 11 23
1; ; ; ;…;
10 5 20 50
si intuisce che 1 è un maggiorante di A. Per verificare che 1 è un maggiorante di A,
dobbiamo provare che:
2n 3
1 nN
5n
Risolvendo:
2n 3
1 2n+35n 33n n1
5n
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e quest’ultima evidentemente è vera per ogni nN. E pertanto 1 è un maggiorante per
A, ed inoltre per n=1 osserviamo che il corrispondente elemento x=1 e quindi segue
dal Teorema 14 che 1 è il massimo di A.
Ovviamente l’insieme A è limitato inferiormente poiché gli elementi di A sono
strettamente positivi e di conseguenza 0 è un minorante di A. Ma 0 non è l’inf, poiché
non è il più grande dei minoranti, infatti un altro minorante è dato da:
2n 3 2 3 2
= + nN
5n 5 5n 5
Ci proponiamo di provare che 2/5 è l’estremo inferiore per A. Fissato un arbitrario
>0 dobbiamo provare che esiste un nN tale che:
2n 3 2
< +
5n 5
Risolvendo la disequazione rispetto alla n, si trova che:
3
n>
5
al secondo membro della disuguaglianza abbiamo una quantità positiva finita e quindi
basta scegliere un nN più grande di tale quantità. Osserviamo che 2/5A e quindi
segue dal Teorema 3 che A non ammette minimo.
Facciamo osservare che lo studio degli estremi di A poteva essere semplificato
notevolmente. Infatti osserviamo che:
2 3 1 2 3
A:= x R : n N t.c. x = + B
5 5 n 5 5
dove si è posto:
1
B:= x R : n N t.c. x
n
Dall’Esempio 1, dal Teorema 9 segue che
2 3 2 3 2
inf(A)= + inf(B)= + 0=
5 5 5 5 5
Analogamente dall’Esempio 1, dal Teorema 10 segue che
Dott. S. Caltabiano 10
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2 3 2 3 2 3 2 3
max(A)= + max(B)= + 1= + = + =1
5 5 5 5 5 5 5 5
in accordo con quanto suddetto.
Esempio 4
Assegnato l’insieme:
n 1
A:= x R : n N t.c. x
n
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Osserviamo che:
1
A:= x R : n N t.c. x 1 =1–B
n
dove si è posto:
1
B:= x R : n N t.c. x
n
Per l’Esempio 1, per il Teorema 8, per il Teorema 10 segue che:
min(A)=min(1–B)=1+min(–B)=1–max(B)=1–1=0
Per l’Esempio 1, per il Teorema 7, per il Teorema 9 segue che:
sup(A)=sup(1–B)=1+sup(–B)=1–inf(B)=1–0=1
Esempio 5
Assegnato l’insieme:
1
A:= x R : n N t.c. x n
n
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Attribuendo valori alla n si intuisce che 2 è un minorante per A. Per verificare tale
affermazione dobbiamo provare che:
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12. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)
1
n 2 nN
n
Risolviamo rispetto ad n e dimostriamo che la suddetta disequazione vale per ogni
nN:
1
n 2 n2–2n+10
n
e quindi:
n= 1 1 1 =1
e quindi la disequazione è soddisfatta per nN come volevasi. E pertanto 2 è un
minorante per l’insieme A, inoltre per n=1 osserviamo che il corrispondente
elemento x=2 e quindi segue dal Teorema 13 che 2 è il minimo di A.
Osserviamo adesso che:
1
n >n nN
n
e questo evidentemente ci dice che l’insieme A non è limitato superiormente.
Esempio 6
Assegnato l’insieme:
n 1
A:= x R : n N t.c. x (1) n
n
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Osserviamo che:
n 1 n 1 1
(1) n = = 1 1 nN
n n n
e quindi segue dal Teorema 1 che l’insieme A è limitato. Esplicitando il modulo nella
disuguaglianza precedente otteniamo:
n 1
–1 (1) n 1 nN
n
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13. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)
e quindi –1 e 1 sono rispettivamente un minorante ed un maggiorante di A. Vogliamo
provare che 1 è l’estremo superiore per A. Fissato un arbitrario >0 dobbiamo
provare che:
n 1
nN t.c. (1) n >1–
n
Consideriamo gli n pari e quindi:
n 1
>1– n–1>n–n –1>–n 1<n n>1/
n
e quindi basta scegliere un n pari più grande di 1/. Si osserva che al variare di n
1=sup(A)A e di conseguenza per il Teorema 4 l’insieme A non ammette massimo.
Vogliamo provare adesso che –1 è l’estremo inferiore per A. Fissato un arbitrario >0
dobbiamo provare che:
n 1
nN t.c. (1) n <1+
n
Consideriamo gli n dispari e quindi:
n 1
– <1+ –(n–1)<n+n –n+1<n+n 1<n(+2) n>1/(+2)
n
e quindi basta scegliere un n dispari più grande di 1/(+2). Si osserva che al variare di
n–1=inf(A)A e di conseguenza per il Teorema 3 l’insieme A non ammette minimo.
Esempio 7
Assegnato l’insieme:
A:= x ] 90,77[ : n N t.c. x n 2 2
Determinare se l’insieme è limitato.
Poiché A]–90,77[ segue allora dal Teorema 2 che A è limitato.
Esempio 8
Assegnato l’insieme:
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14. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)
3m 2n
A:= x R : n, m N t.c. x
nm
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup.
Osserviamo che:
3 2
A:= x R : n N t.c. x =3B–2C
n m
dove si è posto:
1 1
B:= x R : n N t.c. x e C:= x R : m N t.c. x
n m
Per l’Esempio 1, per il Teorema 11, per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:
inf(A)=inf(3B–2C)= inf(3B)+ inf(–2C)=3inf(B)+2inf(–C)=
=3inf(B)–2sup(C)=30–21=–2
Per l’Esempio 1, per il Teorema 11, per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:
sup(A)=sup(3B–2C)= sup(3B)+sup(–2C)=3sup(B)+2sup(–C)=
=3sup(B)–2inf(C)=31–20=3
Esempio 9
Assegnato l’insieme:
3n 2 1
A:= x R : n N t.c. x
2n 2
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Osserviamo che:
3 1 3 1
A= x R : n N t.c. x 2 = – B
2 2n 2 2
Dove si è posto:
1
B:= x R : n N t.c. x 2
n
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15. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)
Procedendo come nei casi precedenti si trova che inf(B)=0 e max(B)=1. Per il
Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
inf(A)= inf B = + inf(–B)= – sup(B)= – max(B)= – =1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:
3 1 3 1 3 1 3 1 3
sup(A)= sup B = + sup(–B)= – inf(B)= – 0=
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Esercizi
Determinare se i seguenti insiemi sono limitati inferiormente, superiormente, ed in
caso di risposta affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
3n 2
(1) x R : n N t.c. x (1) n
2n
1
(2) x R : n N t.c. x
n
1
(3) N x R : n N t.c. x
n
(4) x R : n N t.c. x n 2 22n 10
(5) x R : n N t.c. x n 2
5n 3
t 1
(6) x R : t ]2,[ t.c. x
t 2
(7) x R : n N t.c. x n 2 3n 1
(8) x R : n N t.c. x sin n
8
(9) x R : x 2 è razionale
(1) n
(10) x R : n N t.c. x
n
(11) x R : y R t.c. y 2
y 2e x y
Dott. S. Caltabiano 15