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1. Resolver: (0.5 puntos)
x4
a) 5 x b) 4x 3x 2 5( x 7) 3 7 3x
4 x
0
35 8 0 6 12 4 5 7 2 2 5 7 0 8 3 4 7 6 5 2 13 15
3
c)
2. Determine el conjunto de valores admisibles (CVA) y el conjunto solución (CS) de las
ecuaciones siguientes: (0.5 puntos)
2
a. x 3x 1 0 b. t 1 t 3 2 c. 8 x 3 3
3. Resolver. (1 punto)
x 2 (b) 2 x 3 x 2 3x 0 x 1 x 3 x3
(a) (c) 2 x
3x 5 x 1 (d)
x x 1 x 1
x6 x 2 7 x
( x 1) 5 ( x 2) 4 (3 x)
(e) 0 f) 0
7
x 4 1 4 x 2 3x 1
5 x( x 1)( x 2 1)
4. Determine la gráfica de las siguientes curvas cuadráticas indicando sus elementos:
a) x 2 y 2 8x 6 y 20 0 b) y x 2 2x c)
16 x 2 9 y 2 32 x 18 y 119 0
5. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1 ; 2) y por la intersección
de las rectas y x 1 e y x 5 . (0.5 puntos)
Aplicaciones de la Parábola.
6. Dada las siguientes funciones cuadráticas: (1 punto)
1 2
A. f ( x) 2 x 2 4 x 1 . B f ( x) x 2 x 6 .
2
(a) Exprese la función cuadrática en la forma estándar.
Forma estándar para funciones cuadráticas f ( x) a( x h) k
2
(b) Determine las coordenadas de su vértice y sus intersectos con los ejes coordenados.
(c) Trace la gráfica de dichas funciones.
7. Se ha determinado que un confeccionista vende camisas a un precio de S/. 100 cada una.
Asimismo, estás presentan un costo que se comporta linealmente. Si el costo total de
producir dos camisas es de S/. 3 300 y el de producir 10 camisas es de S/. 3 900.
(0.5 puntos)
a. Halle la ecuación de ingreso, costo total y utilidad de este confeccionista
b. Grafique, en un mismo plano, el ingreso, costo total y utilidad.
c. ¿Cuál es el número de camisas, desde el cual ya se obtienen ganancias?
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8. Una empresa vende impresoras a un precio igual a p 150 q ; donde q es el número de
unidades vendidas. Además se sabe que sus costos fijos ascienden a $ 500 y su costo
unitario es de $50 por unidad. Se pide encontrar lo siguiente
(a) ecuación del costo total.
(b) La ecuación del ingreso.
(c) El nivel de venta que maximice la utilidad de la empresa, y determine esa utilidad.
9. Problemas La utilidad mensual estimada en Nuevos soles obtenida por la empresa “El
Pirata” al producir y vender q sacos de arroz de exportación es: (1 punto)
U (q) 0.05q 2 100q 10 000
(a) ¿Cuántas unidades debe producir para obtener ganancia?
(b) Grafique la función utilidad indicando dominio, rango e intercepto con los ejes.
(c) ¿Cuál es el valor de q donde la utilidad es máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?
10. La demanda de los artículos producidos por la empresa M&N está dada por la ecuación:
q 2 p 24 donde q es el número de unidades y p es precio en dólares. Se sabe además
que el costo marginal de su producción es de $ 3,00 y el costo promedio de 20 unidades es
de $4,00. Determine: (1 punto)
a. La ecuación cuadrática del Ingreso I(p)
b. La ecuación del Costo, sabiendo que tiene un comportamiento lineal.
c. El precio de venta para alcanzar la utilidad máxima.
11. La demanda lineal de un determinado artículo es tal que cuando el precio p de dicho
artículo sube un dólar la cantidad demandada q disminuye 5 unidades y al precio de $20 no
se adquiere ningún artículo. Se pide que: (0.5 puntos)
1
(a) Demuestre que la función Ingreso es: I (q) q 2 20q.
5
(b) Determine el precio al cual se obtiene el ingreso máximo.
(c) La gráfica del ingreso.
12. El precio de un producto está expresado por la ecuación de demanda: p(q) 20 0.5 q,
qexpresada en unidades y p en dólares. Además el costo unitario del producto es de $ 5 por
unidad y el costo fijo es de $100. Determinar: (0.5puntos)
(a) El precio para el cual el ingreso es máximo.
(b) El Volumen mínimo de producción de la empresa.
(c) El nivel de producción para el cual la empresa obtiene ganancias.
13. Las ganancias semanales de la empresa Inversiones S.A. (en cientos de dólares) están dadas
por P( x) 2 x 60 x 120 , en donde x es el número de cajas vendidas
2
(a) Grafique la función.
(b) ¿Cuál es el mayor número de cajas que puede vender para obtener la ganancia máxima?
(c) ¿Cuál es el mayor número de cajas que puede vender para aún obtener ganancia?
14. La inmobiliaria 1 tiene una ganancia g (en miles de soles) que puede calcularse en función
del tiempo t (en meses) mediante la fórmula g t 28t 48 2t 2 ; t 2;12 . La
inmobiliaria 2 tiene como función de ganancia
a(t ) 40 2t; t 0;20 .
(0.5 puntos)
(a) ¿En qué mes logra la inmobiliaria1 su máxima ganancia? ¿Cuál es dicha ganancia?
(b) ¿Cuándo tienen igual ganancia ambas?
(c) Trace la gráfica de ambas ganancias en un mismo plano y determine, ¿en qué meses la
ganancia de la inmobiliaria 2 es inferior a la de su competidor?PARTE II
1. Los puntos P(1,-3,5); Q(0,7,2) y R(-1,5,6) son los vértices de un triángulo. Determine:
(0.5 puntos)
a. Las coordenadas del punto medio de cada lado.
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b. Las longitudes de cada lado
c. La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P y Q.
2. Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A (–4, 2, 5) y es paralela al eje OZ.
(0.5 puntos)
3. Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1, –3, 0) y es paralela al vector
u x v , siendo u (1,1,2) y v (2,0,0) (0.5 puntos)
4. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(-2, 1,2); B(1,-2,-1) y C(-3, 2,-3).
(0.5 puntos)
5. Dados estos tres planos, estudia la posición relativa entre cada dos de ellos: 6x – y + 3z= 8;
x + 3y – z = 5; 2x + 6y – 2z = 5 ¿Puede decir si son planos paralelos o perpendiculares?
(0.5 puntos)
6. En la figura se muestra una campana extractora formada por
dos cilindros (sin tapas) de 30 cm y 150 cm de diámetro unidos
por un tronco de cono. Determine el área de latón necesaria 50 cm
para confeccionar dicha campana. (Área lateral del cono =
r g ) 120
(0.5 puntos) cm
30 cm
7. ¿Qué volumen de helado contiene el cono mostrado, si la parte del helado dentro del cono
(no visible) equivale a 1/3 del volumen de helado visible? (usar = 3)
6 c m
8. Hallar el volumen de la figura mostrada.
(0.5 puntos)
9. Determine el volumen del poliedro formado por un cubo cuya arista mide 4 m. de longitud
y una pirámide regular de 6 m. de altura, superpuesta sobre una de las caras del cubo.
(0.5 puntos)
10. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación:
(0.5 puntos)
4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0
11. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: 2x 2 – y2 – 8x - 6y = 5. Determine:
coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica.
(0.5 puntos)
12. Decir la posición relativa de la recta y 3 2 x respecto de las circunferencias:
(0.5 puntos)
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a. x2 y 2 2 x 3 y 2 0
b. 2 x 2 2 y 2 3x 5 y 5 0
c. x 2 y 2 3x 4 y 3 0
Pregunta 4.- El cono gira con un periodo de 5s. Hallar la razón VM /VN. De las rapideces
lineales entre las rapideces lineales en los puntos “M” y “N” (3 Ptos)
Pregunta 5.- Por la tolva cae arena a razón de 1980 kg/min sobre la cinta
transportadora que se desplaza horizontalmente, con una rapidez de 240 m/min.
Hallar la fuerza necesaria para desplazar la cinta suponiendo que no existe
fricción. (3 Ptos)
Pregunta 6.- El camión inicialmente en reposo lleva un bloque de masa m=50kg unido a un resorte no deformado
(x=0) de constante elástica K=50N/m. Si de pronto adquiere una aceleración constante a=4m/s 2 , hallar la máxima
deformación del resorte. El coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la plataforma es =1/5.(4 Ptos)
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