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Felipe Antunes
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Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Interac¸˜oes gravitacionais e um problema em aberto na mecˆanica estat´ıstica. Felipe Leite Antunes 23 de Outubro de 2014 Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Figura 1: Ludwig Eduard Boltzmann Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Boltzmann (gases) Equac¸˜ao de Boltzmann → processo irrevers´ıvel a partir de uma dinˆamica revers´ıvel; Teorema H (1872) → H ∼ −S; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Boltzmann (gases) Equac¸˜ao de Boltzmann → processo irrevers´ıvel a partir de uma dinˆamica revers´ıvel; Teorema H (1872) → H ∼ −S; min[H(t)] quando a distribuic¸˜ao de velocidades ´e Maxwell-Boltzmann. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Boltzmann (gases) Equac¸˜ao de Boltzmann → processo irrevers´ıvel a partir de uma dinˆamica revers´ıvel; Teorema H (1872) → H ∼ −S; min[H(t)] quando a distribuic¸˜ao de velocidades ´e Maxwell-Boltzmann. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Natureza Estoc´astica Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel a partir de uma dinˆamica com simetria temporal; Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas); Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Natureza Estoc´astica Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel a partir de uma dinˆamica com simetria temporal; Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas); Natureza estoc´astica → ingrediente que n˜ao vem da mecˆanica; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Natureza Estoc´astica Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel a partir de uma dinˆamica com simetria temporal; Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas); Natureza estoc´astica → ingrediente que n˜ao vem da mecˆanica; Zarmelo → teorema de recorrˆencia de poincar´e; tempo necess´ario para retornar ao estado inicial. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Natureza Estoc´astica Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel a partir de uma dinˆamica com simetria temporal; Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas); Natureza estoc´astica → ingrediente que n˜ao vem da mecˆanica; Zarmelo → teorema de recorrˆencia de poincar´e; tempo necess´ario para retornar ao estado inicial. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Ergodicidade Teorema de recorrˆencia de Poincar´e est´a relacionado com a ergodicidade; A hip´otese erg´odica esta presente no formalismo da mecˆanica estat´ıstica; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Ergodicidade Teorema de recorrˆencia de Poincar´e est´a relacionado com a ergodicidade; A hip´otese erg´odica esta presente no formalismo da mecˆanica estat´ıstica; Sistemas integr´aveis n˜ao s˜ao erg´odicos e os n˜ao-integr´aveis podem ser erg´odicos. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Ergodicidade Teorema de recorrˆencia de Poincar´e est´a relacionado com a ergodicidade; A hip´otese erg´odica esta presente no formalismo da mecˆanica estat´ıstica; Sistemas integr´aveis n˜ao s˜ao erg´odicos e os n˜ao-integr´aveis podem ser erg´odicos. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio H´enon-Heiles V = 1 2 x2 + y2 + 2x2 y − 2 3 y3 Figura 2: y(t) vs. ˙y(t) quando x(t) = 0. Retirada de http://mathworld.wolfram.com/Henon-HeilesEquation.html. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Curto alcance vs. Longo alcance Interac¸˜oes de curto alcance: energia interna escala com N; Interac¸˜oes de longo alacance: energia interna escala com N2. Formalmente V ∼ r−α, onde α < d. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Exemplos Interac¸˜oes gravitacionais; V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Exemplos Interac¸˜oes gravitacionais; V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D; F´ısica de Plasmas; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Exemplos Interac¸˜oes gravitacionais; V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D; F´ısica de Plasmas; Laser de el´etrons-livres (FEL). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Exemplos Interac¸˜oes gravitacionais; V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D; F´ısica de Plasmas; Laser de el´etrons-livres (FEL). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Equil´ıbrio Termodinˆamico Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V ); Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Equil´ıbrio Termodinˆamico Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V ); Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann; No limite termodinˆamico, as interac¸˜oes de LA s˜ao dominadas pela energia de interac¸˜ao; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Equil´ıbrio Termodinˆamico Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V ); Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann; No limite termodinˆamico, as interac¸˜oes de LA s˜ao dominadas pela energia de interac¸˜ao; Como obter um limite termodinˆamico n˜ao trivial? Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Equil´ıbrio Termodinˆamico Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V ); Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann; No limite termodinˆamico, as interac¸˜oes de LA s˜ao dominadas pela energia de interac¸˜ao; Como obter um limite termodinˆamico n˜ao trivial? Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Extensividade Propriedade de que as vari´aveis termodinˆamicas que dependem do tamanho do sistema s˜ao proporcionais ao seu n´umero de constitu´ıntes; Para sistemas com interac¸˜oes de LA, h´a perda da extensividade; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Extensividade Propriedade de que as vari´aveis termodinˆamicas que dependem do tamanho do sistema s˜ao proporcionais ao seu n´umero de constitu´ıntes; Para sistemas com interac¸˜oes de LA, h´a perda da extensividade; H´a um truque para recuperarmos a extensividade (h´a um prec¸o). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Extensividade Propriedade de que as vari´aveis termodinˆamicas que dependem do tamanho do sistema s˜ao proporcionais ao seu n´umero de constitu´ıntes; Para sistemas com interac¸˜oes de LA, h´a perda da extensividade; H´a um truque para recuperarmos a extensividade (h´a um prec¸o). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Prescic¸˜ao de Kac Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Aditividade Propriedade de que energia do sistema ´e igual a soma das energias de seus subsistemas; A aditividade n˜ao pode ser recuperada. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Aditividade Propriedade de que energia do sistema ´e igual a soma das energias de seus subsistemas; A aditividade n˜ao pode ser recuperada. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Evoluc¸˜ao A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas; A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de Vlasov; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Evoluc¸˜ao A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas; A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de Vlasov; A ordem em que tomamos t → ∞ e N → ∞ ´e importante; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Evoluc¸˜ao A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas; A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de Vlasov; A ordem em que tomamos t → ∞ e N → ∞ ´e importante; Tempo de validade da descric¸˜ao de Vlasov cresce com o tamanho do sistema. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Evoluc¸˜ao A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas; A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de Vlasov; A ordem em que tomamos t → ∞ e N → ∞ ´e importante; Tempo de validade da descric¸˜ao de Vlasov cresce com o tamanho do sistema. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Teorema de Braun-Hepp Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Escalas de tempo Primeiro est´agio: soluc¸˜ao est´avel da equac¸˜ao de Vlasov; Segundo est´agio: colis˜oes residuais. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Escalas de tempo: Sistemas n˜ao homogˆeneos: N; Sitemas homogˆeneos: N2. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Escalas de tempo: Sistemas n˜ao homogˆeneos: N; Sitemas homogˆeneos: N2. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Konishi e Kaneko (1992) Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Antoni e Ruffo (1995) Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Rotores XY interagindo Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Hamiltoniano H = N i=1 p2 i 2 + γ 2N N i,j=1 [1 − cos(θi − θj)]; H = N i=1 p2 i 2 − 1 − M2 2 ; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Hamiltoniano H = N i=1 p2 i 2 + γ 2N N i,j=1 [1 − cos(θi − θj)]; H = N i=1 p2 i 2 − 1 − M2 2 ; ¨θi = −M senθi . Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Hamiltoniano H = N i=1 p2 i 2 + γ 2N N i,j=1 [1 − cos(θi − θj)]; H = N i=1 p2 i 2 − 1 − M2 2 ; ¨θi = −M senθi . Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Propriedades Relaxac¸˜ao violenta; Transis˜oes de fase; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Propriedades Relaxac¸˜ao violenta; Transis˜oes de fase; Estados quasi-estacion´arios; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Propriedades Relaxac¸˜ao violenta; Transis˜oes de fase; Estados quasi-estacion´arios; Longo tempo relaxac¸˜ao. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Propriedades Relaxac¸˜ao violenta; Transis˜oes de fase; Estados quasi-estacion´arios; Longo tempo relaxac¸˜ao. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Analogia O HMF ´e o oscilador harmˆonico dos sistemas com interac¸˜oes de longo alcance. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Metodologia Simulac¸˜oes de Dinˆamica Molecular; Integrador simpl´etico de 4a ordem (PEFRL). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Dependˆencia da magnetizac¸˜ao inicial Figura 3: Magnetizac¸˜ao como func¸˜ao do tempo obtida usando dinˆamica molecular com N = 106 e mesma energia u = 0.62. Para M0 = 0.2 ´e paramagn´etico e para M0 = 0.8, ferromagn´etico. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Dependˆencia da energia inicial Figura 4: Espac¸o de fases obtido via dinˆamica molecular com N = 105 part´ıculas durante t = 5000τD.Em (a) u = 0.7 e (c) u = 0.45. A magnetizac¸˜ao inicial ´e a mesma em ambos casos, M0 = 0.8. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Teorema Virial Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio. Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende do tempo; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Teorema Virial Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio. Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende do tempo; No caso de interac¸˜oes de LA: p2 = − dqdpf (q, p) − ∂V (q) ∂q · q ; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Teorema Virial Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio. Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende do tempo; No caso de interac¸˜oes de LA: p2 = − dqdpf (q, p) − ∂V (q) ∂q · q ; Para um distribuic¸˜ao inicial do tipo WB: 2ε − 1 + M cos(θm) = 0 (CVG). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Teorema Virial Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio. Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende do tempo; No caso de interac¸˜oes de LA: p2 = − dqdpf (q, p) − ∂V (q) ∂q · q ; Para um distribuic¸˜ao inicial do tipo WB: 2ε − 1 + M cos(θm) = 0 (CVG). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Validade da Condic¸˜ao Virial Generalizada Figura 5: Evoluc¸˜ao da magnetizac¸˜ao ao longo do tempo para ε = 0.3(a), ε = 0.4(b), ε = 0.5(c) e ε = 0.6(d). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Modelo de part´ıcula teste Na condic¸˜ao virial o potencial de campo m´edio ´e est´atico; Cada uma das part´ıculas possui uma dinˆamica integr´avel; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Modelo de part´ıcula teste Na condic¸˜ao virial o potencial de campo m´edio ´e est´atico; Cada uma das part´ıculas possui uma dinˆamica integr´avel; ¨θ = −M senθ. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Modelo de part´ıcula teste Na condic¸˜ao virial o potencial de campo m´edio ´e est´atico; Cada uma das part´ıculas possui uma dinˆamica integr´avel; ¨θ = −M senθ. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Modelo de part´ıcula teste Figura 6: Mapa estrobosc´opico da dinˆamica da part´ıcula teste para ε = 0.3(a) e ε = 0.6(b). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Kurtosis da distribuic¸˜ao de velocidades Definido como κ = p4 p2 ; Para distribuic¸˜oes Gaussianas (caso da distribuic¸˜ao MB), → κ = 3. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Kurtosis da distribuic¸˜ao de velocidades Definido como κ = p4 p2 ; Para distribuic¸˜oes Gaussianas (caso da distribuic¸˜ao MB), → κ = 3. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Distribuic¸˜ao de Velocidades Figura 7: Distribuic¸˜oes de velocidade no equil´ıbrio para um sistema onde ε = 0.6 e M0 = 0.43 no tempo t = 1.35 × 107τD, quando κ 3, obtidas atrav´es da dinˆamica molecular com N=60000 (pontos). A linha s´olida ´e a distribuic¸˜ao prevista pela estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Colapso 2.5 2.8 3.0 0 200 400 600 800 1000 κ(t) t/10 4 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 0 200 400 600 800 1000 t/N 1.00 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 Figura 8: Relaxac¸˜ao para o equil´ıbrio, caracterizada pelo Kurtosis, com o tempo reescalado por 3 × 104τD em (a) e por τ× = τDN1.0 em (b). Neste caso a energia ´e ε = 0.6 e a magnetizac¸˜ao inicial vale 0.43. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Ilustrac¸ao Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Hamiltoniano H = N i=1 1 2 p2 θi + p2 φi + 1 2N N i,j=1 [1 − cos(θi − θj)] + 1 2N N i,j=1 [1 − cos(φi − φj)] + N i=1 cos(θi − φi ) . Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio HMF + HMF + curto alcance H = Hθ + Hφ + N i=1 cos(θi − φi ); Hθ = N i=1 1 2 p2 θi + N 2 1 − M2 θ ; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio HMF + HMF + curto alcance H = Hθ + Hφ + N i=1 cos(θi − φi ); Hθ = N i=1 1 2 p2 θi + N 2 1 − M2 θ ; Hφ = N i=1 1 2 p2 φi + N 2 1 − M2 φ . Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio HMF + HMF + curto alcance H = Hθ + Hφ + N i=1 cos(θi − φi ); Hθ = N i=1 1 2 p2 θi + N 2 1 − M2 θ ; Hφ = N i=1 1 2 p2 φi + N 2 1 − M2 φ . Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Modelo de Part´ıcula teste Utilizaremos os valores estacion´arios de Mθ e Mφ obtidos da simulac¸˜ao; Faremos um mapa estrobosc´opico do plano pθ vs. θ quando pφ = 0. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Figura 10: Diagrama contendo a evoluc¸˜ao temporal para N = 100000, = 0.1 com energias εθ = εφ = 0.45, εθ = εφ = 0.5 e εθ = εφ = 0.6. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Hip´oteses O Caos no qSS levar´a o sistema mais rapidamente ao equil´ıbrio termodinˆamico. Quanto maior o valor do acoplamento menor ser´a o valor do expoente δ. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Kurtosis Figura 11: Distribuic¸˜oes de velocidades, (a) pθ e (b) pφ, para um sistema inicialmente distribuido como uma waterbag de magntizac¸˜oes Mθ = −Mφ = 0.638 e energias εθ = εφ = 0.6, cuja constante de acoplamento vale = 0.5. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Colapso: = 10−2 e δ = 0.55 Figura 12: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104 (vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais s˜ao: E = 0.6, = 0.01 e M = 0.441. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras O que fizemos Propomos um modelo com interac¸˜oes mistas; Obtemos uma condic¸˜ao virial generalizada para o modelo; Para um mesmo valor de , o aumento da energia faz com que o qSS seja destru´ıdo mais rapidamente; Identificamos que caos no modelo de part´ıcula teste est´a com valor do expoente delta δ. Tempo de relaxac¸˜ao diminui a medida que aumentamos o acoplamento, apesar de ser dif´ıcil identicar o colapso para > 0.15; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Pr´oximos passos Caracterizar o caos atrav´es da obtenc¸˜ao dos expoentes de Lyapunov; Obter uma estimativa te´orica para o tempo de relaxac¸˜ao; Implementac¸˜ao em CUDA. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras THE END Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras 2.5 2.8 3.0 0 2000 4000 6000 8000 10000 κ(t) t/103 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 0 2000 4000 6000 8000 10000 t/N0.75 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 Figura 13: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104 (vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais s˜ao: E = 0.6, = 0.001 e M = 0.432.Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras 2.5 2.8 3.0 0 20000 40000 60000 80000 100000 κ(t) t/102 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 0 20000 40000 60000 80000 100000 t/N0.50 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 Figura 14: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104 (vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais s˜ao: E = 0.6, = 0.1 e M = 0.500.Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras 2.5 2.8 3.0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 κ(t) t/2.5x103 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 t/N0.85 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 Figura 15: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104 (vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais s˜ao: E = 0.6, = 1.0 e M = 0.725.Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Figura 16: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104 (vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais s˜ao: E = 0.6, = 1.5 e M = 0.777. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Figura 17: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104 (vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais s˜ao: E = 0.6, = 2.0 e M = 0.812. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.

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  • 7. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Natureza Estoc´astica Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel a partir de uma dinˆamica com simetria temporal; Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas); Natureza estoc´astica → ingrediente que n˜ao vem da mecˆanica; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 8. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Natureza Estoc´astica Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel a partir de uma dinˆamica com simetria temporal; Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas); Natureza estoc´astica → ingrediente que n˜ao vem da mecˆanica; Zarmelo → teorema de recorrˆencia de poincar´e; tempo necess´ario para retornar ao estado inicial. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 9. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Natureza Estoc´astica Loschmidit → impossibilidade de obter um processo revers´ıvel a partir de uma dinˆamica com simetria temporal; Caos Molecular (colis˜oes n˜ao correlacionadas); Natureza estoc´astica → ingrediente que n˜ao vem da mecˆanica; Zarmelo → teorema de recorrˆencia de poincar´e; tempo necess´ario para retornar ao estado inicial. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 10. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Ergodicidade Teorema de recorrˆencia de Poincar´e est´a relacionado com a ergodicidade; A hip´otese erg´odica esta presente no formalismo da mecˆanica estat´ıstica; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 11. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Ergodicidade Teorema de recorrˆencia de Poincar´e est´a relacionado com a ergodicidade; A hip´otese erg´odica esta presente no formalismo da mecˆanica estat´ıstica; Sistemas integr´aveis n˜ao s˜ao erg´odicos e os n˜ao-integr´aveis podem ser erg´odicos. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 12. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Ergodicidade Teorema de recorrˆencia de Poincar´e est´a relacionado com a ergodicidade; A hip´otese erg´odica esta presente no formalismo da mecˆanica estat´ıstica; Sistemas integr´aveis n˜ao s˜ao erg´odicos e os n˜ao-integr´aveis podem ser erg´odicos. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 13. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio H´enon-Heiles V = 1 2 x2 + y2 + 2x2 y − 2 3 y3 Figura 2: y(t) vs. ˙y(t) quando x(t) = 0. Retirada de http://mathworld.wolfram.com/Henon-HeilesEquation.html. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 14. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Curto alcance vs. Longo alcance Interac¸˜oes de curto alcance: energia interna escala com N; Interac¸˜oes de longo alacance: energia interna escala com N2. Formalmente V ∼ r−α, onde α < d. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 15. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Exemplos Interac¸˜oes gravitacionais; V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 16. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Exemplos Interac¸˜oes gravitacionais; V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D; F´ısica de Plasmas; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 17. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Exemplos Interac¸˜oes gravitacionais; V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D; F´ısica de Plasmas; Laser de el´etrons-livres (FEL). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 18. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Exemplos Interac¸˜oes gravitacionais; V´ortices em mecˆanica do fluidos 2D; F´ısica de Plasmas; Laser de el´etrons-livres (FEL). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 19. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Equil´ıbrio Termodinˆamico Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V ); Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 20. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Equil´ıbrio Termodinˆamico Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V ); Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann; No limite termodinˆamico, as interac¸˜oes de LA s˜ao dominadas pela energia de interac¸˜ao; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 21. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Equil´ıbrio Termodinˆamico Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V ); Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann; No limite termodinˆamico, as interac¸˜oes de LA s˜ao dominadas pela energia de interac¸˜ao; Como obter um limite termodinˆamico n˜ao trivial? Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 22. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Equil´ıbrio Termodinˆamico Energia Livre de Helmholtz: F(N, V ) = U(N, V ) − TS(N, V ); Distribuic¸˜ao de velocidades de Maxwell-Boltzmann; No limite termodinˆamico, as interac¸˜oes de LA s˜ao dominadas pela energia de interac¸˜ao; Como obter um limite termodinˆamico n˜ao trivial? Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 23. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Extensividade Propriedade de que as vari´aveis termodinˆamicas que dependem do tamanho do sistema s˜ao proporcionais ao seu n´umero de constitu´ıntes; Para sistemas com interac¸˜oes de LA, h´a perda da extensividade; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 24. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Extensividade Propriedade de que as vari´aveis termodinˆamicas que dependem do tamanho do sistema s˜ao proporcionais ao seu n´umero de constitu´ıntes; Para sistemas com interac¸˜oes de LA, h´a perda da extensividade; H´a um truque para recuperarmos a extensividade (h´a um prec¸o). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 25. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Extensividade Propriedade de que as vari´aveis termodinˆamicas que dependem do tamanho do sistema s˜ao proporcionais ao seu n´umero de constitu´ıntes; Para sistemas com interac¸˜oes de LA, h´a perda da extensividade; H´a um truque para recuperarmos a extensividade (h´a um prec¸o). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 26. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Prescic¸˜ao de Kac Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 27. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Aditividade Propriedade de que energia do sistema ´e igual a soma das energias de seus subsistemas; A aditividade n˜ao pode ser recuperada. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 28. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Aditividade Propriedade de que energia do sistema ´e igual a soma das energias de seus subsistemas; A aditividade n˜ao pode ser recuperada. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 29. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Evoluc¸˜ao A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas; A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de Vlasov; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 30. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Evoluc¸˜ao A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas; A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de Vlasov; A ordem em que tomamos t → ∞ e N → ∞ ´e importante; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 31. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Evoluc¸˜ao A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas; A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de Vlasov; A ordem em que tomamos t → ∞ e N → ∞ ´e importante; Tempo de validade da descric¸˜ao de Vlasov cresce com o tamanho do sistema. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 32. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Evoluc¸˜ao A prescic¸˜ao de Kac elimina as correlac¸˜oes entre as part´ıculas; A evoluc¸˜ao do sistema passa a ser governada pela equac¸˜ao de Vlasov; A ordem em que tomamos t → ∞ e N → ∞ ´e importante; Tempo de validade da descric¸˜ao de Vlasov cresce com o tamanho do sistema. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 33. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Teorema de Braun-Hepp Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 34. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Escalas de tempo Primeiro est´agio: soluc¸˜ao est´avel da equac¸˜ao de Vlasov; Segundo est´agio: colis˜oes residuais. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 35. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Escalas de tempo: Sistemas n˜ao homogˆeneos: N; Sitemas homogˆeneos: N2. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 36. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs (BG) Intera¸c˜oes Limite Termodinˆamico Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Escalas de tempo: Sistemas n˜ao homogˆeneos: N; Sitemas homogˆeneos: N2. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 37. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Konishi e Kaneko (1992) Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 38. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Antoni e Ruffo (1995) Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 39. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Rotores XY interagindo Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 40. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Hamiltoniano H = N i=1 p2 i 2 + γ 2N N i,j=1 [1 − cos(θi − θj)]; H = N i=1 p2 i 2 − 1 − M2 2 ; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 41. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Hamiltoniano H = N i=1 p2 i 2 + γ 2N N i,j=1 [1 − cos(θi − θj)]; H = N i=1 p2 i 2 − 1 − M2 2 ; ¨θi = −M senθi . Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 42. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Hamiltoniano H = N i=1 p2 i 2 + γ 2N N i,j=1 [1 − cos(θi − θj)]; H = N i=1 p2 i 2 − 1 − M2 2 ; ¨θi = −M senθi . Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 43. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Propriedades Relaxac¸˜ao violenta; Transis˜oes de fase; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 44. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Propriedades Relaxac¸˜ao violenta; Transis˜oes de fase; Estados quasi-estacion´arios; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 45. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Propriedades Relaxac¸˜ao violenta; Transis˜oes de fase; Estados quasi-estacion´arios; Longo tempo relaxac¸˜ao. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 46. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Propriedades Relaxac¸˜ao violenta; Transis˜oes de fase; Estados quasi-estacion´arios; Longo tempo relaxac¸˜ao. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 47. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Analogia O HMF ´e o oscilador harmˆonico dos sistemas com interac¸˜oes de longo alcance. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 48. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Metodologia Simulac¸˜oes de Dinˆamica Molecular; Integrador simpl´etico de 4a ordem (PEFRL). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 49. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Dependˆencia da magnetizac¸˜ao inicial Figura 3: Magnetizac¸˜ao como func¸˜ao do tempo obtida usando dinˆamica molecular com N = 106 e mesma energia u = 0.62. Para M0 = 0.2 ´e paramagn´etico e para M0 = 0.8, ferromagn´etico. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 50. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Dependˆencia da energia inicial Figura 4: Espac¸o de fases obtido via dinˆamica molecular com N = 105 part´ıculas durante t = 5000τD.Em (a) u = 0.7 e (c) u = 0.45. A magnetizac¸˜ao inicial ´e a mesma em ambos casos, M0 = 0.8. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 51. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Teorema Virial Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio. Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende do tempo; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 52. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Teorema Virial Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio. Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende do tempo; No caso de interac¸˜oes de LA: p2 = − dqdpf (q, p) − ∂V (q) ∂q · q ; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 53. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Teorema Virial Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio. Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende do tempo; No caso de interac¸˜oes de LA: p2 = − dqdpf (q, p) − ∂V (q) ∂q · q ; Para um distribuic¸˜ao inicial do tipo WB: 2ε − 1 + M cos(θm) = 0 (CVG). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 54. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Teorema Virial Quanto mais pr´oximo da condic¸˜ao virial, menores s˜ao as oscilac¸˜oes do potencial de campo m´edio. Em um estado estacion´ario, o virial G = p · q n˜ao depende do tempo; No caso de interac¸˜oes de LA: p2 = − dqdpf (q, p) − ∂V (q) ∂q · q ; Para um distribuic¸˜ao inicial do tipo WB: 2ε − 1 + M cos(θm) = 0 (CVG). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 55. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Validade da Condic¸˜ao Virial Generalizada Figura 5: Evoluc¸˜ao da magnetizac¸˜ao ao longo do tempo para ε = 0.3(a), ε = 0.4(b), ε = 0.5(c) e ε = 0.6(d). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 56. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Modelo de part´ıcula teste Na condic¸˜ao virial o potencial de campo m´edio ´e est´atico; Cada uma das part´ıculas possui uma dinˆamica integr´avel; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 57. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Modelo de part´ıcula teste Na condic¸˜ao virial o potencial de campo m´edio ´e est´atico; Cada uma das part´ıculas possui uma dinˆamica integr´avel; ¨θ = −M senθ. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 58. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Modelo de part´ıcula teste Na condic¸˜ao virial o potencial de campo m´edio ´e est´atico; Cada uma das part´ıculas possui uma dinˆamica integr´avel; ¨θ = −M senθ. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 59. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Modelo de part´ıcula teste Figura 6: Mapa estrobosc´opico da dinˆamica da part´ıcula teste para ε = 0.3(a) e ε = 0.6(b). Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 60. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Kurtosis da distribuic¸˜ao de velocidades Definido como κ = p4 p2 ; Para distribuic¸˜oes Gaussianas (caso da distribuic¸˜ao MB), → κ = 3. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 61. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Kurtosis da distribuic¸˜ao de velocidades Definido como κ = p4 p2 ; Para distribuic¸˜oes Gaussianas (caso da distribuic¸˜ao MB), → κ = 3. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 62. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Distribuic¸˜ao de Velocidades Figura 7: Distribuic¸˜oes de velocidade no equil´ıbrio para um sistema onde ε = 0.6 e M0 = 0.43 no tempo t = 1.35 × 107τD, quando κ 3, obtidas atrav´es da dinˆamica molecular com N=60000 (pontos). A linha s´olida ´e a distribuic¸˜ao prevista pela estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 63. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Simula¸c˜ao Condi¸c˜ao Virial Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Colapso 2.5 2.8 3.0 0 200 400 600 800 1000 κ(t) t/10 4 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 0 200 400 600 800 1000 t/N 1.00 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 Figura 8: Relaxac¸˜ao para o equil´ıbrio, caracterizada pelo Kurtosis, com o tempo reescalado por 3 × 104τD em (a) e por τ× = τDN1.0 em (b). Neste caso a energia ´e ε = 0.6 e a magnetizac¸˜ao inicial vale 0.43. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 64. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Ilustrac¸ao Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 65. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Hamiltoniano H = N i=1 1 2 p2 θi + p2 φi + 1 2N N i,j=1 [1 − cos(θi − θj)] + 1 2N N i,j=1 [1 − cos(φi − φj)] + N i=1 cos(θi − φi ) . Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 66. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio HMF + HMF + curto alcance H = Hθ + Hφ + N i=1 cos(θi − φi ); Hθ = N i=1 1 2 p2 θi + N 2 1 − M2 θ ; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 67. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio HMF + HMF + curto alcance H = Hθ + Hφ + N i=1 cos(θi − φi ); Hθ = N i=1 1 2 p2 θi + N 2 1 − M2 θ ; Hφ = N i=1 1 2 p2 φi + N 2 1 − M2 φ . Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 68. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio HMF + HMF + curto alcance H = Hθ + Hφ + N i=1 cos(θi − φi ); Hθ = N i=1 1 2 p2 θi + N 2 1 − M2 θ ; Hφ = N i=1 1 2 p2 φi + N 2 1 − M2 φ . Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 69. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Modelo de Part´ıcula teste Utilizaremos os valores estacion´arios de Mθ e Mφ obtidos da simulac¸˜ao; Faremos um mapa estrobosc´opico do plano pθ vs. θ quando pφ = 0. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 70. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 71. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Figura 10: Diagrama contendo a evoluc¸˜ao temporal para N = 100000, = 0.1 com energias εθ = εφ = 0.45, εθ = εφ = 0.5 e εθ = εφ = 0.6. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 72. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Hip´oteses O Caos no qSS levar´a o sistema mais rapidamente ao equil´ıbrio termodinˆamico. Quanto maior o valor do acoplamento menor ser´a o valor do expoente δ. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 73. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Kurtosis Figura 11: Distribuic¸˜oes de velocidades, (a) pθ e (b) pφ, para um sistema inicialmente distribuido como uma waterbag de magntizac¸˜oes Mθ = −Mφ = 0.638 e energias εθ = εφ = 0.6, cuja constante de acoplamento vale = 0.5. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 74. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Descri¸c˜ao Relaxa¸c˜ao ao equil´ıbrio Colapso: = 10−2 e δ = 0.55 Figura 12: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104 (vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais s˜ao: E = 0.6, = 0.01 e M = 0.441. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 75. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras O que fizemos Propomos um modelo com interac¸˜oes mistas; Obtemos uma condic¸˜ao virial generalizada para o modelo; Para um mesmo valor de , o aumento da energia faz com que o qSS seja destru´ıdo mais rapidamente; Identificamos que caos no modelo de part´ıcula teste est´a com valor do expoente delta δ. Tempo de relaxac¸˜ao diminui a medida que aumentamos o acoplamento, apesar de ser dif´ıcil identicar o colapso para > 0.15; Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 76. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Pr´oximos passos Caracterizar o caos atrav´es da obtenc¸˜ao dos expoentes de Lyapunov; Obter uma estimativa te´orica para o tempo de relaxac¸˜ao; Implementac¸˜ao em CUDA. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 77. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras THE END Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 78. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras 2.5 2.8 3.0 0 2000 4000 6000 8000 10000 κ(t) t/103 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 0 2000 4000 6000 8000 10000 t/N0.75 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 Figura 13: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104 (vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais s˜ao: E = 0.6, = 0.001 e M = 0.432.Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 79. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras 2.5 2.8 3.0 0 20000 40000 60000 80000 100000 κ(t) t/102 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 0 20000 40000 60000 80000 100000 t/N0.50 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 Figura 14: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104 (vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais s˜ao: E = 0.6, = 0.1 e M = 0.500.Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 80. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras 2.5 2.8 3.0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 κ(t) t/2.5x103 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 t/N0.85 τD N=10000 N=20000 N=40000 N=80000 Figura 15: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104 (vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais s˜ao: E = 0.6, = 1.0 e M = 0.725.Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 81. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Figura 16: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104 (vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais s˜ao: E = 0.6, = 1.5 e M = 0.777. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.
  • 82. Introdu¸c˜ao Modelo HMF Modelo HMF-Ladder Conclus˜oes e Perspectivas Extras Figura 17: Kurtosis como func¸˜ao do tempo para diferentes de N: 3 × 104 (vermelho), 4 × 104(azul), 5 × 104 (verde), 6 × 104 (laranja). As condic¸˜oes iniciais s˜ao: E = 0.6, = 2.0 e M = 0.812. Felipe Leite Antunes Intera¸c˜oes gravitacionais e um problema em aberto na ME.