Matriks eselon dan matriks eselon tereduksi merupakan bentuk matriks khusus yang memenuhi syarat-syarat tertentu, dimana matriks eselon tereduksi merupakan bentuk lebih sederhana dari matriks eselon. Eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan merupakan metode untuk mengoperasikan matriks menjadi bentuk eselon atau eselon tereduksi sehingga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear.

3. Matriks eselon
Suatu matriks dikatakan eselon jika memenuhi
syarat berikut:
1. Bila ada baris yang tak semua nol, maka elemen
pertama yang bukan nol harus bilangan 1.
2. Elemen pertama yang bukan nol pada baris di
bawahnya harus di sebelah kanan 1.
3. Baris yang semua nol harus pada bagian bawah.

4. Contoh matriks eselon:

5. Matriks eselon tereduksi
Suatu matriks bisa disebut matriks eselon tereduksi
jika memenuhi syarat berikut:
1. Bila ada baris yang tak semua nol, maka elemen
pertama yang bukan nol harus bilangan 1.
2. Elemen pertama yang bukan nol pada baris di
bawahnya harus di sebelah kanan 1.
3. Baris yang semua nol harus pada bagian bawah.
4. Pada setiap kolom yang memiliki 1 utama, harus
memiliki nol pada tempat-tempat lainnya.

6. Contoh matriks eselon tereduksi:

7. Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan
nilai-nilai didalam matriks sehingga menjadi matriks
yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich
Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi
baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yeng
eselon. Ini dapat digunakan Operasi eliminasi sebagai salah Gauss
satu metode
penyelesaian persamaan linear dengan matriks.
Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut
ke dalam matriks teraugmentasi dan
mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks eselon,
lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai-nilai
variabel tersebut.

8. Contoh: Maka mendapatkan
diketahui
persamaan linear
x baru, + 2y yaitu:
+ z = 6
x + 2y 3y + z 2z = 6
= 9
2x y+ + z = y 3
+ 2z = 12
z Tentukan = 3
nilai x, y, z
kemudian lakukan substitusi balik, maka didapatkan:
y + z =3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z =6
x + 0 + 3 =6
x = 3
jadi, nilai dari x=3, y=0, dan z=3
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan matriks tersebut:
Baris ke dua dikurangi baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi dengan 3 (matriks menjadi eselon)

9. Operasi eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan
dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana.
Caranya adalah dengan meneruskan operasi bilangan
baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan
matriks yang eselon tereduksi. Ini juga dapat digunakan
sebagai salah Operasi satu metode eliminasi penyelesaian Gauss-jordan
persamaan
linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan
mengubah persamaan linier tersebut ke dalam matriks
teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah
menjadi matriks eselon tereduksi, maka langsung dapat
ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa
substitusi balik.

10. Contoh:
x + 2y + 3z = 3
Maka, didapatkan nilai
2x + 3y + 2z = 3
x=2, y=-1, dan z=1
2x + y + 2z = 5
Tentukan nilai x, y, dan z
Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks
Operasikan matriks tersebut:
Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (maka menjadi matriks eselon
tereduksi)