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加法よりも低レベルな演算を考える
- 3. 定義
x + x = x × 2
x × x = x ^ 2
ということは
x ⊕ x = x + 2
こう定義するのが自然そう
( “⊕” は「準加算記号」とでも名前を付けておく)
- 4. 定義
x + x + … + x = x × y
x × x × … × x = x ^ y
x ⊕ x ⊕ … ⊕ x = x + y
y
y
y
- 5. 具体的には
0 ⊕ 0 = 2
1 ⊕ 1 = 3
2 ⊕ 2 = 4
3 ⊕ 3 = 5
4 ⊕ 4 = 6
⊕ 0 1 2 3 4
0 2
1 3
2 4
3 5
4 6
- 6. もっと計算
0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 3 → (0 ⊕ 0) ⊕ 0 = 2 ⊕
0
1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 4 → (1 ⊕ 1) ⊕ 1 = 3 ⊕
1
2 ⊕ 2 ⊕ 2 = 5 → (2 ⊕ 2) ⊕ 2 = 4 ⊕
2
⊕ 0 1 2 3 4
0 2 3
1 3 4
2 3 4 5
3 4 5
4 5 6(交換法則を仮定)
- 7. もっと計算
0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 4 = 3 ⊕ 0
1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 5 = 4 ⊕ 1
2 ⊕ 2 ⊕ 2 ⊕ 2 = 6 = 5 ⊕ 2
⊕ 0 1 2 3 4
0 2 3 4
1 3 4 5
2 3 4 5
3 4 4 5
4 5 5 6順調に埋まってる!
- 8. 結合法則を仮定すると…
0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 0 = 6
(0 ⊕ 0) ⊕ (0 ⊕ 0) ⊕ (0 ⊕ 0) = 2 ⊕ 2
⊕ 2 = 5
(0 ⊕ 0 ⊕ 0) ⊕ (0 ⊕ 0 ⊕ 0) = 3 ⊕ 3 =
5
…矛盾!
- 10. また結合法則を仮定すると…
1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 7
(1 ⊕ 1) ⊕ (1 ⊕ 1) ⊕ (1 ⊕ 1) = 3 ⊕ 3
⊕ 3 = 6
(1 ⊕ 1 ⊕ 1) ⊕ (1 ⊕ 1 ⊕ 1) = 4 ⊕ 4 =
6
…どのみち矛盾!
- 11. 零元
a ⊕ a = a となるようなaはある?
→定義より a ⊕ a = a + 2
_人人人人人人人人人_
> 非常に厳しい! <
 ̄Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y ̄
- 12. 代数学的アプローチ
f(x) = x + 1 (: インクリメント演算)
f2(x) = f(f(x)) = x + 2 = x ⊕ x
f3(x) = f(f(f(x))) = x + 3 = x ⊕ x ⊕ x
fy(x) = x + y (= fx(y))