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IJPC-2 E問題解説
- 2. 問題概要 以下のコマンドを処理してください 𝑖回目のコマンドの時、𝐴1～𝐴 𝑝の中で、𝑖 + 𝑣で割った余り が𝑖以上の値のものをすべて、 その数より大きい最小の 𝑖 + 𝑣の倍数に置き換える 𝐴 𝑝 の値を出力する 𝐴1～𝐴 𝑛 すべてに𝑣を加える はじめ、 𝐴1～𝐴 𝑛 はすべて0
- 4. 考察 𝑖回コマンドを行った時の各𝐴𝑗の値を𝐵𝑖,𝑗とする そして、次の図を眺める 𝐵0,1 𝐵0,2 … 𝐵0,𝑁 𝐵1,1 𝐵1,2 … 𝐵1,𝑁 𝐵2,1 𝐵2,2 … 𝐵2,𝑁 … 𝐵 𝑄,1 𝐵 𝑄,2 … 𝐵 𝑄,𝑁
- 5. 考察 𝑖回コマンドを行った時の各𝐴𝑗の値を𝐵𝑖,𝑗とする そして、次の図を眺める 𝐵0,1 𝐵0,2 … 𝐵0,𝑁 𝐵1,1 𝐵1,2 … 𝐵1,𝑁 𝐵2,1 𝐵2,2 … 𝐵2,𝑁 … 𝐵 𝑄,1 𝐵 𝑄,2 … 𝐵 𝑄,𝑁 こ っ ち か ら 更 新 し て み よ う
- 7. 考察 𝑋1～𝑋 𝑄が与えられ、𝑥座標が𝑋𝑖の位置に𝑇𝑖(𝑇𝑖 ≧ 𝑖)秒間 緑信号、𝑣𝑖(1 ≦ 𝑣𝑖 ≦ 10)秒間赤信号の信号を置くことを 考える。 ただし、 𝑋1 ≦ 𝑋2 ≦ ⋯ ≦ 𝑋 𝑄 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴 𝑄の順番でこれらを設置していくので、あると ころまで設置した際、時間0で0からスタートして𝑥座標 が𝑥の場所にたどり着くのはいつか毎秒1動くとき答えよ というクエリに答える問題になる
- 8. 考察 この問題において、各信号の色が変わる回数というのを 考える これは、𝑇𝑖 + 𝑣𝑖秒して、初めて緑と赤が終わるので、𝑖回 目の信号にたどり着く時間としてありうるのが𝑋𝑖秒から 𝑋𝑖 + 𝑘=0 𝑖−1 𝑣 𝑘秒の間であることより、 1 ≦ 𝑣𝑖 ≦ 10である ことを利用すると、この周期は高々10(𝑖 − 1)/(𝑇𝑖 + 𝑣𝑖) 回しか起こらず、𝑇𝑖 ≧ 𝑖 より、高々10回しか変わることが ない
- 9. 解法 よって、新しい信号機が変わるたびに、各信号がいつに なったら状態が変わるかの値をsegtreeで管理すること により、各信号機にたどりつく時間を管理することができ る これで、各クエリに対して、最も近い信号機からの距離を 足してあげることで解くことができる ただし、このsegtreeはやや実装が重くバグりやすい 計算量 𝑂(10𝑄𝑙𝑜𝑔𝑄)