1. 70 Aritmética
La multiplicación
Reflexiones
adicionales
En esta lección se aborda el
estudio de la multiplicación
con números de dos dígitos
y se explota el significado de
esta operación como: “tomar
un número de veces una can-
tidad” que se desarrolló con a los alumnos una herra-
números pequeños. A partir de
mienta que les permite tra-
esto los alumnos construyen
procedimientos no conven- ducir un problema nuevo a
cionales para multiplicar con un problema ya conocido.
números más grandes.
Para continuar con las pro-
Se aprovechan las habili-
piedades de la multiplica-
dades que han desarrollado los
alumnos para “descomponer ción, se descompone uno de
y componer” números. Por los factores en sumandos, y
ejemplo, para multiplicar por se aplica de forma implícita,
7, lo descomponen en 4 y 3, se la propiedad distributiva, sin
desagrega de esa manera el 7
formalizarla todavía.
para aprovechar que los alum-
nos ya saben cómo multiplicar
por 4 y por 3. Esto significa Esta parte concluye cuando
“reducir un problema nuevo a Fig. 1 se llega a la propiedad aso-
un problema que antes ya se ha ciativa a partir de un proble-
resuelto”. Además, con ello se
ma. De nueva cuenta se acu-
induce el conocimiento de la
propiedad distributiva del pro- En las páginas 22 a 37 del de que si aumentamos o dis- de a la estrategia de traducir
ducto respecto a la suma. Tomo III, Vol. 1, se abunda minuimos en 1 el número de un problema nuevo a un pro-
en el conocimiento y dominio veces que tomamos un nú- blema conocido (Fig. 2).
De esta manera se propicia de la multiplicación. mero, el producto se incre-
que los alumnos construyan las
Esta lección consta de cua- menta o disminuye tantas En la segunda parte, págs.
tablas de multiplicar, es decir,
no se presentan como “reglas tro partes: veces como el número que 27 a 29, gracias a un juego de
ciegas”. Las tablas de multipli- En la primera parte se abor- se eligió; por ejemplo: que tarjetas en la página 26 (Fig. 3)
car no se presentan como “re- dan las propiedades de la noten que la tabla del 3 va de se induce el concepto de la
cetas que deben aprenderse de multiplicación con números 3 en 3, la del 4 va de 4 en 4, multiplicación por cero, el
memoria”, más bien son el re-
de un dígito, aspecto que los etc. Por consiguiente, para cual se ejercita a partir de los
sultado de lo que van constru-
yendo los alumnos a partir de alumnos han estudiado en resolver 4×5 basta con saber valores de las tarjetas y el nú-
sus habilidades para componer los grados anteriores, por cuánto es 4×4, es decir, el mero de éstas en cada zona
y descomponer números que medio de la construcción de conocimiento que se aborda del tablero de “tiro al blanco”con
previamente han desarrollado. la tabla de multiplicar. en esta lección proporciona determinado puntaje:
Debe notarse que la mul-
tiplicación por 10 se aborda a Para completar esta tabla
partir de agrupar y contar, que (Fig. 1) Inicialmente se les
son acciones intuitivas que los hacen algunas preguntas a
alumnos han realizado usando los alumnos y después se les
materiales manipulables, des-
da un ejemplo gráfico que su-
pués se concluye que al mul-
tiplicar por 10 se aumenta un giere que en la multiplicación,
cero al otro multiplicando. el resultado es el mismo si el
multiplicando y el multiplica-
En resumen, se le va dando dor intercambian su posición
sentido y significado a la multi-
(propiedad conmutativa).
plicación a partir de lo que pre-
viamente saben los alumnos. Fig. 3
Enseguida se retoma el con-
Cabe aclarar que a los estu- cepto de multiplicación con el
diantes no se les dan los nom- manejo de una secuencia nu-
bres de las propiedades, más
mérica, que induce la idea
bien se pide que las entiendan
y que las apliquen; sin embar-
go, para nosotros es importante
recordar estas propiedades.
Fig. 2

2. Aritmética 71
Reflexiones
El recuadro del pollito otros dígitos, no se da una re- mas donde se emplean este adicionales
sugiere la conclusión a la gla de inmediato, sino que se tipo de multiplicaciones.
que deben llegar: les vuelven a presentar ejem- Las propiedades de la multi-
plicación con números enteros
plos gráficos que les permi- Para finalizar, hay una serie
son las siguientes:
de ejercicios, son variados y
se practica lo visto en los Propiedad de cerradura:
apartados anteriores. Tam- Dados a y b ∈ Z existe c tal que
bién se proponen problemas ab = c, donde c también es un
número entero.
que involucran las nociones
sobre multiplicación y se pre- Propiedad conmutativa:
Fig. 4
senta un reto donde se debe a•b=b•a
En la tercera parte, desde ten deducir de forma gradual localizar el valor del multipli-
la página 29 se pretende lle- las reglas. cador y el multiplicando a Cuando dos números se multi-
plican, el producto es el mismo
gar a la regla para multipli- En lo que respecta a la partir de los productos. Se
sin importar el orden de los
car por 10. Para lograrlo, se cuarta parte, en la página 30 debe notar que en este caso multiplicandos.
inicia con un problema donde (Fig. 6), se utiliza la multipli- se induce el concepto de la
es necesario saber el número cación con 10 y con 100, división como la operación Propiedad asociativa:
total de calcomanías que hay por ello se plantean proble- inversa de la multiplicación. a • (b • c) = (a • b) • c
en una planilla (Fig. 5). Se
Cuando se multiplican tres o
debe notar que aun cuando el más números, el producto es
alumno ya trabajó antes la el mismo sin importar como se
multiplicación por cero y por agrupan los factores.
Propiedad distributiva:
a • (b+c) = a • b + a • c
Fig. 6
La suma de dos números por
Es decir, como la operación un tercero es igual a la suma
que da a conocer el producto de cada sumando por el tercer
número.
y uno de los factores, nos
permite encontrar el otro fac- Elemento neutro:
tor. Dicho de otra manera, al a•1=1•a=a
conocer el divisor y el divi-
dendo, se obtiene el cociente. Cuando se multiplica cualquier
número por uno, el producto es
el mismo número.
Todo número multiplicado por
0 da por resultado 0. La multi-
plicación por 0 se aborda des-
pués de deducir las propieda-
des de la tabla de multiplicar.
Fig. 5
Actividades que se sugieren para los futuros docentes
1. En esta lección se introducen las propiedades conmutativa y distributiva de la multiplicación con números naturales.
¿En qué momentos de la lección y con qué propósitos didácticos se usan esas propiedades? Discute tu respuesta con
tus compañeros y tu profesor.
2. Escribe cinco ejemplos en los que la propiedad distributiva del producto respecto a la suma permite agilizar los cálculos.
3. ¿Qué significado tiene la expresión “aprender las tablas de multiplicación como reglas ciegas”? Discute tu respuesta con tus
compañeros y tu profesor.
4. ¿Qué ventajas didácticas ofrece el hecho de propiciar que no se aprendan las tablas de multiplicar como “reglas ciegas”?
Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.
5. ¿Pueden aprovechar los alumnos su conocimiento de las propiedades de la multiplicación para agilizar sus procedimientos para
calcular? Justifica tu respuesta presentando varios ejemplos y discute su pertinencia con tus compañeros y tu profesor.
6. Seguramente hay otras maneras de propiciar que los alumnos no aprendan las tablas de multiplicar como “reglas ciegas”.
Encuentra una de esas maneras y compárala en términos de sus ventajas didácticas con las que se presentan en este texto.
Discute tu propuesta con tus compañeros y tu profesor.
7. Investiga si la propiedad del inverso multiplicativo se cumple para los números enteros y cuáles de las propiedades antes
señaladas no se cumplen para los números naturales. En cada caso proporciona un ejemplo que te permita justificar tu respuesta.