Conjuntos y Numeros Reales

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria,
Ciencia y Tecnología.
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara “Andrés Eloy
Blanco”
Barquisimeto-Edo. Lara
CONJUNTOS Y NUMEROS REALES
Yennifer Vargas
C.I 24.614.155
Sección: 0406

2. Concepto de conjuntos
Se puede entender el concepto de conjunto como aquella colección
de elementos, pertenecientes a la misma categoría, y cuya
agrupación puede ser considerada o identificada en sí misma como
un objeto.
De esta forma, por ejemplo, un grupo de frutas puede conformar un
conjunto, puesto que se trata de una agrupación de elementos de la
misma naturaleza. En este sentido, casi todos los tipos de objetos,
tanto concretos como abstractos, agrupados con otros iguales
conforman conjuntos. Es decir, que tanto un grupo de números,
como un grupo de figuras, o incluso un grupo de personas pueden
considerarse como conjuntos en sí mismo, conformados por
miembros entre los cuales existe un tipo de relación específica.

3. Operaciones con conjuntos
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo
de ciertos conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos:
Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se
representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que
pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
Intersección:(símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B
es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.

4. Diferencia:(símbolo) La diferencia del conjunto A con B es el
conjunto A B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que
esté en B.
Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto
A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A,
respecto a un conjunto U que lo contiene.

5. Diferencia simétrica:(símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que
pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
Producto cartesiano:(símbolo ×) El producto cartesiano de dos
conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados
(a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un
segundo elemento b perteneciente a B.

6. Numero Reales
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el
conjunto de los números reales, se designa por .
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones,
excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la
división por cero.

7. Valor Absoluto
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo
número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
|x|< 2 − 2 < x < 2 x (−2, 2 )
|x|> 2 x< 2 ó x>2 (−∞, 2 ) (2, +∞)
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7
Propiedades:
1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
Ejemplo: |5| = |−5| = 5
2 El valor absoluto de un producto es igual al producto de los
valores absolutos de los factores.
|a · b| = |a|· |b|

8. Ejemplo:
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|
|−10| = |5| · |2|
10 = 10
3 El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los
valores absolutos de los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
Ejemplo:
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|
|3| = |5| + |2|
3 ≤ 7
Distancia
La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se
define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:
d(a, b) = |b − a|

9. Ejemplo:
La distancia entre −5 y 4 es:
d(−5, 4) = |4 − (−5)| =
= |4 + 5| = |9|
Desigualdades con Valor Absoluto
Antes de entrar al tema de las desigualdades con valor absoluto
empecemos por definir una desigualdad.
Resolver una desigualdad significa encontrar un intervalo que
satisface a la desigualdad original. A ese intervalo le llamaremos
intervalo solución. Para resolver una desigualdad se utilizan las
técnicas de las ecuaciones, con la siguiente diferencia “Cuando se
multiplica o divide por una cantidad negativa, el sentido de la
desigualdad se invierte”.
Desigualdades con valor absoluto
Para resolver desigualdades con valor absoluto es necesario aplicar
las propiedades del valor absoluto que son:
|x + a| > b = x + a > b ó x + a < -b

10. |x + a| > b = x + a < b ó x + a > -b
Ejemplos
Resolver las siguientes desigualdades con valor absoluto,
expresando la respuesta en forma de intervalo:
1. |2x +4 | > 7
2x + 4 > 7
2x > 7 – 4
2x > 3
x > 3/2
2x + 4 < -7
2x < -7 – 4
2x < -11
x < -11/2
(-∞, -11/2) U (3/2, ∞)
2. |2x + 4| < 7
2x + 4 < 7
2x < 7 – 4
2x < 3

11. x < 3/2
2x + 4 > -7
2x > -7 – 4
2x > -11
x > -11/2
(-11/2, 3/2)
3. |2x + 3 /(x – 1)| > 1
2x + 3 / (x -1) > 1
(2x + 3 / (x -1)) – 1 > 0
2x + 3 – x + 1 / (x -1) > 0
X + 4 / (x -1)> 0
x = -4
x = 1
2x + 3 / (x -1) < -1
(2x + 3 / (x -1)) + 1 < 0
2x + 3 + x – 1 / (x -1) < 0
3x + 2 / (x -1) < 0
x = -2/3
x = 1

12. (-∞, -4) U (-2/3, 1) U (1, ∞)
4. |2x + 1| > -1
(-∞, ∞)
5. |2x + 1| < -1
No hay solución.
6. |x2 – 4| > 0
X2 – 4 > 0
X2 > 4
X2 – 4 < 0
X2 < 4
(-∞, -2) U (-2, 2) U (2, ∞)

13. Ejercicio de conjuntos:
Escribir estos conjuntos con el método de compresión.
a) A que consiste de las letras a, b, c, d y e. Pueden existir muchas
soluciones
Primer resultado:
A x | x esta antes de f en el alfabeto = { } y como segundo resultado
se tiene el
Siguiente:
A x | x es unas de las primeras cinco letras del alfabeto = { }
b) B 2, 4, 6,8,... = { }
B x | x es positivo y par = { }
c) El conjunto C de todos los países de Estados Unidos.
C x | x es un país, x esta en los Estados Unidos = { }
d) El conjunto D 3 = { }
D x | x 2 1 x | 2x 6 = −= = = { } { }

14. Ejercicio Resuelto
Escribir estos conjuntos con el método de compresión
a) A que consiste de las letras a, b, c, d y e. Pueden existir muchas
soluciones
Primer resultado:
A= {x | x esta antes de f en el alfabeto} y como segundo resultados
tiene el siguiente:
A= {x | x es unas de las primeras cinco letras del alfabeto}
b) B= {2, 4, 6,8,...}
B= {x | x es positivo y par}
c) El conjunto C de todos los países de Estados Unidos.
C = {x | x es un país, x esta en los Estados Unidos}
d) El conjunto D = {3}
D= {x | x - 2 =1}= {x | 2x =6}

15. Referencia Bibliográfica
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/rea
les/los-numeros-reales.html
https://matematicasmodernas.com/desigualdades-con-valor-
absoluto/