Recta en R3

1. REPUBLICA BOLIVARIANADE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LAS
FUERZAS ARMADAS
(UNEFA)
RECTA EN R3
INTEGRANTES :
YENDERSON LOPEZ
DAYANA VARGAS
JOSE COLMENAREZ
FELIPECASTILLO
DAVID DAVILA
SECCION: 1T2IS
BARQUISIMETO 3/7/2012

2. RECTA EN R3
Sea P0(x0,y0,z 0) un punto que pertenece a la
recta L, con vector directord diferente del vector
cero dado por (a,b, c). Se define a L como el
conjunto de puntos P(x ,y ,z ) tales que la
dirección del vector P0P es paralela a d
Esto es P0P = (x− x0, y− y0,z − z 0)=t (a,b,c) ;t ∈R −{0}
A partir de la ecuación (1) se obtiene x=x0 + at
y= y0 + bt
z =z0 + ct
Que se denominan las ecuaciones paramétricas de L con parámetro t.
Como t satisface a las tres coordenadas simultáneamente para un punto dado , se
puede despejar e igualar t, obteniendo de esta forma las ecuaciones simétricas :
x –x0/a =y-y0/=z-z0/c ; a , b , c ∈ R - {0}

3. ECUACIONES EN RECTA R3
Ecuaciones simétricas de una recta :
Sea A un punto y B un vector en R3 .
__ , __, Con respecto a las ecuaciones paramétricas
Sea L la recta de ecuación OX = OA + tB,com t ∈ R obtenidas en (2), si suponemos queb1 0,
=
b2 0 y b3 0 entonces se tiene que
= =
Sean X = ( x, y , z ), A =( a1 , a 2 , a3 ) y B ( b1 , b2 , b3 )
entonces se tiene : X = a1 + tb1 = x – a1 = tb1 : o sea que
y – a1/b1 = t (3)
Ecuaciones Paramétricas de una Recta :
Y= a2 + tb2 = x – a2 = tb2 , o sea que
OX =OA +tB= ⇒( x,y,z) = (a1,a2,a3) + t(b1,b2,b3), de donde y – a2 / b2 = t (4)
realizando las correspondientes operaciones se tiene que
x = a2 + tb2 X = a3 + tb3 = x – a3 = tb3 ; o sea que
y = a2 + tb2 con t ∈ R z – a3 / b3 = t (5)
z = a3 + tb3
Las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones Como las ecuaciones (3) ,(4),y (5) el lado
paramétricas de la recta que pasa por ( a1 , a2 ,a3 ) y cuyo izquierdo esta igualado a T , entonces se
vector director es ( b1 , b2 , b3 ). cumple que
x-a1/b1 =y – a2 /b2 = z – a3 /b3 hay simetría

4. Angulo entre una recta y un plano :
Se define el ángulo que forman dos rectas como el ángulo que determinan
sus vectores directores.
Sea N un vector en R 3 diferente de ceo . Sea T un punto en R3 .
Se dice que el conjunto de puntos X generan un plano que contiene al punto
T, si cumplen que :
__ __
(0X - 0T) . N = 0
Si se denota por π el plano que contiene a
T y los puntos X En R3 que satisfacen (∗), entonces se dice que N es el
vector normal de π.

5. Números Directores de la Intersección de los Panós :
Para determinar un plano se necesitan un punto Po(x o ,yo ,zo) y un vector Ñ(A, B,C)normal al plano. La ecuación
del plano viene entonces dada por la relación:
A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0 ⇒A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)
Donde D = -A.xo - B.yo - C.zo
Se pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de los coeficientes de la ecuación (1) sean
nulos.
a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma:
B.y + C.z + D = 0
Siendo el vector director normal al
plano de la forma:

6. b) Plano paralelo al eje OY.
Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma:
A.x + C.z + D = 0
Siendo el vector director normal al plano de la forma:
C) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma:
A.x + B.y + D = 0
Siendo el vector director normal al plano
de la forma:
d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la forma:
A.x + B.y + C.z = 0

7. Plano que para por dos Puntos:
Siendo Po , P1 y P2 tres puntos no consecutivos pertenecientes a un plano, podemos considerar un punto
genérico P de dicho plano y determinar entonces tres vectores dados por las siguientes coordenadas:
Como sabemos que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean
coplanarios, es que su producto mixto sea nulo, podemos hacer:
Como caso particular de esta ecuación se puede calcular la ecuación segmentaria del plano. Se trata de
saber la ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos
x = a ; y = b ; z = c.