Dokumen tersebut membahas fungsi delta Dirac dan potensial fungsi delta. Fungsi delta Dirac memiliki nilai tak hingga pada satu titik dan nol pada titik lainnya. Dokumen tersebut menyelesaikan persamaan Schrodinger untuk partikel dalam potensial fungsi delta dan memperoleh fungsi gelombang ternormalisasi.

1. MATERI PERKULIAHAN
4. Potensial Fungsi Delta
Fungsi Delta Dirac dalam satu dimensi dituliskan dengan − , merupakan
suatu “fungsi” yang secara matematis tidak memenuhi kriteria sebagai sebuah
fungsi karena bernilai tak hingga pada suatu titik. Namun demikian, dalam fisika
Fungsi Delta Dirac merupakan konstruksi yang penting. Beberapa karakteristik
dari Fungsi Delta Dirac yaitu
0, jika ≠
− = 1
∞, jika =
a)
b) − =1 2
c) − = 3
d) ′ − =− 4
Jika Fungsi Delta Dirac berbentuk , artinya = 0 maka fungsi ini bernilai
tak hingga pada titik = 0 dan bernilai nol pada titik lainnya. Gambar 1
menunjukkan grafik Fungsi Delta Dirac − . Fungsi Delta Dirac mirip
dengan fungsi gaussian dengan area yang sangat sempit dan dengan puncak yang
tak hingga.
∞
Gambar 1. Fungsi delta Dirac −
Sekarang kita tinjau partikel bermassa dengan energi negatif , berada pada
daerah dengan potensial berbentuk fungsi delta

2. = −! 5
dengan ! adalah konstanta.
= −!
−∞
Gambar 2. Fungsi delta Dirac = −!
Bagaimana fungsi gelombang dari partikel tersebut? Jelas bahwa potensial
bernilai tak hingga pada titik = 0 dan bernilai nol pada daerah lainnya. Untuk
itu, kita pecahkan persamaan Schrodinger pada daerah < 0 dan >0
Pada daerah < 0, = 0 maka persamaan Schrödingernya adalah
ℏ& &
'
− = ' 6
2 &
&
' 2
=− '
& ℏ&
&
'
&
= )&' 7
&-
dengan ) ≡ ,− ℏ.
, bernilai real dan positif (karena negatif). Persamaan (7)
adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar real berlainan, solusinya
adalah
' =/0 12
+ 4 0 12 8
Syarat fungsi gelombang pada daerah < 0 adalah jika → −∞ maka ' →0
' −∞ = 0

3. /0 +40 =0
/=0
Jadi persamaan (8) menjadi
' = 4 0 12 9
Sama halnya pada daerah < 0, pada daerah > 0, = 0 maka persamaan
Schrödingernya sama dengan persamaan (6). Dengan demikian, solusinya juga
sama hanya saja koefisiennya dibedakan
' =80 12
+ 9 0 12 10
Syarat fungsi gelombang pada daerah > 0 adalah jika → +∞ maka ' →0
' ∞ =0
80 +90 =0
9=0
Jadi persamaan (8) menjadi
' =80 12
11
Dengan demikian, solusi persamaan Schrodinger untuk semua daerah telah
diperoleh, yaitu
4 0 12 , :;<:) <0
' = 12
8 0 12 , :;<:) >0
Untuk memperoleh hubungan antara koefisien 4 dan 8 maka kita terapkan syarat
kontinuitas fungsi gelombang pada = 0 maka
' 0 =>?=1 2@A =' 0 =>?=1 2BA
4 0A = 8 0A
4=8
Maka ' pada persamaan (12) menjadi

4. 4 0 12 , untuk ≤0
' = 13
4 0 12 , untuk ≥0
'
Gambar 2. Fungsi gelombang ' untuk potensial fungsi delta
Dari grafik tampak bahwa pada titik = 0, kemiringan grafik tidak sama. Hal ini
berarti bahwa turunan pertama fungsi gelombang pada = 0 mengalami
diskontinuitas (tidak kontinue). Turunan pertama ' pada = 0 untuk fungsi
gelombang daerah kiri adalah
' H = 4 0 12 H
2IA 2IA
' H = )40 12 |2IA
2IA
' H = )4 14
2IA
sedangkan turunan pertama ' pada = 0 untuk fungsi gelombang daerah
kanan adalah
' H = 40 12
H
2IA 2IA
12 |
'& H = −)40 2IA
2IA
'& H = −)4 15
2IA

5. Ketidakkontinuan fungsi gelombang pada permasalahan potensial tak hingga,
adalah kasus pengecualian bahwa turunan pertama fungsi gelombang harus
kontinue pada semua .
Pada area yang sangat sempit di sekitar = 0, persamaan Schrödingernya adalah
ℏ& &
'
− −! ' = ' 16
2 &
Kemudian kita integralkan persamaan Schrödinger di sekitar titik = 0, yaitu
dari – L sampai +L maka dengan L → 0
ℏ& NO &
' NO NO
− M −!M ' = M '
2 –O &
–O –O
ℏ& '
− P∆ R−!' 0 = 0
2
' 2
P∆ R=− !' 0
ℏ&
' ' 2
H − H =− !' 0
2INO 2I O ℏ&
ST 2 ST 2
U U
S2 2INO S2 2I O
Suku tidak lain adalah persamaan (15) sedangkan suku
adalah persamaan (14). Sementara itu, dari persamaan (13) diperoleh bahwa
' 0 = 4, maka diperoleh
2
−)4 − )4 = − !4
ℏ&
!
)= 17
ℏ&
&-
dengan menghubungkan definisi ) ≡ ,− ℏ.
dengan persamaan (17) maka
2 !
V− =
ℏ& ℏ&
ℏ& ! &
= −W & X
ℏ 2

6. !&
=− 18
2ℏ&
Normalisasi fungsi gelombang '
N
M |' |& =1
A N
M |'Y |& +M |'& |& =1
A
A N
M |40 12 |& +M |40 12 |&
=1
A
A N
4 M 0
& &12
+4 M &
0 &12
=1
A
A
Z .[ Z ].[
4& &1
U + 4& &1 A
U =1
4& 4&
+ =1
2) 2)
4 = √)
!
4=,
ℏ&
! -_
=,
|2|
' 0 ℏ. 13
ℏ&
Inilah fungsi gelombang ternormalisasi dari partikel berenergi negatif yang berada
dalam daerah dengan potensial berbentuk fungsi delta, −! .
Lalu bagaimana persamaan fungsi gelombang dan berapa energi yang dimiliki
partikel jika energinya positif ?