1. 1
L’espace est muni d’une repère orthonormé direct ( )k,j,i,O .
Produit scalaire dans l’espace.
Définition
Soit u et v deux vecteurs et les point O , M , N tels que OAu = et OBv = .
On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le réel noté v.u et défini comme suit :
♦Si 0u = ou 0v = alors 0v.u = .
♦Si 0u ≠ et 0v ≠ alors ( )BOˆAcosvuv.u ×=
Conséquence
1°) OH.OAOB.OA = où H est le projeté orthogonal de B sur (OA).
2°)
−−+=
222
vuvu
2
1
v.u
3°)
−−+=
222
vuvu
2
1
v.u
4) 0v.uvu =⇔⊥
Propriétés :
Soit u , v et w trois vecteurs et a et b deux réels.
Déterminant
Soit B= ( )k,j,i est une base
Pour tout vecteur u , il existe un unique triplet (x,y,z) de réels tel que kzjyixu ++=
M(x,yz) kzjyixOM ++=
Soit
c
b
a
u ,
'c
'b
'a
v et
''c
''b
''a
w
On appelle déterminant de ( )w,v,u dans la base B, et on note detB ( )
"c'cc
"b'bb
"a'aa
w,v,u = le réel :
"b'b
"a'a
c
"c'c
"a'a
b
"c'c
"b'b
a +−
Produit vectoriel dans l’espace.
Définition :
Soit ABu = et ACv = deux vecteurs .
On appelle produit vectoriel de u par v , le vecteur défini comme suite :
▪Si u etv sont colinéaires alors 0vu =∧
▪Si u etv ne sont pas colinéaires alors :
i. vuu ∧⊥ et vuv ∧⊥ .
ii. ( )vu,v,u ∧ est une base direct.
22
uu = u.vv.u = )v.u(ab)vb).(ua( =
v.u2vuvu
22
2
++=+ v.u2vuvu
22
2
−+=+
+=−++
22
2
vu2vuvu
w.uv.u)wv(u +=+
Fiche de cours 4ème Maths
Geometrie dans l’Geometrie dans l’Geometrie dans l’Geometrie dans l’EspaceEspaceEspaceEspace
Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR
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2. 2
iii. ( )CAˆBsinvuvu ×=∧
Conséquences et propriétés
0uu =∧ 0vu =∧ , si et seulement si , u etv sont
colinéaires
( )kAC,ABsinACABACAB ××=∧ où k unitaire et
normale au plan (ABC)
( )uvvu ∧−=∧ ( )vuabvbua ∧=∧
( ) ( ) ( ) ( )w,v,udetv.uwu.wvw.vu =∧=∧=∧ ( ) wuvuwvu ∧+∧=+∧
Soit
c
b
a
u et
'c
'b
'a
v alors : k
'bb
'aa
j
'cc
'aa
i
'cc
'bb
vu +−=∧
Propriétés
Soit u , v et w des vecteurs de l’espace.
L’aire du parallélogramme ABCD est égale à :
ADAB ∧
L’aire du triangle ABD est égale à : ADAB
2
1
∧
Le volume d’un tétraèdre ABCD est égale à :
( )BA.BDBC
6
1
∧
Le volume d’un parallélépipède ABCDEFGH est
égale à : ( ) ( )AE,AD,ABdetAE.ADAB =∧
La distance d’un point M de l’espace à la droite ( )u,A∆ est le réel :
u
uMA
)∆,M(d
∧
=
AB
MBMA ∧
= avec ∆B ∈
Translation
*) ( ) u'MMMt'M
u
=⇔=
*)
u
1
u
tt
−
−
=
*) ξξ →:f / 'M)M(f = et 'N)N(f =
f est une translation si et seulement si MN'N'M = .
*)Toute translation de l’espace conserve la distance.
*) Toute translation de l’espace conserve le produit scalaire.
*)L’image d’une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle.
*)L’image d’un plan par une translation est un plan qui lui est parallèle.
*)Toutes translation conserve la parallélisme et l’orthogonalité.
*) Toutes translation conserve le milieu
*)L’image d’un sphère S par une translation est une sphère 'S de même rayon et de centre l’image du centre.
*) Soit
c
b
a
u
Si ( ))z,y,x(Mt)'z,'y,'x('M
u
= alors
+=
+=
+=
cz'z
by'y
ax'x
Réciproquement : L’application qui à tout point )z,y,x(M associe le point )'z,'y,'x('M tel que
+=
+=
+=
cz'z
by'y
ax'x
est
la translation de vecteur
c
b
a
u .
3. 3
Homothétie
*) ( )( ) IMk'IMMh'M k,I =⇔= , ( *)Rk ∈
*) ( )
−
=
k
1
,I
k,I
1
hh
*) ξξ →:f / 'M)M(f = et 'N)N(f =
f est une homothétie si et seulement si MNk'N'M = .
*)L’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.
*)L’image d’un plan par une homothétie est un plan qui lui est parallèle.
*)Toutes homothétie conserve la parallélisme et l’orthogonalité.
*) Toutes homothétie conserve le milieu
*)L’image d’un sphère S du centre I et de rayon R par une homothétie est une sphère 'S de centre 'I image de I
et de rayon Rk .
*) Toutes homothétie conserve le contact.
*) Soit )c,b,a(I et { }1*Rk −∈
Si ( )( ))z,y,x(Mh)'z,'y,'x('M k,I= alors
−+=
−+=
−+=
c)k1(kz'z
b)k1(ky'y
a)k1(kx'x
Réciproquement : L’application qui à tout point )z,y,x(M associe le point )'z,'y,'x('M tel que
+=
+=
+=
γ
β
α
kz'z
ky'y
kx'x
est
une homothétie de centre
−−− k1
,
k1
,
k1
I
γβα
et de rapport k.
Rappel
Soit )z,y,x(A 000 ,
c
b
a
u et
'c
'b
'a
v
Droite:
L'ensemble des points M tels que AM et u soient colinéaires est une droite, appelé droite passant par A et de
vecteur directeur u .
{ }uAM,R/M)u,A(D αα =∈∃℘∈=
Représentation paramétrique :
+=
+=
+=
czz
byy
axx
:)u,A(D
0
0
0
λ
λ
λ
; R∈λ
Plan:
Dans le cas où u et v non colinéaires:
L'ensemble des points M tels que AM soit combinaison linéaire de u et v , est un plan, appelé plan passant
par A et de vecteurs directeurs u et v .
{ }vuAM,R,/M)v,u,A(P βαβαξ +=∈∃∈=
.
Représentation paramétrique :
++=
++=
++=
'cczz
'bbyy
'aaxx
:)v,u,A(P
0
0
0
βλ
βλ
βλ
; R∈λ
Equation cartésienne d’un plan et d’une droite
*)Plan : 0dczbyax:P =+++ avec ( ) ( )0,0,0c,b,a ≠
*)Droite : l’ensemble des points M(x,y,z) tels que
=+++
=+++
0'dz'cy'bx'a
0dczbyax
est une droite, si et seulement si, les
triplets ( )c,b,a et ( )'c,'b,'a ne sont pas proportionnels.
4. 4
*)L’ensemble { }0n.AM/M =∈ ξ est le plan passant par A et de vecteur normal n
*)Le vecteur
c
b
a
n est le vecteur normale à P.
*)Le vecteur
γ
β
α
x est un vecteur de P si et seulement si 0cba =++ γβα
Position relatives
Soit )u,A(D , )'u,'A('D , 0dczbyax:P =+++ et 0'dz'cy'bx'a:'P =+++
Leur vecteurs normaux n et 'n
*) 'DD ⊥ si et seulement si 'uu ⊥
*) 'D//D si et seulement si 'u//u
*) 'PP ⊥ si et seulement si 'nn ⊥
*) 'P//P si et seulement si u//n
*) DP ⊥ si et seulement si 'nn ⊥
*) D//P si et seulement si un ⊥
Distance de A à P : ( )
²c²b²a
dczbyax
P,Ad
000
++
+++
=
La sphère
Etant donnés un point I de ξ et un réel R strictement positif. On appelle sphère de centre I et de rayon R, et on
note ( )R,Iζ l’ensemble des points M de ξ tels que : IM = R.
Autre définition : Soit la sphère ζ de diamètre [AB]. MBMAM ⊥⇔∈ ζ
Equation cartésienne d’un sphère : ( )R),c,b,a(Iζ : ( ) ( ) ( ) ²Rczbyax
222
=−+−+−
Réciproquement :
Soit { }0dzyx²z²y²x/)z,y,x(ME =++++++∈= γβαξ
On pose d
4
²²²
h −
++
=
γβα
Si h <0 alors oE /= Si h = 0 alors
= )
2
,
2
,
2
(IE
γβα
Si h>0 alors ( )h,I
E ζ=
Intersection d’une sphère et d’un plan.
Soit ζ une sphère de centre I et de rayon R. Soient P un plan , H le projeté orthogonal de I sur P et ( )P,Id = .
Si d > R alors OP /=ζ∩ , on dit que P et ζ sont extérieurs.
Si d = R alors { }HP =ζ∩ , on dit que P et ζ sont tangents.
Si 0 < d < R alors ζ∩P est le cercle de P de centre H et de rayon ²d²R − , on dit que P et ζ sont sécants.
