1. Trigonometría
SEMANA 16 3. En un triángulo ABC, la expresión:
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS b sen B  C 
W
OBLICUÁNGULOS c  b cos A
es equivalente a:
1. En un triángulo ABC, si: A = 60°;
b  4 7; c  6 7 . A) tg B B) ctg B C) 1
Halle el lado “a” D) 2 E) 1/2
A) 7 B) 10 C) 13 RESOLUCIÓN
D) 14 E) 20 *  ABC  A  B  C  180  B  C  180  A
* Ley de proyecciones:
RESOLUCIÓN c  a cosB  b cos A  c  b cos A  a cosB
De la ley de cosenos:
a2  b2  c2  2bc cos A b sen 180  A  b sen A
 W 
a cosB a cosB
   6 7    
2 2
a2  4 7 2 4 7 6 7 cos600
2RsenB senA
 W  tgB
a2  196 2RsenA cosB
 a  14
RPTA.: D RPTA.: A
2. Los lados de un triángulo son 4. En un triángulo ABC, se conoce
proporcionales a los números 3;5
que: B = 45°; b = 2 y c  6 .
y 7. Siendo “  ” la medida de su
menor ángulo interno; halle Indicar la medida del ángulo C.
"s ec  " .
A) sólo 30° B) sólo 45º
C) sólo 60° D) 30° ó 150°
7 6 13 E) 60° ó 120°
A) B) C)
13 13 7
14 13 RESOLUCIÓN
D) E)
13 14 B
45º
RESOLUCIÓN 6
1
3 5 sec   ? 
cos  A C
2
menor ángulo  
7
Ley de cosenos: 2 6

32  52  72  2 5 7 cos  sen 45 senC
13 3
 c os   senC 
14 2
14
 s ec  
 C = 60º ó 120º
13
RPTA.: D RPTA.: E
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2. Trigonometría
5. En un triángulo ABC, se conoce 7. Halle la medida del ángulo B de
que: A = 120°, b = 7 cm y un triangulo ABC cuyos lados a, b,
c = 8 cm. Halle la longitud del y c cumplen la relación:
lado a. b  a  c  c  a  b  3ac
A) 13 m B) 130 m A) 30° B) 45° C) 60°
C) 1,3 m D) 0,13 m D) 120° E) 150°
E) 0,013 m
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
b   a  c   b   a  c    3ac
  
B
b2   a  c   3ac
2
a
8 a2
 
 c2  2ac cosB  a2  2ac  c2  2ac 
1
120º cosB  
C A 2
7
 B  120
a  7  8  2 7  8 cos 120
2 2 2 RPTA.: D
a  13cm  0,13m
8. En un triangulo ABC de lados
BC = a, AC = b, AB = c Se
RPTA.: D
7 ab
cumple: (a+b+c)(a+ b - c)=
3
6. En un triángulo ABC de lados
Calcule: M = 3sen 2C senC
AB=c; AC = b; BC =a Determine:
M  ab senC ctg A  ctgB
 
35 35
A) B)
A) c2 B) b2 C) a2 36 6
a2 c2 C) 35 D) 2 35
D) E) E) 18
2 2
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
7ab 7ab
M  ab senC ctg A  ctgB  a  b  c  a  b  c  
  a  b   c2 
2
 
3 3
sen  A  B  ab 1
M  ab senC ,  a2  b2  c2   cos C 
sen A senB 3 6
2ab cos C
a = 2Rsen A 6
35
Ley de senos b = 2Rsen B
c = 2Rsen C c
sen C Luego: 1
M  3 2senC  cosC  senC  6 sen2C cosC
sen  A  B 
M  4R2senA senB senC 2
sen A senB  35   1  35
 M  6 
 6   6  36
  
M   2R senC   c 2
2
 
RPTA.: A RPTA.: A
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3. Trigonometría
9. Siendo P el semiperimetro de un  B  C  180  A
triangulo ABC, indicar el Condición:
equivalente reducido de: sen  A  B  cos B  C 
(b+c)cos A + (a+c) cosB + (a+b)cosC 
c a
sen 180  C  cos 180  A 
p 
A) p B) 2 p C) c a
2
 senC  cos A
p 
D) E) 4p 2RsenC 2Rsen A
4
1   ctgA
RESOLUCIÓN 1  ctgA  A  135º
E  b cos A  c cos A  acosB  c cosB RPTA.: D
 acosC  b cosC
12. En un triángulo uno de sus lados
Si: c  b cos A  acosB
mide 20 cm y los ángulos internos
E  ab c
adyacentes con él miden 16° y
E=2p
37°. Halle su perímetro.
RPTA.: B
A) 22 cm B) 24 cm C) 42 cm
10. En un triangulo ABC, reduce: D) 44 cm E) 50 cm
(b cos C  a) tgB
E
b senC RESOLUCIÓN
A) 1 B) -1 C) -2
1 180º-53º y
D) 2 E) - x
2
16º 37º
RESOLUCIÓN 20 cm.
b cos C  b cos C  c cosB   tgB
E  
Aplicando “Ley de senos”
b senC
x 20 y
c cosB senB  
E sen37 sen 180  53  sen16
bsenD cosB
sen 53º
E = -1
RPTA.: B
x 2 y x  15cm
  
3 4 7 y = 7cm
11. En un triangulo ABC se cumple: 
5 20 25
sen  A  B  cos B  C 
  Perímetro   x  y  20  42cm
c a
RPTA.: C
Luego su ángulo “A” mide:
13. En un triángulo ABC, simplifique
A) 120° B) 127° C) 143°
la expresión:
D) 135° E) 150°
E  b cos B  c cos C
RESOLUCIÓN
A) b cos (B-C) B) a cos (B-C)
*  ABC : A  B  C  180
C) c cos (B-C) D) a sen (B-C)
 A  B  180  C
E) b sen (B-C)
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4. Trigonometría

c cos C a2  b2 
RESOLUCIÓN
 M  ab cos A  ac2 cos A  a2bcosB 
2
E  2RsenB cosB  2R senC cosC
bc2 cosB  a2c cosC  b2c cosC
E  R sen2B  R sen2C
M  ab b cos A  a cosB  ac  c cos A  a cosC  
E  R 2 sen B  C  cos B  C  
  “c” “b”
E  acos B  C  bc  c cosB  b cosC
RPTA.: B
“a”
14. Halle “x” en la figura:  M  3abc
RPTA.:E
x 16. En un triángulo ABC, simplifique la
expresión:
a B b A
E  cos2  cos2
2 2 2 2
5 3 Siendo p el semiperimetro de
dicho triángulo
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
p
A) p B) 2p C)
2
RESOLUCIÓN D) p/4 E) 4p
60º RESOLUCIÓN
5 x=? B A
4 E  a 2 cos2  b 2 cos2
2 2
60º 60º
120º 4E  a 1  cosB  b 1  cos A 
5 3 4E  a  acosB  b  b cos A
4 E  ab c
Aplicando ”Ley de cosenos” P
E
x2  32  52  2  3 5 cos120 2
 x=7 RPTA.: C
RPTA.: B
17. En un triángulo ABC, determine el
15. En un triángulo ABC reduce: valor de x para que verifique la
 
M  a b2  c2 cos A  b a2  c2 cosB   siguiente expresión:
c a b  2 2
 cos C B  C
tg 
 B  C  2c x
  tg  2   b  c
 2   
A) 3 B) a + b + c
C) 3 (a + b + c) D) abc A A
A) tg B) 4tg
E) 3abc 2 2
A A
C) ctg D) 2 tg
RESOLUCIÓN 2 2
  
M  acos A b2  c2  b cosB a2  c2    E) 2 ctg
A
2
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5. Trigonometría
19. En un triángulo ABC
RESOLUCIÓN (AB = c, AC = b, BC = a), si
 B  C b = 3a, m ACB = 60° , calcule el
tg   valor de:
bc  2 
Si:  M  5tgA  ctgA
bc B  C
tg  
 2 
B  C B  C 3 5 3
tg  A) B) 3 C)
2c   tg  2  3 3
  2   
bc B  C 8 3
tg  D) 2 3 E)
 3
 2 
como:
A BC B  C A RESOLUCIÓN
  90º  tg    ctg 2 Si: C = 60  A+B = 120°, b = 3a
2 2  2 
Ley de tangente:
A B  A B  A
tg   tg  
 x  ctg ba  2   2a   2 
2 
RPTA.: C ba B  A 4a tg60
tg  
 2 
18. En un triángulo ABC, BC = a,
AC = b, AB = c B  A 3 B  A
Simplifique:  tg    2  tg  2   3
 2   
M  a cos 2A  2C  b2 cos 2B  2C  b2
2
3 3
3
a 2
b 2  B  A B  A
tgA  tg    2  2  3
A) B)  2 2  3 5 5
2 2 1
2 2
C) a2 D) b2 Luego:
E) 2 a2  3 5 8 8 3
M  5   
 5 
 3 3 3
 
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
Como: 2A  2B  2C  360
c os 2A  2C  cos2B  cos 2B  2C  cos2A
20. En un triángulo ABC, si:
 M  a2 cos2B  b2 cos2A  b2 A + B = 72°  A - B =36°
ab
Halle: W 
ab
M  a2 cos2B  b2 1  cos2A 
1  2 sen2 B 2 sen2 A 5
A) 5 B) C)1
Ley de senos: 5
a  2R sen A  b  2R senB 1
D) 5 E)
M  a2  2a2 sen2 B  2b2 sen2A  a2 5
RPTA.: C RESOLUCIÓN
En triángulo ABC, de la Ley de
tangentes:
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6. Trigonometría
 A  B a2  b2  2 2 R2
tg  
ab  2   ? Calcule: M  tg2A  3tg2B
W  
ab  A  B
tg  
 2  A) -1 B) -2 C) 0
 72  sen36 D) 1 E) 2
tg 
 2   tg36
W  cos 36
 36  tg18 sen18 RESOLUCIÓN
tg  
 2  cos18 a2  b2  2 2 R2 …………………………*
Ley de senos: a  2R sen A ,
2sen36 cos18 sen54  sen18 b  2R senB
 W 
2 cos36 sen18 sen54  sen18
 
En (*) 4R2 sen2 A  sen2 B  2 2 R2
 5  1  5  1 2
    sen  A  B  sen  A  B   ,
cos36  sen18  4   4  2
W       5
Pero: C = 45°  (1)A  B  135
cos36  sen18  5  1   5  1 
 4  4 
   
    2
RPTA.: A  sen135 : sen  A  B    sen  A  B   1
2
2
21. En un triángulo ABC, BC = a,
AB = c, AB = c si 2
4
 
c  2 a2  b2 c2  a4  a2b2  b4  0
 (2) A  B  90
Halle la medida del ángulo agudo
C. (1) + (2): 2A = 225°   (1)-(2)
= 2B = 45°
A) 90° B) 60° C) 45° Luego:
D) 30° E) 15° M  tg 225  3tg45  1  3(1)  2
RESOLUCIÓN RPTA.: B
 
c4  2 a2  b2 c2  a4  a2b2  b4  0
a4  b4  c4  2a2 c2  2b2 c2  2a2 b2  a2 b2
a 2
 b2  c2 
2
 a 2 b2
 2ab cos c   a2 b2  4a2 b2 cos2 c  a2 b2 
2
1
cos2 c 
4
1
 cos C   C  60 (Agudo)
2
RPTA.: B
22. En un triángulo ABC (BC = a;
AC = b, AB = c) inscrito en una
circunferencia de radio R, se
cumple m C= 45º , además
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