Este documento contiene 14 problemas de trigonometría resueltos. Los problemas involucran funciones trigonométricas inversas como arcsen, arccos, arcctg y sus relaciones. Se resuelven ecuaciones y expresiones trigonométricas para encontrar valores numéricos o rangos de funciones.

1. Trigonometría
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SEMANA 14
F.T. INVERSA
1. Calcule:  Q cos 4arc tg 2
A) 0 B) - 1 C) 1
D)
7
9
E)
7
9

RESOLUCIÓN
 Q cos 4arc tg 2 cos4 ?   
“ ”
2 2
Q cos 2 sen 2   
2 2
Q cos2 sen2         

2 22
2 2
1 tg 2 tg
Q
1 tg 1 tg
     
    
     
Pero: arc tg 2 tg 2    

22
2 2
1 2 2 2
Q
1 2 1 2
  
   
      

7
Q
9
 
3. Calcule: tg arc ctg3
4
 
 
 
A) 1 B)
1
2
C) -1
D)
1
2
 E) 2
RESOLUCIÓN
tg arc ctg3 tg x
4 4
    
      
   
donde:
1
x arc ctg3 arc tg
3
 
1
1tg tgx
134tg x
14 2
1 tg tgx 1 1
4 3


 
       
RPTA.: B
4. Calcule el valor de:
   2 2
M sec arctg5 csc arcctg7 
A) 20 B) 50 C) 56
D) 70 E) 76
RESOLUCIÓN
  2
M 1 tan arc tag 5  
 2
1 ctg arcctg7
M = 2 + 25 + 49 = 76
RPTA.: E
5. A qué es igual:
2 2
arc tg arc tg
3 5
   
     
   
A)
13
arc tg
11
 
 
 
B)
14
arc tg
11
 
 
 
C)
15
arc tg
11
 
 
 
D)
16
arc tg
11
 
 
 
E)
17
arc tg
11
 
 
 
RESOLUCIÓN
Si:
2 2 4
1
3 5 15
  
2 2
3 5arc tg
2 2
1
3 5
 
 
   
  
  
16
arc tg
11
 
   
 
RPTA.: D
6. Calcule:
1 61
W ctg arc sec
2 60
  
   
  

2. Trigonometría
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A) 1 B) 11 C)
1
11
D) 121 E)
1
121
RESOLUCIÓN
“ ”
1 60
W ctg arc cos
2 61
  
   
  

1 cos
W ctg ?
2 1 cos
   
      
Pero:
60 60
arc cos cos
61 61
 
     
 

60
1
61W 11
60
1
61

 

RPTA.: B
7. Calcule:
  2
Q sec arcctg sen arccsc 17 
 
A) 16 B) 17 C) 18
D) 19 E) 20
RESOLUCIÓN
 2 1
Q sec arcctg sen arcsen
7
    
    
    
 2 1
Q sec arcctg
17
  
   
  
Sea:
1
arc ctg ctg
17
 
     
 
1
tg 17
17
  
  2 2
Q sec 1 tg 18     
RPTA.: C
8. Resolver:
9x 2 2x 1
arcsec arc tg 0
2 2
   
        
A) 3 B)
1
3
C) 4
D)
1
4
E) 1
RESOLUCIÓN

9x 2 2x 1
arc sec arc tg
2 2
   
       
“  ” “  ”
Obs:
i)
9x 2 9x 2
arcsec sec
2 2
  
      
 
ii)
2x 1 2x 1
arc tg tg
2 2
  
     
 
Sabemos:
22
2 2 2x 1 9x 2
1 tg sec 1
2 2
   
              
 2 1
4x 13x 3 0 x x 3
4
      
“no cumple”
RPTA.: A
9. Si:
arccosx A arcsenx B  
Halle el valor de x, si:
 arcsen 1 x A B  
A) 0 ó
1
2
 B) 0 ó
1
2
C) 0 ó
1
2
D) 1 ó
1
2

E) 0 ó -2
RESOLUCIÓN

3. Trigonometría
Página 3
Como:
a) arccosx A
2
cos A x senA 1 x   
b) arccosx B
2
SenB x cosB 1 x   
c)  sen A B 1 x  
senA cosB cos A senB 1 x  
Reemplazando:x = 0 ó
1
x
2

RPTA.: B
10. Halle: “x” de:
x x
4arc sen arc cos
4 4
   
   
   
A)
5 1
2

B)
5 1
2

C) 5 1 D) 5
E) 5 1
RESOLUCIÓN
x x
4arc sen arc sen
4 2 4
   
    
   

x
arc sen x 4sen
4 10 10
  
   
 
5 1
x 4 5 1
4
 
    
 
RPTA.: C
11. Si: se cumple:
     arcsen cos arctg ctg arcsec cscx
6


Determine:
 M arc sen cosx cos2x 
A) -2 B) -1 C) 0
D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN
3

     arcsen cos arctg ctg arcsec cscx
6


1
2
6

   arc tg ctg arc sec csc x
3


3
 arcsec csc x csc x sec x
6 6 3
  
    
Luego:
 
2
M arcsen cos cos arcsen 0 0
3 3
  
    
 
RPTA.: C
12. Si:
m 3n p
arctg arctg arctg
4 4 8 2

  
Halle F 6mn mp 3np  
A) 2 B) 4 C) 8
D) 16 E) 32
RESOLUCIÓN
m m
arc tg tg
4 4
    
3n 3n
arc tg tg
4 4
    
p p
arc tg tg
8 8
    
2

     
tg tg tg tg tg tg 1        
m 3n m p 3n p
1
4 4 4 8 4 8
  

4. Trigonometría
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6mn mp 3np 32  
RPTA.: E
13. Determine el valor de:
2 arc tan4
M
8
arc sen
17

 
 
 
A)
1
2
B) 1 C)
3
2
D) 2 E)
5
2
RESOLUCIÓN
Sea:
arc tg4 tan 4     
 
2
2 4 8
sen2
1 4 17
  


8
2 arc sen
17
 
   
 
Luego:
2
M 1
2

 

RPTA.: B
14. Determine el rango de la
función f definida por:
   x
3x 1
f arcsen arccos x 2
2
 
     
 
A)
2
 
 
 
B)   C)
3
2
 
 
 
D)  2  E)
5
2
 
 
 
RESOLUCIÓN
3x 1 1
1 1 2 3x 1 2 x 1
2 3

           
1 x 2 1 1 x 3      
 dom f =  
1
;1 1;3 1
3
 
     
 
   1
5
f arc sen(1) arc cos 1
2

     
2



5
ran f=
2
 
 
 
RPTA.: E
15. Halle:
5
sen arc tg sec arc sen
x
   
   
   
A) 2
x
x 25
B)
2
2
x
x 25
C)
2
2
x
2 x 25
D)
2
2
x 25
2x 25


E) 2
x
2x 25
RESOLUCIÓN
2
x
V sen arc tag
x 25
   
   
   
2
x
V sen arc tag
2x 25
  
  
  
2
2
x
V
2x 25


RPTA.: C
16. Reduce:
   arcsen sen200º arccos cos200º  
A) 0º B) 240º C) 180º
D) - 180º E) 400º
x
5
2
x 25
x
2
x 25
2
2x
25


5. Trigonometría
Página 5
RESOLUCIÓN
 arc sen sen 180º 20º     
 arc cos cos 180º 20º  
arc sen sen20º     
arc cos cos20º  
 arc sen sen20º     
 180º arccos cos20º   
   20º 180º 20º    
 180º  
RPTA.: D