Este documento presenta los conceptos y procedimientos de la reducción al primer cuadrante en trigonometría. Explica cómo calcular las razones trigonométricas de ángulos que no son agudos en función de ángulos equivalentes en el primer cuadrante, mediante reglas como sumar o restar múltiplos de 90° o 360° al ángulo original. Incluye ejemplos numéricos de cómo aplicar estas reglas para reducir ángulos a su equivalente en el primer cuadrante.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
).(T.RCo
220
90
R
).(T.R
360
180
R
)(RT





















UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-II
TRIGONOMETRÍA
“Reducción al Primer Cuadrante”
Definición:
Es el procedimiento mediante el cual se determinan las
razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en
función de otro que sí lo sea.
La conversión de una razón trigonométrica (R.T) de un
ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un ángulo
del primer cuadrante se llama:”reducción al primer
cuadrante”
También reducir al primer cuadrante un ángulo significa
encontrar los valores de las RT de cualquier ángulo en
forma directa mediante reglas prácticas.
Casos:
I. Ángulos cuyas medidas están en
<90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "α" se
descompone como la suma o resta de un ángulo cuadrantal
(90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo que sea agudo;
para luego aplicar :
Donde el signo (±) que deberá anteponerse al resultado
dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo
original " α "
Por ejemplo; calculemos:
*
*
II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º:
En este caso, se procede de la siguiente manera:
Por ejemplo, calculemos:
*
Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se procede de
la siguiente manera:
*
Es decir, si fuese:
Se divide:
*
R.T.( ) R.T.( )
: no es agudo : sí es agudo
).(T.RCo
220
90
R
).(T.R
360
180
R
)(RT





















2
3
º30Cos)30º90(Senº120Sen
)(



2º30Csc)º30º360(Cscº330Csc
)(



R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º  
q
Residuo
2
3
º60Senº2580Sen  * Tan 3285º = Tan
2580º 360º
2520º 7
60º
3285º 360º
3240º 9
45º
2
3
º60Senº2580Sen  * Tan 3285º = Tan45º = 1
2580º 360º
2520º 7
60º
3285º 360º
3240º 9
45º
133 4
132 33
1
127 6
126 21
1
1
2
1Sen
2
Sen133  Co
3
127Cos 
*
2ba;
b
a.T.R 




 
a 2b
q
r este residuo reemplaza al numerador "a"
1315 8
51 164
35
3
1345
1345Sen*
4
3Tan
4
1315Tan 
Semana Nº 6

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
III. Ángulos de medida negativa: Se
procede de la siguiente manera:
Por ejemplo, calculemos:
*
*
IV. Ángulos relacionados:
1.
Por ejemplo, calculemos:
Reduciendo, quedaría C = 0
PROBLEMA DE CLASE
1. Si: 𝑇𝑔 (
𝜋
3
+ 𝑥) = √3 ,
Entonces el valor de : 𝑇𝑔 (
𝜋
6
− 𝑥), es:
A)√3 B)
√3
3
C) 0 D) −√3 E) √3+1
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - III
2. Halle "𝛼" sabiendo que está en el tercer
cuadrante, es positivo, mayor que una vuelta,
pero menor de dos y que: 𝐶𝑜𝑠𝛼 = −𝑆𝑒𝑛
𝜋
11
A)
75𝜋
22
B)
73𝜋
22
C)
71𝜋
22
D)
69𝜋
22
E)
67𝜋
22
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - II
3. Si se cumple que:
𝑇𝑔(𝑘𝑥 + 2𝛼) − 𝐶𝑡𝑔(4𝛽 − 𝑘𝑥) = 0
Entonces, el valor de 𝑀 =
𝑆𝑒𝑛2𝛼−𝑇𝑔(𝛼+2𝛽)
𝐶𝑜𝑠4𝛽−𝐶𝑡𝑔(𝛼+2𝛽)
A) 0 B) ½ C) 1/3 D) 1 E)2
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I
4. Simplificar: Sen5º + Sen10º + Sen15º +…
+Sen345º + Sen350º + Sen355º
A) 1 B) 2 C) 3 D) -1 E) 0
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III
5. Si 𝛼 = 72º 𝑦 𝜃 = 63º . calcular :
𝑅 =
𝑆𝑒𝑛(7𝛼+9𝜃)+𝑆𝑒𝑛(7𝛼+5𝜃)
𝐶𝑜𝑠(5𝛼+7𝜃)+𝐶𝑜𝑠(17𝛼+3𝜃)
A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III
6. El valor positivo más pequeño de t para el cual
4
9
SenSent  , es:
A)
6

B)
4

C)
3

D)
2

E)
4
3
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I
7. Si 




 

2
43
2
4

SenSen ,
Evaluar:





 





 





 





 

2
7
2
16
2
15
2
10 33


CosCos
SenSen
M
A)
32
7
 B)
7
32
 C)
32
39 D)
32
25 E)
25
32

2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I
8. Simplificar:
 
   xSenxCtg
xCosxtg
R









º360º270
2
3

A) 1 B) -1 C) 0 D) -2 E) 2
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2012 - II
9. Al reducir: (Examen de admisión 2011 – II)
   
 xsenxctg
xxxtg
R




















40.
2
91
90sec.
2
37
cos.99
a) 1 b) senx c) cosx d) - secx e) cscx
10. Si: cos 10º = a. ¿a qué es igual
E = sen100º.cos190º?
a) a b) 2a c) a/2 d) a2
e) -a2
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx
Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx
2
2
º45Sen)º45(Sen 
3)º30Cot()º30º90(Tanº120Tan)º120(Tan
)(













TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
360ºyx:Si
7
6Cos
7
5Cos
7
4Cos
7
3Cos
7
2Cos
7
CosC 
7
6Cos
7
5Cos
7
4Cos
7
4Cos
7
5Cos
7
6CosC 

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
(Segundo examen sumativo 2011 – II)
11. Cuál es la relación que existe entre x e y.











 





 
2
89
10
2415
10
40 
Cos
yx
Ctg
x
Tg
a) 2y = 3x b) y = 3x c) 2y – 3x = k
d) y = 3x + k e) 2y – 3x = 2k

12. Sabiendo que:
Entonces el valor de: M = |sen + csc| en
términos de K es: (k > 0)
A)2K B) 1/K C) 2/K D) E)
13. En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple:
Entonces el valor del ángulo D es:
A) 45º B) 60º C) 90º D) 135º E) 150º
14. Dado el siguiente intervalo:
Además:
; . Calcular:
A) 2/5 B)/5 C)3/5 D)4/5 E) 
15. Si  es un arco del primer cuadrante positivo
y menor que una vuelta, hallar el intervalo de
. Si: .
A) cos 2 sen( ) 1
B) -1 sen() sen1
C) -1 sen() cos1
D) cos1< sen() 1
E) sen2 < sen() 1
16. El valor de la siguiente expresión:
Es igual a:
a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) - 2
17. Analice la veracidad de las proposiciones
siendo , Zn
i.  SennSen  )(
ii.


















6
5
6
5
2
3
3
2 
CtgTgTg
iii. )()781(  CosSecCosSec 
iv.













x
Ctg
x
nCtg
11
3 
a) FFFF b) FFVF c) FVVV
d) FVVF e) VFVF
18. Cuál de las siguientes proposiciones son
verdaderas:
I.
II.
III. Si:
Entonces  pertenece al IIIC:
A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III D) II y III E) Todas
PROBLEMA DE REPASO
1. Simplifique:
a)-1 b)-sec x c)cotx d)-cotx e)-tgx
2. Simplificar:
 
 
 
  



















 





 











2
3
.
2
3
.
2
.
2
TgTg
CtgCtg
CtgCtg
TgTg
E
a) -2 b) 0 c) 1 d) -1 e) 2
3. Si a y b son ángulos complementarios,
simplificar la expresión:
   
   b11a10Tg.a5b4Cos
a14b13Tg.b7a6Sen
M



a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1
4. Del gráfico.
)sencos(
2
77
ctg
2
37
Ksen 




 





 

2
)1k( 2

k
)1k( 2














2
C
2
B
2
A
sen
2
C
2
B
2
A
cos)CBA(sen 22
2
3
2



5
sencos


5
ctgtg



)(sen  21 
 
 
 







 





 






 





 
12
7Cos
12
Sen
12
Cos
12
7Sen
2
6
1217sec 




 
Zn,)1()ncos()n(sen n

octg)csc(csc 
sec(x 360 ).cos(x 270 )tg(180 x)
E
cos(270 x).sen(x 306 )csc(90 x)
     

     

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Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
Determinar:
a) b) c) d) e)
5. Si entonces al simplificar:
Se obtiene:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5
6. Si se cumple que:
cos300° = n.tg225°
Calcule: m + n
a) 2 b)0 c)3/2 d)4 e)-1/2
7. Del gráfico, hallar: Tg
a) ¾ b) -3/4 c) 3/7 d) -3/7 e) -4/7
19. ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo
que:
0
4
b2a36
Ctg
8
b3a2
Tg 




 





 
a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6
8. De la figura, calcule , si
a) -74/35 b) -15/24 c) -7/24
d) -12/35 e) -24/35
9. Si
Además y Halle el valor de:
a) 6 b) -4 c) -10 d) 14 e) 13
10. Si a y c son suplementarios, además a y b son
complementarios. Reducir:
)(
)(
)(
)34()32cos(4
cbaSen
cbaSen
cbatg
cbCscca
M






a) -3 b)2 c) -1 d)-2 e) 0
11. Calcular:
  
osTér
CosCosCosCosR
min29
30
29
...
30
3
30
2
30


a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) – 2
12. Del gráfico, calcule: Tg
a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) ¾
x
ab
y
CosbCosa
6
baCos6
SenbSena
3
baSen3
K





 





 

2
1
3
1
4
1
2
1
3
1
x y
2

 
3secx.secy cos(8x 9y)
F
tgx tgy sen(9x 8y)

 
 
2 8
sec m.sec
5 5
    
      
   
A
C
B
37º
D

tg cot  cot 1,4.
y
x
(a-4;a)
tg 3sen 4cos 4cot 3 3    
IC IIC
E 10sec(180º ) 5sen( 270º)   
A
C
B
M
45º
