1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
SenA CO a CscA H b
CEPUNS CosA
H b
CA c
CO a
SecA H b
Ciclo 2013-III H b CA c
CA c
TanA CO a CotA
TRIGONOMETRÍA CA c CO a
“RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO” Semana Nº 3
Razón Trigonométrica: Son aquellos números que Razones Trigonométricas Recíprocas
resultan de dividir dos lados de un triángulo Siendo un ángulo agudo se cumple:
rectángulo. 1
csc sen . csc 1 ;
sen
1
sec cos . sec 1 ;
cos
1
ctg tg .ctg 1
tg
Teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la
Razones Trigonométricas De Ángulos
hipotenusa”
Complementarios
. a2 + b2 = c2
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su
suma es un ángulo recto.
Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios”
. A + B = 90º
Definición De Las Razones Trigonométricas Para
Un Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en
“C”, se establecen las siguientes definiciones:
En la figura se muestra:
y : Son ángulos complementarios ( + = 90º)
Cateto Opuesto a Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b
Sen = =
Hi potenusa c como y al ángulo opuesto al cateto a como en
Cateto Adyacente consecuencia:
Cos = = b
Hipotenusa c b a
sen cos ; cos sen
c c
Cateto Opuesto a
tg = = b a
Cateto Adyacente b tg ctg ; ctg tg
a b
Cateto Adyacente b c c
Ctg = = sec csc ; csc sec
Cateto Opuesto a a b
Hi potenusa c Debido a estas relaciones las co-razones son::
Sec = = seno y coseno.
Cateto Adyacente b tangente y cotangente.
Hi potenusa c secante y cosecante.
csc = =
Cateto Opuesto a Teorema del complemento
RTα co RTcomplemento de
1
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Se llaman co–razones trigonométricas una de la
67º 30' 75º 71º 30'
otra. 4+ 2 2 10
1 4
6- 2 1
NOTA: 22º 30' 15º 18º 30'
Sen Csc 1 2+1 6+ 2 3
Si:
Cos Sec 1
Ctg 1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Tg
* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento
Si: RT co RT 90º mediante el cual se determinan los lados
faltantes de un triángulo rectángulo, en
términos de un lado que sí se conoce; y de un
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
ángulo agudo que también se conoce.
60º Criterio:
45º
2 2 Lado desconocid o R.T.( conocido)
1 1 Lado conocido
45º 30º
1 Casos:
3
1.
53º C
5
3 I) BC Tan BC
L
37º AC AC
II)
4
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
L
A L B
30º 37º 45º 53º 60º
2.
1 3 2 4 3 C
Sen
2 5 2 5 2
I) AB Cot AB
3 4 2 3 1 L
Cos L
2 5 2 5 2 AC AC
II)
3 3 4
L
Tan 1 3 A B
3 4 3
Cot 3
4
1
3 3 3
3 4 3 C
I) BC Sen BC
2 3 5 5
Sec 2 2 L
3 4 3 L
5 5 2 3 AB
II)
Csc 2
3
2
4 3 L
A B
A partir de estos se determinarán otros
adicionales como: PROBLEMAS RESUELTOS
B
63º 30' 82º 74º
5 5 2 25 1. Halle “ctg” del gráfico, si:
1 120º
1 7 AB BC
M
26º 30' 8º 16º
2 7 24
A C
2
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B
A) 2 3 B) 3 3 C) 3 D) 3 / 6 E) 3 / 9
RESOLUCIÓN
B 3a
2n 4n
60º 60º
4n n 30º D
M
a
n 3
60º 2n
30º A C
n
30º
A) 3 B) 3 C) 3 D) 3 E) 3
A C
2n 3 n 3 P n 3 5 6 7 8 9
RESOLUCIÓN
3n 3 B
3n 3 60º
APM : ctg
n
ctg 3 3 3a = 6k
RPTA.: B 8k
2. Si CD 3AD, halle: tg D
(tomar: sen37º=0,6)
60º k 3 30ºa = 2k
60º
A 7k k C
k 3 3
tg
53º 7k 7
RPTA.: C
A D C
A) 1 B) 1 C) 3 D) 3 E) 1 4. Siendo “” y " β" las medidas de 2
16 8 8 16 4
ángulos agudos tales que:
RESOLUCIÓN
cos11. sec 1
cos . csc 1
9K Halle: W tg 37º30' sen 52º30'
.
12K
A)1 C) 3 D) 3 E) 3
B) ½
2 3
5K 15K 53º RESOLUCIÓN
A 53º D C Datos:
4K i) cos11.sec =111= … (I)
3K ii) cos . csc 1
3k 3
Se pide: tg
16k 16 sen 90º . csc 90º 90º..(II )
RPTA.: D
I en (II ) : 11 90º 15º 7 º30'
3. Si el triángulo ABC es equilátero. 2
Determine tg.
3
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15º 165º RESOLUCIÓN
" " enI : 11 82º30'
2 2
Piden:
W tg 37 º30'.sen 52º30' ?
W tg 45º .sen 30º 1
2
RPTA.: B a 2
2a
5. En un triángulo rectángulo si la 45º
hipotenusa es el doble de la media a 2 a 2
geométrica de los catetos. Calcule la suma
a
de las tangentes trigonométricas de los
a
ángulos agudos del triángulo.
A)2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6 De la figura: Cot 3
RESOLUCIÓN RPTA.: D
7. Del gráfico, halle “x”, en términos de “”.
c
a
3
b
Si: c 2 ab
Si pide: E tg tg 2
2 2
a b a b
E x
b a ab A) 3cos 2Sen
Pero:
a² + b² = c² B) 2cos 3Sen
E=
4ab C) 2sen 3cos
4
ab D) 3sen 2cos
RPTA.: C
E) 2sen 3cos
RESOLUCIÓN
6. En la figura ABCD es un cuadrado, M y N 3Sen
son puntos medios. Determine "cot " .
A B
3
M
2
x
D N C 2Cos
A) 2 B) 1 C) 3 D) ½ E) 1/3
x 3Sen 2Cos
RPTA.: D
4
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8. En la figura, halle el perímetro del 2) Si Sen 40 y 0 , hallar
Ctg
rectángulo OABC si se conoce “ ”, y el radio 41 2 4
del cuadrante MON es “r”. 41 5
a) b) 41 5 c) 41 3
B C
4 4 4
d) 41 3 e) 3
N 4 4
3º EXAMEN SUMATIVO 2010 III
3) En la figura AOB es un cuadrante, tal que
OD = 4 DE, entonces el valor de tg es:
r
A M O
A) 2r sen cos
B) r csc sen
C) r sen cos
D) 2r csc sec
2 A) 41 1 B) 41 3 C) 41 5 D) 1 E) 1
E) r sec csc
4 4 4 4 2
RESOLUCIÓN
r Csc
4) En el gráfico mostrado, calcular "tg ".
B
C Si: O y O' son centro y P, Q y T son puntos de
tangencia.
r Sec r Sec
r
A
r Csc 2
Perímetro del rectángulo a) 1/3 b) ½ c) 2 d) 2 e) 2 2
OABC= 2R csc sec 3º EXAMEN SUMATIVO 2009 III
RPTA.: D
5) Si: E x 2 y 2sen 20 ºxy (cos 70 º1) .
PROBLEMA DE CLASE
2 2
x y cos 70 ºxy (sen 20 º1)
Reducir: 1 E
1) Si: y 0º ;45º , además: 1E
a) x b) y c) y d) 2x e) 3y
Tg( 2 5).Tg(2 15º ) 1; y x 2x y x
Cos( ).Csc(2 15º ) 1
Calcule Tg( 15º ) Tg2 6) Del gráfico halle:
A) 2 B) 2 3 C) 4 D) 4 3 E) 6 W sen cos
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B
127º
9 10 37
°
y
x
A)1 B) 7 C) 23 D) 7 E) 23
17 17 17 17
A M C
A) 20 B)21 C) 24 D)25 E) 28
7) Del gráfico. Halle: W sec tg
2 2
12) En la figura mostrada determine 4r 2 en
2
c
función de , Si AB = c
a)5 b) 1/5 c) 1 d) 7/2 e)7/3
8) Halle el valor aproximado de:
53º 37º A) 21 Sen 1 Cos B) 21 Sen 1 Cos
E Ctg Ctg 5 10
4 4
C) 21 Sen 1 Cos D) 21 Sen 1 Cos
A) 2 B)3 C) 4 D)5 E) 6
E) 21 Sen 1 Cos
2 2
9) En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado y
M es un punto medio del lado AB. Hallar ctg . 13) En la figura, Calcule (AD – DB) si AB = 3
D C y AC = 27/16.
A M B
A) 5 B)4 C) 3 D) 2 E) 1
10) En un triángulo rectángulo de lados mayores de A) 4 3 B) 3 3 C) 2 3 D) 3 E) 3
24 y 26u, se inscribe un rectángulo de modo 2
que dos de sus lados coincide con los catetos y 14) De la figura mostrada. si AD =2 , DE = 6 ,
uno de sus vértices está en la hipotenusa. EC = 4, determine BD.BE
Determine el área máxima del rectángulo.
A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 90
11) Del gráfico que se muestra encontrar el valor
de 6x+4y, si se sabe que BC=12m y BM es
mediana relativa a la hipotenusa.
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A) 8.Sec .Cos B) 8.Sec .Sec 4) En un triángulo rectángulo, recto en “A”, uno de
C) 8.Sec .Sen D) 8.Cos .Sec sus catetos es el doble de la diferencia entre
E) 8.Sen .Sec la hipotenusa y el otro cateto. Calcule la
tangente del otro ángulo agudo
15) En un triángulo rectángulo, la longitud de un A) ½ B) 2/3 C) ¾ D) 4/5 E) 5/3
cateto es media proporcional entre el otro
cateto y la hipotenusa. Si es la medida del 5) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado, O
menor ángulo agudo, entonces el valor de sen es centro de la circunferencia, E es punto de
, es: tangencia , Calcule: tg + 2
A) 3 1 B) ½ C) 5 1 D) 3 1 E) 2
2 2 2 2
16) En la figura mostrada BC = 25u, Calcule AD
A) 2 B) 2 1 C) 2 1 D) 2 1 E) 2 2
2 2
A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 6) Calcular aproximadamente el valor de:
37º 53º
2ctg 3ctg
PROBLEMA DE REPASO 4 4
A) 10 B) 10 5 C) 5
1) Si los catetos de un triángulo rectángulo son D) 3 10 2 5 E) 2 10 3 5
como 3 es a 5, el coseno del ángulo agudo
mayor Es: 7) Si y además
Tg2 5 215º tg 4 195º 1 ,
a) 1 b) 1 c) 3 d) 3 e) 34
Cos Csc2 55º 1
43 34 34 43 3
Calcule Tg3 5º tg 45º
2) En la figura mostrada AB = 2, m<DAC = 30º;
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
mADB = 15º, Calcule la longitud del segmento
DC.
8) Calcular el valor de:
2Cos80º.Csc10º Csc 4 45º
Tg 26º30 ' Senx 30º Cos60º x
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
9) Si se cumple 15º , donde y son
3 2 2
ángulos agudos, calcule:
A) 2 B) 1 C) D) 3 E) 1 3
3 Tg 3 Sec 2 2
Csc2 4 Ctg 3 3
3) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
A) -1 B) 1 C) 2 D) -2 E) -3
tiene que: A
Cot 2 SecC tgA 6SecA 4 ,
10) Calcule la suma de los cuadrados de los senos
calcule 20CosC TgA de los ángulos que forman la diagonal de un
A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) 29
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cubo con las aristas que parten del vértice de A) 2 B) 1 C) 15 D) 4 E) ¼
donde partió la diagonal. 3
A) ½ B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 15) Calcule :
15º 2 15º
11) Calcule el valor numérico de la expresión: E tg 2 Ctg
2 2
g g
50 200 A) 30 16 3 B) 30 16 3 C) 30 12 3
2 3 Tg 8Cos
3 3 D) 30 12 3 E) 30 3
2Tg 2 3Csc60º
4 16) Reducir la siguiente expresión:
A) 1/3 B) ½ C) 2/3 D) 5/6 E) 1 1 Csc27º .Cos63º
Ctg (27º x).Ctg (63º x) Sen 27º
12) En un triángulo de la figura mostrada A) -1 B) -½ C) ½ D) 0 E) 1
m<BAE = 90º, BC = CD =DE; entonces, el valor
de 8Tgw.tg es: 17) En la figura adjunta, AB = 8r; AD = DC. Calcule
el valor de Csc
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
A) 3 B) 5 C) 6 D) 10 E) 13
13) Del gráfico adjunto calcule el valor de
18) En la figura ABCD es un cuadrado y BC = 3BP.
Ctg 3Ctg .Dado que AB = 8 y BD = EC = 2.
Determinar Tg + Ctg
A) 7 3 B) 9 3 C) 7 3
D) 9 3 E) 7 3 A) 0,5 B) 1,5 C) 2,5 D) 3,5 E) 4,5
14) En un triángulo mostrado, calcule 2Cos , si 19) En la figura , Calcule :
el área de la región triangular ADC es el
3 8 Tg 2 3 1 Tg , Si 4BD = DC
cuádruple de la región ABD.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8
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