Este documento presenta diferentes transformaciones trigonométricas, incluyendo transformaciones de suma o diferencia a producto, y viceversa. También cubre propiedades importantes de los ángulos de un triángulo y series trigonométricas para sumas de senos y cosenos con ángulos en progresión aritmética. Finalmente, incluye ejemplos de problemas resueltos que ilustran estas transformaciones y conceptos.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2013-II
TRIGONOMETRÍA
“Transformaciones Trigonométricas” Semana Nº 11
A) TRANSFORMACIONES DE SUMA O B) TRANSFORMACIONES DE PRODUCTO
DIFERENCIA A PRODUCTO. A SUMA O DIFERENCIA.
Siendo: x > y
 A B  AB
SenA  SenB  2 Sen   Cos  
 2   2  2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x  y)
SenA  SenB  2 Sen  A  B  Cos  A  B 
    2 Seny Cosx = Sen(x + y)  Sen(x  y)
 2   2 
2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x  y)
CosA  CosB  2 Cos  A  B  Cos  A  B 
   
 2   2  2 Senx Seny = Cos(x  y)  Cos(x + y)
CosB  CosA  2 Sen  A  B  S en  A  B 
   
 2   2  PROPIEDADES IMPORTANTES
Si A, B, y C son los ángulos de un triangulo se
obtiene:
Demostración:
Conocemos: A B C
1)senA  senB  senC  4 cos . cos . cos
Sen (x  y)  SenxCosy  CosxSeny .................. (1) 2 2 2
Sen (x  y)  SenxCosy
  CosxSeny .................. (2) A B C
 2)senA  senB  senC  4sen .sen . cos
Cos (x  y)  CosxCosy  SenxSeny .................. (3)
2 2 2

Cos (x  y)  CosxCosy  SenxSeny
A B C
.................. (4)
3) cos A  cos B  cos C  4sen .sen .sen  1
Si sumamos (1) + (2) obtenemos: 2 2 2
Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy ....... (*) A B C
4) cos A  cos B  cos C  4 cos . cos .sen  1
2 2 2
Hacemos un cambio de variable :
x  y  A SERIES TRIGONOMÉTRICAS:
 Para la suma de Senos o Cosenos cuyos
x  y  B
Sea: obtenemos: ángulos están en progresión aritmética.
x  AB  y  AB nr
sen (
)
2 2
senA  sen (A  r )  sen (A  2r )  ...  sen (A  n  1r )  2 .sen ( P  U )
Luego en (*): r 2
sen ( )
2
SenA  SenB  2 Sen  A  B Cos  A B 
    nr
 2   2  sen ( )
cos A  cos(A  r )  cos(A  2r )  ...  cos(A  n  1r )  2 . cos( P  U )
Las restantes identidades pueden verificarse en r 2
sen ( )
2
forma análoga.
Sen  nr 
Donde :
n  
 2   Sen  P  U 
 Sen (  (K  1)r)  debemos percatarnos de que
OBSERVACIÓN:   n : # de términos
solamente se aplican las formulas dadas en
K 1 Sen  r 

 2  r : razón de la P.A.
2
caso de tener suma o diferencia de senos o de P : primer á ngulo
cosenos. U : último á ngulo
 nr 
Sen  
n
 2   Cos P  U 
 Cos(  (K  1)r)   
K 1 Sen  r 
 
 2 
2 1
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2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
sen18º  cos 36º 1
  RPTA.: A
PROBLEMAS RESUELTOS
k
2 4
1. En un triángulo ABC, reducir:
sen2 A  sen2 B si: A  B   4. Calcule:
M , 20 
sen2A  sen2B 4 2 4 6
M  cos  2 cos  3 cos  ...  10 cos
a) 1 b) 1 c) ½ d) tan c e) –tanc 11 11 11 11
tanC  tanC
2 2 A)–9/2 B)-11/2 C) 9/2 D) 11/2 E)- 9
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
sen  A  B  sen  A  B  2 4 6 …
M M  cos  2 cos  3 cos  10 cos 20 
2 sen  A  B  cos  A  B  11 11 11 11
M= 1 20  18  16  … 20 
tg  A  B  M  cos  2 cos  3cos  10 cos
2 11 11 11 11
Pero: RPTA.: C  2 4 6
 1  1 2M  11  cos  cos  cos  ...  10 cos 20  
A B 
4
 M    tg 
 11 11 11 11 
2 4 2
10 2  2  20  
sen  
2. Si: sen7 x  a  b cos 2x  cos 4x  cos 6x 2M  11  2 11  cos  11 11 
   
1 2  2 
sen x sen   
2 11  
Calcule: a + b
 10   RPTA.: B
a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 sen
  11
M 
2M  11  11
RESOLUCIÓN  cos   2M  2
 sen 
 

b  11 
sen7 x  asen x  2 senx cos2x 
2
2 sen x cos 4x  2 sen x cos 6x  PROBLEMA DE CLASE
b
sen7 x  asen x   sen3 x  senx 
2 1. Calcular el valor de x  0º ,360 º , que vuelve
sen5 x  sen3 x  sen7 x  sen5 x
 b b máximo la expresión:
sen7 x  asen x  sen7x  sen x
2 2 E  sen (x  40º )  sen (x  30º )
Luego: a) 65º b) 75º c) 85º d) 95º e)105º
b  b
1b 2 a  0
2 2
2. Calcule el máximo valor de:
b b=2
a  1 F= cos(30º+x)cos x
2
 a+b=3 RPTA.: D 3 1 3 2 3 1 3 2 3
A) 2 B) 2 C) 4 D) 4 E) 4
3. Calcule aproximadamente el valor de: 3. Del gráfico , Calcular T  BC
24 AB
K sen34º sen52º sen88º
25
A) - ¼ B) – ½ C)-1/3 D)–1/5 E)–1/9
RESOLUCIÓN
2k  2 sen74º sen34º 2 sen52º sen88º
1 1
k  cos 40º  cos108  cos36º  cos140º
2  2 
cos 40º cos72º cos36º cos 40º
k   
2 2 2 2
cos 72º  cos 36º
k  a)tgb) tg2 c) tg3 d) Ctg3e) Ctg2
2
2
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4. En un triángulo ABC, simplificar la expresión: Sen 20 º
E
sen2A  sen2B  sen2C 1  3 Sen 20 º
F 12. Simplificar :
2sen(A  B)sen(A  C)sen(B  C)
a) 2Tan20º b) Tan40º
A) 1 B)2 C)3 D) 4 E) 5
c) 2Tan40º d) Tan20º e) Sec20º
5. Simplificar: W  cos 80º  cos 40º  cos 20º
4 4 4
13. Reducir:
A) 1/27 B) 9/4 C) 1/8 D)11/8 E)9/8 sen 2x  sen 4x  sen 6x  sen 8x  sen 10x
H 
1  cos 2x  cos 4x  cos 6x  cos 8x  cos 10x
6. Reducir la siguiente expresión: a) tg5x b) ctg5x c) tg6x d)ctg6x e)tg7x
N =sen85º + cos77º +cos 149º +
2cos257º sen54º 14. Si:  3 5 y
M  cos  cos  cos
A) 1/8 B) ¼ C)½ D)1 E)0 7 7 7
2 4 8
N  cos  cos  cos
   
3 7 7 7
7. Si: 2 Calcular: M.N
2 2 2 a) – ½ b) – ¼ c) 1 d) ¼ e) ½
Factorizar: Cos   Cos   Cos 
A) 2Cos Sen Cos  B) 2Sen Sen Sen 15. En el C.T. adjunto determinar el área de la
C) 2Sen Cos Cos D) 2Cos Cos Cos región sombreada.

E) 2Cos Cos Sen  2
8. Calcular :
 5 9 33
H  sen  sen  sen  ...  sen
15 15 15 15
a) Sen  b) csc  c) tg  d) ctg  e)1
5 15 15 15
4
3
9. Calcular:
a) -cos2.cos b) - sen.cos2
 2 3 8
H  cos 2  cos 2
 cos 2  ...  cos 2 c) sen2.cos d) sen2.sen e) – sen.sen2
17 17 17 17
a) Sen2  b) cos2  c) 4 d) 15 e)1
PROBLEMAS DE REPASO
17 17 15 4
1) A partir de la figura mostrada calcular el valor
10. Si : Senx + Seny = a ; Cosx - Cosy = b
de “x”
Calcular:
1  aSen (x  y)  Cos (x  y)
M
a  Sen (x  y)  aCos (x  y)
b 1 b a
a) a b) ab c) a  b d) a e) b
11. Sea la expresión: 1 , transforme a
R 
2 1
producto:
a) 3 3 b) 6 3 c) 7 3 d) 9 3 e) 12 3
a) 4cos105º.cos15º b) 2cos52º30´cos15º
c) 2cos37º30´.cos7º30´d)4cos52º30´.cos7º30´
e)4cos37º30´.cos7º30´ 2) Calcular: H  sen 1ºsen 2ºsen 3º...  sen 180 º
3
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4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
a) Sen1º b) csc2º c) tg30´ d) ctg 30´ e)1
10) Reducir: F = 2sen40º.cos10º– cos40º
L  Sen 2 A  Sen 2 B 1 3 3
3) En un triángulo ABC; reducir: Sen (A  B) A) 1 B) 2 C) 4 D) 2 E) 3
a) 2CosC b) - 2CosC c) 2SenC
d) - 2SenC e) - CosC 16. La suma de los senos de tres arcos en
2
1 , progresión aritmética de razón 3 es :
4) Si: senx  a)1 b) 0 c) – 1 d) 2/3 e) No se puede determinar.
6
calcular: cos 4 x  sen 4 x  cos 4x
H  3 2 , transforme a
sen 5x  senx 11) Sea la expresión: 
6 2 2
a) b) 6 c) 6 d) 6 e) 2 6
producto:
5 4 2
a)4sen105º.cos15º b)4sen52º30´cos15º
c)2cos37º30´.cos7º30´d)2sen52º30´.cos7º30´
5) Simplificar:
sen 2  sen 8  sen 14  sen 20 e)4cos37º30´.cos7º30´
cos 2  cos 8  cos 14  cos 20
a) tg3 b)tg6 c) tg11 d) ctg11 e) tg13 12) Del gráfico, calcule "x" (Cos40º = 0,766)
D
6) Transformar en producto la siguiente expresión:
2
Cos 4 x  Cos 8 x  2  4 Sen x
2 4
a) Cos2x Cos3x b) 4 Cos 2xSen 3 x C
2 2
c) 2Cos 2xSen 2x d) 4 Cos 2xCos 3 x
2
e) 4 Cos 4 xCos 2x 50º
10º
A x
Si : Sen   Sen   a ; Cos   Cos   b
B
7) a) 2,532 b) 3,156 c) 2,216 d) 3,108 e) 2,748
(a 2  b 2  0) ; Calcular: Cos(  )
2ab 2ab 2
a  3b
2 13) Si: A + B + C =90º, simplificar la expresión:
2 2 2 2 2 2 sen2A  sen2B  sen2C
a) a  b b) a  b c) a  b F
2 2 4 cos AcosBcosC
b a 2
b a
2
2 2 A) ½ B)¼ C)1 D)2 E)4
d) b  a e) 2ab
Senx  Seny
14) Simplificar:
8) La expresión : Cosx  Cosy Es igual a: T=sen5º+sen77º+sen149º+sen221º+sen293º
xy xy a)1 b) 2 c) 3 d)0 e) 5
Tan   Sen  
a)  2  b)  2 
xy
Cos 
xy Sen (x  y) 15) Sea un triángulo ABC ¿Cuál o cuáles de las
 Cot  
c)  2  d)  2  e) Cos (x  y) siguientes proposiciones son verdaderas?
I. 2 Sen A Cos B = Sen C + Sen (A - B)
9) Al simplificar la expresión: II. Sen2A Sen2B Sen2C  4SenASenBSenC
2sen2x  sen4x  sen8x A B C
F CosA CosB CosC  4Sen Sen Sen
sen5x  senx , se obtiene: III. 2 2 2
A) cos x B) 2cos x C) cos 3x A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III
D) 2cos 3x E) 2cos 2x D) I y II E) Todas
4
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5. 5
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