http://e-taksh.blogspot.gr/2014/12/3_12.html# Μαθηματικά Ε΄- Επανάληψη 3ης Ενότητας - ΄΄Κλάσματα, κεφ. 14 - 21΄΄

1. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
Μαθηματικά Ε΄
΄΄ Επανάληψη 3ης
Ενότητας ΄΄
 Θεωρία
 Παραδείγματα
 Παρουσιάσεις
 Επαναληπτικά
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://e-taksh.blogspot.gr/

2. Συμεωνίδης Θόδωρος- 1 -
ΚΛΑΣΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1.1 Η ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ
Ένα ολόκληρο αντικείμενο ή ένα σύνολο αντικειμένων είναι μία ακέραιη μονάδα.
Π.χ. 1 πορτοκάλι, 1 τσάντα , 1σοκολάτα , 1βιβλίο
Πολλές φορές δε χρησιμοποιούμε ολόκληρη την ακέραιη μονάδα , αλλά μόνο
ένα κομμάτι της. Τότε έχουμε πρόβλημα γιατί δεν μπορούμε να εκφράσουμε αυτό το
κομμάτι με έναν ακέραιο αριθμό. Αν π.χ. μοιράσω ένα πορτοκάλι σε 4 άτομα , πόσο
πορτοκάλι θα δώσω στον καθένα ;
Γι’ αυτές τις περιπτώσεις έχουμε επινοήσει τους κλασματικούς αριθμούς .Η λέ-
ξη κλάσμα είναι αρχαιοελληνική και σημαίνει κομμάτι . Αν λοιπόν θελήσουμε να
μοιράσουμε το πορτοκάλι του προηγούμενου παραδείγματος σε 4 άτομα τότε θα
κόψουμε το πορτοκάλι σε 4 ίσα μέρη και θα δώσουμε από 1 κομμάτι στον καθένα.
Ή αλλιώς λέμε ότι ο καθένας θα πάρει το
4
1
του πορτοκαλιού .
4
1
Ο παρονομαστής μας δείχνει σε πόσα ίσα μέρη έχουμε χωρίσει την ακέραιη μο-
νάδα , στο παράδειγμά μας το πορτοκάλι το χωρίσαμε σε 4 ίσα μέρη . Ο αριθμητής
μας δείχνει πόσα κομμάτια θα πάρουμε , στην περίπτωσή μας ένα .
1.2 ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ
Ας ξαναγυρίσουμε στο αρχικό μας παράδειγμα . Καθαρίζουμε το πορτοκάλι και
βλέπουμε ότι αποτελείται από 12 φέτες . Αν είχε μόνο 4 φέτες δε θα υπήρχε πρόβλημα
γιατί ο καθένας θα έπαιρνε από 1 φέτα . Τι γίνεται όμως τώρα που έχουμε 12 φέτες ; Η
λύση του προβλήματος είναι απλή :
το
4
1
του 12 = 12 : 4 = 3
δηλαδή για να υπολογίσουμε την κλασματική μονάδα ενός αριθμού διαιρούμε
τον αριθμό μας με τον παρονομαστή .
παραδείγματα :
Το
5
1
του κιλού, πόσα γραμμάρια είναι; ( το κιλό έχει 1000 γραμμάρια , άρα ) 1000 :
5 =200
αριθμητής
παρονομαστής
κλασματική
γραμμή
Θ Ε Ω Ρ Ι Α

3. Συμεωνίδης Θόδωρος- 2 -
Το
10
1
της ώρας, πόσα λεπτά είναι; ( η μία ώρα έχει 60 λεπτά ,άρα ) 60 : 10 = 6
Το
8
1
του χρόνου πόσες ημέρες είναι ; ( ο χρόνος έχει 360 ημέρες ,άρα )360 : 8 = 45
1.3 ΠΩΣ ΣΥΓΚΡΙΝΟΥΜΕ ΤΙΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ
Αν κόψουμε μία πίτσα σε 4 κομμάτια και πάρουμε το 1 και κόψουμε την ίδια πίτσα σε 5
κομμάτια και πάρουμε 1 πότε θα φάμε μεγαλύτερο κομμάτι ;
4
1
5
1
Μεγαλύτερο είναι όπως φαίνεται το
4
1
γιατί χωρίσαμε σε λιγότερα κομμάτια .
Ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες κλασματικές μονάδες μεγαλύτερη είναι εκεί-
νη που έχει το μικρότερο παρονομαστή.
1.4 ΟΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κλασματικός αριθμός ή κλάσμα λέγεται κάθε αριθμός, που προκύπτει με την επα-
νάληψη μιας κλασματικής μονάδας.
π.χ. το κλάσμα
6
5
έγινε από το
6
1
(
6
1
+
6
1
+
6
1
+
6
1
+
6
1
=
6
5
)
Το κλάσμα
6
5
μας δείχνει ότι χωρίσαμε την ακέραιη μονάδα μας π.χ. μία σοκολάτα
σε 6 ίσα μέρη και πήραμε τα 5 από αυτά .
Το παρακάτω παράδειγμα θα μας δείξει τη χρησιμότητα των κλασμάτων .Έστω
ότι έχουμε 5 σοκολάτες και θέλουμε να τις μοιράσουμε δίκαια σε 8 παιδιά . Είναι φα-
νερό ότι δεν μπορούμε να μοιράσουμε τις σοκολάτες . Αν όμως χωρίσουμε κάθε σοκο-
λάτα σε 8 ίσα μέρη τότε κάθε παιδί θα πάρει :
8
1
+
8
1
+
8
1
+
8
1
+
8
1
=
8
5
Αντί λοιπόν να κάνουμε τη διαίρεση 5:8 που είναι ατελής εκφράζουμε το πο-
σό με ένα κλάσμα . Κάθε κλάσμα λοιπόν δηλώνει μια διαίρεση .
κλπ.
100
1
10
1
5
1
4
1
3
1
2
1
π.χ. 

4. Συμεωνίδης Θόδωρος- 3 -
1.4 ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΟ ΚΛΑΣΜΑ ΜΙΑΣ ΠΟΣΟΤΗΤΑΣ
Έχουμε μια σοκολάτα χωρισμένη σε 15 κομμάτια και θέλουμε να φάμε μόνο τα
5
3
της
σοκολάτας . Πόσα κομμάτια θα φάμε ;
Για να λύσουμε την απορία μας πρέπει να βρούμε πόσα κομμάτια είναι τα
5
3
της σοκο-
λάτας . Ο υπολογισμός γίνεται με τον παρακάτω τρόπο :
τα
5
3
του 15 = ( 15:5 ) χ 3 = 3 χ 3 = 9
δηλαδή για να υπολογίσουμε το κλάσμα ενός αριθμού διαιρούμε τον αριθμό μας
με τον παρονομαστή και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή .
παραδείγματα :
Τα
12
5
της ώρας, πόσα λεπτά είναι ; ( 1 ώρα = 60 λεπτά )
( 60 : 12 ) χ 5 = 5 χ 5 = 25 λεπτά
τα
10
6
του 450 = ( 450 : 10 ) χ 6 = 45 χ 6 = 270

5. Συμεωνίδης Θόδωρος- 4 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
2.1 ΓΝΗΣΙΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΧΡΗΣΤΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
 Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μικρότερο από τον παρονομαστή λέγο-
νται γνήσια κλάσματα. Αυτά είναι μικρότερα από μία ακέραιη μονάδα.
π.χ.
6
2
< 1,
10
7
< 1
Το κλάσμα
6
2
μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 6 μέρη
και πήραμε τα 2 ,δηλαδή λιγότερα από το σύνολο.
 Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή και παρονομαστή τον ίδιο αριθμό λέγο-
νται ισοδύναμα με την ακέραιη μονάδα. Αυτά έχουν την ίδια αξία με την
ακέραιη μονάδα.
π.χ.
5
5
= 1,
8
8
= 1,
12
12
= 1
Το κλάσμα
5
5
μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5 μέρη και
πήραμε τα 5 ,δηλαδή τα πήραμε όλα άρα ολόκληρη την ακέραιη μονάδα .
 Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή λέγο-
νται καταχρηστικά κλάσματα. Αυτά είναι μεγαλύτερα από μία ακέραιη
μονάδα.
π.χ.
8
12
> 1,
7
14
> 1,
3
9
> 1
Το κλάσμα
8
12
μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 8 μέρη και πήραμε τα 12 .
Αυτό φαινομενικά δε γίνεται γιατί δεν έχουμε 12 ,αλλά μόνο 8 κομμάτια . Η λύση στο
πρόβλημα είναι απλή : αν πάρω 2 ακέραιες μονάδες και τις κόψω σε 8 κομμάτια την κα-
θεμιά τότε θα έχω 8+8=16 κομμάτια και θα μπορέσω να πάρω 12.

6. Συμεωνίδης Θόδωρος- 5 -
2.2 ΑΠΛΑ ΚΑΙ ΜΕΙΚΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
 Απλό ονομάζεται το κλάσμα που αποτελείται μόνο από αριθμητή και παρονο-
μαστή.
π.χ.
6
2
,
3
9
,
8
8
 Μεικτό ονομάζεται το κλάσμα που αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα
κλάσμα .
π.χ. 4
6
2
, 5
3
9
, 7
8
8
Το μεικτό κλάσμα μας δείχνει ότι παίρνουμε π.χ. 4 ακέραιες μονάδες και τα
6
2
μι-
ας ακόμη ακέραιης μονάδας. Δηλαδή χρειαζόμαστε συνολικά 5 ακέραιες μονάδες.
2.3 ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΠΟ ΑΠΛΑ ΣΕ ΜΕΙΚΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ
1.Για να μετατρέψουμε ένα μεικτό αριθμό σε κλάσμα κάνουμε τα εξής :
6
5
3
 Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με τον ακέραιο: 5 χ 6 = 30
 Προσθέτουμε στο γινόμενο τον αριθμητή: 30 + 3 = 33
 Βάζουμε στη θέση του αριθμητή το άθροισμα και παρονομαστή αφήνουμε
τον ίδιο.
6
5
3
=
5
33
4
6
2
=
6
2)64( x
=
6
26
5
3
2
=
3
2)35( x
=
3
17
2.Για να μετατρέψουμε ένα απλό κλάσμα σε μεικτό κάνουμε τα εξής :
5
13
= 2
5
3
 Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή : 13 : 5 = 2 και υπόλοιπο 3
 Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος , το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής και
παρονομαστής μένει ο ίδιος
5
13
= 2
5
3
13:5=2
3 υπόλοιπο
παρονομαστής ο ίδιος

7. Συμεωνίδης Θόδωρος- 6 -
2.4 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα όταν έχουν την ίδια αξία , εκφράζουν δηλαδή το
ίδιο κομμάτι της ακέραιης μονάδας , π.χ.
5
3
=
10
6
. Αν δηλαδή κόψω μια πίτα σε 5
κομμάτια και πάρω τα 3 ή αν την κόψω σε 10 κομμάτια και πάρω τα 6 τότε θα έχω
πάρει την ίδια ποσότητα και στις δύο περιπτώσεις.
 Για να κατασκευάσω ισοδύναμα κλάσματα αρκεί να πολλαπλασιάσω ή
να διαιρέσω τους όρους του κλάσματος ( αριθμητής και παρονομαστής)
με τον ίδιο αριθμό .
χ2 χ3 χ4 χ5
6
2
=
12
4
=
18
6
=
24
8
=
30
10
Προσοχή !!! πολλαπλασιάζουμε το αρχικό κλάσμα όχι το προηγούμενο .
:2 :3 :4
60
24
=
30
12
=
20
8
=
15
6
Προσοχή !!! διαιρούμε το αρχικό κλάσμα όχι το προηγούμενο .
2.5 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα διαιρούμε τον αριθμητή του και τον παρο-
νομαστή του με τον ίδιο αριθμό .
Όταν οι όροι του κλάσματος δε διαιρούνται πλέον , το κλάσμα ονομά-
ζεται ανάγωγο.
32
12
=
8
3
Για να γίνει απλοποίηση υπάρχουν δύο τρόποι :
 Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με οποιονδήποτε αριθμό ( συνήθως το 2)
και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρι να γίνει το κλάσμα ανάγωγο .
:2 :2 :2
64
24
=
32
12
=
16
6
=
8
3
διαιρούμε αριθμητή και πα-
ρονομαστή με το 4

8. Συμεωνίδης Θόδωρος- 7 -
 Βρίσκουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη ( δηλαδή το μεγαλύτερο αριθμό που δι-
αιρεί και τους δύο όρους του κλάσματος ) και διαιρούμε απευθείας με αυτόν
.
:8
64
24
=
8
3
Με όποιο τρόπο κι αν κάνουμε την απλοποίηση το αποτέλεσμα θα είναι το
ίδιο .
Αν το κλάσμα είναι καταχρηστικό , το μετατρέπουμε σε μεικτό και
μετά κάνουμε απλοποίηση .

9. Συμεωνίδης Θόδωρος- 8 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
3.1 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Αν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο ή περισσότερα κλάσματα τότε μπορεί να
συναντήσουμε τις 3 παρακάτω περιπτώσεις :
 Τα κλάσματα έχουν ίδιους παρονομαστές , δηλαδή είναι ομώνυμα . Τότε η
σύγκριση είναι πολύ εύκολη γιατί μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει το
μεγαλύτερο αριθμητή .
5
3
> 5
2
Ο λόγος που τα
5
3
είναι μεγαλύτερο είναι προφανής . Κόψαμε την ακέραιη
μονάδα σε 5 κομμάτια και πήραμε τα 3 , ενώ στη δεύτερη περίπτωση πήραμε 2
κομμάτια από τα 5 .
 Τα κλάσματα δεν έχουν τους ίδιους παρονομαστές ,δηλαδή είναι ετερώνυμα,
αλλά έχουν τους ίδιους αριθμητές . Σε αυτή την περίπτωση μεγαλύτερο
είναι το κλάσμα που έχει το μικρότερο αριθμητή
5
3
> 8
3
Ο λόγος που τα
5
3
είναι μεγαλύτερο είναι γιατί κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5
κομμάτια και πήραμε τα 3 ,ενώ στα
8
3
κόψαμε την ίδια ακέραιη μονάδα σε 8
κομμάτια ( άρα μικρότερα ) και πήραμε πάλι τρία αλλά πολύ μικρότερα κομμάτια
.
 Τα κλάσματα δεν έχουν τους ίδιους παρονομαστές ,δηλαδή είναι ετερώνυμα,
αλλά έχουν και διαφορετικούς αριθμητές . Σε αυτή την περίπτωση θα
πρέπει να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και μετά να τα συγκρίνουμε .

10. Συμεωνίδης Θόδωρος- 9 -
3.2 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΩΝΥΜΑ
1. Έχουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα και θέλουμε να τα μετατρέψουμε σε
ομώνυμα για να τα συγκρίνουμε .
2. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να βρούμε το Ε.Κ.Π. των
παρονομαστών .
3. Στη συνέχεια διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές και σημειώνουμε το
αποτέλεσμα πάνω από το κλάσμα .
4. Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με τον αριθμό που
σημειώσαμε πάνω από κάθε κλάσμα
5. Τα κλάσματά μας είναι πλέον ομώνυμα .
1.
5
3
,
8
2
2. Ε.Κ.Π.( 5, 8 ) = 40
40:5=8 40:8=5
3.
5
3
,
8
2
4.
85
83
x
x
,
58
52
x
x
5.
40
24
,
40
10

11. Συμεωνίδης Θόδωρος10
3.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα,
προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή .
5
2
+
5
1
=
5
3
Αν κάποιο κλάσμα είναι μεικτό το μετατρέπουμε πρώτα σε απλό και μετά
κάνουμε τις πράξεις . Δεν ξεχνάμε στο τέλος να κάνουμε απλοποιήσεις και να
μετατρέψουμε τα απλά κλάσματα σε μεικτά αν είναι απαραίτητο .
2
4
2
- 1
4
3
=
4
10
-
4
7
=
4
3
Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα , τα
κάνουμε πρώτα ομώνυμα και στη συνέχεια προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους
αριθμητές . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε απλά κλάσματα
.
4 5
5
2
+
4
3
=
20
8
+
20
15
=
20
23
= 1
20
3
4 5
5
4
-
4
3
=
20
16
-
20
15
=
20
1
Αν θέλουμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλάσμα με ακέραιο
μετατρέπουμε τον ακέραιο σε κλάσμα με τον παρακάτω τρόπο :
5 1
4 -
5
2
=
1
4
-
5
2
=
5
20
-
5
2
=
5
18
= 3
5
3
ο παρονομαστής δεν αλλάζει
Για να μετατρέψουμε
έναν ακέραιο σε
κλάσμα αρκεί να
βάλουμε
παρονομαστή τη
μονάδα
Δεν ξεχνάμε να
βγάλουμε τις
ακέραιες μονάδες

12. Συμεωνίδης Θόδωρος11
3.2 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα πολλαπλασιάζουμε και τους
αριθμητές και τους παρανομαστές .Δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε τα
κλάσματα ομώνυμα . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε
απλά κλάσματα .
5
4
×
8
3
=
40
12
=
10
3
3.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα και
στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα .Δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε
τα κλάσματα ομώνυμα . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε
απλά κλάσματα .
5
4
:
8
3
=
5
4
×
3
8
=
15
32
= 2
15
2
Αντιστρέφουμε μόνο το δεύτερο κλάσμα και σε καμία περίπτωση δεν
αλλάζουμε τη σειρά των αριθμών
Αν έχουμε να κάνουμε διαίρεση με ακέραιο τον μετατρέπουμε σε κλάσμα και
κάνουμε την πράξη με τον ίδιο τρόπο :
3
2
: 4 =
3
2
:
1
4
=
3
2
χ
4
1
=
12
2
=
6
1
απλοποίηση
Βγάζουμε ακέραιες μονάδες

13. Αράπογλου Δημήτριος
ΚΛΑΣΜΑΤΑ - ΓΕΝΙΚΑ
Κάθε κλάσμα αποτελείται από την κλασματική γραμμή, τον αριθμητή(πάνω αριθμός) και τον παρονο-
μαστή(κάτω), ενώ και οι δύο μαζί ονομάζονται όροι του κλάσματος:
4
3
όπου: 3(αριθμητής), 4(παρονομαστής), και οι δύο(όροι κλάσματος)
Όταν ο αριθμητής είναι το 1 λέγονται κλασματικές μονάδες:
2
1
,
4
1
,
6
1
,
8
1
…
Όταν παρονομαστής είναι το 10,100,1000,… λέγονται δεκαδικά κλάσματα και όταν είναι αριθμητής το
1 δεκαδικές κλασματικές μονάδες:
10
2
,
100
3
,
1000
5
10
1
,
100
1
,
1000
1
…
Όταν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή το κλάσμα λέγεται γνήσιο και είναι μικρό-
τερο της μονάδας ενώ το αντίθετο λέγεται καταχρηστικό και είναι μεγαλύτερο της μονάδας:
το
5
2
είναι "γνήσιο" < 1 το
3
4
είναι "καταχρηστικό" > 1
Όταν είναι ίδιοι αριθμητής και παρονομαστής τότε λέμε ότι το κλάσμα είναι ίσο με την ακέραια μο-
νάδα(1):
1
4
4
 & 1
6
6
 …
Δυο κλάσματα που έχουν ίσους παρονομαστές λέγονται ομώνυμα ενώ όταν δεν έχουν τον ίδιο λέγο-
νται ετερώνυμα:
5
2
,
5
3
 ομώνυμα
6
5
,
4
3
 ετερώνυμα
Από δυο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει μεγαλύτερο αριθμητή ενώ από δύο ετε-
ρώνυμα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει μικρότερο παρονομαστή με την προϋπόθεση όμως ότι έχουν
ίδιο αριθμητή:
7
6
7
4
 &
8
4
7
4

Οι αριθμοί που αποτελούνται από ακέραιο και κλάσμα λέγονται μεικτοί:
7
4
1 ,
4
3
2
Για να μετατρέψω το μεικτό σε κλάσμα ακολουθώ την παρακάτω διαδικασία:
2
3
1
=
3
132 
=
3
7 Πολλαπλασιάζω τον παρονομαστή με τον ακέραιο, προσθέτω τον αριθμητή
του μεικτού και τον αριθμό που βρίσκω τον βάζω νέο αριθμητή.
Παρονομαστή γράφω τον ίδιο.

14. Αράπογλου Δημήτριος
Για να μετατρέψουμε ένα καταχρηστικό κλάσμα σε μεικτό κάνουμε τα εξής :
5
13
= 2
5
3
Κάθε ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφεί ως κλασματικός με παρονομαστή το 1 ή όποιον άλλο αριθμό.
Π. χ. 3 =
1
3
ή
2
6
ή
3
9
ή
4
12
ή
5
15
ή
9
27
ή …… …...
Οι δεκαδικοί αριθμοί γράφονται και ως δεκαδικά κλάσματα: (δηλ. με παρονομαστή 10, 100, 1000 κτλ)
Π. χ. 0,3 =
10
3
0,45 =
100
45
0,275 =
1000
275
4,25 = 4
100
25
=
1000
425
Κάθε κλάσμα είναι μια διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή του. Έτσι μπορεί να μετατραπεί σε
δεκαδικό αριθμό:
Π. χ.
8
6
= 6 : 8 = 0,75
6
5
= 0,833333333 (ατελής)
Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα όταν έχουν την ίδια αξία , εκφράζουν δηλαδή το ίδιο κομμάτι της
ακέραιης μονάδας , π.χ.
5
3
=
10
6
.
Για να κατασκευάσω ισοδύναμα κλάσματα αρκεί να πολλαπλασιάσω ή να διαιρέσω τους όρους του
κλάσματος ( αριθμητής και παρονομαστής) με τον ίδιο αριθμό.
2 3 4 5
6
2
=
12
4
=
18
6
=
24
8
=
30
10
:2 :3 :4 :6 :12
60
24
=
30
12
=
20
8
=
15
6
=
10
4
=
5
2
Γίνονται έτσι κλάσματα με μικρότερους όρους και αυτό λέγεται ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ. Όταν οι όροι του κλά-
σματος δε διαιρούνται πλέον , το κλάσμα ονομάζεται ανάγωγο.
32
12
=
8
3
Όταν θέλουμε να βρούμε το μέρος ενός αριθμού διαιρούμε αυτόν τον αριθμό με τον παρονομαστή
και στη συνέχεια τον πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή.
Π.χ. πόσο είναι τα
9
3
του 270;
270 : 9 = 30
30  3=90
Άλλος τρόπος, προτιμότερος, περιγράφεται παρακάτω και είναι: πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό με το
κλάσμα.
Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή  13 : 5 = 2 και υπόλοιπο 3
Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος , το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής
και παρονομαστής μένει ο ίδιος
Προσοχή !!! πολλαπλασιάζουμε το αρχικό
κλάσμα όχι το προηγούμενο .
Προσοχή !!! διαιρούμε το αρχικό κλάσμα
όχι το προηγούμενο.
διαιρούμε αριθμητή και πα-
ρονομαστή με το 4
3
8

15. Αράπογλου Δημήτριος
ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε ομώνυμα κλάσματα, προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές
τους και παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο.
8
5
+
8
2
=
8
7
8
5
-
8
2
=
8
3
Για να προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα.
Αυτό γίνεται:
α) Με τη δημιουργία ισοδύναμων κλασμάτων
4
2
+
8
1
=
24
22


+
8
1
=
8
4
+
8
1
=
8
5
β) Πολλαπλασιάζοντας το ένα κλάσμα με τον παρονομαστή του άλλου. ( χιαστί )
3 4
4
2
+
3
1
=
12
6
+
12
4
=
6
5
12
10

γ) Με το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο ( Ε.Κ.Π.)
Ε.Κ.Π. ( 4, 6 ) = 12 12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
3 2
4
2
+
6
1
=
12
6
+
12
2
=
12
8
=
3
2
Όταν προσθέτω ή αφαιρώ μόνο μεικτούς αριθμούς μπορώ να υπολογίσω χωριστά το ακέραιο μέρος
τους και χωριστά το κλασματικό. π.χ.:
1
8
1
+2
8
1
=(1+2)+(
8
1
+
8
1
)= 3
8
2
Όταν έχουμε προσθέσεις ή αφαιρέσεις με διάφορες μορφές αριθμών ( ακέραιους, δεκαδικούς, συμμι-
γείς, μεικτούς ) τους μετατρέπουμε σε κλάσματα και συνεχίζουμε όπως γνωρίζουμε.
4 =
1
4
ή
2
8
0,4 =
10
4
1 μ. 3 δεκ. = 1
10
3
=
10
13
3
5
2
=
5
17
Όταν τελειώνει μια πράξη και έχουμε καταχρηστικό κλάσμα, βγάζουμε τις
ακέραιες μονάδες διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή του.
Επίσης δεν ξεχνούμε την ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ

16. Αράπογλου Δημήτριος
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ & ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσματα δε χρειάζεται να είναι ομώνυμα.
Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή.

4
2
5
3
=
10
3
20
6

Για να πολλαπλασιάσουμε ακέραιο με κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο με τον αριθμητή του
κλάσματος, το γινόμενό τους το γράφουμε νέο αριθμητή και παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο.
4
5
3
 =
5
12
=
5
2
2 
5
3
4 =
5
12
=
5
2
2
Αντίστροφοι αριθμοί είναι οι αριθμοί που όταν πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους το γινόμενό τους είναι 1.
3
2
αντίστροφος αριθμός το
2
3
3
2

2
3
=
6
6
= 1 4 
4
1
=
4
4
= 1
Αν δύο αριθμοί είναι μικρότεροι από το 1, τότε το γινόμενό τους είναι μικρότερο από το 1.
Για να διαιρέσουμε κλάσματα δε χρειάζεται να είναι ομώνυμα.
Αντιστρέφουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος και αντί για διαίρεση κάνουμε πολλαπλασια-
σμό.
5
2
:
4
3
=
5
2

3
4
=
15
8
4 :
5
3
= 4 
3
5
=
3
20
=
3
2
6
ΔΥΟ ΝΕΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Τώρα που είπαμε για τις 4 πράξεις στα κλάσματα μπορείς να μάθεις και να χρησιμοποιείς τους δύο πα-
ρακάτω ορισμούς
Όταν ψάχνω να βρω το κλασματικό μέρος ενός αριθμού κάνω πολλαπλασιασμό:
Για να βρω τα
4
3
του100 100 
4
3
=
1
100

4
3
=
41
3100


=
4
300
= 75 ή πιο σύντομα
100 
4
3
=
4
3100 
=
4
300
=75
Όταν ξέρω το κλασματικό μέρος ενός αριθμού και ψάχνω να βρω τον αριθμό κάνω διαίρεση:
Τα
5
2
ενός αριθμού είναι 100.
Ο αριθμός είναι 100 :
5
2
=
1
100
:
5
2
=
1
100

2
5
=
21
5100


=
2
500
=250 ή πιο σύντομα:
100 :
5
2
= 100
2
5
=
2
5100 
= 250

17. Αράπογλου Δημήτριος
ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Όταν τελειώνει μια πράξη και έχουμε καταχρηστικό κλάσμα, βγάζουμε
τις ακέραιες μονάδες διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή του.
Επίσης δεν ξεχνούμε την ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ
ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ
9
3
+
9
2
+
9
1
= 8 +
6
4
=
9
2
+
3
1
= 6
4
2
+ 3 =
9
2
+ 4
6
1
= 3
9
2
+
9
1
=
5
4
2
+ 3
4
2
= 8
3
2
+ 3
6
4
=
8
4
2
+
5
4
+ 0, 5 =
4
3
+
6
2
+
8
1
=
24
15
-
24
9
= 8 -
6
4
=
7 - 4
5
3
= 6
4
2
- 3 =
3
9
2
-
4
3
=
9
8
-
3
1
=
8
4
2
- 3
6
4
=
9
8
- 0,12 =
4, 5 - 3
5
2
=
4
36
- 5
2
1
=

18. Αράπογλου Δημήτριος
9
2

3
1
= 8 
6
3
=
2
4
2
 4 =
4
2
 6 =
3
4
2

2
1
=
9
2
 4
6
1
=
4  3
7
3
=
4
3
 1,2 =
5
4
2
 0, 5 =
4
2
 3
3
2
 0,3 =
2 :
5
3
=
5
3
: 2 =
9
8
:
3
1
= 6
4
2
: 3 =
4 : 2
5
2
= 2
5
2
:
4
3
=
3
1
: 3
4
2
= 0,4 : 8
4
2
=
2,5 :
4
2
= 4
6
3
: 4, 5 =

19. 3η
ΕΝΟΤ. ΚΕΦ. 14
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
konstanti
ΑΑ΄΄ ΠΠΕΕΡΡΙΙΠΠΤΤΩΩΣΣΗΗ::
Πώς βρίσκουμε το μέρος μιας ποσότητας, όταν γνωρίζουμε ολόκληρη την ποσότητα;
Πρόβλημα: Σε ένα εργοστάσιο εργάζονται 150 άτομα. Τα 4/10 των ατόμων είναι γυναίκες και
οι υπόλοιποι άντρες. α. Πόσες είναι οι γυναίκες; β. Πόσοι είναι οι άντρες;
α. Γνωρίζουμε το σύνολο των ατόμων (δηλ. τα 10/10 των ατόμων) που είναι 150 άτομα.
Για να βρω τα 4/10, θα βρω πρώτα το 1/10, θα κάνω δηλ. αναγωγή στη δεκαδική κλασματική
μονάδα.
 Τα 10/10 των ατόμων είναι 150 άτομα.
 Το 1/10 των ατόμων είναι 150 : 10 = 15 άτομα.
 Τα 4/10 των ατόμων είναι 15 Χ 4 = 60 άτομα.
Άρα οι γυναίκες (τα 4/10) είναι 60
β. Οι άντρες είναι 150 – 60 =90.
ΒΒ΄΄ ΠΠΕΕΡΡΙΙΠΠΤΤΩΩΣΣΗΗ::
Πώς βρίσκω ολόκληρη την ποσότητα, αν γνωρίζω το ένα μέρος της;
Πρόβλημα: Ο πατέρας ξόδεψε τα 6/10 της μπογιάς που είχε αγοράσει. Η μπογιά που ξόδεψε
ήταν 30 λίτρα. Πόσα λίτρα ήταν όλη η μπογιά που είχε αγοράσει;
Θα εργαστούμε με αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα.
 Τα 6/10 της μπογιάς είναι 30 λίτρα.
 Το 1/10 της μπογιάς είναι 30 : 6 = 5 λίτρα.
 Τα 10/10 (όλη η μπογιά) είναι 10 Χ 5 = 50 λίτρα.
Άρα είχε αγοράσει 50 λίτρα μπογιάς.
Όνομα___________________________
Επώνυμο_________________________
Hμ/νία ____________________

20. 3η
ΕΝΟΤ. ΚΕΦ. 14
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
konstanti
 Άσκηση 1 :
Τα 7/10 του βάρους του ανθρώπου είναι νερό. Πόσα κιλά νερό έχει το σώμα ενός ανθρώπου
90 κιλών;
Υπολογισμός
Απάντηση : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
 Άσκηση 2 :
Σε ένα σχολείο υπάρχουν 260 παιδιά. Τα 7/10 των παιδιών θα πάνε μια εκπαιδευτική εκδρομή.
Πόσα παιδιά θα πάνε στην εκδρομή;
Υπολογισμός
Απάντηση : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
 Άσκηση 3 :
Από τα 360 παιδιά μιας κατασκήνωσης τα 6/10 είναι κορίτσια. Πόσα είναι τα κορίτσια και πόσα
τα αγόρια;
Υπολογισμός
Απάντηση : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
 Άσκηση 4 :
Ο Νίκος διάβασε τα 2/10 ενός βιβλίου. Οι σελίδες που διάβασε ήταν 24. Πόσες σελίδες έχει
το βιβλίο;
Υπολογισμός
Απάντηση : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

21. 3η
ΕΝΟΤ. ΚΕΦ. 14
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
konstanti
 Άσκηση 5 :
Τα 9/10 των θεατών μιας παράστασης ήταν παιδιά και ήταν 270 παιδιά. Πόσοι ήταν όλοι οι
θεατές της παράστασης; (παιδιά και ενήλικες)
Υπολογισμός
Απάντηση : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
 Άσκηση 6 :
‘Ένας μανάβης πούλησε τα 4/10 των μήλων που είχε και του περίσσεψαν 60 κιλά. Πόσα κιλά
μήλα είχε αρχικά?
Υπολογισμός
Απάντηση : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
 Άσκηση 7 :
Τα 0,9 κιλά ελιές Αμφίσσης κοστίζουν 7,2 €. Τα 0,6 κιλά ελιές Καλαμών κοστίζουν 6,6 € .
Ποια ποικιλία πουλιέται φθηνότερα?
Υπολογισμός
Απάντηση : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

22. eva-edu
Κεφάλαιο 14 Γρήγοροι πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις με το 10, 100, 1.000
52 Χ10 =520 67 Χ10 =................. 6,25 Χ 10 = 62,5 8,35 Χ 10 = ...................
52 Χ 100= 5.200 67 Χ 100=.................. 6,25 Χ 100= 625 8,35 Χ 100 = ..................
52Χ 1.000= 52.000 67 Χ1.000=..................6,25 Χ 1.000= 6.250 8,35 Χ 1.000 = ..............
289,5 : 10 = 28,95 751,8 : 10 = .......................... 22.490:10 =2249,0
289,5 : 100 = 2,895 751,8 : 100 = ......................... 22.490:100 =224,90
289,5 : 1.000 =0,2895 751,8 : 1.000 =.................... 22.490:1.000 =22,490
Κάνε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις
2,48 Χ 10 =..................... 238,5 Χ 10 =.....................0,09 Χ 10 = .................... 0,756 Χ 100=.......................
0,9 Χ 100=........................... 2,48 Χ 1.000=.................................. 0,6 Χ 1.000= .................................
4,28 : 10 = ......................5,9 : 10= ........................ 617,100 : 100= ........................ 7:1.000 = ........................
538,2 : 1.000 = .............................. 0,7 : 100 = .......................... 448 : 10 =........................................
Για να πολλαπλασιάσω έναν ακέραιο αριθμό με το 10,100,1.000 γράφω
ξανά τον αριθμό και βάζω στο τέλος 1,2 ή 3 μηδενικά.
Για να πολλαπλασιάσω έναν δεκαδικό αριθμό με το 10, το 100 ή το 1.000
μετράω πόσα μηδενικά έχει το 10, το 100, το 1.000 και βάζω την υποδιαστολή
προς τα του αριθμού τόσες φορές όσα είναι τα μηδενικά
Αν δεν έχω άλλο αριθμό να βάλω την υποδιαστολή βάζω μηδενικά στο τέλος
Για να διαιρέσω έναν ακέραιο ή δεκαδικό αριθμό με το 10, το 100 ή
το 1.000 μετράω πόσα μηδενικά έχει το 10, το 100, το 1.000 και βάζω
την υποδιαστολή προς τα του αριθμού τόσες φορές όσα
είναι τα μηδενικά
Αν δεν έχω άλλο αριθμό να βάλω την υποδιαστολή βάζω μηδενικά
στην αρχή

23. eva-edu
Κεφάλαιο 15 Αναγωγή στην δεκαδική κλασματική μονάδα ( 1 1 1 )
10 100 1.000
Γιατί κάνω αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα;
Αν ξέρω το δεκαδικό μέρος μιας ποσότητας και θέλω να βρω όλη την ποσότητα ή ένα άλλο
δεκαδικό μέρος της, κάνω αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα.
Πώς κάνω αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα;
Η γιαγιά είχε 20 αυγά. Έβαλε τα 4 στο τηγάνι για να φτιάξει ομελέτα.Πόσα αυγά έβαλε;
10
20 αυγά
 Πρώτα θα βρώ πόσο είναι το 1 των 20 αυγών 20: 10= 2 αυγά 1 = 2
10 10
 Μετά θα βρώ πόσο είναι τα 4 των 20 αυγών. Είναι 4 φορές 1 4 Χ 2 = 8
10 10
Όλα τα αυγά Το ένα δέκατο Τα τέσσερα δέκατα
10
10
1
10
4
10
20 αυγά 2 αυγά 8 αυγά
Κλασματική μονάδα είναι το 1 από τα ίσα μέρη στα οποία κόψαμε μια ακέραιη
μονάδα (όλο)
Οι κλασματικές μονάδες 1 1 1 λέγονται δεκαδικές κλασματικές μονάδες
10 100 1.000
Κάθε κλάσμα δείχνει μια διαίρεση 3 = 3 : 5
5

24. eva-edu
Για να το βρείς θα κάνεις αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα;
Πρώτα βρές το 1 του κιλού;
10
Τώρα βρες τα 7 του κιλού;
10
1 κιλό = 1.000 γραμμάρια
Πόσα γραμμάρια είναι τα 7 του κιλού;
10

25. eva-edu
Κεφάλαιο 16 Κλασματικές μονάδες
1 ακέραιη μονάδα (όλο) το χώρισα σε 2 κομμάτια το κάθε κομμάτι είναι το 1 (ένα δεύτερο)
2
Έκοψα την τούρτα σε 4 κομματια και έφαγα το 1 δηλαδή το 1 (ένα τέταρτο)
4
Το 1 και το 1 είναι
2 4
Μικρότερη κλασματική μονάδα είναι αυτή που έχει μεγαλύτερο παρονομαστή
Μεγαλύτερη κλασματική μονάδα είναι αυτή που έχει μικρότερο παρονομαστή
1 > 1
2 4
Γράψε με κλάσμα τι μέρος είναι χρωματισμένο σε κάθε σχήμα

26. eva-edu
Χρωμάτισε τα σχήματα με το μέρος που δείχνουν τα κλάσματα
2 6
4 12
Γράψε με γράμματα τα παρακάτω κλάσματα
1.....................................................................2 ...................................................................
8 25
3..................................................................4 .......................................................................
9 7
Γράψε τι μέρους του χρόνου είναι οι 6 μήνες ..............................
Λύσε το πρόβλημα
Η τσάντα για το σχολείο μου έχει μέσα 20 πράγματα. Το 1 είναι τετράδια και το 1 βιβλία
4 2
Πόσα τετράδια έχει η τσάντα;.........................................................................................
Πόσα βιβλία έχει η τσάντα;.............................................................................................

27. eva-edu
4
2
2
1
Τα κλάσματα που είναι διαφορετικά αλλά εκφράζουν την ίδια ποσότητα (όπως
τα δύο παραπάνω) ονομάζονται ισοδύναμα
Πως φτιάχνουμε ισοδύναμα κλάσματα
Για να φτιάξουμε ισοδύναμα κλάσματα πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε και τον
αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό
Παράδειγμα
2
1
6
3
και
4
2
2
1
Παρατήρησε τα δύο παρακάτω σχήματα. Θα δεις ότι το
πράσινο κομμάτι και στα δύο είναι η ίδια ποσότητα. Ωστόσο
τα κλάσματα που τα περιγράφουν είναι διαφορετικά.
x 3
x 3
: 2
: 2

28. eva-edu
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να αντιστοιχήσεις τα σχήματα που είναι ίσα μεταξύ τους
Να φτιάξεις ισοδύναμα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με
τους αριθμούς που σου δίνονται
3
2
6
8
5
1
: 2
x 3
x 2

29. eva-edu
Μπορούμε να μετατρέψουμε κάθε κλάσμα σε δεκαδικό κάνοντας τη διαίρεση
του αριθμητή με τον παρονομαστή
Παράδειγμα
Θέλουμε να μετατέχουμε σε δεκαδικό Το κλάσμα
4
3
Κάνουμε τη διαίρεση
Το αποτέλεσμα είναι 0,75 δηλαδή 75 εκατοστά
ή αλλιώς
100
75
. Άρα
4
3
=
100
75
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να μετατρέψεις τα παρακάτω κλάσματα σε δεκαδικά
4
2
5
2

30. eva-edu
Παράδειγμα
Η Εύα έχει 15 ευρώ. Πήγε στο σούπερ μάρκετ και ξόδεψε τα
5
2
. Πόσα λεφτά
ξόδεψε η Εύα;
Απάντηση
Αφού μας ζητάει τα
5
2
του 15 θα κάνουμε πολλαπλασιασμό.
15 x
5
2
=
5
215x
=
5
30
=6
ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Να λύσεις τα παρακάτω προβλήματα
1) Η τάξη της Εύας έχει 18 παιδιά. Από αυτά τα
3
2
είναι κορίτσια. Πόσα είναι τα
κορίτσια στην τάξη της Εύας;
2) Το βιβλίο της Εύας έχει 40 σελίδες. Η Εύα διάβασε το
4
1
. Πόσες σελίδες
διάβασε η Εύα;
Όταν σε προβλήματα μας ζητάνε να βρούμε το κλάσμα μιας
ποσότητας κάνουμε πάντα πολλαπλασιασμό του κλάσματος με την
ποσότητα που έχουμε

31. eva-edu
Πολλές φορές θέλουμε να καταλάβουμε ποια είναι περίπου η βασική τιμη
πολλών αριθμών. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε το Μέσο Όρο.
Για παράδειγμα θέλουμε να βρούμε πόσο ήταν ο Μέσος Όρος της θερμοκρασίας
για μια εβδομάδα.
Για να βρούμε το Μέσο όρο κάποιων αριθμών τους προσθέτουμε όλους μαζί
και αυτό που θα βρούμε το διαιρούμε με το πόσοι είναι αυτοί οι αριθμοί.
Παράδειγμα
Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι θερμοκρασίες για κάθε μέρα της εβδομάδας
που πέρασε. Να βρεις το Μέσο Όρο τους.
1) Προσθέτουμε όλες τις θερμοκρασίες
25+20+23+19+24+20+19 = 150
2) Οι μέρες της εβδομάδας είναι 7. Άρα διαιρούμε το 150 : 7 = 21,4 ˚
Απάντηση : Ο Μέσος Όρος της θερμοκρασίας είναι 21,4 ˚
ΗΜΕΡΕΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ
Δευτέρα 25 ˚
Τρίτη 20 ˚
Τετάρτη 23 ˚
Πέμπτη 19 ˚
Παρασκευή 24 ˚
Σάββατο 20 ˚
Κυριακή 19 ˚

32. eva-edu
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται τα χρήματα που ξόδεψε κάθε μέρα η
Εύα στο σούπερ μάρκετ. Να βρείτε ο Μέσο Όρο των εξόδων της.
1)
2)
ΗΜΕΡΕΣ ΧΡΗΜΑΤΑ
Δευτέρα 4
Τρίτη 4
Τετάρτη 3
Πέμπτη 4
Παρασκευή 2
Σάββατο 4
Κυριακή 0

33. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
57
Μάθημα 13ο
Γρήγοροι πολλαπλασιασμοί με 10, 100, 1.000 κλπ
 Σύντομος πολλαπλασιασμός φυσικού με το 10, 100, 1.000 :
Γράφουμε τον αριθμό και προσθέτουμε στο τέλος του ένα, δύο ή τρία μηδενικά
αντίστοιχα.
( π.χ. 5 • 10 = 50 , 87 • 100 = 8.700 , 67 • 1.000 = 67.000 )
 Σύντομος πολλαπλασιασμός δεκαδικού με το 10, 100, 1.000 :
Μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά τόσες θέσεις όσα είναι τα μηδενικά.
( π.χ. 14,75 • 10 = 147,5 , 12,345 • 100 = 1.234,5 , 0,005 • 1.000 = 5 )
Αν τα δεκαδικά ψηφία δεν είναι αρκετά για να καλύψουν όλες τις θέσεις,
συμπληρώνουμε όσα μηδενικά περισσεύουν.
( π.χ. 5,4 • 100 = 540 , 32,47 • 1.000 = 32.470 )
Γρήγορες διαιρέσεις με 10, 100, 1.000
 Σύντομη διαίρεση φυσικού με το 10, 100, 1.000:
Κόβουμε, με υποδιαστολή, από το τέλος και προς τα αριστερά, τόσα δεκαδικά ψηφία όσα
είναι τα μηδενικά.
( π.χ. 69 : 10 = 6,9 , 758 : 100 = 7,58 , 2.654 : 1.000 = 2,654 )
Αν τα ψηφία του αριθμού δεν είναι αρκετά για να καλύψουν όλες τις θέσεις,
συμπληρώνουμε μπροστά από τον αριθμό και μετά την υποδιαστολή, όσα μηδενικά
περισσεύουν.
( π.χ. 5 : 10 = 0,5 , 7 : 100 = 0,07 , 52 : 1.000 = 0,052 )
 Σύντομη διαίρεση δεκαδικού με το 10, 100, 1.000:
Μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά τόσες θέσεις όσα είναι τα
μηδενικά.
( π.χ. 23,84.:.10 = 2,384 , 23,84 : 100 = 0,2384 , 543,2 : 1.000 = 0,5432 )
Αν τα δεκαδικά ψηφία δεν είναι αρκετά για να καλύψουν όλες τις θέσεις,
συμπληρώνουμε, μπροστά από τον αριθμό και μετά την υποδιαστολή, όσα μηδενικά
περισσεύουν.
( π.χ. 0,5 : 10 = 0,05 , 0,5 : 100 = 0,005 , 26,3 : 1.000 = 0,0263 )
Ασκήσεις
1. Ένα λίτρο πετρελαίου θέρμανσης κοστίζει 0,98 €. Πόσο κοστίζουν τα 10 λίτρα, πόσο τα
100 και πόσο τα 1.000 λίτρα πετρελαίου ;
2. Ένα τετράδιο ορθογραφίας κοστίζει 0,65 €. Πόσο κοστίζουν τα 100 τετράδια και πόσο
τα 1.000 ;

34. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
58
3. Συμπλήρωσε τους παρακάτω πίνακες :
4. Ένα φορτηγό μεταφέρει 100 ίδια κιβώτια συνολικού βάρους 8.500 κιλών. Πόσα κιλά
ζυγίζει το ένα κιβώτιο ;
5. Ο Ανδρέας έχει 15 κάρτες με αυτοκίνητα. Ο Ζώης έχει δεκαπλάσιες κάρτες από τον
Ανδρέα και ο Γιώργος διπλάσιες από τον Ζώη. Πόσες κάρτες έχουν και τα τρία παιδιά
μαζί ;
6. Το κιλό οι πατάτες κοστίζουν 0,80 €. Πόσο κοστίζουν τα 10 κιλά, πόσο τα 100 κιλά και
πόσο τα 1.000 κιλά πατάτες ;
7. Να γίνουν γρήγορα οι πολλαπλασιασμοί:
0,80 · 10 = ……. 204 · 100 = ……. 10,572 · 1.000 = ……. 458 · 10 = …….
0,196 · 100 = ……. 6,14 · 1.000 = …… 532 · 10 = ……. 6,5 · 100 = …….
8. Να γίνουν γρήγορα οι διαιρέσεις :
32 : 10 = ……. 7,8 : 100 = ……. 1982 : 1.000 = ……. 0,05 : 10 = …….
75,06 : 100 = ……. 2 : 1.000 = ……. 175 : 10 = ……. 210,04 : 100 = …….
9. Μια γαλάζια φάλαινα ζυγίζει 120 τόνους. Πόσους τόνους ζυγίζουν 100 όμοιες φάλαινες ;
10.Σε 10 φτωχές οικογένειες η εκκλησία μιας ενορίας μοίρασε λίγο πριν τις γιορτές των
Χριστουγέννων 140 κιλά λάδι. Πόσα κιλά πήρε κάθε οικογένεια ;
11.Το ένα κιλό κολοκυθάκια κοστίζουν 1,35 €. Πόσο κοστίζουν τα 10 κιλά, πόσο τα 100 κιλά
και πόσο τα 100 γραμμάρια ;
12.Μια αντιπροσωπεία αυτοκινήτων πουλάει ένα σπορ αυτοκίνητο 48.000 €. Αν σε ένα
τρίμηνο πούλησε 10 τέτοια σπορ αυτοκίνητα, πόσα χρήματα εισέπραξε;
• 10 100 1.000
5
• 10 100 1.000
54,987
: 10 100 1.000
77
: 10 100 1.000
7,75
• 10 100 1.000
0,55
: 10 100 1.000
0,55

35. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
59
Μάθημα 14ο
Αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα
10
1
,
100
1
,
1000
1
Για να υπολογίσουμε το
10
1
ενός ποσού, δηλαδή τη δεκαδική κλασματική μονάδα,
όπως ονομάζεται, διαιρούμε το ποσό διά 10.
( π.χ. το
10
1
του 350 είναι 350 : 10 = 35 ).
Αντίστροφα, όταν γνωρίζουμε τη δεκαδική κλασματική μονάδα, η οποία
αντιστοιχεί σε ένα ποσό, και θέλουμε να υπολογίσουμε το αρχικό ποσό,
πολλαπλασιάζουμε το ποσό με το 10.
( π.χ. αν το
10
1
ενός ποσού είναι 35, το αρχικό ποσό είναι 35 • 10 = 350 ).
Η χρήση της δεκαδικής κλασματικής μονάδας, η αναγωγή στη δεκαδική κλασματική
μονάδα, όπως ονομάζεται, βοηθάει στη λύση διαφόρων προβλημάτων:
 Γνωρίζουμε όλο το ποσό και θέλουμε να υπολογίσουμε ένα κλασματικό μέρος του:
Για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε τα
10
6
του αριθμού 240, κάνουμε
πρώτα αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα, δηλαδή βρίσκουμε το
10
1
του 240,
το οποίο είναι 240 : 10 = 24, και στη συνέχεια βρίσκουμε τα
10
6
, πολλαπλασιάζοντας
το 24 με το 6, δηλαδή 24 • 6 = 144. Άρα τα
10
6
του 240 είναι 144.
 Γνωρίζουμε το κλασματικό μέρος του ποσού και θέλουμε να υπολογίσουμε το
αρχικό ποσό:
Για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε ποιο είναι το ποσό, του οποίου τα
10
3
είναι 45, κάνουμε πρώτα αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα, δηλαδή βρίσκουμε
το
10
1
του ποσού, διαιρώντας 45 : 3 = 15, και στη συνέχεια βρίσκουμε το αρχικό
ποσό, πολλαπλασιάζοντας το 15 με το 10, δηλαδή 15 • 10 = 150. Άρα το ζητούμενο
ποσό είναι το 150.
 Γνωρίζουμε το κλασματικό μέρος ενός ποσού και θέλουμε να υπολογίσουμε ένα
άλλο κλασματικό μέρος του ίδιου ποσού:
Για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε πόσο είναι τα
10
8
ενός αριθμού, του
οποίου τα
10
5
είναι 115, κάνουμε πρώτα αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα,
δηλαδή βρίσκουμε το
10
1
του 115. 115 : 5 = 23, ( το
10
1
είναι πέντε φορές μικρότερο

36. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
60
από τα
10
5
), και στη συνέχεια βρίσκουμε τα
10
8
, πολλαπλασιάζοντας το 23 με το 8,
δηλαδή 23 • 8 = 184. Άρα τα
10
8
αυτού του αριθμού είναι 184.
Ασκήσεις
1. Σε ένα εργοστάσιο εργάζονται 150 εργάτες. Από αυτούς τα
10
4
είναι γυναίκες και οι
υπόλοιποι είναι άντρες. Να βρεις πόσες είναι οι γυναίκες και πόσοι είναι οι άντρες που
δουλεύουν στο εργοστάσιο ;
2. Στο σχολείο μας τα
10
5
των παιδιών είναι κορίτσια. Το σχολείο μας έχει 138 παιδιά.
Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια στο σχολείο μας ;
3. Το
10
1
του κιλού το κασέρι κοστίζει 0,8 €. Πόσο κοστίζει το κιλό το κασέρι ;
4. Η Εύα είναι 12 ετών. Η ηλικία της είναι ίση με τα
10
3
της ηλικίας του μπαμπά της.
Πόσων ετών είναι ο μπαμπάς της Εύας ;
5. Τα
10
7
του βάρους του ανθρώπου είναι νερό. Πόσα κιλά νερό έχει το σώμα ενός
ανθρώπου 90 κιλών ;
6. Σε ένα σχολείο υπάρχουν 260 παιδιά. Τα
10
7
των παιδιών θα πάνε μια εκπαιδευτική
εκδρομή. Πόσα παιδιά θα πάνε στην εκδρομή ;
7. Από τα 360 παιδιά μιας κατασκήνωσης τα
10
6
είναι κορίτσια. Πόσα είναι τα κορίτσια και
πόσα τα αγόρια ;
8. Υπολόγισε :
α. Το 1/10 του 40  40 : 10 = 4
Το 1/10 του 250  ……………
Το 1/10 του 6.780  …………
Το 1/10 του 700  ……………
Το 1/10 του 1.500  ………….
β. Το 1/100 του 3.600  3.600 : 100 = 36
Το 1/100 του 46  ………………
Το 1/100 του 850  ……………..
Το 1/1000 του 12.500  ………..
Το 1/ 1000 του 3.500  ………...

37. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr -Μαθηματικά Ε΄
5
Μάθημα 18ο
Κλασματικές μονάδες
αριθμητής
όροι του κλάσματος :
παρονομαστής
πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα
πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα
Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.
Τα πορτοκαλί κομμάτια αποτελούν τα δύο τρίτα
3
2
της σημαίας.
Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί και ως κλασματικός, έχοντας
παρονομαστή τη μονάδα, χωρίς να αλλάξει η αξία του.
Κάθε κλάσμα, το οποίο έχει αριθμητή τη μονάδα, ονομάζεται κλασματική μονάδα.
Η κλασματική μονάδα φανερώνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίστηκε μια ποσότητα .
(π.χ. η κλασματική μονάδα
8
1
φανερώνει ότι μια ποσότητα χωρίστηκε σε 8 ίσα μέρη).
Σύγκριση Κλασμάτων
Για να συγκρίνω δύο ή περισσότερα κλάσματα, πρέπει τα κλάσματα να έχουν
ίσους αριθμητές ή ίσους παρονομαστές. Όταν έχουν ίσους αριθμητές, μεγαλύτερο
κλάσμα είναι αυτό που έχει τον μικρότερο παρονομαστή. Όταν έχουν ίσους
παρονομαστές, μεγαλύτερο κλάσμα είναι αυτό που έχει το μεγαλύτερο αριθμητή.
Όταν δεν έχουν κοινούς αριθμητές ή κοινούς παρονομαστές, για να το συγκρίνω
πρέπει να τα κάνω ομώνυμα .
π.χ.
6
1
,
4
1
,
2
1
→
2
1
>
4
1
>
6
1
5
2
,
5
3
,
5
1
→
5
3
>
5
2
>
5
1

38. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr -Μαθηματικά Ε΄
6
Ασκήσεις
1. Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά :
2. Ο Νίκος και ο αδερφός του ο Γιάννης αγόρασαν δυο ίδιες φραντζόλες ψωμί και πήρε ο
καθένας από μία. Ο Νίκος χώρισε τη φραντζόλα σε 3 ίσα μέρη και έφαγε το ένα από
αυτά και ο Γιάννης χώρισε τη δική του φραντζόλα σε 4 ίσα μέρη και έφαγε το ένα από
αυτά.
Νίκος Γιάννης
Τι μέρος έφαγε το κάθε παιδί;
Ποιο παιδί έφαγε περισσότερο ;
3. Τι μέρος της ώρας είναι :
 Το 1 λεπτό : …….. ώρας
 Τα 10 λεπτά : …….. ώρας
 Τα 15 λεπτά : …….. ώρας
 Τα 30 λεπτά : …….. ώρας
 Τα 45 λεπτά : …….. ώρας
 Τα 60 λεπτά : …….. ώρας
Βάλε τα κλάσματα στη σειρά από το μεγαλύτερο στο μικρότερο :
…………………………………………………………………………..
Η Κυριακή έκοψε ένα μήλο σε 4 ίσα μέρη

Το μήλο είναι η …………………. μονάδα.
Χωρίστηκε σε …………………... μέρη.
Τι μέρος του μήλου αντιπροσωπεύει κάθε κομμάτι ; …..…………………………….
Πρέπει να ξέρω ότι: Οτιδήποτε χωρίζεται σε ίσα μέρη είναι μια ακέραιη μονάδα.
Καθένα από τα ίσα μέρη της μονάδας ονομάζεται ……….…………… μονάδα

39. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr -Μαθηματικά Ε΄
7
Τι μέρος του Ευρώ είναι :
 Το 1 λεπτό : ………. €
 Τα 10 λεπτά : ………. €
 Τα 20 λεπτά : ………. €
 Τα 50 λεπτά : ………. €
 Τα 75 λεπτά : ………...€
 Τα 100 λεπτά : ……….€
Βάλε τα κλάσματα στη σειρά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο :
…………………………………………………………………………..
4. Ένας υπάλληλος παίρνει μηνιαίο μισθό 1.350 €. Πληρώνει για ενοίκιο το
5
1
του μισθού
του. Πόσα € πληρώνει για ενοίκιο το μήνα και πόσα € για όλο το χρόνο ( 12 μήνες ) ;
5. Ο Χρήστος διάβασε το
8
1
ενός βιβλίου το οποίο έχει 400 σελίδες. Πόσες σελίδες έχει
ακόμα για διάβασμα ;
6. Συγκρίνω ανά δυο τις παρακάτω κλασματικές μονάδες και κυκλώνω τη μεγαλύτερη :
α )
8
1
3
1
β )
5
1
10
1
γ )
6
1
5
1
δ )
2
1
4
1
ε )
7
1
8
1
στ )
10
1
9
1
ζ )
12
1
10
1
η )
15
1
20
1
7. Να γράψεις με κλασματική μονάδα :
Τι μέρος του κιλού είναι το 1 γραμμάριο : …………………………..
Τι μέρος του έτους είναι ο 1 μήνας : ………………………………...
Τι μέρος της ώρας είναι το 1 δευτερόλεπτο : ……………………...
Τι μέρος του τόνου είναι το 1 κιλό : …………………………………

40. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr -Μαθηματικά Ε΄
8
8. Σε μια τσάντα υπάρχουν 5 μολύβια, 4 γόμες και 3 τετράδια. Τι μέρος του συνόλου των
πραγμάτων είναι :
Τα μολύβια : ………………………………
Οι γόμες : …………………………………
Τα τετράδια : ……………………………..
9. Να γράψετε με μορφή κλάσματος τα πηλίκα των διαιρέσεων :
7 : 8 = …….. 13 : 15 = ……..
10. Να γράψετε ως διαιρέσεις τα κλάσματα :
7
6
= …………
17
9
= ………..
11. Βάλτε το σύμβολο της ισότητας ή της ανισότητας στα παρακάτω ζεύγη αριθμών :
1 …….
3
2
1 ……..
7
5
7
7
……. 1
1 ……..
7
6
12
1
…….. 1 1 ……
8
1
12. Εργαστείτε όπως στο παράδειγμα :

3
2
2 < 3 →
3
2
< 1

7
5
……………………………

7
7
……………………………

7
9
……………………………

41. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr -Μαθηματικά Ε΄
9
Μάθημα 19ο
Ισοδύναμα κλάσματα
Τα κλάσματα εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους, γι’ αυτό και λέγονται
ισοδύναμα.
2
1
=
4
2
=
8
4
=
16
8
Ισοδύναμα κλάσματα μπορώ να δημιουργήσω αν πολλαπλασιάσω τον αριθμητή
και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό, ή αν διαιρέσω τον αριθμητή και τον
παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.
Η διαίρεση των όρων του κλάσματος με τον ίδιο αριθμό λέγεται και απλοποίηση .
π.χ.
2
1
=
22
21


=
4
2
ή
4
2
=
44
42


=
16
8
ή
8
4
=
4:8
4:4
=
2
1
ή
16
8
=
4:16
4:8
=
4
2
=
2
1
Το κλάσμα που δεν μπορεί να απλοποιηθεί άλλο λέγεται ανάγωγο κλάσμα.
Ομώνυμα και ετερώνυμα κλάσματα
Τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή λέγονται ομώνυμα. Τα κλάσματα
που έχουν διαφορετικό παρονομαστή λέγονται ετερώνυμα.
π.χ. ομώνυμα :
5
2
,
5
3
,
5
1
, ετερώνυμα :
6
1
,
4
1
,
2
1
.
Δύο ή περισσότερα κλάσματα λέγονται ισοδύναμα, όταν μετρούν το
ίδιο μέγεθος με διαφορετικό κλάσμα.
Δηλ.

42. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr -Μαθηματικά Ε΄
10
Ασκήσεις
1. Συμπληρώνω τον αριθμό που λείπει, ώστε τα κλάσματα να γίνουν ισοδύναμα :
2
1
=
10
,
2
1
=
7
,
2
1
=
20
,
2
1
=
20
,
2
1
=
100
2
1
=
4
=
4
=
16
,
3
1
= = = ,
5
2
= = =
2. Φτιάξε 3 ισοδύναμα κλάσματα του
3
2
:
3
2
= = =
3. Φτιάξε 3 ισοδύναμα κλάσματα του
5
4
:
5
4
= = =
4. Απλοποίησε τα παρακάτω κλάσματα :
6
2
= ,
10
5
= ,
20
10
= ,
30
15
= ,
21
18
=
5. Απλοποίησε τα παρακάτω κλάσματα, μέχρι να γίνουν ανάγωγα :
68
20
= ,
100
50
= ,
45
15
= ,
49
28
= ,
80
60
=
6. Να μετατρέψεις το κλάσμα
5
3
σε ισοδύναμο κλάσμα με :
α) παρανομαστή το 10 β) παρανομαστή το 25 γ) αριθμητή το 9 δ) αριθμητή το 30
7. Η Μαρία έφαγε τα
10
4
μιας σοκολάτας και η Γιάννα τα
5
2
μιας σοκολάτας του ίδιου
μεγέθους. Ποια από τις δυο έφαγε περισσότερο ; Δικαιολόγησε την απάντηση σου.
8. Μπορείς να εκφράσεις τις παρακάτω ποσότητες με 2 τουλάχιστον ισοδύναμα κλάσματα ;
α ) 0,06 € β ) 500 γραμμάρια γ ) 30 λεπτά της ώρας

43. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
25
Μάθημα 25ο
Στατιστική – Μέσος όρος
Όταν έχουμε μια σειρά από μετρήσεις, οι οποίες αφορούν το ίδιο θέμα, μπορούμε να τις
προσθέσουμε και να διαιρέσουμε το άθροισμα με το πλήθος των μετρήσεων. Ο αριθμός, ο
οποίος προκύπτει με αυτόν τον τρόπο, ονομάζεται μέσος όρος των μετρήσεων.
Ο μέσος όρος είναι πολύ χρήσιμος σε διάφορες περιπτώσεις :
 Αντιπροσωπεύει με σαφή τρόπο μια ομάδα μετρήσεων
( π.χ. ένας μαθητής της Ε΄ τάξης πήρε στο πρώτο τρίμηνο τους εξής βαθμούς :
Γλώσσα 9, Μαθηματικά 10, Φυσική 10, Ιστορία 9, Θρησκευτικά 10, Γεωγραφία 8, Κοινωνική και
Πολιτική Αγωγή 9, Φυσική Αγωγή 10, Αισθητική Αγωγή 9, Ξένη Γλώσσα 9.
Ο μέσος όρος των βαθμών του είναι :
9 + 10 + 10 + 9 + 10 + 8 + 9 + 10 + 9 + 9 = 93 : 10 = 9,3 ).
 Διευκολύνει τη σύγκριση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες ομάδες μετρήσεων
( π.χ. ένας άλλος μαθητής της Ε΄ τάξης πήρε στο πρώτο τρίμηνο τους εξής βαθμούς:
Γλώσσα 10, Μαθηματικά 10, Φυσική 9, Ιστορία 10, Θρησκευτικά 10, Γεωγραφία 9,
Κοινωνική και Πολιτική Αγωγή 9, Φυσική Αγωγή 9, Αισθητική Αγωγή 9, Ξένη Γλώσσα
9. Για να βρούμε αν είχε καλύτερη επίδοση από τον προηγούμενο μαθητή υπολογίζουμε
το μέσο όρο των βαθμών του, ο οποίος είναι :
10 + 10 + 9 + 10 + 10 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 94 : 10 = 9,4.
Άρα ο δεύτερος μαθητής είχε καλύτερη επίδοση ).
 Επιτρέπει την πρόβλεψη μιας μέτρησης
( π.χ. αν ένας παίκτης του μπάσκετ στους 8 προηγούμενους αγώνες της ομάδας του
σημείωσε τους εξής πόντους 14, 17, 15, 12, 6, 16, 17, 14, στον επόμενο αγώνα είναι
πιθανό να σημειώσει 14 + 17 + 15 + 12 + 6 + 16 + 17 + 14 = 111 = 13,875 δηλαδή περίπου
14 πόντους ).
 Να περιγράψουμε ένα πλήθος δεδομένων, με μία μόνο τιμή
( π.χ. Ο μέσος όρος ηλικίας των μαθητών της Ε΄ τάξης είναι 11 ετών ).
Μ.Ο. αριθμών =


ώή
ώά
Παράδειγμα
Το κυλικείο του σχολείου μας πούλησε τη Δευτέρα 50 τυρόπιτες, την Τρίτη 55, την
Τετάρτη 45, την Πέμπτη 60 και την Παρασκευή 30 τυρόπιτες. Πόσες τυρόπιτες πούλησε
κατά μέσο όρο αυτή την εβδομάδα ;
Λύση
ημέρες Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή
τυρόπιτες 50 55 45 60 30
Μ.Ο. =


ώή
ώά
=
5
3060455550 
=
5
240
= 48 τυρόπιτες
Απάντηση : Πούλησε κατά μέσο όρο 48 τυρόπιτες την ημέρα.

44. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
26
Ασκήσεις
1. Ένα προϊόν πωλείται σε 3 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές : 18 €, 20 €
και 22 €. Ποια είναι η μέση τιμή πώλησης του προϊόντος ;
2. Οι θερμοκρασίες, στις 12 το μεσημέρι, αυτή την εβδομάδα στην Αλεξάνδρεια ήταν οι
παρακάτω : τη Δευτέρα 10ο
C, την Τρίτη 11ο
C, την Τετάρτη 10ο
C, την Πέμπτη 12ο
C και
την Παρασκευή 12ο
C. Ποια είναι η μέση θερμοκρασία της εβδομάδας στην Αλεξάνδρεια ;
3. Στους πέντε αγώνες μπάσκετ του σχολικού πρωταθλήματος, ο καλύτερος παίκτης μας
σημείωσε 22, 18, 15, 10, 15 πόντους αντίστοιχα. Πόσους πόντους κατά μέσο όρο
σημείωνε σε κάθε παιχνίδι ;
4. Ένα κατάστημα ηλεκτρικών ειδών εισέπραξε τον Ιανουάριο 12.000 €, το Φεβρουάριο
14.000 € και το Μάρτιο 16.000 €. Πόσα χρήματα εισέπραξε κατά μέσο όρο τον μήνα, το
πρώτο τρίμηνο της χρονιάς ;
5. Αυτοί είναι οι επισκέπτες του Μουσείου της Βεργίνας για την εβδομάδα που πέρασε :
Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή
230 300 320 420 285
Πόσοι ήταν κατά μέσο όρο οι επισκέπτες του Μουσείου την εβδομάδα που πέρασε ;
6. Να υπολογίσεις με τι βαθμό θα προαχθεί η Σοφία, που πήρε τους παρακάτω βαθμούς :
Θρησκευτικά 10, Γλώσσα 9, Μαθηματικά 8, Γεωγραφία 9, Αγγλικά 10, Φυσική 7,
Ιστορία 8, Γυμναστική 10, Μουσική 9, Ζωγραφική 9.
7. Το περσινό Φθινόπωρο οι βροχές στην Ημαθία ήταν το Σεπτέμβρη 210 χιλιοστά, τον
Οκτώβρη 330 χιλιοστά και τον Νοέμβρη 420 χιλιοστά. Ποιος ήταν ο μέσος όρος
βροχοπτώσεων αυτούς τους τρεις μήνες ;
8. Η Μαρία αρρώστησε με πυρετό κι η μαμά της της έβαλε θερμόμετρο. Το πρωί το
θερμόμετρο έδειξε 36,8 βαθμούς Κελσίου, το μεσημέρι 39,2 το απόγευμα 39,8 και το
βράδυ 40. Ποιος ήταν κατά μέσο όρο ο πυρετός της την ημέρα αυτή ;
9. Η Βενετία παίρνοντας τη βαθμολογία του Α' τριμήνου λυπήθηκε γιατί εκτίμησε ότι η
βαθμολογία της ήταν χαμηλότερη από αυτήν του Α' τριμήνου της περσινής χρονιάς.
Παρατήρησε τους βαθμούς της. Εκτίμησε σωστά ; Γιατί ;
Βαθμοί 2009 : Γλώσσα 8, Μαθηματικά 9, Ιστορία 10, Φυσική 8, Γεωγραφία 10,
Θρησκευτικά 10, Αγωγή 10, Μουσική 10, Τεχνικά 10, Αγγλικά 8.
Βαθμοί 2010 : Γλώσσα 9, Μαθηματικά 9, Ιστορία 9, Φυσική 9, Γεωγραφία 9,
Θρησκευτικά 10, Αγωγή 9, Μουσική 9, Τεχνικά 10, Αγγλικά 10.

45. Διαίρεση με το 10, 100, 1.000, …
 Διαιρώντας έναν αριθμό με το 10, 100, 1.000,…
ο αριθμός μικραίνει κατά 10 ή 100 ή 1.000 … φορές
αντίστοιχα.
 Αρκεί λοιπόν να μετακινήσουμε την υποδιαστολή
1, 2 ή 3 θέσεις προς τα αριστερά.
π.χ. 8:10 =
8:100 =
0,8:100 =
0,8
0,08
0,008
Γιάννης Φερεντίνος

46. Διαίρεση με το 0,1, 0,01, 0,001, …
 Διαιρώντας έναν αριθμό με το 0,1, 0,01, 0,001,…
ο αριθμός μεγαλώνει κατά 10 ή 100 ή 1.000 …
φορές αντίστοιχα.
 Αρκεί λοιπόν να μετακινήσουμε την υποδιαστολή
1, 2 ή 3 θέσεις προς τα δεξιά.
π.χ. 12,3:10 =
12,3:1.000 =
12,3:100 =
123
12.300
1.230
Γιάννης Φερεντίνος

47. Αναγωγή στη δεκαδική κλασματική
μονάδα (1/10, 1/100, 1/1.000)
Γιάννης Φερεντίνος

48. Η δεκαδική κλασματική μονάδα και η
αναγωγή σε αυτήν
• Το 1/10 ενός αριθμού ονομάζεται δεκαδική
κλασματική μονάδα.
• Όταν σε ένα πρόβλημα χρησιμοποιούμε το
1/10 ενός αριθμού, λέμε ότι κάνουμε
αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα.
Γιάννης Φερεντίνος

49. Από το όλο στο 1/10
• Για να υπολογίσουμε το 1/10 ενός ποσού,
δηλαδή τη δεκαδική κλασματική μονάδα,
διαιρούμε το ποσό δια του 10.
(πχ το 1/10 του 350 είναι 350 : 10 = 35)
Γιάννης Φερεντίνος

50. Από το 1/10 στο όλο
• Αντίστροφα όταν γνωρίζουμε τη δεκαδική
κλασματική μονάδα, η οποία αντιστοιχεί σε
ένα ποσό, και θέλουμε να υπολογίσουμε το
αρχικό ποσό, πολλαπλασιάζουμε το ποσό με
το 10
(πχ αν το 1/10 του ποσού είναι 35, το αρχικό
ποσό είναι 35 * 10 = 350)
Γιάννης Φερεντίνος

51. Η αναγωγή στη δεκαδική κλασματική
μονάδα βοηθάει στη λύση προβλημάτων,
όταν:
• Γνωρίζουμε όλο το ποσό και θέλουμε να
υπολογίσουμε ένα κλασματικό μέρος του
• Γνωρίζουμε το κλασματικό μέρος του ποσού
και θέλουμε να υπολογίσουμε το αρχικό ποσό
• Γνωρίζουμε το κλασματικό μέρος ενός ποσού
και θέλουμε να υπολογίσουμε ένα άλλο
κλασματικό μέρος του ίδιου ποσού
Γιάννης ΦερεντίνοςΓιάννης Φερεντίνος

52. Γνωρίζουμε όλο το ποσό και θέλουμε να
υπολογίσουμε ένα κλασματικό μέρος του
• Πχ , αν θέλουμε να βρούμε τα 6/10 του
αριθμού 240, κάνουμε πρώτα αναγωγή στη
δεκαδική κλασματική μονάδα, δηλαδή
βρίσκουμε το 1/10 του 240, που είναι
240: 10=24,
και στη συνέχεια βρίσκουμε τα 6/10,
πολλαπλασιάζοντας το 24 με το 6, δηλαδή
24 * 6 = 144.
Άρα τα 6/10 του 240 είναι 144.
Γιάννης ΦερεντίνοςΓιάννης Φερεντίνος

53. Γνωρίζουμε το κλασματικό μέρος του ποσού
και θέλουμε να υπολογίσουμε το αρχικό ποσό
• Πχ , αν θέλουμε να βρούμε ποιο είναι το
ποσό, του οποίου τα 3/10 είναι 45, κάνουμε
πρώτα αναγωγή στη δεκαδική κλασματική
μονάδα, δηλαδή βρίσκουμε το 1/10 του ποσού,
διαιρώντας 45 : 3 = 15, και στη συνέχεια
βρίσκουμε το αρχικό ποσό, πολλαπλασιάζοντας
το 15 με το 10, δηλαδή 15 * 10 = 150.
Άρα το ζητούμενο (αρχικό) ποσό είναι το 150.
Γιάννης ΦερεντίνοςΓιάννης Φερεντίνος

54. Γνωρίζουμε το κλασματικό μέρος ενός
ποσού και θέλουμε να υπολογίσουμε ένα
άλλο κλασματικό μέρος του ίδιου ποσού
• Πχ , αν θέλουμε να βρούμε πόσο είναι τα
8/10 ενός αριθμού, του οποίου τα 5/10 είναι
115, κάνουμε πρώτα αναγωγή στη δεκαδική
κλασματική μονάδα, δηλαδή βρίσκουμε το
1/10 του 115, που είναι 115 : 5 = 23,
και στη συνέχεια βρίσκουμε τα 8/10,
πολλαπλασιάζοντας το 23 με το 8, δηλαδή
23 * 8 = 184.
Άρα τα 8/10 αυτού του αριθμού είναι το 184.
Γιάννης Φερεντίνος
Γιάννης Φερεντίνος

55. Ισοδύναμα κλάσματα
Γιάννης Φερεντίνος
Ε΄ τάξη
Γιάννης Φερεντίνος

56. Ποια κλάσματα λέγονται ισοδύναμα
• Κλάσματα τα οποία εκφράζουν την ίδια
ακριβώς ποσότητα, ενώ οι όροι τους είναι
διαφορετικοί, λέγονται ισοδύναμα.
Π.χ. τα κλάσματα 1 και 2 είναι ισοδύναμα.
3 6
Γιάννης ΦερεντίνοςΓιάννης Φερεντίνος

57. Πώς κατασκευάζω ισοδύναμα
κλάσματα;
• Μπορώ να κατασκευάσω ισοδύναμα
κλάσματα με δυο τρόπους:
1. Πολλαπλασιάζοντας τους δυο όρους του
κλάσματος με τον ίδιο αριθμό
Π.χ. 3 = 3*4 = 12
5 5*4 20
Γιάννης ΦερεντίνοςΓιάννης Φερεντίνος

58. Πώς κατασκευάζω ισοδύναμα
κλάσματα;
2. Διαιρώντας τους δυο όρους του κλάσματος
με τον ίδιο αριθμό
Π.χ. 20 = 20:5 = 4
45 45:5 9
• Απλοποίηση ενός κλάσματος λέγεται η
εύρεση ενός ισοδύναμου κλάσματος με
μικρότερους όρους. Αυτό γίνεται διαιρώντας
τους δυο όρους του αρχικού κλάσματος με
τον ίδιο αριθμό.
Γιάννης ΦερεντίνοςΓιάννης Φερεντίνος

59. Πώς ελέγχω αν δυο κλάσματα είναι
ισοδύναμα;
• Ελέγχω αν τα σταυρωτά γινόμενα των δυο
κλασμάτων (άκροι – μέσοι) είναι ίσα.
Αν ναι, τότε είναι ισοδύναμα .
Π.χ. 3 = 6 3 * 10 = 30
5 10 5 * 6 = 30
Τα κλάσματα είναι ισοδύναμα.
Π.χ. 4 7 4 * 9 = 36
6 9 6 * 7 = 42
Τα κλάσματα δεν είναι ισοδύναμα.
Γιάννης ΦερεντίνοςΓιάννης Φερεντίνος

60. Μετατροπή κλάσματος
σε δεκαδικό
Γιάννης ΦερεντίνοςΓιάννης Φερεντίνος

61. Μετατροπή δεκαδικού κλάσματος σε
δεκαδικό αριθμό
• Ένα δεκαδικό κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως
δεκαδικός αριθμός, γράφοντας μόνο τον
αριθμητή και κόβοντας από το τέλος με
υποδιαστολή, τόσα δεκαδικά ψηφία όσα είναι
τα μηδενικά του παρονομαστή
Π.χ. 478 = 4,78 35 = 3,5 632 = 0,632
100 10 1.000
Γιάννης Φερεντίνος

62. Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό
• Μπορούμε να μετατρέψουμε οποιοδήποτε
κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό.
• Η μετατροπή αυτή γίνεται διαιρώντας τον
αριθμητή δια του παρονομαστή του
κλάσματος.
Π.χ. 3 = 3:4 = 0,75 26 = 26:8 = 3,25
4 8
• Αν η διαίρεση είναι ατελής, συνήθως
σταματάμε στα χιλιοστά.
Γιάννης Φερεντίνος

63. Ομώνυμα κλάσματα
• Κλάσματα τα οποία έχουν ίδιους
παρονομαστές ονομάζονται ομώνυμα.
Π.χ. 3 , 4 , 6 , 8
7 7 7 7
• Όταν δυο κλάσματα είναι ομώνυμα, συγκρίνω
τους αριθμητές. Μεγαλύτερο είναι το κλάσμα
με το μεγαλύτερο αριθμητή.
Π.χ. 4 > 2
6 6
Γιάννης Φερεντίνος

64. Ετερώνυμα κλάσματα
• Κλάσματα που έχουν διαφορετικούς
παρονομαστές ονομάζονται ετερώνυμα.
Π.χ. 2 , 2 , 3 , 7
5 6 8 3
• Όταν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα δεν
μπορούμε να τα συγκρίνουμε άμεσα.
Γιάννης Φερεντίνος

65. Τρόποι σύγκρισης ετερώνυμων
κλασμάτων
• Υπάρχουν δυο τρόποι σύγκρισης ετερώνυμων
κλασμάτων:
1ος Μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε
δεκαδικούς και τους συγκρίνουμε
2ος Μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε
ισοδύναμά τους ομώνυμα κλάσματα και τα
συγκρίνουμε
Γιάννης Φερεντίνος

66. Μετατροπή ετερώνυμων κλασμάτων
σε δεκαδικούς αριθμούς
• Μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε
δεκαδικούς αριθμούς και συγκρίνουμε τους
δεκαδικούς
Π.χ. για να συγκρίνουμε τα κλάσματα
3 και 10 , τα μετατρέπουμε σε δεκαδικούς
5 15
δηλαδή 3:5 = 0,6 και 10:15 = 0,67
και αφού 0,6 < 0,67 άρα 3 < 10
5 15
Γιάννης Φερεντίνος

67. Μετατροπή ετερώνυμων κλασμάτων
σε ομώνυμα κλάσματα
• Μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε
ισοδύναμα ομώνυμα, πολλαπλασιάζοντας
τους δυο όρους (αριθμητή και παρονομαστή)
με τον ίδιο αριθμό και συγκρίνουμε.
Γιάννης Φερεντίνος

68. Παράδειγμα
• Για να συγκρίνουμε τα κλάσματα
2 και 3 , τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα
3 4 Ε.Κ.Π. (3,4) = 12
Άρα 2 = 2*4 = 8 και 3 = 3*3 = 9
3 3*4 12 4 4*3 12
Αφού 8 < 9  2 < 3
12 12 3 4
Γιάννης Φερεντίνος
Το 3 στο 12 χωράει 4 και
το 4 στο 12 χωράει 3

69. Γιάννης Φερεντίνος

70.  Οι δεκαδικοί αριθμοί μπορούν να
μετατραπούν σε δεκαδικά κλάσματα και,
αντίστροφα, τα δεκαδικά κλάσματα να
μετατραπούν σε δεκαδικούς αριθμούς.
π.χ. το 0,4 γίνεται 4 και αντίστροφα.
10
το 25 γίνεται 0,25 και αντίστροφα.
100
Γιάννης Φερεντίνος

71. Μετατροπή δεκαδικού αριθμού
σε κλάσμα
Για να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό αριθμό
σε κλάσμα:
 Γράφουμε ολόκληρο τον αριθμό, χωρίς
την υποδιαστολή, στη θέση του
αριθμητή.
 Στη θέση του παρονομαστή γράφουμε τον
αριθμό 1, με τόσα μηδενικά όσα ήταν τα
δεκαδικά ψηφία του αριθμού.
Γιάννης Φερεντίνος

72. Το 2,34 γίνεται κλάσμα με αριθμητή το 234
και παρονομαστή το 100, αφού ο αριθμός
έχει δύο δεκαδικά ψηφία.
Δηλαδή 2,34 = 234
100
Γιάννης Φερεντίνος

73. Για να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό κλάσμα
σε δεκαδικό αριθμό:
 Γράφουμε μόνο τον αριθμητή του.
 Χωρίζουμε με υποδιαστολή, από τα δεξιά
προς τ’ αριστερά, τόσα δεκαδικά ψηφία
όσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής του.
Γιάννης Φερεντίνος

74.  Το 583 = 0,583
1.000
γιατί ο αριθμός έχει τρία μηδενικά
στον παρονομαστή.
Γιάννης Φερεντίνος

75. Στατιστική – Μέσος όρος
Γιάννης Φερεντίνος

76. Τι είναι ο μέσος όρος;
• Όταν έχουμε μια σειρά από μετρήσεις, οι
οποίες αφορούν το ίδιο θέμα, μπορούμε να
τις προσθέσουμε και να διαιρέσουμε το
άθροισμα με το πλήθος των μετρήσεων.
• Ο αριθμός που προκύπτει ονομάζεται μέσος
όρος των μετρήσεων
Γιάννης Φερεντίνος

77. Γιατί χρειαζόμαστε το μέσο όρο;
• Ο μέσος όρος είναι πολύ χρήσιμος σε
διάφορες περιπτώσεις:
I. Αντιπροσωπεύει με σαφή τρόπο μια ομάδα
μετρήσεων.
II. Διευκολύνει τη σύγκριση ανάμεσα σε δυο ή
περισσότερες ομάδες μετρήσεων.
III. Επιτρέπει την πρόβλεψη μιας μέτρησης.
Γιάννης Φερεντίνος

78. Αντιπροσώπευση μιας ομάδας
μετρήσεων (Μ.Ο.)
• Π.χ. Ένας μαθητής της Ε΄ Δημοτικού πήρε στο α΄
τρίμηνο τους εξής βαθμούς στα 10 μαθήματα :
Γλώσσα 9, Μαθηματικά 10, Φυσική 10, Ιστορία 9,
Θρησκευτικά 10, Γεωγραφία 8, Κ.Π.Α. 9, Αγγλικά 9,
Φυσική Αγωγή 10, Αισθ. Αγωγή 9
Ο μέσος όρος των μαθημάτων του είναι:
9+10+10+9+10+8+9+9+10+9 = 93 = 9,3
10 10
Ο μέσος όρος (Μ.Ο.) του είναι 9,3.
Γιάννης Φερεντίνος

79. Σύγκριση ανάμεσα σε ομάδες
μετρήσεων
• Π.χ. Ένας άλλος συμμαθητής του πήρε τους εξής
βαθμούς για το α΄ τρίμηνο:
Γλώσσα 10, Μαθηματικά 10, Φυσική 9, Ιστορία 10,
Θρησκευτικά 10, Γεωγραφία 9, Κ.Π.Α. 9, Αγγλικά 9,
Φυσική Αγωγή 9, Αισθ. Αγωγή 9
Για να βρούμε ποιος είχε την καλύτερη επίδοση
υπολογίζουμε το μέσο όρο των βαθμών του:
10+10+9+10+10+9+9+9+9+9 = 94 = 9,4
10 10
Άρα ο β΄ μαθητής έχει καλύτερη επίδοση.Γιάννης Φερεντίνος

80. Πρόβλεψη μιας μέτρησης
• Π.χ. Αν ένας παίχτης του μπάσκετ στους 8
προηγούμενους αγώνες της ομάδας του
σημείωσε τους εξής πόντους :
14, 17, 15, 12, 6, 16, 17, 14 - Ο μέσος όρος είναι:
14+17+15+12+6+16+17+14 = 111 = 13,875
8 8
Στον επόμενο αγώνα είναι πιθανό να σημειώσει
περίπου 14 πόντους.
Γιάννης Φερεντίνος

81. Τόνια
Μέσος όρος
Πολλές φορές χρειάζεται να περιγράψουμε ένα πλήθος
δεδομένων με μια μόνο τιμή. Σε τέτοιες περιπτώσεις
χρησιμοποιούμε το μέσο όρο (ή μέση τιμή).
Ο μέσος όρος μας βοηθά στη σύγκριση, στην εκτίμηση και στην
πρόβλεψη.
Για να βρούμε το μέσο όρο (Μ.Ο.), προσθέτουμε τους αριθμούς
αυτούς και το άθροισμά τους το διαιρούμε με τον αριθμό
που φανερώνει το πλήθος τους.
Άθροισμα αριθμών
Μ.Ο. = --------------------------------
Πλήθος αριθμών
Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α
Ο παρακάτω πίνακας δείχνει πόσους φυσικούς χυμούς πούλησε το κυλικείο
ενός σχολείου σε διάστημα μιας εβδομάδας.
Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή
35 30 45 25 15
Βρίσκω το μέσο όρο (Μ.Ο.) των φυσικών χυμών που πούλησε τη μία
μέρα.
Άθροισμα αριθμών 35 + 30 + 45 + 25 + 15 150
Μ.Ο. = --------------------------- = -------------------------------- = -------- = 30
Πλήθος αριθμών 5 5
Ο αριθμός 30 δείχνει περιληπτικά τις πωλήσεις χυμών την ημέρα.
Δευτέρα; 35
Τρίτη; 30
Τετάρτη; 45
Πέμπτη; 25
Παρσκευή; 15
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρσκευή

82. Τόνια
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ
1. Μια ομάδα μπάσκετ σημείωσε στους πέντε πρώτους αγώνες που έδωσε
τους παρακάτω πόντους:
α΄ αγώνας β΄ αγώνας γ΄ αγώνας δ΄ αγώνας ε΄ αγώνας
85 80 75 95 100
α.) Να δείξεις τους πόντους που πέτυχε η ομάδα σε ραβδόγραμμα.
65
70
75
80
85
90
95
100
α΄ αγ. β΄ αγ. γ΄ αγ. δ΄ αγ. ε΄ αγ.
β.) Πόσους πόντους κατά μέσο όρο πέτυχε η ομάδα σε κάθε αγώνα;
Λύση:
Απάντηση:
2. Μία ομάδα μπάσκετ έχει δώδεκα παίκτες. Οι δύο έχουν ανάστημα 2,14
μ., οι τρείς 2,09 μ., οι δύο 2,06 μ., οι τρεις 2,03 μ. και οι δύο 1,98 μ.
Να βρεθεί η μέση τιμή του αναστήματος των παικτών.
Λύση:
Απάντηση:

83. Τόνια
3. Ο Χρήστος πήρε σε δύο μαθήματα 10, σε τρία πήρε 9, σε ένα πήρε 8,
σε τρία πήρε 7 και σε δύο πήρε 6. Με τι βαθμό θα προβιβαστεί;
Λύση:
Απάντηση:
4. Η Μυρτώ κατέγραψε στον παρακάτω πίνακα τη θερμοκρασία της
προηγούμενης βδομάδας. α.) Δείχνω με ραβδόγραμμα τα δεδομένα του
πίνακα, β.) Βρίσκω το Μ. Ο. της θερμοκρασίας.
Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή Σάββατο Κυριακή
9,5ο C 10,5ο C 11ο C 11,5ο C 12,5ο C 13,5ο C 12ο C
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
ΔΕΥΤ. ΤΡ. ΤΕΤ. ΠΕΜΠ. ΠΑΡ. ΣΑΒΒ. ΚΥΡ.
Λύση:
Απάντηση:

84. Τόνια
5. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει πόσες τυρόπιτες πούλησε το κυλικείο ενός
σχολείου τις πέντε εργάσιμες ημέρες μιας εβδομάδας. Βρίσκω το Μ. Ο.
των τυροπιτών που πούλησε τη μία μέρα και τον παρουσιάζω στο
ραβδόγραμμα:
0
20
40
60
80
100
Δευτ. Τρ. Τετ. Πέμπ. Παρ.
Μ.Ο.: ………………………………………………………………………………………………
Απάντηση: ………………………………………………………………………………………..
6. Το Αρχαιολογικό Μουσείο Αθηνών επισκέφτηκαν τον Οκτώβριο 250
μαθητές, τον Νοέμβριο 300 μαθητές, τον Δεκέμβριο 400 μαθητές και
τον Φεβρουάριο 350 μαθητές. α.) Πόσοι μαθητές το μήνα, κατά μέσο
όρο, επισκέφτηκαν το Μουσείο; β.) Να συμπληρώσεις σωστά το
ραβδόγραμμα.
Λύση:
Απάντηση:
0
100
200
300
400
500
Οκτ. Νοεμ. Δεκ. Ιαν. Φεβ.
Ημέρες Τυρόπιτες
Δευτέρα 70
Τρίτη 60
Τετάρτη 90
Πέμπτη 50
Παρασκευή 30

85. Δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα όταν φανερώνουν το
ίδιο μέρος μιας ποσότητας, π.χ.
― = ―
Ισοδύναμα κλάσματα
4
5
8
10
4 8
5 10
Rizos Tzalakostas

86. Για να ελέγξουμε δύο κλάσματα αν είναι ισοδύναμα
πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων
"χιαστί." Αν προκύψουν ίσα γινόμενα τότε τα
κλάσματα είναι ισοδύναμα.
4x10=40
5x8=40
Άρα τα κλάσματα είναι ισοδύναμα αφού τα χιαστί
γινόμενα είναι ίσα
4
5
8
10
5
2
8
3 3x5=15
2x8=16
Τα χιαστί γινόμενα δεν είναι ίσα, άρα τα κλάσματα
δεν είναι ισοδύναμα

87. Δημιουργώ ισοδύναμα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ή
διαιρώντας και τους δύο όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο
αριθμό π.χ.
Δημιουργώ ισοδύναμα κλάσματα
3 4
5 4
= 12
= 20

88. 18 :2
20 :2
= 9
=10
Η τεχνική παραγωγής ισοδύναμων κλασμάτων διαιρώντας και τους
δύο όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό ονομάζεται απλοποίηση.
Για να διαιρέσω και τους δύο όρους με τον ίδιο διαιρέτη θα πρέπει να
βρω τους κοινούς διαιρέτες τους.

89. Απλο……ποίηση
7 :7
28 :7 4
1
Είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε το
κλάσμα για να εκφράσουμε το μέρος
μιας ποσότητας παρά το
1
4
28
7
=
Το κλάσμα ονομάζεται ανάγωγο κλάσμα επειδή δεν
απλοποιείται άλλο.
1
4
Παράδειγμα1

90. 8 :2
12 :2
Παράδειγμα 2
=
4
6
Προσοχή το κλάσμα δεν
ονομάζεται ανάγωγο επειδή οι όροι του
απλοποιούνται κι άλλο.
4
6
4
6
=
2
3
Το κλάσμα είναι ανάγωγο.
Οι όροι του δεν έχουν κάποιον
κοινό διαιρέτη ,άρα δεν
μπορούμε να τους διαιρέσουμε
άλλο.
2
3
Απαραίτητη προϋπόθεση για να κάνω απλοποίηση σ’ ένα
κλάσμα είναι να έχουν οι όροι του κάποιον κοινό διαιρέτη
εκτός του 1.
:2
:2