“APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN”
PRESENTADOR POR:
NATALIA CASTILLO MÉNDEZ
XIOMAR ANDREA DITTERICH RUÍZ
RICARDO ORTEGÓN MENDOZA
PRESENTADO A:
ING. CARLOS MONROY
MATEMATICAS III
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL META
INGENIERÍA AMBIENTAL
MAYO
2012

INTRODUCCION
Las Ecuaciones Diferenciales tienen una importancia fundamental en la Matemáticas
para la ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes y
relaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones. Es interés de este
trabajo la deducción de las Ecuaciones Diferenciales a partir de situaciones físicas que se
presentan en determinados problemas de carácter físico . A esta transición del problema,
al Modelo Matemático correspondiente se llama Modelado. Este método tiene una gran
importancia práctica para el ingeniero y se ilustra por medio de ejemplos típicos. En
estos ejemplos se ilustraran los pasos del modelado, es decir, hacia un planteamiento
matemático y su solución, y la interpretación física del resultado. Se dedicará en este
espacio la modelación de problemas que conduce a Ecuaciones Diferenciales de
segundo orden y esto lo justifica desde el punto de vista teórico y práctico pues se verán
más fáciles si uno se concentra primeros en tales ecuaciones, pues de esta manera los
estudiantes familiarizado con los conceptos de segundo orden, resultaría más fácil los
conceptos, métodos y resultados hacia las de orden superior.

OBJETIVOS
Mediante la primera y segunda ley de Hooke determinar ecuaciones diferenciales.
Solucionar respectivamente los ejercicios del taller usando las formulas
adecuadas de la leyes de Hooke y ecuación diferencial para hallar la función x(t).
Hallar mediante la ecuación principal los valores y
.

“APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN”
Aplicaciones a la física:
Movimiento Armónico Simple:
La Ley de Hooke:
Supongamos que un cuerpo de masa M esta sujeto al extremo de un resorte flexible
suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura
5.1b. Cuando M se remplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será,
por supuesto, distinto.
Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la
dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F =
ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso
producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente
caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb. Alarga el resorte
en 1/2 pie, entonces,
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb. /pie.
Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. Alarga el mismo resorte en 2/5 pie.
Segunda Ley de Newton:
Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y
alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de
restitución ks. El peso es definido por:
W = m .g

En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geo libras (slugs) y g = 9.8
mt/s² , p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b,la
condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de
su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerza
neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del
movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt². Suponiendo que
sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre), entonces
podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución:
(1)
Ecuación Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado:
Dividiendo la última ecuación planteada entre la masa m, se obtiene la ecuación
diferencial de segundo orden:
O bien.
En donde = k/m. Se dice que la ecuación (3) describe el movimiento armónico
simple o movimiento vibratorio no amortiguado. Hay dos condiciones iniciales obvias
asociadas con dicha ecuación:

Que representa la magnitud del desplazamiento inicial y la velocidad inicial,
respectivamente. Por ejemplo si > 0 y < 0, se trata de una masa que parte de un
punto abajo de la posición de equilibrio y a la cual se ha comunicado una velocidad
dirigida hacia arriba. Si < 0 y = 0, se trata de una masa en reposo que se suelta desde
un punto que está unidades arriba de la posición de equilibrio. Los demás casos son
análogos.
Solución y ecuación de movimiento:
Para resolver la ecuación (3) observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar
Son los números complejos
De acuerdo a la ecuación auxiliar de las ecuaciones lineales homogéneas podemos
concluir la ecuación general.
Formula Euler:
Solución general;
El periodo de las vibraciones libres descritas por la última ecuación (5) es y
la frecuencia es . Por ejemplo, para x (t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t el periodo es
2 y la frecuencia es 3/2 . El primer numero indica que la grafica x(t) se repite
unidades; el ultimo numero indica que hay 3 ciclos de la grafica 2 unidades; en
otras palabras, la masa realiza 3/2 oscilaciones completas por unidad de tiempo.
Además, se puede demostrar que el periodo es el intervalo de tiempo entre dos
máximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos determinado las constantes
C1 y C2 en (5) C2 sen t mediante las condiciones iniciales (4), decimos que la solución
particular resultante es la ecuación de movimiento.

Ejemplo 1:
Una fuerza de 400 N estira un resorte 2 m. Una masa de 50 kg se sujeta al extremo del
resorte y se la suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia
arriba de 10 m/s. Halle la ecuación del movimiento.
Ecuación del movimiento

Ejemplo2:
Resolver e interpretar el problema de valor inicial:
Solución:
Una formulación equivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo que
pende de un resorte hasta que esté 10 unidades bajo la posición de equilibrio y luego se
le retiene hasta t = 0; se le suelta a continuación de manera que parta de un estado de
reposo. Aplicando las condiciones iniciales a la solución:
Resulta
De modo que y por lo tanto
La ultima ecuación implica que y por lo tanto la ecuación de movimiento es
x(t)=10cos 4t.
La solución muestra claramente que una vez que el sistema se pone en movimiento,
permanece en tal estado, con la masa deslazándose alternadamente 10 unidades hacia
cada lado de la posición de equilibrio x = 0. El periodo de oscilación es 2 /4 = /2
segundos.
Ejemplo3:
Un cuerpo que pesa 2lb. se estira un resorte 6plg. Dicho cuerpo se suelta en t = 0 desde
un punto que está 8plg bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia
arriba de 4/3 pie/seg. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante.
Solución:
Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las magnitudes
dadas en pulgadas deben expresarse en pies: 6plg = 6/12 = 1/2 pie, 8plg = 8/12 = 2/3 pie.
Además, debemos convertir las unidades de peso en unidades de masa. M = W/g
Tenemos

Además, por la Ley de Hooke se tiene:
Por consiguiente, las análogas de las ecuaciones (1) y (2) son, respectivamente,
El desplazamiento y la velocidad iniciales están dados por:
En donde el signo negativo que aparece en la última condición en consecuencia de que a
la masa se le da una velocidad inicial con dirección negativa, esto es, dirigida hacia arriba.
Ahora bien, o sea de modo que la solución general de la ecuación
diferencial es:
Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos que:
Y
Luego Por consiguiente, la ecuación de movimiento es:
Nota: desafortunadamente, es usual que no haga una distinción entre peso y masa. Así,
a menudo se habla del movimiento de una masa sujeta a un resorte y también, del
movimiento de un peso sujeto a una resorte.
Forma alternativa de x(t)

Cuando y , la amplitud real A de las oscilaciones libres no se obtiene en
forma inmediata de la ecuación (5). Por ejemplo, aunque la masa del Ejemplo 2 es
inicialmente desplazada 2/3 pie fuera de la posición de equilibrio, la amplitud de las
oscilaciones es un número mayor que 2/3. Por lo tanto, a menudo conviene transformar
una solución de la forma (5) a una forma más simple
En donde
Y en donde es un ángulo de fase definido por
Para verificar esto, desarrollamos (8) mediante la formula del seno de una suma de
angulos:
Se define como:
Entonces (10) se transforma en

CONCLUSIONES
Teniendo en cuenta la ley de Hooke y sus respectivas ecuaciones se puede
determinar valores como constantes, fuerzas, peso y así remplazarlas en las
ecuaciones diferenciales de tal forma que podamos hallar y para darle una
solución principal a la ecuación diferencial.
Sabiendo los valores respectivos con los cuales podemos hallar la ecuación
diferencial podemos darle solución a siendo el valor final que nos piden en
cada ejercicio determinado por la ecuación principal.