Gamma function, Gamma distribution and related probability distributions.

1. ガンマ分布と仲間たちガンマ分布と仲間たち
2015/10/10
TokyoR#51
@xiangze750

2. 2
最近
● 色々な本が出版されている。
– 機械学習、統計、R、Python...数学

3. 3
数学
今日はこれ

4. 4
ガンマ関数とは
● 階乗の一般化

5. 5
ガンマ関数とは
● 積分表示
負の数、実数、複素数に拡張できる。
http://www.askamathematician.com/2015/05/q-is-there-such-a-thing-as-half-a-derivative/

6. 6
ガンマ関数とは
● 積分表示

7. 7
ガンマ関数とは
● 無限積表示
分子分母に同じのをかける

8. 8
ガンマ関数の性質
をつかうと
https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_formula
10page

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ガンマ分布
Rでは
{d,p,q,r}gamma({x,q,p,n},shape,rate=1,scale=1/rate)
z=k
x=λxと改めて置く

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ガンマ分布の意味
● 製品寿命の分布
– k個ある製品がどんどん壊れていく
– 1個の寿命の分布は指数分布

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ガンマ分布の特殊例(1)
k=1のとき
詳しくは「ポアソン分布と指数分布のいけない関係」
指数分布

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ガンマ分布の特殊例(1)
k(自然数)を変数としてみるとx=1のとき
詳しくは「ポアソン分布と指数分布のいけない関係」
ポアソン分布
平均寿命λの製品が単位時間
あたりにk-1回故障する確率

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ガンマ分布の特殊例(1)
ガンマ分布
指数分布 ポアソン分布
k=1 x=1

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共役事前分布
ガンマ分布は正規分布の分散の共役事前分布
分散σに対して
とおいて
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ベータ分布
● ベータ関数
をつかって

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ディリクレ分布
● ベータ分布をさらに拡張
ディリクレ分布は多項分布の共役事前分布
N=3のとき

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その他
● カイ2乗分布
– k=n+1/2, λ=1/2
● アーラン分布
– k=n
– 待ち時間の分布

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まとめ
● ガンマ分布は確率分布理解の十字路
http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/UDR.html

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参考資料
● Shinyで確率分布いろいろ
– https://ksmzn.shinyapps.io/statdist/
● 確率分布曼荼羅
– http://leeswijzer.hatenablog.com/entry/2013/06/26/161846
– http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/UDR.html