Este documento trata sobre ecuaciones con dos incógnitas y sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones con dos incógnitas, los sistemas de ecuaciones lineales y cómo clasificarlos. También describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación, reducción y gráficamente.

1. ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Este tema trata de estudiar las relaciones en las que
aparecen dos incógnitas, por ejemplo:
El producto de dos números es 65: x · y = 65
La suma de las edades de dos amigos es 28: x + y = 28
Una ecuación con dos incógnitas tiene muchas
soluciones.
Trata de dar valores a x e y para que cumplan una
relación, por ej. : x + y = 15

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado
por las ecuaciones:
ax + by = c
a’x + b’y = c’
donde los coeficientes de las incógnitas (a, a’, b, b’) y los términos
independientes (c, c’) son números reales.
Se dice que un par de números x1, y1 son una solución del sistema si
al sustituir x por x1 e y por y1 se satisfacen a la vez las dos
ecuaciones del sistema.
Por lo tanto, resolver un sistema de ecuaciones consiste en hallar (si
existen) todas las soluciones.

3. SISTEMAS EQUIVALENTES
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las
mismas soluciones.
Para obtener sistemas equivalentes se pueden hacer, entre otras,
estas operaciones:
• Sumar o restar un número a los dos miembros de una o de las dos
ecuaciones:
2x + y = 5 2x + y - 3 = 5 - 3
x + y = 3 x + y + 2 = 3 + 2
• Multiplicar o dividir una de las dos ecuaciones por un número no nulo:
2x + y = 5 2 · (2x + y) = 2 · 5
x + y = 3 x + y = 3
• Cambiar una ecuación por la suma de las dos ecuaciones.
2x + y = 5 2x + y = 5
x - y = 3 3x = 8

4. CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar como:

5. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
2x + 3y = 5
5x + 6y = 4
De mi sistema de dos ecuaciones con dos variables escojo una de
ellas, como por ejemplo, la primera de ellas.
2x + 3y = 5 En mi ecuación escojo una variable para despejar.
2x + 3y = 5
3y = 5 -2x
Como he escogido la variable "y", entonces dejo los términos con "y"
a un lado y llevo los demás al otro lado.
y = 5 -2x
3
Hallamos el valor de la variable "y"
5x + 6(5 -2x) = 4
3
Reemplazamos el valor obtenido para "y" en la segunda ecuación
(recordemos que estará multiplicando al coeficiente)
5x + 10 - 4x = 4
5x - 4x = 4 -
10
1x = -6
x = -6
Resolvemos el producto, llevamos los términos que tienen variable
"x" a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro
lado de la igualdad. Reducimos términos semejantes. Al realizar
todo este trabajo obtendremos el valor de la variable "x"
5(-6) + 6y = 4 Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.
y= 17
3
Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

6. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE IGUALACIÓN
2x + 3y = 5
5x + 6y = 4
Voy a trabajar por separado la primera ecuación y la segunda ecuación.
En ambas buscaré el valor de "y"
2x + 3y = 5
3y = 5 -2x
y = 5 -2x
3
Hemos resuelto para "y" la primera ecuación. El resultado o valor
obtenido, lo emplearemos más adelante.
5x + 6y = 4
6y = 4 -5x
y = 4 -5x
6
Ahora hemos resuelto para "y" la segunda ecuación. El resultado o valor
obtenido, lo emplearemos más adelante.
5 -2x = 4 -5x
3 6
Procedemos a igualar ambas ecuaciones. Ahora atención: los términos
que están dividiendo pasarán a multiplicar
6(5 -2x) = 3(4 -5x)
30 -12x = 12 -15x
15x -12x = 12 - 30
3x = -18
x = -18 = -6
3
Resolvemos la ecuación como si se tratase simplemente de una ecuación
de primer grado. Hallaremos el valor numérico de la variable "x"
5(-6) + 6y = 4 Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.
y= 17
3
Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

7. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE REDUCCIÓN
2x + 3y = 5
5x + 6y = 4
Este es el sistema de dos ecuaciones con dos variables
que queremos resolver.
2x + 3y = 5
5x + 6y = 4
Nos damos cuenta, que para la variable "y", tanto en la
primera como en la segunda ecuación, el coeficiente
es múltiplo de 3.
-4x - 6y = -10
5x + 6y = 4
Para hacer que la variable "y" tenga coeficientes
opuestos, multiplicamos a todos los términos de la
primera ecuación por -2
-4x - 6y = -10
5x + 6y = 4
x = -6
Sumamos (o restamos según sea el caso) la primera
ecuación con la segunda ecuación.
1x = -6 ó x = -6 Hemos encontrado el valor de la variable "x"
2x + 3y = 5
2(-6) + 3y = 5
Seleccionamos una de las ecuaciones y en ella
reemplazamos el valor de la variable "x"
-12 + 3y = 5
3y = 5 + 12
3y = 17
Nótese que el valor de "x" (que en este caso era -6) lo
hemos multiplicado por el coeficiente de esta misma
letra. El trabajo que viene a continuación es similar
al de cualquier ecuación de primer grado.
y= 17
3
Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

8. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO GRÁFICO
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico se dibujan
las rectas correspondientes a las ecuaciones del sistema.
Las soluciones corresponden a los puntos de corte de las rectas.
Dos rectas en un plano pueden existir en una de estas tres situaciones:
1. Que se intersecten en un punto. (1 solución)
2. Que sean paralelas. (sin solución)
3. Que coincidan. (Infinitas soluciones)
Sistema
compatible
determinado
Sistema
Incompatible
Sistema
compatible
indeterminado