1) El documento introduce el concepto de integral indefinida y primitiva de una función, así como propiedades importantes como que si F(x) es una primitiva de f(x), entonces F(x)+C también lo es para cualquier constante C.
2) Se definen algunas integrales básicas o inmediatas cuyo integrando es la derivada de una función conocida, como las integrales del seno, coseno, exponencial, logaritmo y otras funciones.
3) Se describen tres técnicas para calcular integrales: cambio de variable,
1. Tema 5
Integral Indefinida
5.1 Conceptos Generales
Definici´on. Se denomina primitiva de la funci´on f(x) en un intervalo (a, b) a toda
funci´on F(x) diferenciable en (a, b) y tal que F′(x) = f(x).
Ejemplos:
La funci´on F(x) = x3
+ 5 es una primitiva de la funci´on f(x) = 3x2
, para todo x ∈ R.
La funci´on G(x) = −x√
1−x2
es una primitiva de g(x) =
√
1 − x2 en el intervalo (−1, 1).
La funci´on H(x) = 1
cos2 x es una primitiva de h(x) = tan x en el intervalo (−π
2 , π
2 ). (Nota:
tambi´en lo es en cada uno de los dem´as intervalos de definici´on de la funci´on tangente, pero no
de manera global en toda la recta real).
Dos propiedades importantes que verifican las primitivas de una funci´on dada f(x) son
las siguientes:
1) Si F(x) es una primitiva de f(x) en (a, b), entonces la funci´on G(x) = F(x) + C,
con C ∈ R constante, tambi´en lo es en (a, b). La demostraci´on es evidente: G′(x) =
F′(x) + 0 = f(x), ∀x ∈ (a, b).
2) Si F(x) y G(x) son primitivas de f(x) en (a, b), entonces su diferencia es una constante:
F(x) − G(x) = C, ∀x ∈ (a, b). La demostraci´on de esta propiedad requiere el uso del
Teorema del valor medio1.
1
Sea h(x) = F(x) − G(x), ∀x ∈ (a, b). Obviamente: h′
(x) = f(x) − f(x) = 0, ∀x ∈ (a, b). Sea
[x1, x2] ⊂ (a, b) cualquier subintervalo cerrado de (a, b). Aplicamos en [x1, x2] el Teorema del Valor
medio, por ser h(x) continua en [x1, x2] y derivable en (x1, x2), existe c ∈ (x1, x2) tal que:
0 = h′
(c) =
h(x2) − h(x1)
x2 − x1
⇒ h(x1) = h(x2)
y en consecuencia h(x) es una funci´on constante en (a, b).
43
2. 44 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7
Definici´on. Llamaremos integral indefinida de una funci´on f(x) en un intervalo (a, b)
al conjunto de todas sus funciones primitivas en dicho intervalo. Lo representaremos con
la notaci´on habitual:
∫
f(x) dx. La funci´on f(x) recibe el nombre de integrando.
Las dos propiedades anteriores implican que basta con conocer una primitiva de f(x) en
(a, b), F(x), para conocer la totalidad de ellas, y as´ı tendremos:
∫
f(x) dx = F(x) + C
para cualquier constante real C. (Nota: es habitual no especificar el intervalo en el que
se definen las primitivas, se sobreentiende que siempre es en un abierto en el que F(x)
sea derivable.)
Propiedades. De la definici´on de integral indefinida se deducen de manera trivial las
siguientes propiedades:
•
∫
(f(x) + g(x)) dx =
∫
f(x) dx +
∫
g(x)dx
• ∀k ∈ R, se verifica:
∫
kf(x) dx = k
∫
f(x) dx
•
d
dx
(∫
f(x) dx
)
= f(x)
•
∫
f′
(x) dx = f(x) + C.
Si recordamos la notaci´on habitual de la diferencial de una funci´on: df(x) =
f′(x) dx, es habitual escribir esta propiedad en la forma:
∫
f′
(x) dx =
∫
d(f(x)) = f(x) + C
5.2 Integrales B´asicas o Inmediatas
Se suelen denominar integrales inmediatas a las que resultan evidentes por ser el inte-
grando la derivada de una funci´on conocida. Evidentemente no se trata de un concepto
matem´atico riguroso, simplemente tomaremos como inmediatas las integrales b´asicas
m´as habituales. Asumiremos por tanto como integrales conocidas o inmediatas a las
siguientes:
3. C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7 45
∫
xp
dx =
xp+1
p + 1
+ C , p ̸= −1
∫
dx
x
= ln |x| + C∗
∫
ex
dx = ex
+ C
∫
ax
dx =
ax
ln a
+ C , a > 0, a ̸= 1
∫
sen x dx = − cos x + C
∫
cos x dx = sen x + C
∫
dx
cos2 x
= tan x + C
∫
dx
sen2 x
= − cotan x + C
∫
dx
x2 + 1
= arctan x + C
∫
dx
√
1 − x2
= arcsen x + C
∫
−dx
√
1 − x2
= arccos x + C
∫
senh x dx = cosh x + C
∫
cosh x dx = senh x + C
∫
dx
√
x2 − 1
= arccosh x + C
∫
dx
√
x2 + 1
= arcsenh x + C
∫
dx
1 − x2
= arctanh x + C , x ∈ (−1, 1)
∫
dx
1 − x2
= arccoth x + C , |x| > 1
Nota * : En realidad la expresi´on:
∫
dx
x
= ln |x| + C, se basa en un peque˜no abuso de notaci´on.
Para ser rigurosos tenemos que distinguir dos casos: Si x > 0 entonces:
∫
dx
x
= ln x + C,
mientras que si x < 0 tendremos:
∫
dx
x
= ln(−x) + ¯C. Es habitual fusionar ambos resultados
en la expresi´on inicial, si bien es necesario aclarar que en realidad las constantes C y ¯C no
tendr´ıan porqu´e ser iguales.
5.3 T´ecnicas de Integraci´on
Existen varias m´etodos concretos para calcular integrales, de los cuales mostraremos a
continuaci´on algunos de los m´as habituales y relevantes. En un documento aparte se
facilitar´a una lista-resumen de estos m´etodos.
1. Cambio de variable o sustituci´on
La t´ecnica m´as general de integraci´on es la de cambio de variable, el fundamento de la
misma es el siguiente: Sea Φ una funci´on de clase C1 y sea f una funci´on continua. Sea
x = Φ(t), entonces se verifica:
∫
f(x) dx =
∫
f(Φ(t)) Φ′
(t) dt
Es decir, es posible cambiar la variable de integraci´on de esa manera.
En algunos casos se plantea el cambio de variable de una forma alternativa. Si aparece
en el integrando como factor la derivada de una funci´on presente en el propio integrando,
4. 46 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7
a menudo es aconsejable realizar el siguiente cambio:
∫
f′
(x)g(f(x)) dx =
{
f(x) = t
f′(x)dx = dt
}
=
∫
g(t) dt
No existen m´etodos generales que nos indiquen qu´e cambio de variable es el ideal para
una integral cualquiera, sin embargo en muchos casos s´ı que es posible encontrar un
cambio sencillo que nos convierta una integral dada en una de las que hemos considerado
inmediatas.
Ejemplos 1: Las siguientes integrales son “convertibles” en inmediatas mediante un cambio
de variable muy sencillo:
∫
dx
2x + 3
,
∫
(x − 2)4
dx ,
∫
e
x
2 dx
En la primera integral el cambio es: 2x+3 = t, es decir: x = 1
2 (t−3). Evidentemente: dx = 1
2 dt,
y as´ı: ∫
dx
2x + 3
=
1
2
∫
dt
t
=
1
2
ln |t| + C =
1
2
ln |2x + 3| + C
Para la segunda tendremos: x − 2 = t ⇒ x = t + 2 ⇒ dx = dt.
∫
(x − 2)4
dx =
∫
t4
dt =
1
5
t5
+ C =
1
5
(x − 2)5
+ C
Finalmente la tercera se convierte en inmediata con el cambio: x
2 = t ⇒ x = 2t ⇒ dx = 2 dt.
∫
e
x
2 dx = 2
∫
et
dt = 2et
+ C = 2e
x
2 + C
Ejemplos 2: A veces el cambio de variable no es tan trivial, pero tras un breve an´alisis resulta
“casi-evidente”. Calculemos las siguientes integrales:
I1 =
∫
x
x2 + 1
dx , I2 =
∫
cos x esen x
dx , I3 =
∫
ln x
x
dx
Para el primer caso, el cambio de variable: x2
+ 1 = t nos lleva a que x dx = 1
2 dt y as´ı:
I1 =
1
2
∫
dt
t
=
1
2
ln |t| + C =
1
2
ln(x2
+ 1) + C
En la segunda integral cambiamos: sen x = u ⇒ cos x dx = du:
I2 =
∫
eu
du = eu
+ C = esen x
+ C
Finalmente, I3 se convierte en inmediata con el cambio: ln x = z ⇒ dx
x = dz:
I3 =
∫
z dz =
1
2
z2
+ C =
1
2
ln2
x + C
5. C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7 47
Comentario: En todos los casos se observa la pauta antes comentada, dentro del integrando se
identifica una funci´on concreta y su derivada aparece como factor multiplicando al resto: en
la segunda integral aparece la funci´on seno en el exponente y su derivada, la funci´on coseno,
multiplicando al resto del integrando; en la tercera tenemos el logaritmo neperiano y la funci´on
1
x multiplicando. Finalmente en la primera tenemos la funci´on x2
+ 1 en el denominador y
como factor multiplicativo la funci´on x, que es esencialmente (salvo un factor constante de 2) la
derivada de la anterior.
2. Integraci´on por partes
El m´etodo de integraci´on por partes est´a basado en la regla de derivaci´on de un producto
de dos funciones derivables. Recordemos, en forma diferencial:
d(f(x)g(x)) = (f(x)g(x))′
dx = f′
(x)g(x) dx + f(x)g′
(x) dx
De esta manera:
f(x)g(x) + C =
∫
(f(x)g(x))′
dx =
∫
f′
(x)g(x) dx +
∫
f(x)g′
(x) dx
Tradicionalmente se escribe u y v para denotar las dos funciones, de manera que la
f´ormula de integraci´on por partes aparece habitualmente escrita en la forma:
∫
u dv = uv −
∫
v du
donde se ha obviado la constante aditiva, adem´as de despejarse una de las integrales
en funci´on de la otra, para poner de manifiesto la utilidad del m´etodo. Se trata de
convertir una integral dada (que identificamos con
∫
udv) en una funci´on conocida (el
t´ermino uv) menos una nueva integral (
∫
vdu), con la esperanza de que esta segunda
resulte m´as f´acil de resolver que la original. Evidentemente la aplicaci´on exitosa del
m´etodo requiere adem´as que sepamos derivar la funci´on que identificamos como u e
integrar la que tomamos como derivada de v.
Ejemplo: Calculemos la siguiente integral:
I =
∫
x ex
dx
Realizamos las siguientes identificaciones: dv = ex
dx, u = x. Tendremos as´ı: du = dx y
v = ex
+ C. En este punto es interesante comentar que podemos escoger una funci´on primitiva
cualquiera para especificar v, es decir la f´ormula de integraci´on por partes se verificar´a para
cualquier valor de C, por simplicidad tomaremos entonces C = 0, y por tanto: v = ex
:
I =
∫
x ex
dx =
{
dv = ex
dx; v = ex
u = x; du = dx
}
= ex
x −
∫
ex
dx = ex
x − ex
+ C = ex
(x − 1) + C
6. 48 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7
3. Integraci´on de funciones racionales
Son las integrales de la forma
∫
P(x)
Q(x)
dx, donde P y Q son polinomios. Como veremos
a continuaci´on siempre es posible resolver una integral de este tipo. Dentro del C´alculo
Integral las integrales racionales representan un papel muy importante pues, por un lado,
se trata de integrales que aparecen con frecuencia en muy diversos contextos cient´ıficos,
y, por otro, muchos tipos diferentes de integrales pueden ser convertidas (mediante los
cambios de variable adecuados) en integrales racionales. Antes de describir c´omo se
afronta la resoluci´on de una integral racional, es adecuado observar que varias integrales
que aparecen en la lista de inmediatas son racionales, como por ejemplo:
∫
dx
x
= ln |x| + C ,
∫
dx
x2 + 1
= arctan x + C
Por otro lado, los polinomios son a su vez funciones racionales y de integraci´on trivial:
∫
(a0 + a1x + . . . + anxn
) dx = a0x +
a1
2
x2
+ . . . +
an
n + 1
xn+1
+ C
Finalmente, otras integrales racionales tambi´en resultan triviales, como por ejemplo:
∫
dx
(x − a)n
=
∫
(x − a)−n
dx =
1
−n + 1
(x − a)−n+1
+ C , ∀a ∈ R , n ∈ N − {1}
o la ya resuelta en un ejemplo anterior:
∫
x dx
x2 + 1
=
1
2
ln(x2
+ 1) + C
Veremos a continuaci´on c´omo en realidad toda integral racional es reducible a las que
acabamos de mostrar, o a una combinaci´on lineal de ellas.
Dada una integral racional general
∫
P(x)
Q(x)
dx
si el grado de P es mayor o igual que el de Q, entonces es posible dividir ambos poli-
nomios, y as´ı: P(x) = Q(x) C(x) + R(x), siendo el grado del resto R(x) menor que el
grado de Q(x). Entonces:
∫
P(x)
Q(x)
dx =
∫
C(x) dx +
∫
R(x)
Q(x)
dx
Es posible as´ı tomar de manera general en lo sucesivo que el grado de P(x) es menor
que el de Q(x).
Se distinguen entonces cuatro casos diferentes:
7. C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7 49
3.1 El denominador posee ra´ıces reales simples:
Q(x) = (x − a1)(x − a2) . . . (x − ar)
En tal caso se descompone el cociente en fracciones simples:
P(x)
Q(x)
=
A1
x − a1
+ . . . +
Ar
x − ar
calcul´andose los coeficientes Ai. Es interesante recordar que la descomposici´on en frac-
ciones simples escrita siempre es posible, y adem´as tiene soluci´on ´unica. La integral
(gracias a la linealidad) queda reducida a una combinaci´on lineal de integrales de la
forma: ∫
A
x − a
dx = A ln |x − a| + C
Ejemplo: Calculemos la integral:
∫
x + 1
x2 + 3x − 4
dx
Es evidente que el denominador tiene dos ra´ıces reales diferentes:
x2
+ 3x − 4 = (x − 1)(x + 4) ⇒
x + 1
x2 + 3x − 4
=
A
x − 1
+
B
x + 4
y as´ı: x + 1 = A(x + 4) + B(x − 1). Se concluye f´acilmente que: A = 2
5 y B = 3
5 . Finalmente:
∫
x + 1
x2 + 3x − 4
dx =
2
5
ln |x − 1| +
3
5
ln |x + 4| + C
3.2 El denominador tiene ra´ıces reales m´ultiples: Supongamos que Q(x) tiene r ra´ıces
reales: a1, . . . , ar, con multiplicidades α1, . . . , αr, respectivamente. Es decir:
Q(x) = (x − a1)α1
(x − a2)α2
. . . (x − ar)αr
Para cada una de las ra´ıces ai, tendremos los siguientes sumandos en la expansi´on en
fracciones simples de la funci´on:
Ai1
(x − ai)1
+
Ai2
(x − ai)2
+ . . . +
Aiαi
(x − ai)αi
De esta manera, la integral quedar´a reducida a una combinaci´on lineal de las integrales
comentadas en el apartado anterior m´as las de la forma:
∫
A
(x − a)n
dx =
−A
(n − 1)(x − a)n−1
+ C
con n ≥ 2.
8. 50 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7
3.3 El denominador posee ra´ıces complejas simples:
Dado que si c = a + bi es ra´ız de Q(x), entonces su conjugado: ¯c = a − bi, tambi´en
lo es, podemos agrupar las ra´ıces complejas dos a dos ((x − c)(x − ¯c) = x2 + px + q), y
as´ı ser´a posible escribir Q(x) de la forma:
Q(x) = (x2
+ p1x + q1) . . . (x2
+ prx + qr)
(es decir utilizando ´unicamente coeficientes reales). La descomposici´on en fracciones
simples es:
P(x)
Q(x)
=
A1x + B1
x2 + p1x + q1
+ . . . +
Arx + Br
x2 + prx + qr
La integral queda reducida a integrales de la forma:
∫
Ax + B
x2 + px + q
dx
Completando cuadrados, es posible escribir:
x2
+ px + q = (x − a)2
+ b2
y utilizando el cambio: x − a = b t, se obtiene:
∫
Ax + B
x2 + px + q
dx =
∫
Mt + N
t2 + 1
dt =
M
2
ln(t2
+ 1) + N arctan t + C
Deshaciendo el cambio de variables, se concluye.
Comentario: Es evidente que el denominador de una funci´on racional puede tener si-
mult´aneamente ra´ıces reales (simples o m´ultiples) y ra´ıces complejas, ver el siguiente
ejemplo.
Ejemplo: Calcular la integral:
I =
∫
x2 + 3
(x + 2)2x(x2 + 3x + 4)
dx
Se trata de una integral racional donde el grado del numerador es mayor que el del denominador.
Se tienen dos ra´ıces (del denominador) reales: x = −2 (de multiplicidad dos), y x = 0 (de mul-
tiplicidad uno), y dos ra´ıces complejas simples, x = −3
2 ± i
√
7. La descomposici´on en fracciones
simples de la funci´on racional ser´a:
x2
+ 3
(x + 2)2x(x2 + 3x + 4)
=
A
x + 2
+
B
(x + 2)2
+
C
x
+
Dx + E
x2 + 3x + 4
Tras un breve (o semi-breve) c´alculo se obtiene:
A = −
3
4
; B = −
7
4
; C =
3
16
; D =
9
16
; E =
31
16
9. C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7 51
y por tanto
I = −
3
4
∫
dx
x + 2
−
7
4
∫
dx
(x + 2)2
+
3
16
∫
dx
x
+
1
16
∫
9x + 31
x2 + 3x + 4
dx
= −
3
4
ln |x + 2| +
7
4
1
x + 2
+
3
16
ln |x| +
1
16
∫
9x + 31
x2 + 3x + 4
dx
Para realizar esta ´ultima integral comenzamos por completar cuadrados en el denominador:
x2
+ 3x + 4 = x2
+ 2x
3
2
+
9
4
−
9
4
+ 4 =
(
x +
3
2
)
+
7
4
De acuerdo con la t´ecnica general que hemos estudiado, el cambio de variable adecuado ser´a
ahora:
x +
3
2
=
√
7
2
t ⇔ t =
2x + 3
√
7
; dx =
√
7
2
dt
y as´ı:
1
16
∫
9x + 31
x2 + 3x + 4
dx =
√
7
32
∫ 9
(√
7
2 t − 3
2
)
+ 31
7
4 (t2 + 1)
dt =
9
16
∫
t dt
t2 + 1
+
5
√
7
16
∫
dt
t2 + 1
y en definitiva:
1
16
∫
9x + 31
x2 + 3x + 4
dx =
9
32
ln |t2
+ 1| +
5
√
7
16
arctan t + C
Deshaciendo el cambio de variables:
I = −
3
4
ln |x + 2| +
7
4
1
x + 2
+
3
16
ln |x| +
9
32
ln
4
7
(x2
+ 3x + 4) +
5
√
7
16
arctan
2x + 3
√
7
+ C
Teniendo en cuenta que ln(ab) = ln a + ln b se puede simplificar finalmente (redefiniendo la
constante) a la expresi´on:
I =
7
4(x + 2)
+
1
16
ln
x3
(x2
+ 3x + 4)
9
2
(x + 2)12
+
5
√
7
16
arctan
2x + 3
√
7
+ C
3.4 El denominador posee ra´ıces complejas m´ultiples:
Q(x) = (x2
+ p1x + q1)α1
. . . (x2
+ prx + qr)αr
Los sumandos correspondientes a cada uno de los t´erminos: x2 + pix + qi, en la descom-
posici´on en fracciones simples son:
Ai1x + Bi1
x2 + pix + qi
+
Ai2x + Bi2
(x2 + pix + qi)2
+ . . . +
Aiαi x + Biαi
(x2 + pix + qi)αi
con lo cual la integral queda reducida a integrales de la forma:
∫
Ax + B
(x2 + px + q)n
dx
10. 52 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7
Efectuando, como en el apartado anterior, el cambio x−a = b t, dicha integral se reduce
a: ∫
Mt + N
(t2 + 1)n
dt = M
∫
t
(t2 + 1)n
dt + N
∫
dt
(t2 + 1)n
La primera integral del segundo miembro se integra f´acilmente mediante el cambio de
variable u = t2 + 1. En cuanto a la segunda, se puede utilizar una f´ormula recurrente de
c´alculo (que se demuestra integrando por partes, ver ejemplo). Llamando:
In =
∫
dt
(t2 + 1)n
se tiene:
In =
t
2(n − 1)(t2 + 1)n−1
+
2n − 3
2n − 2
In−1
Como I1 = arctan t, se concluye.
Ejemplo: Comprobemos la f´ormula de recurrencia anterior para el caso I2:
I1 =
∫
dt
t2 + 1
= arctan t + C ; I2 =
∫
dt
(t2 + 1)2
Apliquemos el m´etodo de integraci´on por partes a la integral I1:
I1 =
∫
dt
t2 + 1
=
{
u = 1
t2+1 ⇒ du = −2t dt
(t2+1)2
dv = dt ⇒ v = t
}
=
t
t2 + 1
+
∫
2t2
dt
(t2 + 1)2
=
t
t2 + 1
+ 2
∫
dt
t2 + 1
− 2
∫
dt
(t2 + 1)2
=
t
t2 + 1
+ 2I1 − 2I2
Tenemos por tanto:
I1 =
t
t2 + 1
+ 2I1 − 2I2 ⇒ I2 =
t
2(t2 + 1)
+
1
2
I1
que coincide exactamente con lo indicado por la f´ormula anterior.
No es dif´ıcil generalizar este c´alculo al caso general con In e In1 . De esta forma, utilizando el
Principio e Inducci´on, queda demostrada la f´ormula de recurrencia.
4. Integraci´on de irracionales cuadr´aticas I
Son las integrales de la forma
∫
R(x, y) dx, donde R es una funci´on racional e y =
√
ax2 + bx + c (evidentemente se supone que el polinomio cuadr´atico no es un cuadrado
perfecto). Existen esencialmente dos m´etodos para resolver estas integrales. Estudia-
remos en primer lugar los cambios de variable de Euler, que permiten convertir toda
integral irracional cuadr´atica en una integral racional.
La idea de los cambios de Euler es de tipo geom´etrico: la expresi´on
y2
= ax2
+ bx + c
11. C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7 53
puede interpretarse como la ecuaci´on de una c´onica en el plano x − y. Si (x0, y0) es un
punto de dicha c´onica, entonces el cambio de variables: y − y0 = t(x − x0), convierte la
integral en una de tipo racional y, en consecuencia, se resuelve seg´un el apartado 3.
Seg´un sean los signos de las constantes, puede elegirse el punto (x0, y0) de formas
especialmente sencillas. Tenemos as´ı varios casos:
i) De manera general, si c > 0, la c´onica corta al eje y en los puntos: (x0, y0) =
(0, ±
√
c). Tenemos entonces el cambio posible: y−
√
c = tx ⇒
√
ax2 + bx + c−
√
c = tx.
Alternativamente podemos tomar:
√
ax2 + bx + c +
√
c = tx.
ii) Siempre que a sea positivo (la c´onica ser´a una hip´erbola), es posible realizar un
cambio diferente:
√
ax2 + bx + c + x
√
a = t, que tambi´en convierte a la integral en
racional. Alternativamente tambi´en es v´alido el cambio:
√
ax2 + bx + c − x
√
a = t.
iii) Si a < 0, entonces el polinomio cuadr´atico debe tener necesariamente dos ra´ıces
reales (en caso contrario la integral no tendr´ıa sentido, pues el radicando ser´ıa siempre
negativo). En este caso: ax2 +bx+c = a(x−r1)(x−r2). Podemos entonces tomar como
punto de la c´onica el (r1, 0) o bien el (r2, 0). Se tiene as´ı:
√
ax2 + bx + c = t(x − r1) o
bien
√
ax2 + bx + c = t(x − r2).
Nota 1: Es necesario precisar que los casos anteriormente expuestos no son excluyentes, de esta
forma muchas integrales podr´an resolverse alternativamente de varias formas, sin que exista a
priori un criterio claro que nos permita establecer cu´al de ellos va a resultar m´as sencillo.
Nota 2: Aunque los cambios de Euler pueden aplicarse directamente a cualquier integral irra-
cional cuadr´atica, en algunos casos es interesante aplicar antes el siguiente resultado:
Proposici´on: Toda integral irracional puede escribirse de la forma
∫
R(y, x) dx =
∫
R1(x)
y
dx +
∫
R2(x) dx
siendo R1 y R2 dos funciones racionales de x.
Demostraci´on: Escribamos R(y, x) expl´ıcitamente como cociente de polinomios:
R(y, x) =
P(y, x)
Q(y, x)
Multipliquemos numerador y denominador por: y Q(−y, x):
R(y, x) =
y P(y, x) Q(−y, x)
y Q(y, x) Q(−y, x)
Ahora bien, Q(y, x) Q(−y, x) es un polinomio par en y, as´ı pues es un polinomio simplemente
en y2
, y en definitiva es un polinomio en x. Por su parte, w P(y, x) Q(−y, x) es un polinomio
en y, necesariamente lineal (puesto que y2
es un polinomio), de tal forma que podemos es-
cribir: y P(y, x) Q(−y, x) = a(x)y + b(x). Reorganizando estos resultados, queda demostrada la
proposici´on:
R(y, x) =
R1(x)
y
+ R2(x)
12. 54 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7
Q.E.D.
Ejemplo: Calculemos la siguiente integral:
I =
∫
x +
√
x2 − 2x + 4
1 +
√
x2 − 2x + 4
dx
Utilicemos el primero de los cambios, dado que c = 4 > 0:
√
x2 − 2x + 4 − 2 = tx ⇒ x2
− 2x + 4 = (tx + 2)2
⇒ x (t2
− 1) = −4t − 2 ⇒ x = −2
2t + 1
t2 − 1
De donde deducimos:
dx = 4
t2
+ t + 1
(t2 − 1)2
dt ,
√
x2 − 2x + 4 = −2
t2
+ t + 1
t2 − 1
y sustituyendo todo ello y simplificando llegamos a la siguiente integral:
∫
8(t + 2)
(
t2
+ t + 1
)
(t − 1)2(t + 1) (t2 + 2t + 3)
dt
que es una integral racional. El denominador presenta una ra´ız real simple (-1), una doble (1) y
dos complejas. Separando en fracciones simples:
8(t + 2)
(
t2
+ t + 1
)
(t − 1)2(t + 1) (t2 + 2t + 3)
=
At + B
t2 + 2t + 3
+
C
t − 1
+
D
(t − 1)2
+
E
t + 1
Resolviendo se obtiene:
A = −2 , B = −2 , C = 1 , D = 6 , E = 1
De manera que finalmente se tiene:
I = − ln |t2
+ 2t + 3| + ln |t − 1| −
6
t − 1
+ ln |t + 1| + C
Tras sustituir y simplificar se llega al resultado buscado:
I = x +
√
x2 − 2x + 4 − ln 1 +
√
x2 − 2x + 4 + 2 + C
Nota: la integral puede tambi´en ser resuelta utilizando: a > 0, es decir el cambio:
√
x2 − 2x + 4 + x = t
y el procedimiento resulta ser m´as sencillo. Compru´ebalo.
4b. Integraci´on de irracionales cuadr´aticas II
La segunda opci´on que tenemos a la hora de tratar las integrales irracionales cuadr´aticas
es la de convertirlas en integrales trigonom´etricas (integrales tales que el integrando es
una funci´on racional solamente de funciones trigonom´etricas), que a su vez aprenderemos
a tratar con detalle en el siguiente apartado. La idea en este caso es usar la identidad
13. C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7 55
pitag´orica (tanto la correspondiente a funciones trigonom´etricas circulares como la re-
lativa a las hiperb´olicas) para eliminar la ra´ız cuadrada. Como primer paso debemos
completar cuadrados en el radicando y realizar el cambio de variable ya descrito en el
apartado 3, de manera que la ra´ız terminar´a reduci´endose necesariamente a uno de los
siguientes casos:
√
1 − x2 ,
√
1 + x2 ,
√
x2 − 1
Tenemos entonces los siguientes cambios que eliminan las ra´ıces:
i) Para integrales de la forma:
∫
R(x,
√
1 − x2)dx, se hace: x = sen t, ´o x = cos t.
ii) Para integrales de la forma:
∫
R(x,
√
1 + x2)dx, se tiene: x = tan t, ´o x = senh t.
iii) Para integrales de la forma:
∫
R(x,
√
x2 − 1)dx, se tiene: x = sec t, ´o x = cosh t.
De manera general estos cambios convertir´an la integral en una de tipo trigonom´etrico,
que veremos en el apartado siguiente.
Ejemplo: Calculemos la integral:
I =
∫ √
x2 + 2x − 3 dx
Completando cuadrados podemos escribir: x2
+ 2x − 3 = x2
+ 2x + 1 − 1 − 3 = (x − 1)2
− 4.
Realizamos por tanto el cambio:
x − 1 = 2u ⇒ dx = 2 du ;
√
x2 + 2x − 3 =
√
4u2 + 4 = 2
√
u2 − 1
Usaremos el cambio del coseno hiperb´olico, recordemos que: cosh2
t − senh2
t = 1:
I = 2
∫ √
u2 − 1 du =
u = cosh t
du = senh t dt
√
u2 − 1 = senh t
= 2
∫
senh2
t dt
Esta integral es f´acil por partes, obteni´endose:
I = −
t
2
+
1
2
senh t cosh t + C =
1
2
(
− arccosh u + u
√
u2 − 1
)
+ C
Finalmente:
I =
1
2
(
arccosh
(
x − 1
2
)
+
(x − 1)
√
x2 + 2x − 3
4
)
5. Integraci´on de funciones trigonom´etricas
Son las integrales de la forma
∫
R(sen x, cos x) dx, siendo R una funci´on racional. Existe
un cambio general que convierte a cualquier integral de este tipo en una integral racional:
14. 56 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7
t = tan
(x
2
)
. Usando las identidades trigonom´etricas es f´acil comprobar que este cambio
se traduce en las siguientes sustituciones:
dx =
2 dt
1 + t2
, sen x =
2t
1 + t2
, cos x =
1 − t2
1 + t2
No obstante, en algunos casos especiales, hay otros cambios de variable que tambi´en
reducen la integral a una integral racional, con frecuencia m´as sencilla que la que se
obtiene con el cambio anterior. Son los siguientes:
i) Si R es una funci´on impar en sen x, es decir: R(− sen x, cos x) = −R(sen x, cos x), se
resuelve con el cambio: cos x = t.
ii) Si R es una funci´on impar en cos x, es decir: R(sen x, − cos x) = −R(sen x, cos x), se
resuelve con el cambio: sen x = t.
iii) Si R es una funci´on par en sen x y en cos x, es decir: R(− sen x, − cos x) = R(sen x, cos x),
se resuelve con el cambio: tan x = t. Este cambio implica las siguientes sustituciones:
cos x =
1
√
1 + t2
, sen x =
t
√
1 + t2
, dx =
1
1 + t2
dt
Ejemplo: Calculemos la integral:
I =
∫
sen2
x
1 + cos x
dx
Dado que el integrando no es impar ni en seno ni en coseno, y adem´as tampoco es par en seno
y coseno, recurriremos al cambio general: t = tan x
2 :
I =
∫ 4t2
(1+t2)2
2dt
1+t2
1 + 1−t2
1+t2
=
∫
4t2
(1 + t2)2
dt
integral racional con ra´ıces complejas m´ultiples (en este caso dobles). Separando en fracciones
simples:
4t2
(1 + t2)2
=
At + B
1 + t2
+
Ct + D
(1 + t2)2
es trivial comprobar que la soluci´on es: A = C = 0, B = 4, D = −4, y as´ı:
I = 4
∫
dt
1 + t2
− 4
∫
dt
(1 + t2)2
= 4 arctan t − 4I2
siendo I2 la integral que nos proporciona la f´ormula de recurrencia antes analizada. Tendremos
entonces:
I = 2 arctan t −
2t
t2 + 1
+ C = 2 arctan
(
tan
x
2
)
−
2 tan x
2
tan2 x
2 + 1
+ C
Utilizando las identidades trigonom´etricas b´asicas:
tan2 x
2
+ 1 =
1
cos2 x
2
, sen x = 2 sen
x
2
cos
x
2
encontramos finalmente el resultado simplificado:
I = x − sen x + C