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Gradiente, Definición, Prepiedades, Ejercicios

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  1. 1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014 INFORME DE TRABAJO FINAL I. DATOS INFORMATIVOS Carrera: Modulo: Área Académica: Línea de Investigación: Ciclo Académico: Paralelo:4° “B” Alumnos participantes: Docente: II. Ingeniería Electrónica y Comunicaciones Calculo Vectorial Matemáticas Electrónica y Comunicaciones Septiembre 2013- febrero 2014 Yumizaca José Cushpa Paulo Manobanda Wilson Cálculo Vectorial - Ing. Freddy Robalino Tema: Gradiente. Definición y propiedades, teoremas, ejercicios. 1. 2. III. PP YY Objetivos General: Conocer la definición de gradiente sus propiedades y teoremas en un campo vectorial. Específicos:   IV. Analizar cada propiedad y teorema presentados en el siguiente informe. Denotar una dirección en el espacio según la cual se apreciara una variación de una determinada propiedad. MARCO TEÓRICO Gradiente
  2. 2. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014 Las magnitudes como el peso y la temperatura consisten en un número, como 15 grados o 1.000 kilogramos. Los científicos llaman a estas magnitudes escalares. Las medidas como la velocidad y la fuerza, por otra parte, son vectores, y tienen dos datos: una magnitud y una dirección. Por ejemplo, el reporte del clima dice que el viento sopla del este a siete kilómetros por hora. Los científicos indican a los vectores con flechas, ya que las flechas tienen una longitud (que indica la magnitud o intensidad de la medida) y apuntan en una dirección específica. El gradiente es un vector que resulta de una operación delta en una superficie. Si la superficie es plana, el gradiente es cero, su forma no cambia. Si la superficie tiene una colina, el gradiente apunta hacia arriba. Cuando la superficie tiene depresiones y valles, el gradiente apunta hacia abajo. Cuanto más grande sean las elevaciones o depresiones, mayor será la magnitud del gradiente. Definición El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física. En otros contextos se usa informalmente gradiente, para indicar la existencia de gradualidad o variación gradual en determinado aspecto, no necesariamente relacionado con la distribución física de una determinada magnitud o propiedad. En esta imagen, el campo escalar se aprecia en blanco y negro, representando valores bajos o altos respectivamente, y el gradiente correspondiente se aprecia por flechas azules. El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como: siendo un vector unitario y la derivada direccional de en la dirección de , que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:
  3. 3. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014 Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar: Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla: Interpretación del gradiente De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etcétera. Algunos ejemplos son:   Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto , la temperatura es . Asumiremos que la temperatura no varía con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección. Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x,y) se define como H(x, y). El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente. Aproximación lineal de una función El gradiente de una función f definida de Rn a R caracteriza la mejor aproximación lineal de la función en un punto particular x0 en Rn. Se expresa así: Donde es el gradiente evaluado en x0. Propiedades  El gradiente verifica que:      Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte. Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima. Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima. Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla) El campo formado el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,
  4. 4. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014 Expresión en diferentes sistemas de coordenadas A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión Para coordenadas cilíndricas (hρ = hz = 1, y para coordenadas esféricas (hr = 1, hθ = r, ) resulta ) Gradiente de un campo vectorial En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente también puede extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de desplazamiento un tensor que da el diferencial del campo al realizar un Este tensor podrá representarse por una matriz (3x3), que en coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.
  5. 5. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014 V. Desarrollo de ejercicios  Ejemplo 1 Calcular el gradiente de la función:
  6. 6. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014  Ejemplo 2 Calcular el gradiente de la función:
  7. 7. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014
  8. 8. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014  Ejemplo 3 Calcular, por medio del gradiente, el plano tangente a la superficie: 2.X.Z² – 3.X.Y – 4.X = 7 En el punto P0(1, -1, 2) solución: Sabemos que el gradiente de una función de superficie es perpendicular a dicha superficie en todo punto de ella. Por lo tanto, si consideramos un plano tangente a la superficie en el punto P0, todo vector de dicho plano será perpendicular al gradiente de la función en el punto P0; de ahí que podamos hacer: V→⋅(∇→ϕ)=0 Siendo V un vector cualquiera del plano buscado. Tomando un punto genérico P, podemos considerar el vector : P0P−→−=(x−1)⋅iˆ+(y+1)⋅jˆ+(z−2)⋅kˆ Por otro lado, el gradiente de la función considerada vale en el punto (1, -1, 2): ∂ϕ∂x=2⋅Z2−3⋅Y−4 ⇒ (∂ϕ∂x)P0=7 ∂ϕ∂y=−3⋅X ⇒ (∂ϕ∂y)P0=−3 ∂ϕ∂z=4⋅X⋅Z ⇒ (∂ϕ∂z)P0=8 De donde se tiene: (∇→ϕ)P0=7⋅iˆ−3⋅jˆ+8⋅kˆ Con lo que podemos poner P0P−→−(∇→ϕ)P0=(X−1)⋅7+(Y+1)⋅(−3)+(Z−2)⋅8 Haciendo operaciones y simplificando nos queda: 7.X – 3.Y + 8.Z – 26 = 0 Que es la ecuación del plano pedido.
  9. 9. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014  Ejemplo 4 Calcular el vector unitario perpendicular al plano: A.x + B.y + C.z Por consideraciones del gradiente. Solución: Este problema podríamos resolverlo sin tener en cuenta las propiedades del gradiente de una función y considerar sólo el vector director del plano, que sabemos que es perpendicular a él, pero como sabemos que un plano es una superficie, vamos a determinar su gradiente: Este resultado coincide con el valor del vector director del plano dado por los coeficientes de las variables. Según las propiedades del gradiente, sabemos que el vector obtenido es perpendicular al plano, por lo tanto, multiplicando dicho vector por un escalar que valga igual que el inverso de su módulo, tendremos un vector unitario perpendicular al plano: VI. Conclusiones:     VII. El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física. Observamos como el vector gradiente de un punto genérico del espacio indica la dirección en la cual la presión cambia más rápidamente. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") . El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector. Referencias bibliográficas  Calculo multivariable: STEWART JAMES 4 edición  Calculo ll: LARSSON ROM  Teoría de campos escalares y campos vectoriales: Miguel Ángel Pascual Iglesias

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