Este documento presenta una serie de ejercicios y problemas resueltos utilizando la transformada de Laplace. Incluye cálculos de transformadas directas e inversas de funciones, resolución de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales, y resolución de problemas de Cauchy mediante transformadas de Laplace.

1. Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 1
Ejercicios
Tema 15: Transformada de Laplace. Aplicaciones
1. Hallar, usando la definici´on, la transformada de Laplace de
(a) f(t) = tp, p > ¡1.
(b) f(t) = eat.
Sol.: (a) F(s) = ¡(p+1)
sp+1 ; (b) F(s) = 1
s¡a , s > a.
2. Hallar, mediante desarrollo en serie, la transformada de Laplace de
(a) f(t) = e¡t.
(b) f(t) = sen t.
Sol.: (a) F(s) = 1
s2+1.
s+1, s > ¡1; (b) F(s) = 1
3. Hallar la transformada de Laplace de la funci´on que se obtiene al expandir peri´odi-camente,
con periodo 1, la funci´on f(t) = t, 0 · t < 1.
Sol.: F(s) = 1¡(1+s)e¡s
s2(1¡e¡s) .
4. Hallar, usando convoluci´on, la transformada inversa de Laplace de
F(s) =
1
(s2 + 4s + 13)2
Sol.: f(t) = (sen 3t¡3t cos 3t)e¡2t
54 .
5. Hallar:
L¡1
µ
3s + 1
(s ¡ 1)(s2 + 1)
¶
Sol.: f(t) = 2et ¡ 2 cos t + sen t.
6. Hallar, mediante transformadas de Laplace, la siguiente integral
Z 1
0
sen t
t
dt
Sol.: ¼=2.
7. Utilizando las propiedades de la transformada de Laplace, calcular:
(a) L[s(t)], siendo s(t) =
R t
0
sen u
u du.
(b) L¡1
³
s2
(s2+1)2
´
y L¡1
³
1
(s2+1)2
´
, sabiendo que L¡1
³
s
(s2+1)2
´
= t sen t
2 .
(c) L¡1
³
2s2¡4
(s+1)(s+2)(s¡3)
´
.

2. Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 2
(d) L[fi(t)], siendo fi(t), i = 1; 2, la funci´on cuya gr´afica es:
6 6
¢
¢
¡
3
2
f1
1 1
f2
- -
¡
¡ @
¡
@
@ ¢
¢
¢
¢
¡
¡@
@
@
A
A
A
A
A
A
1 2 3 1 2 3 4
Sol.: (a) F(s) = 1
s arctan 1
s ; (b) f(t) = (sen t + t cos t)=2 y g(t) = (sen t ¡ t cos t)=2;
2e¡t + 4
5e¡2t + 7
10e3t; (d) F1(s) =
(c) f(t) = 1
¡
1 ¡ e¡s ¡ e¡2s + e¡3s
¢
¡ ¢
=s2 y F2(s) =
2 ¡ e¡s ¡ 2e¡2s ¡ e¡3s + 2e¡4s
=s2.
8. Calcular, usando transformadas de Laplace, las siguientes integrales:
(a)
R 1
0
e¡t¡e¡3t
t dt.
(b)
R 1
0 t
³
1 ¡ e¡1
2 t + e¡2t
´
cos t dt.
(c)
R 1
0 e¡t2
dt.
Sol.: (a) ln 3; (b) ¡2=5; (c)
p
¼=2.
9. Resolver, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones diferenciales
y sistemas:
(a)
½
y00 ¡ 3y0 + 2y = 2e3t
y(0) = 0 ; y0(0) = 1
; (e)
8>>>><
>>>>:
x0000(t) =
½
2 , si 0 < t · 1
0 , si 1 < t · 2
x(t) + y0(t) = 0
x(0) = x0(0) = x00(0) = x000(0) = 0
y(0) = 3
;
(b)
½
y00 + y = et
y(1) = 1 ; y0(1) = 0
; (f)
8<
:
x0 = ¡7x ¡ 6y + t
y0 = 12x + 10y
x(3) = 1 ; y(3) = ¡8
;
(c)
8<
:
y0 + y =
½
1 , si 0 < t < 2
0 , si t ¸ 2
y(0) = 0
; (g)
8>>>><
>>>>:
x0 ¡ y =
8<
:
0 , si 0 < t < 2
1 , si 2 < t < 3
0 , si t > 3
y0 ¡ x = 1
x(1) = y(1) = 1
;
(d)
8>>>><
>>>>: x0 ¡ y =
½
1 , si 0 < t < 1
0 , si t > 1
y0 ¡ x =
½
0 , si 0 < t < 2
1 , si t > 2
x(0) = y(0) = 0
; (h)
½
ty00 + 4y0 + 9ty = cos 3t ; t > 0
y(0) = 0 ; y0(0) = 1=4 :

3. Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 3
Sol.: (a) y = e3t ¡ e2t; (b) y = [et + (2 ¡ e) cos(t ¡ 1) ¡ e sen(t ¡ 1)]=2;
(c) y =
(
1 ¡ e¡t , si 0 < t < 2
(e2 ¡ 1)e¡t , si t ¸ 2
;
(d) x =
8><
>:
sh t , si 0 < t < 1
sh t ¡ sh(t ¡ 1) , si 1 < t < 2
sh t ¡ sh(t ¡ 1) + ch(t ¡ 2) ¡ 1 , si t > 2
;
y =
8><
>:
ch t ¡ 1 , si 0 < t < 1
ch t ¡ ch(t ¡ 1) , si 1 < t < 2
ch t ¡ ch(t ¡ 1) + sh(t ¡ 2) , si t > 2
;
(e) x = [t4 ¡ (t ¡ 1)4h(t ¡ 1)]=12; y = [180 + t5 ¡ (t ¡ 1)5h(t ¡ 1)]=60;
(f) x = ¡8 ¡ 5t ¡ et¡3 + 25e2(t¡3); y = 9 + 6t + 4et¡3 ¡ 39e2(t¡3);
(g) x = [et¡1 ¡ 1 + ch(t ¡ 1)]h(t ¡ 1) ¡ sh(t ¡ 2)h(t ¡ 2) + sh(t ¡ 3)h(t ¡ 3);
y = [ch(t¡1)+2 sh(t¡1)]h(t¡1)¡[ch(t¡2)¡1]h(t¡2)+[ch(t¡3)¡1]h(t¡3);
(h) y = sen 3t
12 .
10. Resolver, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones diferenciales
y sistemas:
(a)
8<
:
x0 + 2x + 6
R t
0 y(u) du = ¡2
x0 + y0 + y = 0
x(0) = ¡5 ; y(0) = 6
(b)
8>><
>>:
9x0 ¡ 32y0 ¡ 32y =
½
0 , si 0 < t < 1
1 , si t ¸ 1
¡2x0 +
R t
0 x(u) du + 8y0 + 8y = 0
x(0) = 32 ; y(0) = 9
Sol.: (a) x = 2¡3e¡4t¡4et; y = 4e¡4t+2et ; (b) x = 32 cos 2t+h(t¡1)
2 sen 2(t¡1); y =
9
5
¡
e¡t + 4 cos 2t ¡ 2 sen 2t
¢
+
¡¡1
32 ¡ 1
40e1¡t + 9
160 cos 2(t ¡ 1) + 9
80 sen 2(t ¡ 1)
¢
h(t ¡
1).
11. Utilizando transformadas de Laplace:
(a) Resolver: ½
x00 ¡ 5x0 + 4x = 4 ; t ¸ 0
x(0) = 0 ; x0(0) = 2
(b) Demostrar que: Z t
0
sen y cos(t ¡ y) dy = t sen t
2
Sol.: (a) x(t) = 1 ¡ 2et + e4t, t ¸ 0.
12. Usando transformadas de Laplace, resolver el problema de Cauchy:
8<
:
x0 ¡ 2x + 3y = 4 ¡ 2t
y0 + 2y ¡ x = 2 ¡ t
x(0) = ¡1 ; y(0) = 0
para t ¸ 0.
Sol.: x(t) = t ¡ e¡t, y(t) = 1 ¡ e¡t, t ¸ 0.

4. Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 4
13. Resolver, utilizando la Transformada de Laplace, el problema de Cauchy:
½
y00 ¡ 2y0 + y ¡ 2
R t
0 y(u) du = 5 ; t > 0
y(0) = 1 ; y0(0) = 0
Sol.: y(t) = e2t ¡ 2 sen t, t ¸ 0.
14. Resolver el problema de Cauchy
8>>>><
>>>>:
x0 ¡ y =
½
1 , si 0 < t < 2
0 , si 2 < t
y0 ¡ x0 =
½
0 , si 0 < t < 2
1 , si 2 < t
x(0) = 1 ; y(0) = 0
Sol.: x(t) = eth(t) ¡ (t ¡ 2)h(t ¡ 2); y(t) = (et ¡ 1)h(t).
15. Dada la funci´on f(t) = n, si (n ¡ 1)® < t < n®, para n ¸ 1, siendo ® un n´umero
real positivo y no nulo, se pide:
(a) Trazar su gr´afica y obtener para f(t) una f´ormula que la exprese como una serie
cuyos t´erminos sean funciones de Heaviside.
(b) Calcular la transformada de Laplace de f(t).
(c) Aplicando convoluci´on, calcular la transformada inversa de
F(s) =
1
s2(s2 + 4)
(d) Resolver, mediante transformadas de Laplace, el problema de Cauchy
(
x00 = 8 ¡ 4t + 2 sen(2t ¡ 4)
x(2) = 1 ; x0(2) = 0
Sol.: (a) f(t) =
P1
s(1¡e¡®s) ; (c) L¡1 (F(s)) =
n=0 h(t ¡ n®); (b) L(f(t)) = 1
2t¡sen 2t
8 h(t); (d) x(t) =
¡
t ¡ 1 ¡ 2
¢
h(t ¡ 2).
3 (t ¡ 2)3 ¡ 1
2 sen 2(t ¡ 2)
16. Dada la funci´on
f(t) =
(
0 , si 4ka < t < (4k + 2)a, k ¸ 0
a , si (4k + 2)a < t < 4(k + 1)a, k ¸ 0
con a > 0, se pide:
(a) Obtener su transformada de Laplace.
(b) Resolver el problema de Cauchy
(
x00 ¡ 2x0 + x = f(t) (h(t) ¡ h(t ¡ 3a))
x(0) = x0(0) = 2

5. Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 5
Sol.: (a) L(f(t)) = a
s(e2as+1) ; (b) x(t) = 2eth(t)+
+a
£¡
1 + et¡2a(t ¡ 2a ¡ 1)
¢
h(t ¡ 2a) ¡
¡
1 + et¡3a(t ¡ 3a ¡ 1)
¢
h(t ¡ 3a)
¤
.
17. Dada la funci´on
f(t) =
(
cos 4t , si 0 · t < 4¼
0 , si t ¸ 4¼
se pide:
(a) Expresarla mediante la funci´on de Heaviside y hallar, aplicando las propiedades,
su transformada de Laplace.
(b) Resolver el problema de Cauchy
(
x00 + 16x = f(t)
x(0) = x0(0) = 0
Sol.: (a) f(t) = h(t) cos 4t ¡ h(t ¡ 4¼) cos 4t, L(f(t)) = s(1¡e¡4¼s)
s2+16 ;
(b) x = 1
8 (th(t) sen 4t ¡ (t ¡ 4¼)h(t ¡ 4¼) sen(t ¡ 4¼)).