HERRAMIENTAS MATEMATICAS

1. Tema 1:
FÍSICA 3 BGU

2. Vectores
• Definición de vector 3-d
• Módulo de un vector
• Vectores unitarios
• Suma vectorial
• Producto por un escalar
• Producto escalar
• Base Ortonormal
• Producto vectorial
Derivadas
• Concepto de derivada
• Tabla de derivadas
• Derivada de un vector
Integrales
• Concepto de integral
• Integral definida
• Tabla de integrales
• Integral de un vector

3. A (ax , ay , az)
B (bx , by , bz)
Vector equipolente: vectores con
igual dirección sentido y módulo.
Vector libre: Conjunto de infinitos
vectores equipolentes a uno dado.
Vector: Par ordenado AB

4. Características de un
Vector:
•Dirección: Recta en la
que está inscrito
(y paralelas).
• Sentido: Cada direcc.
dos sentidos. Punta de
flecha.
•Módulo : Distancia del
vector en las mismas
unidades.
Cálculo del módulo de un
Vector:

5. -1
x
y
z
Ejemplo: Calcula el módulo
del vector v= (-3, 2, -1)
2
74
,
3
14
)
1
(
2
)
3
( 2
2
2







v

Ejemplos Físicos:
• CELERIDAD (v)
• INTENSIDAD DE LA
GRAVEDAD (g)
-3

6. PROPIEDADES DEL
MÓDULO
Es definido positivo
0

v

2
Escalar con unidades iguales
a las del vector
IR
v 

1
El vector elemento neutro
tiene módulo neutro
)
0
,
0
,
0
(
0 

 v
v
Si


3

7. r
Definición: Es un vector
de módulo 1
Utilidad: En Física se
utilizan para marcar
direcciones sin afectar
al módulo
x
y
z
Cálculo de unitario:
v
v
uv 


ˆ
v

v
û v

1
ˆ 
v
u

8. x
y
z
r
v

Ejemplo: Halla el vector
unitario que define la
dirección del vector
v= (-3,0, 4)
En primer lugar se
calcula el módulo de v
Cálculo de unitario:
)
8
.
0
,
0
,
6
.
0
(
5
)
4
,
0
,
3
(
ˆ 




v
v
uv 

v
û
5
25
)
4
(
0
)
3
( 2
2
2






v


9. Ejemplo Físico:
• Ley de Gravitación
Universal
• Campo eléctrico
r
g u
r
GMm
F


2


Los vectores en Física
se suelen expresar:
x
u
x
x





x
y
z
x

x
û
r
Es decir:
• Sentido
• Módulo o intensidad
• Dirección
r
u
r
KQ
E


2


10. Definición: Sean los
vectores a=(ax, ay, az ) y
b=(bx, by, bz )
Regla del paralelogramo
El vector suma (o resultante)
a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz)

11. PROPIEDADES DE LA
SUMA VECTORIAL
Propiedad conmutativa
v
w
w
v







1
El módulo de la suma no es
igual a la suma de los
módulos
v
u
w
u





3
Elemento neutro
2 v
v




 0

12. Ejemplos Físicos:
• FUERZA RESULTANTE
(R)
• CAMPO GRAVITATORIO
RESULTANTE (g)
Ejemplo: Calcula la
resultante de los vectores
v= (-3, 2, -1) y w= (2, 2, -2)
Comprueba que el módulo
de la suma es menor que la
suma de los módulos



n
i
i
F
R
1





n
i
i
T g
g
1


10
,
5
26
)
3
(
4
)
1
(
46
,
3
12
)
2
(
2
2
74
,
3
14
)
1
(
2
)
3
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2





















w
v
w
v


)
3
,
4
,
1
(
)
2
1
,
2
2
,
2
3
(










 w
v



13. v

v
k

Definición: Sean el
vector v=(vx, vy, vz ) y el
escalar k
El producto de k por v
kv =k(vx, vy, vz)= (kvx, kvy, kvz)
x
y
z
Para k>1
Para k<0
Ejemplo Físico:
• Momento Lineal
• Fuerza
(2ª ley Newton)
a
m
F



v
m
p




14. PROPIEDADES DEL
PRODUCTO POR UN
ESCALAR cambia el sentido
0

k
Si
2
La dirección del vector
resultante no cambia
v
k
v


1
El módulo también se
multiplica k veces
v
k
v
k



3

15. Definición: Conjunto de 3
vectores unitarios i, j, k,
ortogonales entre sí, a
partir de los cuales, puede
escribirse cualquier vector
como una combinación
lineal de ellos.
)
1
,
0
,
0
(
ˆ
)
0
,
1
,
0
(
ˆ
)
0
,
0
,
1
(
ˆ



k
j
i
)
,
,
(
)
,
0
,
0
(
)
0
,
,
0
(
)
0
,
0
,
(
)
1
,
0
,
0
(
)
0
,
1
,
0
(
)
0
,
0
,
1
(
ˆ
ˆ
ˆ
z
y
x
z
y
x
z
y
x
k
z
j
y
i
x
v













16. Definición: Sean los
vectores a=(ax, ay, az ) y
b=(bx, by, bz )
Interpretación
geométrica
Proyección de a sobre b

cos
a
a 

Permite calcular la
componente de un
vector en una dirección
Vectores
perpendiculares ,
producto escalar nulo
El producto escalar:

17. PROPIEDADES DEL
PRODUCTO ESCALAR
Propiedad conmutativa
v
w
w
v







1
Propiedad distributiva
2 u
v
w
v
u
w
v












 )
(
Propiedad distributiva
(escalar)
3
w
k
v
w
v
k
w
v
k










 )
(
4 0
2


 v
v
v




18. TEOREMA DEL
PRODUCTO ESCALAR
z
z
y
y
x
x w
v
w
v
w
v
w
v 





DEMOSTRACIÓN
(líneas maestras)
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
ˆ
ˆ
;
0
ˆ
ˆ
0
ˆ
ˆ
;
0
ˆ
ˆ
0
ˆ
ˆ
;
0
ˆ
ˆ


















k
k
j
j
i
i
k
i
i
k
j
k
k
j
i
j
j
i

19. APLICACIÓN DEL
TEOREMA DEL
PRODUCTO ESCALAR
y
y
y
y
x
x w
v
w
v
w
v
w
v 





Calcular el ángulo que
forman dos vectores entre sí
w
v
w
v







cos
Ejemplo: Calcula el ángulo
que forman los vectores
v= (-3, 2, -1) y w= (2, 2, -2)
      0
2
·
1
2
·
2
2
·
3 






 w
v


º
270
º
90
0
46
,
3
·
74
,
3
0
cos
ó
w
v
w
v






 




20. Ejemplo Físico:
• Trabajo
¡ES UN ESCALAR!
r
F
W






cos
r
F
W





r


F


21. Definición: Sean los
vectores u=(ux, uy, uz ) y
v=(vx, vy, vz )
El vector producto vectorial
tiene las siguientes
características
Módulo:

sen
v
u
v
u






Dirección:
Perpendicular al plano que
forman u y v
Sentido:
Queda determinado por la regla
de la mano izquierda
v
u
v
u








22. PROPIEDADES DEL
PRODUCTO VECTORIAL
Propiedad anticonmutativa
v
w
w
v








1
Propiedad distributiva
2 u
v
w
v
u
w
v












 )
(
Propiedad distributiva
(escalar)
3
w
k
v
w
v
k
w
v
k










 )
(
Vectores paralelos
4 0
0










 v
k
v
v
v

23. TEOREMA DEL
PRODUCTO VECTORIAL
DEMOSTRACIÓN
(líneas maestras)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
;
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
;
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
;
ˆ
ˆ
ˆ





















k
k
j
j
i
i
j
k
i
j
i
k
i
j
k
i
k
j
k
i
j
k
j
i
¡¡Necesitamos una regla de cálculo!!

24. REGLA DE CÁLCULO DEL
PRODUCTO VECTORIAL



z
y
x
z
y
x
w
w
w
v
v
v
k
j
i
w
v
ˆ
ˆ
ˆ



25. Paso 1: Se duplican las dos
primeras filas
z
y
x
z
y
x
z
y
x
v
v
v
k
j
i
w
w
w
v
v
v
k
j
i
w
v
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ






26. z
y
x
z
y
x
z
y
x
v
v
v
k
j
i
w
w
w
v
v
v
k
j
i
w
v
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ





k
w
v
j
w
v
i
w
v y
x
x
z
z
y
ˆ
ˆ
ˆ 

Paso 2: Los factores de estas
diagonales son positivos

27. z
y
x
z
y
x
z
y
x
v
v
v
k
j
i
w
w
w
v
v
v
k
j
i
w
v
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ





k
w
v
j
w
v
i
w
v y
x
x
z
z
y
ˆ
ˆ
ˆ 

Paso 2: Los factores de estas
diagonales son negativos
k
w
v
j
w
v
i
w
v x
y
z
x
y
z
ˆ
ˆ
ˆ 



28. 


z
y
x
z
y
x
w
w
w
v
v
v
k
j
i
w
v
ˆ
ˆ
ˆ


k
w
v
j
w
v
i
w
v y
x
x
z
z
y
ˆ
ˆ
ˆ 

k
w
v
j
w
v
i
w
v x
y
z
x
y
z
ˆ
ˆ
ˆ 


Paso 3: Se suman los
factores comunes
¡¡No hace falta aprender la fórmula
de memoria, solo calcular!!

29. EJERCICIO DE CÁLCULO
PRODUCTO VECTORIAL













2
3
1
5
2
3
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
ˆ
3
ˆ
ˆ
5
ˆ
2
ˆ
3
k
j
i
w
v
k
j
i
w
k
j
i
v




k
j
i ˆ
9
ˆ
5
ˆ
4 


   
k
j
i ˆ
2
ˆ
6
)
ˆ
15
( 




30. Ejemplos Físicos:
• Momento de la Fuerza
(M)
•Momento angular o
cinético (L)
F
r
M





p
r
L






31. Ejemplos Físicos:
• Momento de la Fuerza
(M)
•Momento angular o
cinético (L)
p
r
L






32. Tasa de Variación Media
(TVM)
Nos indica cambios de
funciones
x
x
f
TVM



)
(

33. Derivada:
Nos indica cambios
instantáneos de
funciones
dx
x
df
f
)
(



34. Derivada:
Nos indica cambios
instantáneos de
funciones
dx
x
df
f
)
(



35. Derivada:
Nos indica cambios
instantáneos de
funciones
dx
x
df
f
)
(



36. Derivada:
Nos indica cambios
instantáneos de
funciones
dx
x
df
f
)
(



37. x
sen
dx
x
d
e
dx
de
x
dx
senx
d
nx
dx
dx
x
dx
x
d
dx
dk
x
x
n
n








cos
cos
1
ln
0
1
Tabla de derivadas
necesaria para Física de
2ºBT

38. PROPIEDADES DE LAS
DERIVADAS
Derivada de la suma
h
g
f
x
h
x
g
x
f 






 )
(
)
(
)
(
1
Derivada del producto de una k por una función
g
k
f
x
g
k
x
f 



 ·
)
(
·
)
(
2
Derivada de la función producto
h
g
h
g
f
x
h
x
g
x
f 





 ·
·
)
(
·
)
(
)
(
3
Derivada de la función cociente
2
·
·
)
(
)
(
)
(
h
h
g
h
g
f
x
h
x
g
x
f







4
Regla de la cadena
h
h
g
f
x
h
g
x
f 




 ·
)
(
)
)(
(
)
( 
5

39. La derivada de un vector es la
derivada de una suma, por lo
que se deriva componente a
componente
 
)
,
,
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
)
(
z
y
x
k
dt
t
dz
j
dt
t
dy
i
dt
t
dx
k
t
z
j
t
y
i
t
x
dt
d
dt
t
r
d












40. Ejemplos Físicos:
• Velocidad instantánea
(v=dr/dt)
•Aceleración instantánea
(a=dv/dt)
2
2
)
(
)
(
)
(
dt
t
r
d
dt
t
v
d
a
dt
t
r
d
v









41. F(x) es una primitiva de
f(x) si se cumple que: )
(
)
(
x
f
dx
x
dF

Un ejemplo: Encuentra
la primitiva de la función
f(x)=2x-5x2
k
x
x
x
F
x
x
x
f 





3
2
2
3
5
)
(
5
2
)
(

42. Al conjunto de todas las
primitivas de una función
f(x) se le llama integral
indefinida
 
 k
x
F
dx
x
f )
(
)
(
Derivación
Integración
)
(x
f
)
(x
f 

43. k
x
dx
x
k
e
dx
e
n
k
n
x
dx
x
k
x
dx
x
sen
k
Cx
dx
C
k
x
sen
dx
x
k
dx
x
x
n
n


























ln
1
1
;
1
cos
cos
0
1
Tabla de integrales
necesaria para Física de
2ºBT

44. PROPIEDADES DE LAS
INTEGRALES
La integral de la suma es la suma de integrales
2
  

 

 dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f )
(
)
(
)
(
)
(
La integral de C veces la función es C veces la integral
1 
  dx
x
f
C
dx
x
f
C )
(
·
)
(
·

45. TEOREMA DE BARROW
 

b
a
a
F
b
F
dx
x
f )
(
)
(
)
(

46. TEOREMA DE BARROW
 

b
a
a
F
b
F
dx
x
f )
(
)
(
)
(

47. TEOREMA DE BARROW
 

b
a
a
F
b
F
dx
x
f )
(
)
(
)
(

48. TEOREMA DE BARROW
 

b
a
a
F
b
F
dx
x
f )
(
)
(
)
(

49. TEOREMA DE BARROW
 

b
a
a
F
b
F
dx
x
f )
(
)
(
)
(

50. TEOREMA DE BARROW
 

b
a
a
F
b
F
dx
x
f )
(
)
(
)
(

51. TEOREMA DE BARROW
 

b
a
a
F
b
F
dx
x
f )
(
)
(
)
(

52. TEOREMA DE BARROW
 

b
a
a
F
b
F
dx
x
f )
(
)
(
)
(

53. Un ejemplo: Encuentra
la integral de la función
f(x)=2x-5x2
entre los
límites x=3 y x=5
 
5
3
2
)
5
2
( dx
x
x
5
3
3
2
3
5
x
x 

















3
2
3
2
3
3
5
3
5
3
5
5   3
,
147
3
442
36
3
550















54. La integral de un vector es la
integral de una suma, por lo
que se integra componente a
componente
 












dt
k
t
v
dt
j
t
v
dt
i
t
v
dt
k
t
v
j
t
v
i
t
v
dt
v
z
y
x
z
y
x
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(

k
t
r
dt
v 

 )
(



55. W=b·h/2
Ejemplo Físico:
• Trabajo de una fuerza
no constante
 

b
a
r
d
F
W


i
kx
F ˆ


k
dz
j
dy
i
dx
r
d ˆ
ˆ
ˆ 



J
k
kx
dx
kx
r
d
i
kx
W
2
25
2
1
)
ˆ
(
5
0
2
5
0
5
0




 


F (N)
x (m)
5
5k