Resumen teórico y de fórmulas del curso de Trigonometría

1. TRIGONOMETRÍA
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Se cumple:
, . )
= =
I. SISTEMA SEXAGESIMAL 180 200 #
( ° ) : Grado sexagesimales
( ‘ ) : Minuto sexagesimales
, . , ) . )
= 1 = =
( ‘’ ) : Segundo sexagesimales
9 0 10 1801 # 200 0 #
∡
1° = ∡ 1 = 360°
NOTACIONES IMPORTANTES
1° = 60’ 1’ = 60’’ 1° =3600’’ Para un ángulo cualquiera se cumple:
# de grados sexagesimales =S
II. SISTEMA CENTESIMAL # de minutos sexagesimales = 60S
( g ) : Grado centesimales # de segundos sexagesimales = 3600S
( m ) : Minuto centesimales
( s ) : Segundo centesimales # de grados centesimales =C
# de minutos centesimales = 100C
∡
1 = ∡ 1 = 400
# de segundos centesimales = 10000C
LONGITUD DE ARCO
1g = 100m 1m = 100s 1g =10 000s
III. SISTEMA RADIAL R
( rad ) : Radián o θ rad L ' =*∙)
r R
o 1 rad r
r L: Longitud del arco AB
R: Longitud del radio
θ: # de radianes de la ∡$%&
∡
1 = ∡ 1 = 2#
! LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (LC)
CONVERSIÓN DE SISTEMAS I
'( = 2#)
Para convertir medidas angulares de un sistema a R
O LC
otro se multiplica por los siguientes factores de
conversión.
9° 180° g 27’ 81’’ 27’ 162’
200
# #
g m s m ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
10 20 250° 5000 5
CONVERSIÓN DE SISTEMAS II A A
Sea ∡AOB, un ángulo cualquiera
R
o o θ rad
B R
B B
O S° = Cg = R rad
)
$= ∙*
A 2
S = # de grados sexagesimales de la
A: Área del sector circular AOB
C = # de grados centesimales de la
R: Longitud del radio
θ: # de radianes de la ∡$%&
R = # de radianes de la
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2. TRIGONOMETRÍA
OTRAS FORMULAS I. DOS ENGRANAJES DE CONTACTO
' ∙ ) '
$= $=
2 2* R r 3V = 3W
ÁREA DEL CÍRCULO (AC)
II. DOS ENGRANAJES UNIDOS POR UN EJE
Eje
$( = # ∙ )
R
*V = *W
O
R r
ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR (AT)
III. DOS POLEAS UNIDAS POR UNA CORREA
R-r h Correa
r
3V = 3W
o b a
R r
r
R-r h
Q + NS
$= ∙ℎ
2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
A: Área del trapecio circular
a: Longitud del arco mayor
H = +N
b: Longitud del arco menor
h=R-r α
c
ÁNGULO BARRIDO POR UNA RUEDA b X + Y = 90°
H > [ ; N]
Eje
β
R R
a
R
;<=8=> ?@A8B=> <
R
789:
R
= =
CD@>=89AB< E
34 . F $ G H I N
*2 = ;>B: = =
) JKLF I M H
. F %L M F
O<P: = =
*2 : Ángulo barrido por la rueda . F $ G H I N
34 : Espacio recorrido
. F $ G H I N
;=P: = =
. F %L M F
R : Longitud del radio de la rueda
H
NÚMERO DE VUELTAS QUE DA UNA RUEDA (#6 )
JKLF I M
78E: = =
. F $ G H I N
*2 3(
#U = #U =
2# 2#) JKLF I M H
;BE: = =
. F %L M F
APLICACIONES EN ENGRANAJES Y POLEAS
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3. TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS: II. DATOS : CATETO OPUESTO Y θ
CO- RAZONES
XRY 90° a Cscθ
a a
789: = ;>BQ^_ ` :S = ;>Ba
θ θ
a Cscθ
;>B: = 789Q^_ ` :S = , IY
O<P: = ;=PQ^_ ` :S = . bY
III. DATOS : CATETO ADYACENTE Y θ
;=P: = O<PQ^_ ` :S = c bY a Secθ
78E: = ;BEQ^_ ` :S = .MHY
a Tagθ
;BE: = 78EQ^_ ` :S = , HY
θ θ
a a
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS ÁNGULOS VERTICALES
d
789:
789: ∙ ;BE:
;BE:
d
1
.MHX
, IX
1
.FMX
, HX
;>B: ∙ 78E: d
1
, HX
.FMX
1
c bX
. bX ÁNGULO DE ELEVACIÓN
O<P: ∙ ;=P: d
1 ÁNGULO DE DEPRESIÓN
. bX
c bX
ÁNGULOS HORIZONTALES
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
NOTABLES ROSA NAÚTICA
R.T. 30° 60° 45° 37° 53° 16° 74°
1 √3 √2 3 4 7 24
Sen
2 2 2 5 5 25 25
√3 1 √2 4 3 24 7
Cos 1 45°
2 2 2 5 5 25 25
3 4 7 24 11°15′
Tag √3
√3 1 4 4
3 4 3 24 7
√3 4 3 24 7
Ctg √3 1
3 3 4 7 24
2√3 5 5 25 25
Sec 2 √2
3 4 3 24 7
2√3 5 5 25 25
Csc 2 √2
3 3 4 7 24
RUMBO
N
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS N55°E
55°
O E
I. DATOS : HIPOTENUSA Y θ
20°
H H H Senθ
S20°O S N55°E : Del Norte 55° al Este
θ θ
S20°O : Del Sur 20° al Oeste
H Cosθ
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4. TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS • SEGUNDA FORMA:
90° + X
EN POSICIÓN NORMAL
). c s u = ± .% ` ). cQXS
++ 270° ± X
`+ Qo; GS
y
Qo; GS
r r
x Signo ± depende de la R.T. original
r r
` ` +`
Qo; GS Qo; GS
II. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MAYORES
QUE 360°
= ro + G
Si: X > 360° → X = 360I + Y
m
). cQXS = ). cQ360° ∙ I + YS = ). cQYS
?ij89<j<
789:
k<jD> l8E=>i i
$NMHKM o
;>B:
) KF n H F
% I G III. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
O<P:
$NMHKM o NEGATIVOS
$NMHKM o
789Q`:S = `789:
;=P:
) KF n H F G
78E:
) KF n H F ;>BQ`:S = ;>B:
$NMHKM o O<PQ`:S = `O<P:
;=PQ`:S = `;=P:
) KF n H F
;BE:
G
78EQ`:S = 78E:
% I
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS ;BEQ`:S = `;BE:
CUADRANTALES
0° 90° 180° 270°
R.T. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
0 rad π/2 rad Π rad 3π/2 rad
Sen O 1 O −1
`1
IDENTIDADES RECÍPROCAS
789: ∙ ;BE: = d
Cos 1 O O
;>B: ∙ 78E: = 1
Tag O N O N
O<P: ∙ ;=P: = 1
Ctg N O N O
Sec 1 N `1 N
Csc N 1 N `1
IDENTIDADES POR COCIENTE
789:
O<P: =
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE ;>B:
.FMX
;=P: =
I. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MENORES , IX
QUE 360°
• PRIMERA FORMA: IDENTIDADES PITAGÓRICAS
180° ± X 789q : + ;>Bq : = d
)s u = ± ). cQXS
360° ` X 78Eq : = d + O<Pq :
;BEq : = d + ;=Pq :
Signo ± depende de la R.T. original
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5. TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES AUXILIARES RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO
DOBLE
789w : R ;>Bw : d − q789q : ∙ ;>Bq :
789x : + ;>Bx : = d ` y789q : ∙ ;>Bq : 789q: = q789:;>B:
Q789: + ;>B: + dSQ789: + ;>B: + dS = q789:;>B: .FM X ` , I X
Qd ± 789: ± ;>B:Sq = qQd ± 789:SQd ± ;>B:S ;>Bq: = 2.FM X ` 1
rd ± q789: ∙ ;>B: = |789: ± ;>B:| 1 ` 2, I X
2c bX
O<Pq: =
d + 789: ;>B: 1`c b X
=
;>B: d ` 789:
d + ;>B: 789:
IDENTIDADES AUXILIARES
=
789: d ` ;>B:
rd ± 789q: = |789:
O<P: + ;=P: = 78E: ∙ ;BE: ± ;>B:|
78Eq : + ;BEq : = 78Eq : ∙ ;BEq : ;=P: + O<P: = q;BEq•
;=P: ` O<P: = q;=Pq•
PROPIEDAD:
Si {789: + |;>B: = ;, se cumple
que: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO
$
789: =
TRIPLE
.
& 789y: = y789: ` w789y :
;>B: =
.
;>By: = w;>By : ` y;>B:
7D m Bó~> BD: {q + |q = ;q yO<P: ` O<Py :
O<Py: =
d ` yO<Pq :
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS PARA DEGRADAR:
COMPUESTOS
w789y : = 789y: ` y789:
789Q: ± aS = 789: ∙ ;>Ba ± ;>B: ∙ 789a w;>By : = y;>B: + ;>By:
;>BQ: ± aS = ;>B: ∙ ;>Ba ∓ 789: ∙ 789a
O<P: ± O<Pa
O<PQ: ± aS =
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO
d ∓ O<P: ∙ O<Pa MITAD
: d ` ;>B:
789 s u = ±‚
IDENTIDADES AUXILIARES
q q
789Q: + aS ∙ 789Q: ` aS = 789q : ` 789q a
: d + ;>B:
;>BQ: + aS ∙ ;>BQ: ` aS = ;>Bq : ` 789q a ;>B s u = ±‚
q q
789Q: ± aS
O<P: ± O<Pa =
;>B: ∙ ;>Ba : d ` ;>B:
O<P s u = ±‚
q d + ;>B:
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