VECTORES EN EL PLANO Curso 2009 Prof: Lauro Gamarra Arturo

El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio P Q Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q

R S La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por P Q S R Vectores de la misma magnitud

La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido Vectores de la misma dirección Vectores en direcciones distintas S R Q P S R S R P Q

Vectores Equivalentes Definición Geométrica Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes Q P Tienen la misma magnitud y dirección S R

O Eje x Eje y Representante del vector por el origen de coordenadas

(a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P a b A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así: P(a,b) u Eje Y O Eje X

u=(a,b) Dado (a,b)  2 se le asocia el vector u así: a b P(a,b) Definición algebraica Un vector es un par ordenado de números reales u Eje Y O Eje X

Punto P en el plano (a,b)  2 Vector u=OP desde el origen hasta P Esta correspondencia se llama : S istema de coordenadas rectangulares

Magnitud o módulo de un vector u El vector nulo (0,0) no tiene dirección Dirección  de u Angulo positivo que forma con el eje X Un vector de módulo uno se llama unitario u a b (a,b) Eje Y O Eje X 

Operaciones con vectores Si u=( x,y ) , v=( a,b ) , pruebe gráficamente que u+v=(x+a,y+b) Eje Y O Eje X u + v u v

Operaciones con vectores u+v=(x+a,y+b) a y b x O Eje Y Eje X u + v u v a x y b b x

Operaciones con vectores Si u=( x,y ) ,  pruebe gráficamente que  u=(  x,  y)  >0  <0 Eje Y O Eje X  u u  u

Operaciones con vectores  u=(  x,  y)  y  x  u u O Eje Y Eje X x y Triángulos semejantes ? ¿

Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los vectores i,j Eje Y O Eje X u x y i j xi yj

Producto escalar Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) como i.i=j.j=1 i.j=j.i=0

Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=( x , y ) y v=( a,b ) como : u.v= ax + by S e define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo  no negativo mas pequeño entre u y v. Producto escalar 

Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o  . D os vectores son ortogonales si forman un ángulo de  /2 Producto escalar Eje X Eje Y  /2 

Interpretación geométrica: Teorema: Sean u y v vectores no nulos y  el ángulo entre ellos, entonc es  v u  u  cos  w=

Propiedades de la suma de vectores Propiedad Conmutativa: La suma es independiente del orden de los vectores A + B = B + A

Propiedad asociativa: Cuando sumamos tres o más vectores, la suma es independiente de la forma en que los vectores se agrupan.

Vectores unitarios Un vector unitario es un vector sin unidades cuyo módulo es exactamente la unidad. Se utilizan para especificar dirección y sentido. Por ejemplo, dado un vector a , podemos hallar un vector unitario en la dirección y sentido de a , sin más que escribir:

Los símbolos representan a los vectores unitarios en un sistema de coordenadas rectangular Forman un conjunto de vectores unitarios perpendiculares dos a dos

Para hallar las componentes de un vector, se proyecta éste en las tres direcciones X, Y y Z, hallando Ax, Ay y Az y escribiendo el vector:

Problemas de aplicación En la siguiente se dan los problemas de aplicación una de ellas esta resuelta y la otra es para resolver, por favor responda de manera clara y precisa cada pregunta que no esta resuelta, según sus conocimientos adquiridos.