Cambio de variables de las integrales multiples

128

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

4. CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES
MÚLTIPLES
En esta sección se presenta una alternativa para resolver integrales múltiples cuando el
proceso de determinar las antiderivadas parciales es muy complicado o riguroso. Para
ello es necesario definir transformaciones geométricas de

2

→

2

y

3

→

3

;

posteriormente se enuncian los teoremas de cambios de variables para integrales
dobles y triples, sugiriendo los sistemas de coordenadas más empleados: Sistema polar
para integrales dobles y los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas para
integrales triples.

4.1 INTRODUCCIÓN
Recuerde que emplear un
cambio de variable de un
integral definida implica
que el cambio afecta: el
intervalo de integración,
el integrando y la
diferencial.

En el cálculo integral, para evaluar una integral definida de una
función real de variable real en un intervalo cerrado [ a,b ] existe un
teorema que permite cambiar la variable de integración con la
finalidad de resolver dicha integral de una manera más sencilla.
TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Definida

La expresión:
g ([ c,d ]) ⊂ [ a,b ]

Sea f : [ a, b ] →

Significa
que
las
imágenes de la función g
son un subconjunto de
[ a,b] .

función derivable con derivada g ′ ( t ) continua (es decir, g es

una función continua y g : [ c, d ] →

de clase C1) tal que g ([ c,d ]) ⊂ [ a,b ] , entonces
b

d

a

c

∫ f ( x )dx = ∫
x = g (t )

t=d

⇒

f  g ( t )  g ′ ( t ) dt



(IV.1)

CV

dx = g ′ ( t ) dt

t=c ⇒

una

CLI
x = g (c) = a

x = g (d ) = b

Para resolver la integral del segundo miembro de la ecuación IV.1
se realiza el cambio de variable, CV, y el cambio de los límites de
integración, CLI, señalado en la parte inferior izquierda de esta
página.

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

129

Geraldine Cisneros

Cuando se desea resolver una integral doble empleando un
cambio de variable, el proceso resulta más complicado pues se
deben cambiar ambas variables x y y por las variables u y v, por
ejemplo. Este cambio se realiza mediante una transformación
geométrica del tipo

2

→

2

.
2

4.2 TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA DE
2

Una transformación geométrica del tipo

→

2

→

2

se realiza

cuando una región bidimensional D del plano xy se transforma o
convierte en una nueva región bidimensional D′ del plano uv. Esta
transformación se realiza por medio de una función T :
Sea T una función definida como T : D′ ⊂

2

→D⊂

T ( u,v ) = (T1 ( u,v ) ,T2 ( u,v ) )

2

2

→

2

.

, tal que:
(IV.2)

Donde:
T1 ( u,v ) = x

(IV.3)

T2 ( u,v ) = y

En otras palabras, la
función T transforma
todo punto ( u,v ) ∈ D′

(IV.4)

en un punto ( x, y ) ∈ D .

Por lo tanto, la función de transformación es:
T ( u,v ) = ( x, y )

(IV.5)

La cual suele escribirse como:
 T1 ( u,v )   x 

  
T ( u,v ) = 
= 
T2 ( u,v )   y 

  


(IV.6)

130

Geraldine Cisneros

Por otra parte, como se busca resolver una integral doble

∫∫ f ( x, y ) dA

empleando un cambio de variable, observe que al

D

componer las funciones f con T , se obtiene:

f (T ( u,v ) ) = f ( u,v )

(IV.7)

En la figura 4.1 se observa la transformación geométrica de la
región D′ en la región D , la cual se realiza por medio de la
función T .

Figura 4.1
Transformación geométrica de la región D′ en la región D

TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Doble
Sea f :
Una matriz T ′ ( u,v ) es
inversible cuando su
determinante es no nulo
en todos los puntos
( u,v ) ∈ D′ .
Por otra parte:

D = T ( D ′ ) ⇒ D ′ = T −1 ( D )

por lo cual
inyectiva.

T

debe ser

La expresión:

f (T ( u,v ) )

suele escribirse:

también

f (T1 ( u,v ) ,T2 ( u,v ) )

2

→

una función continua de las variables x y y

definida en la región D ⊂

2

transforma los puntos

( u ,v ) ∈ D ′ ⊂

. Sea T una función inyectiva que
2

en

( x, y ) ∈ D ⊂

2

,

mediante la expresión T ( u,v ) = ( x, y ) . Suponga que T es de
clase C1 y que la derivada T ′ ( u,v ) es una matriz inversible
∀ ( u,v ) ∈ D ′ , entonces:

( )
∫∫ f ( x, y ) dA = ∫∫ f (T ( u,v ) ) ∂ ( u,v ) dudv
∂ x, y

D


D′

(IV.8)

131

Geraldine Cisneros

El término

Al determinante
jacobiano:

del

se obtiene como:

∂ ( x, y )
∂ ( u,v )

también se
jacobiano.

le

∂ ( x, y )
se conoce como determinante del jacobiano y
∂ ( u,v )

 ∂x
 ∂u
∂ ( x, y )
= det 
∂ ( u,v )
 ∂y

 ∂u

llama

∂x 
∂v 

∂y 

∂v 

(IV.9)

O también suele escribirse como:
 xu
∂ ( x, y )
= det 

∂ ( u,v )
 yu


Sin

embargo,

en

algunas

xv 


yv 


ocasiones,

(IV.10)

se

desconoce

la

transformación T ( u,v ) = ( x, y ) más apropiada. En estos casos, se
propone una transformación inversa del tipo T −1 ( x, y ) = ( u,v ) , la
cual vendrá dada por las ecuaciones que limitan a la región D o
por la función integrando. Cuando se presenta esta situación, el
jacobiano

∂ ( x, y )
se obtiene mediante la propiedad:
∂ ( u,v )

∂ ( x, y ) ∂ ( u,v )
=1
∂ ( u,v ) ∂ ( x, y )

(IV.11)

u x

= det 
∂ ( x, y )
 vx


(IV.12)

En donde:
∂ ( u,v )

uy 


vy 


Por lo tanto, el teorema de cambio de variable para integrales
dobles puede escribirse como:


132

Geraldine Cisneros

1
∫∫ f ( x, y ) dA = ∫∫ f (T ( u,v ) ) ∂ ( u,v )
D′

D

(IV.13)

dudv

∂ ( x, y )

La demostración del teorema de cambio de variable en una
integral doble es muy rigurosa; sin embargo, seguidamente se
prueba dicho teorema en el caso particular que la función
integrando, f , es igual a la unidad, es decir:
Recuerde que :

∫∫

D

dA

∫∫

representa el área de la
región D.

D

dA = ∫∫

D′

∂ ( x, y )
dudv
∂ ( u,v )

(IV.14)

Demostración del Teorema de cambio de variable en una
integral doble, cuando la función integrando es igual a la
unidad:
Considere una región D′ definida como:

{

}

D′ = ( u,v ) u0 ≤ u ≤ u0 + ∆u ∧ v0 ≤ v ≤ v0 + ∆v

(IV.15)

La cual se aprecia en la figura 4.2

Figura 4.2
Una región

D′ en el plano uv

Por lo tanto la región D′ es un rectángulo cuyos vértices son los
puntos:

A′ ( u0 ,v0 ) ,

D′ ( u0 + ∆u,v0 + ∆v ) .


B′ ( u0 + ∆u,v0 ) ,

C ′ ( u0 ,v0 + ∆v )

y

133

Geraldine Cisneros

Considere ahora, una función de transformación T ( u,v ) , la cual
puede aproximarse como:
 ∆u 
T ( u,v ) ≈ T ( u0 ,v0 ) + T ′ ⋅  
 ∆v 

(IV.16)

Donde T ′ es la derivada de T evaluada en ( u0 ,v0 ) .
La imagen del rectángulo D′ bajo el efecto de la transformación T
propuesto en la expresión IV.16 se muestra en la figura 4.3

Figura 4.3
Región

D′ bajo el efecto de la expresión IV.16

Entonces, la aproximación de T , planteada en IV.16, transforma
al rectángulo D′ en un paralelogramo con vértice en T ( u0 ,v0 ) y
Los vectores ∆ui y ∆v j
son:

 ∆u 
∆u i =  
 0 
 0 
∆v j =  
 ∆v 
Por otra parte,
 ∂x 
 ∂u  
∂x
∂y 
∆u   =  ∆u , ∆u 
∂y   ∂u
∂u 

 
 ∂u 
 ∂x 
 ∂v   ∂x
∂y 
∆v   =  ∆v , ∆v 
∂y   ∂v
∂v 

 
 ∂v 

con lados adyacentes, correspondientes a ∆u y ∆v , definidos por
los vectores: T ′ ⋅ ( ∆ui ) y T ′ ⋅ ( ∆v j ) , los cuales pueden escribirse
como:

 ∂x
 ∂u
T ′ ⋅ ( ∆ui ) = 
 ∂y

 ∂u

∂x 
 ∂x 
 ∂u 
  ∆u 
∂v
   = ∆u  
∂y   0 
 ∂y 
 

∂v 
 ∂u 

(IV.17)

 ∂x
 ∂u
T ′ ⋅ ( ∆v j ) = 
 ∂y

 ∂u

∂x 
 ∂x 
 ∂v 
 0 
∂v
   = ∆v  
∂y   ∆v 
 ∂y 
 
∂v 

 ∂v 

(IV.18)


134

Geraldine Cisneros
El
área
de
un
paralelogramo
cuyos
lados están definidos por
los vectores:
( a,b ) y ( c,d )
Se obtiene como el valor
absoluto
del
determinante:

a b a c
=
c d b d

Donde las derivadas parciales de las ecuaciones IV.17 y IV.18
están evaluadas en ( u0 ,v0 ) .
Luego, el área del paralelogramo de la figura 4.3 está dada por:

 ∂x
 ∂u ∆u
det 
 ∂y
 ∂u ∆u


∂x 
 ∂x
∆v 
 ∂u
∂v
 = det 
 ∂y
∂y 
∆v 
 ∂u
∂v 


∂x 
 ∂x

 ∂u
∂v
 ∆u ∆v = det 
 ∂y
∂y 

 ∂u
∂v 


∂x 
∂v 
 ∆u ∆v
∂y 
∂v 

(IV.19)

Recuerde que ∆u y ∆v
son longitudes, por lo
tanto:

∆u = ∆u

∆v = ∆v

Empleando la ecuación IV.9, se tiene:

 ∂x
 ∂u ∆u
det 
 ∂y
 ∂u ∆u


∂x 
∆v
∂ ( x, y )
∂v  ∂ ( x, y )
 =
∆u∆v =
∆u∆v (IV.20)
∂ ( u,v )
∂y  ∂ ( u,v )
∆v
∂v 


Ahora, si la región D′ es dividida en pequeños rectángulos con
lados de longitud ∆ u y ∆v , y se emplea la aproximación de T
planteada en IV.14, estos rectángulos son transformados en
pequeños paralelogramos cuyos lados están definidos por los
vectores  ∆u ∂x , ∆u ∂y  y  ∆v ∂x , ∆v ∂y  , donde el área de cada




∂u
∂u
∂v
∂v








paralelogramo se obtiene como

∂ ( x, y )
∆u∆v , entonces el área de
∂ ( u,v )

T ( D′ ) , denotada AT ( D′) se puede aproximar como:

AT ( D′) ≈ ∑∑

∂ ( x, y )
∆u∆v
∂ ( u,v )

(IV.21)

Luego tomando el límite cuando ∆ u y ∆v tienden a cero, en la
expresión anterior, resulta:

AT ( D′) = ∫∫

D′


∂ ( x, y )
dudv
∂ ( u,v )

(IV.22)

135

Geraldine Cisneros

Entonces, queda demostrada la ecuación

∫∫

D

dA = ∫∫

D′

∂ ( x, y )
dudv
∂ ( u,v )

En la figura 4.4 se aprecia la transformación de la región D′ pr
medio de T .

Figura 4.4
Transformación

∫∫

Calcular la integral doble

EJEMPLO 4.1

D

T en una región D′

1
dA , empleando un cambio de
1 + xy

variable adecuado, donde D es la región del plano en el primer
cuadrante limitada por y = x , y = 2 x , xy = 1 y xy = 2 .
Solución:
A continuación se muestra el recinto D .
y = 2x

En este ejemplo,
transformación

T ( u , v ) = ( x, y )

la

(1, 2 )

 2


 2 , 2




D

(1,1)

no
1
y=
x

está dada por lo cual a
partir de la gráfica se
propone
una
transformación

T −1 ( x , y ) = ( u , v )

Figura 4.5
Región D del ejemplo 4.1


y=

(

2
x

2, 2

)

y=x

136

Geraldine Cisneros

A partir de la gráfica anterior, se propone el siguiente cambio:

y

 , xy  = ( u, v )
x


Con el cambio propuesto
se obtiene la región D′

y= x⇒

y
=1⇒ u =1
x

Es decir:

y
y = 2x ⇒ = 2 ⇒ u = 2
x

xy = 1 ⇒ v = 1

T −1 ( x, y ) = ( u , v )

Con este cambio de variable, la región de integración cambia

xy = 2 ⇒ v = 2

mediante la expresión D′ = T −1 ( D ) , por lo tanto:

{

}

D′ = ( u,v ) 1 ≤ u ≤ 2 ∧ 1 ≤ v ≤ 2

En la figura 4.6 se observa la transformación de la región D a la
región D′ .

Por

medio

de

T −1

v=2

la

−1

tranformación T , la
nueva
región
de
integración D′ es una
región rectangular.

Valor de u a
la entrada de D´
u =1

D

Valor de u a
la salida de D´
u=2

D′

v =1

Figura 4.6
Transformación de la región

D en D′ del ejemplo 4.1

Para poder resolver la integral doble pedida empleando el cambio
de variable, se necesita determinar el jacobiano

∂ ( x, y )
, para lo
∂ ( u,v )

cual se emplea la propiedad IV.10, luego
Recuerde que:

y
 x  = u 
  v 
 xy   
 

 y
− 2
∂ ( u,v )
= det  x
∂ ( x, y )

 y



1
x  = − y − y = −2 y = −2u

x x
x

x


137

Geraldine Cisneros

Empleando la ecuación IV.12 se tiene que:
2 2 1
1
1
1 2 2 1
dA = ∫ ∫
dudv = ∫ ∫
dudv
1 1 1 + v −2u
D 1 + xy
2 1 1 (1 + v ) u

I = ∫∫

I =∫

2

1

∫∫

D

EJEMPLO 4.2

ln 2
1
2
dv = ln ( 3) ln ( 2 ) − ln ( 2 ) 


2 (1 + v )
2

1
1
2
dA = ln ( 3) ln ( 2 ) − ln ( 2 ) 


1 + xy
2


∫∫

D

 y−x
cos 
 dA , empleando un cambio
 y+x

de variable adecuado, donde D es la región mostrada a
continuación.

C2
C1

C4

D

Figura 4.7
Región D del ejemplo 4.2


C3

138

Geraldine Cisneros

Solución:
Determinando las ecuaciones de las curvas que limitan a la región
D se tiene:
C1 : x = 0
C2 : y = 2 − x ⇒

y+x=2

C3 : y = 0
C4 : y = 1 − x ⇒
Con el cambio propuesto
se obtiene la región D′

y + x =1 ⇒ v =1
y+x=2 ⇒ v=2

y + x =1

 y−x
A partir de la función integrando f ( x, y ) = cos 
 , se propone
 y+x

una transformación del tipo T −1 ( x, y ) = ( u , v ) :

u = − x
y =0⇒
 v=x

 y − x  u 
 y + x = v 

  

y = 0 ⇒ −u = v
u = y
x =0⇒
v = y

Entonces:

x =0⇒u =v

{

D′ = ( u,v )

}

−v ≤ u ≤ v ∧ 1≤ v ≤ 2

La figura 4.8 muestra la transformación de la región D a la región

D′ por medio de T −1 .

Por

medio

de

T −1

la

D′

−1

tranformación T , la
nueva
región
de
integración D′ es una
región tipo 2.

v=2

Valor de u a
la salida de D´
u=v

Valor de u a
la entrada de D´
u = −v

D

v =1

Figura 4.8


D en D′ del ejemplo 4.2

139

Geraldine Cisneros

Calculando el jacobiano

Recuerde que:

 y − x  u 
T −1 ( x, y ) = 
= 
 y + x v 

∂ ( x, y )
, se tiene que:
∂ ( u,v )

 −1 1
∂ ( u,v )
 = −1 − 1 = −2
= det 


∂ ( x, y )
 1 1


Empleando la ecuación IV.12 se tiene que:
2 v
2
 y−x
3
u 1
I = ∫∫ cos 
dudv = ∫ sen (1) vdv = sen (1)
 dA = ∫1 ∫ −v cos  
D
1
2
 v  −2
 y+x

∫∫

D

 y−x
3
cos 
 dA = sen (1)
2
 y+x

4.2.1 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS POLARES
En el APÉNDICE A, se
presenta un repaso del
sistema de coordenadas
polares.

A continuación se describe un caso particular del cambio de
variable para integrales dobles: cambio a coordenadas polares.
Considere que se desea calcular una integral doble

∫∫ f ( x, y ) dA ,
D

donde D es una región como la mostrada en la figura 4.9.

x 2 + y 2 = r2 2
x 2 + y 2 = r12

D

Figura 4.9
Una región general D


140

Geraldine Cisneros

La región D está definida como sigue:

D=

{( x, y )

r12 ≤ x 2 + y 2 ≤ r2 2

}

∧ tg (θ1 ) x ≤ y ≤ tg (θ 2 ) x

(IV.23)

Para expresar dicha región D en coordenadas polares, denotada

D′ , es necesario hacer la trasformación de coordenadas

T : D′ ⊂

2

→D⊂

2

, señalada en la expresión IV.24:
T ( r,θ ) = ( r cos θ ,rsenθ ) = ( x, y )

(IV.24)

Por lo tanto la región D′ es:
Para que la función:
T : D′ ⊂ 2 → D ⊂ 2
sea inyectiva es necesario
que:

D′ =

{( r,θ )

r1 ≤ r ≤ r2

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ 2

}

(IV.25)

0 ≤ θ < 2π

En la figura 4.10 se observa como la región D′ del plano rθ es
transformada a través de la función T en la región D del plano

xy .

Figura 4.10

D′ en la región D a través de T ( r ,θ ) = ( x, y )

Al emplear el teorema de cambio de variable en una integral
doble, se tiene:

( )
∫∫ f ( x, y ) dA = ∫∫ f ( r cos θ ,rsenθ ) ∂ ( r,θ ) drdθ
∂ x, y

D

D′


(IV.26)

141

Geraldine Cisneros

En donde el jacobiano de la transformación es:

Recuerde que:
 r cos θ   x 
= 
T ( r,θ ) = 

  
 rsenθ   y 

  
Y que la identidad
fundamental es:

 ∂x
 ∂r
∂ ( x, y )
= det 
∂ ( r,θ )
 ∂y

 ∂r

∂x 
cos θ
∂θ 
 = det 

∂y 
 senθ


∂θ 

− rsenθ 
 = r cos 2 θ + rsen 2θ

r cos θ 


∂ ( x, y )
= r ( cos 2 θ + sen 2θ ) = r
∂ ( r,θ )

cos 2 θ + sen 2θ = 1

(IV.27)

Por lo cual se puede enunciar el siguiente teorema de cambio a
coordenadas polares de una integral doble.
TEOREMA: Cambio a coordenadas polares en una integral
doble

→

Sea f :

2

definido

por

una función continua en un rectángulo D′ ,

D′ =

{( r,θ )

r1 ≤ r ≤ r2

}

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ 2 ,

donde

0 ≤ θ 2 − θ1 < 2π , entonces:

∫∫ f ( x, y ) dA = ∫∫ f ( r cos θ ,rsenθ ) rdrdθ
D′

D

(IV.28)

En algunas ocasiones, la región D es más general que la
planteada anteriormente, tal como la región que se ilustra a
continuación:

Figura 4.11
Una región más general D


142

Geraldine Cisneros

Entonces, la región D de la figura 4.11 puede expresarse en
coordenadas polares como sigue:

D′ =

{( r,θ )

r1 (θ ) ≤ r ≤ r2 (θ ) ∧ θ1 ≤ θ ≤ θ 2

}

(IV.29)

Al emplear la ecuación de cambio de variable IV.19 resulta:
θ2

r2 (θ )

∫∫ f ( x, y ) dA = ∫θ ∫ (θ ) f ( r cos θ ,rsenθ ) rdrdθ
D

1

(IV.30)

r1

Existen, también, regiones generales D , que en coordenadas
polares, quedan definidas como:

D′ =

{( r,θ )

}

(IV.31)

∫θ ( ) f ( r cos θ ,rsenθ ) rdθ dr

(IV.32)

∧ θ1 ( r ) ≤ θ ≤ θ 2 ( r )

r1 ≤ r ≤ r2

En estos casos:

∫∫

D

EJEMPLO 4.3

f ( x, y ) dA = ∫

r2
r1


θ2 ( r )
1

2

r

∫ ∫
0

4− y2
− 4− y 2

dxdy , empleando un cambio de

variable a coordenadas polares.
Solución:
Este ejercicio se resolvió
en
el
sistema
de
coordenadas cartesianas
en el ejemplo 1.5 parte c
del capítulo 1, y se
obtuvo que:
2

∫ ∫
0

4− y2
− 4− y 2

dxdy = 2π

La región D está definida como

D=

{( x, y )

− 4 − y2 ≤ x ≤ 4 − y2

}

∧ 0≤ y≤2

La función integrando es f ( x, y ) = 1 y la función de transformación
a coordenadas polares es T ( r,θ ) = ( r cos θ ,rsenθ ) , entonces, al
componer las funciones f con T , se obtiene:

f T ( r,θ )  = 1




143

Geraldine Cisneros

Al emplear la transformación a coordenadas polares, se deben
definir lo nuevos límites de integración, por lo que, en la figura
4.12 se muestran, sobre la gráfica de la región D , los valores de

r y θ a la entrada y salida de dicha región.
Valor de r a
la salida de D

r=2

D

Valor de r a
la entrada de D

Valor de θ a
la salida de D

r =0

θ =π

Valor de θ a
la entrada de D

θ =0

Figura 4.12
Valores de

r y θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.3

Por lo tanto la región D′ , que se observa en la figura 4.13, está
definida como:
D′ =

{( r,θ )

0 ≤ r ≤ 2 ∧ 0 ≤θ ≤π

}

Resolviendo la integral resulta:
Figura 4.13
Región D′ ejemplo 4.3

2

∫ ∫
0

4− y2
− 4− y

2

π

dxdy = ∫

0

π

2

0

0

∫ ∫


∫

2
0

π

rdrdθ = ∫ 2dθ = 2π

rdrdθ = 2π

0

144

Geraldine Cisneros


EJEMPLO 4.4

Calcule el área de la corona circular cuyos radios exterior e interior
son 4 y 2, respectivamente, empleando coordenadas polares.
Solución:
La región D , se define como:
D=

En el ejemplo 3.3 del
capítulo 3, y se obtuvo
que:

A = ∫∫ dydx = 12π
D

{( x, y )

}

4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16

En la siguiente figura se muestran los valores de r y θ a la
entrada y salida de la región D .
Valor de r a
la salida de D

r=4

D
Valor de r a
la entrada de D

θ = 2π

r=2

θ =0

Figura 4.14
Valores de

r y θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.4

Entonces, la región D′ , tal como se ilustra en la figura 4.15, es:
D′ =

{( r,θ )

2 ≤ r ≤ 4 ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π

Luego el área se obtiene como:
Figura 4.15

A=∫

2π
0

∫

4
2

rdrdθ = ∫

2π

4

0

2

∫ ∫

2π
0

6dθ = 12π

rdrdθ = 12π

}

145

Geraldine Cisneros


EJEMPLO 4.5

Calcule el volumen del sólido S acotado por las superficies:
z = 2 x 2 + y 2 y z = 20 − x 2 − y 2 , empleando integrales dobles y

coordenadas polares.
Solución:
que:

En coordenadas cartesianas, el volumen del sólido S , que se
aprecia en la figura 4.16, viene dado por:

V = 19,77678464

V = ∫∫  20 − x 2 − y 2 − 2 x 2 + y 2  dA
D


donde D =

{( x, y )

}

x2 + y 2 ≤ 4

En la figura 4.17, donde se aprecia la región D , se señalan los
valores de r y θ a la entrada y salida de dicha región.

Figura 4.16
Sólido S del ejemplo 4.5

Valor de r a
la salida de D

D

r=2

θ = 2π
Valor de r a
la entrada de D

θ =0

r =0

Figura 4.18

Figura 4.17
Valores de r y

θ

para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.5

Como:

 r cos θ   x 
= 
T ( r,θ ) = 

  
 rsenθ   y 

  
Entonces:
2
2
x2 + y 2 = ( r cos θ ) + ( rsenθ )
x +y =r
2

2

Donde D′ =

{( r,θ )

0 ≤ r ≤ 2 ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π

}

Entonces, al emplear la ecuación IV.18, se tiene que:

2

2π
2
V = ∫∫  20 − x 2 − y 2 − 2 x 2 + y 2  dA = ∫ ∫  20 − r 2 − 2r  rdrdθ
0
0 
D




146

Geraldine Cisneros

V =∫

80 
40
160
 40
 3 5 − 3  dθ = 3 5π − 3 π ≈ 19, 77678464



2π
0

Finalmente:
2π

2

0

0

∫ ∫

 20 − r 2 − 2r  rdrdθ = 40 5π − 160 π


3
3

3

4.3 TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA DE
De manera similar a una transformación de
transformación geométrica del tipo

3

→

3

2

→

→

2

3

, una

se emplea cuando se

desea convertir o transformar una región tridimensional B del
espacio xyz en una nueva región B′ del espacio tridimensional

uvw.
Sea T una función definida como T : B′ ⊂

→B⊂

T ( u,v,w ) = (T1 ( u,v,w ) ,T2 ( u,v,w ) ,T3 ( u,v,w ) )

Por lo tanto, la función
T transforma todo punto
( u,v,w ) ∈ B′ en un
punto ( x, y,z ) ∈ B .

3

3

, tal que:

(IV.33)

Donde:
T1 ( u,v,w ) = x

(IV.34)

T2 ( u,v,w ) = y

(IV.35)

T3 ( u,v,w ) = z

(IV.36)

La función T también
suele escribirse como:

T1 ( u,v,w)   x 

  

  
T ( u,v,w) = T2 ( u,v,w)  =  y 

  

  
T ( u,v,w)   z 
 3
  

Entonces, la función de transformación T es:


T ( u,v,w ) = ( x, y,z )

(IV.37)

147

Geraldine Cisneros

TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Triple
3

Sea f :

B⊂

3

→

una función continua definida en la región

. Sea T una función inyectiva que transforma los

puntos

( u,v,w ) ∈ B′ ⊂

3

en

( x, y, z ) ∈ B ⊂

3

, mediante la

expresión T ( u,v,w ) = ( x, y,z ) . Suponga que T es de clase C1
y que la derivada T ′ ( u,v,w )

es una matriz inversible

∀ ( u,v,w ) ∈ B ′ , entonces:

(
)
∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫∫∫ f (T ( u,v,w) ) ∂ ( u,v,w) dudvdw
∂ x, y,z

B′

B

El jacobiano

∂ ( x, y,z )
se obtiene como:
∂ ( u,v,w )
 ∂x
 ∂u

∂ ( x, y,z )
 ∂y
= det 
∂ ( u,v,w )
 ∂u
 ∂z

 ∂u


El jacobiano también se
denota como:
 xu xv xw 




∂ ( x,y,z )
= det  yu yv yw 
∂ ( u,v,w)




 zu zv zw 



(IV.38)

∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v

∂x 
∂w 

∂y 
∂w 

∂z 

∂w 


(IV.39)

Existen dos casos particulares de cambios de variables para
integrales triple, los cuales consisten en cambiar el sistema de
coordenadas

de

rectangular

coordenadas esféricas.


a:

coordenadas

cilíndricas

o

148

Geraldine Cisneros

4.3.1 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS CILÍNDRICAS
A continuación se describe como emplear un cambio de variable a

cilíndricas.

coordenadas cilíndricas para resolver una integral triple.
Considere

que

se

desea

∫∫∫ f ( x, y,z ) dV , donde
B

calcular

una

integral

triple

B es un recinto como el mostrado en la

siguiente figura.

z = z2 ( x, y )

B

z = z1 ( x, y )

D

Figura 4.19
Una región general

B

La región B está definida como sigue:
D

B=

{( x, y,z )

( x, y ) ∈ D

∧

}

z1 ( x, y ) ≤ z ≤ z2 ( x, y )

(IV.40)

Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy . Si
dicha región D puede expresarse en coordenadas polares,
Figura 4.20
Proyección de la
región D sobre el
plano xy

entonces la función de transformación a coordenadas cilíndricas,
definida T : B′ ⊂

3

→B⊂

3

, viene dada por:

T ( r,θ ,z ) = ( r cos θ ,rsenθ ,z ) = ( x, y,z )

Por lo tanto la región B′ es:


(IV.41)

149

Geraldine Cisneros

B′ =

{( r,θ ,z ) r ≤ r ≤ r
1

2

}

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ 2 ∧ z1 ( r,θ ) ≤ z ≤ z2 ( r,θ ) (IV.42)

Para emplear el teorema de cambio de variable en una integral
triple, se debe determinar el jacobiano de la transformación:
La
función
T
de
transformación
a
coordenadas cilíndricas,
también se escribe como:
 r cos θ   x 

  

  
T ( r,θ ,z ) =  rsenθ  =  y 

  

  
 z  z

  

 ∂x
 ∂r

∂ ( x, y,z )
 ∂y
= det 
∂ ( r,θ ,z )
 ∂r
 ∂z

 ∂r


∂x
∂θ

∂x 
cos θ
∂z 



∂y 
 = det  senθ
∂z 


∂z 
 0



∂z 

∂y
∂θ
∂z
∂θ

−rsenθ
r cos θ
0

0


0  = r cos 2 θ + rsen 2θ


1


∂ ( x, y,z )
= r ( cos 2 θ + sen 2θ ) = r
∂ ( r,θ ,z )

(IV.43)

Entonces, el teorema de cambio de variable a coordenadas
cilíndricas en una integral triple queda enunciado como sigue:
TEOREMA: Cambio a coordenadas cilíndricas
integral triple
Sea

f:

3

→

en una

una función continua en una región

tridimensional B′ , definido como:

B′ =

{( r,θ ,z ) r ≤ r ≤ r
1

2

}

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ 2 ∧ z1 ( r,θ ) ≤ z ≤ z2 ( r,θ ) ,

donde 0 ≤ θ 2 − θ1 < 2π , entonces:

∫∫∫ f ( x, y,z ) dV = ∫∫∫ f ( r cos θ ,rsenθ ,z ) rdzdrdθ
B

B′


(IV.44)

150

Geraldine Cisneros
EJEMPLO 4.6

Evalúe la integral triple

∫∫∫

B

xyzdV , empleando coordenadas

cilíndricas, donde B está definida como:

B=

{( x, y,z ) x

2

}

+ y 2 + z 2 ≤ 4 , x 2 + y 2 ≥ 1, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0

Solución:
que:

El sólido B , junto con su proyección en el plano , xy se muestran
a continuación, en la figura 4.21

9
∫∫∫B xyzdV = 8

Valor de z a
la salida de B

z = 4 − r2

Cambiando la ecuación
de
la
esfera
a
x2 + y2 + z2 = 4
coordenadas cilíndricas
se tiene:
z = 4 − x2 − y2 = 4 − r2

B

Valor de z a
la entrada de B

z=0

Figura 4.21
Región B del ejemplo 4.6

Entonces, en coordenadas cartesianas:
I = ∫∫∫ xyzdV = ∫∫
B

D

∫

4 − x2 − y 2
0

xyzdzdA

donde D es la proyección de la región B en el plano xy . Lo que
interesa a continuación es definir dicha región D , mostrada en la
figura 4.22, en coordenadas polares, la cual se denota como D′ .


151

Geraldine Cisneros

Valor de r a
la salida de D

r=2

D

θ=

Valor de r a
la entrada de D

π

r =1

2

θ =0
Figura 4.22
Región

D del ejemplo 4.6

Así, la región D en coordenadas polares es:

D′ = ( r,θ )


1≤ r ≤ 2 ∧ 0 ≤θ ≤

π

2

Por otra parte, al componer la función integrando, f ( x, y , z ) = xyz ,
con la función de transformación, T ( r,θ ,z ) = ( r cos θ ,rsenθ ,z ) , se
obtiene:

f T ( r,θ ,z )  = ( r cos θ )( rsenθ ) z = r 2 cos θ senθ z


Por lo tanto la integral triple es:
π

2

∫∫∫B ( xyz ) dV = ∫ 02 ∫1 ∫ 0
π

∫∫∫ ( xyz ) dV = ∫ ∫
2

0

B

4− r 2

2

B

π

4−r 2

2

∫ ∫ ∫
2
0

1

0


2

cos θ senθ z ) r dzdrdθ

r3 (4 − r2 )

2

1

∫∫∫ ( xyz ) dV = ∫

(r

π
2
0

cos θ senθ drdθ

9
9
cos θ senθ dθ =
4
8

r 3 cos θ senθ z dzdrdθ =

9
8

152

Geraldine Cisneros
EJEMPLO 4.7

Evalúe la integral triple

∫∫∫ ( xyz ) dV ,
B

donde B es la región del

primer octante comprendida entre los conos, z = 2 ( x 2 + y 2 )

y

z = x 2 + y 2 y el plano z = 4 , empleando coordenadas cilíndricas.
que:

∫∫∫ ( xyz ) dV = 64
B

Solución:
El sólido B , junto con su proyección en el plano , xy se muestran
a continuación, en la figura 4.23
Valor de z a
la salida de B

Valor de z a
la salida de B

z=4

Recuerde
que
las
funciones
del
tipo
deben
z = f ( x, y )

z = 2r

expresarse en función de
r y θ , por lo tanto:

B

z = 2 ( x 2 + y 2 ) = 2r

Valor de z a
la entrada de B

y

z=r

z = x2 + y2 = r

Valor de z a
la entrada de B

z=r

Figura 4.23
Sólido

B del ejemplo 4.7

Como el valor de z cambia a la salida del sólido B, entonces, en
coordenadas cartesianas:

∫∫∫B ( xyz ) dV = ∫∫D ∫
1

4
2

x +y

2

( xyz ) dzdA

+

∫∫ ∫
D2

(

2 x2 + y 2
2

x +y

2

)

( xyz ) dzdA

donde D1 y D2 son las proyecciones del sólido B en el plano xy .
Dichas regiones

D1 y D2 se pueden expresar en coordenadas

polares fácilmente, lo cual se aprecia en las siguientes figuras.


153

Geraldine Cisneros


Valor de r a
la salida de D

D1

r=4

Valor de r a
la entrada de D

θ=

r= 8

π
2

θ =0
Figura 4.24
Recuerde que al definir
una región
D en
coordenadas
polares,
dicha región se denota

Región D1 del ejemplo 4.7

D′

Valor de r a
la salida de D

D2

r= 8

θ=

π
2

Valor de r a
la entrada de D

θ =0

r =0

Figura 4.25
Región D2 del ejemplo 4.7

De las figuras 4.24 y 4.25 se tiene que:
Ecuación de
transformación a
 r cos θ   x 

  

  
T ( r,θ ,z ) =  rsenθ  =  y 

  

  
 z  z

  


D1′ = ( r,θ )

′ 
D2 = ( r,θ )


8 ≤ r ≤ 4 ∧ 0≤θ ≤
0≤r≤ 8

∧ 0≤θ ≤

π

2

π

2

Como la función integrando es f ( x, y , z ) = xyz , entonces:

f T ( r,θ ,z )  = ( r cos θ )( rsenθ ) z = r 2 cos θ senθ z




154

Geraldine Cisneros

Entonces la integral, en coordenadas cilíndricas, queda como
sigue:
π

I = ∫∫∫ ( xyz ) dV = ∫ 2 ∫
B

0

π

+∫2∫
0

I =∫

π
2
0

∫

8
0

∫ (r
2r

r 3 (16 − r 2 )

4

2

8

π

I =∫2
0

2

r

4

∫ (r
4

8

2

r

cos θ senθ z ) r dzdrdθ +

cos θ senθ z ) r dzdrdθ
π

cos θ senθ drdθ + ∫ 2 ∫
0

8
0

r5
cos θ senθ drdθ
2

π
256
128
cos θ senθ dθ + ∫ 2
cos θ senθ dθ
0
3
3

I=

128 64
+
= 64
3
3

Entonces:
π

4

∫ ∫ ∫
2
0

8

4
r

π

r cos θ senθ z dzdrdθ + ∫ 2 ∫

8

3

0

0

∫

2r
r

r 3 cos θ senθ z dzdrdθ = 64

4.3.2 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS ESFÉRICAS
esféricas.

Otro cambio de variable ampliamente empleado en las integrales
triples consiste en cambiar las coordenadas del sistema
rectangular al sistema esférico.
Considere una integral triple

∫∫∫ f ( x, y,z ) dV ,
B

donde B es una

región tridimensional como la mostrada en la siguiente figura.


155

Geraldine Cisneros

z = z2 ( x, y )

z = z1 ( x, y )

B

Figura 4.26
Una región general B

Donde la región B puede escribirse de una manera sencilla si se
emplea una transformación T a coordenadas esféricas, definida

T : B′ ⊂

3

→B⊂

3

, viene dada por:

T ( ρ ,θ ,φ ) = ( ρ cos θ senφ , ρ senθ senφ , ρ cos φ ) = ( x, y,z )

(IV.45)

Entonces, la región B′ es:

B′ =

{( ρ ,θ ,φ ) ρ

1

≤ ρ ≤ ρ2

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ 2

∧ φ1 ≤ φ ≤ φ2

}

(IV.46)

Para emplear un cambio de variable en una integral triple, se debe
determinar el jacobiano de la transformación, entonces:
La
función
T
de
transformación
a
coordenadas
esféricas,
también se escribe como:
 ρ cosθ senφ   x 


  

  
T ( ρ ,θ ,φ ) =  ρ senθ senφ  =  y 

  

  
 ρ cos φ   z 

  

 ∂x
 ∂ρ

 ∂y
∂ ( x, y,z )
= det 
∂ ( ρ ,φ ,θ )
 ∂ρ
 ∂z

 ∂ρ


∂x
∂φ
∂y
∂φ
∂z
∂φ

∂x 
cos θ senφ
∂θ 



∂y 
 = det  senθ senφ
∂θ 


∂z 
 cos φ


∂θ 


ρ cos θ cos φ − ρ senθ senφ 
ρ senθ cos φ
− ρ senφ



ρ cos θ senφ 



0


∂ ( x, y,z )
= ( ρ 2 sen 2θ sen3φ ) + ( ρ 2 cos 2 θ cos 2 φ senφ )  +

∂ ( ρ ,φ ,θ ) 
−  − ( ρ 2 sen 2θ cos 2 φ senφ ) − ( ρ 2 cos 2 θ sen3φ ) 




156

Geraldine Cisneros

∂ ( x, y,z )
= ρ 2  sen3φ ( cos 2 θ + sen 2θ ) + cos 2 φ senφ ( cos 2 θ + sen 2θ ) 


∂ ( ρ ,φ ,θ )
∂ ( x, y,z )
= ρ 2 ( sen3φ + cos 2 φ senφ ) = ρ 2 senφ ( sen 2φ + cos 2 φ )
∂ ( ρ ,φ ,θ )
∂ ( x, y,z )
= ρ 2 senφ
∂ ( ρ ,φ ,θ )

(IV.47)

Entonces, el teorema de cambio de variable a coordenadas
esféricas en una integral triple queda enunciado como sigue:
TEOREMA: Cambio a coordenadas esféricas
integral triple
Sea

f:

3

→

en una

una función continua en una región

tridimensional B′ , definida como:

B′ =

{( ρ ,θ ,φ ) ρ

1

≤ ρ ≤ ρ2

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ 2

}

∧ φ1 ≤ φ ≤ φ2 , donde

0 ≤ θ 2 − θ1 < 2π y 0 ≤ φ2 − φ1 < π , entonces:

∫∫∫ f ( x, y, z ) dV = ∫∫∫ ( ρ cos θ senφ , ρ senθ senφ , ρ cos φ ) ρ
B′

B

2

senφ d ρ dφ dθ

(IV.48)

Existen también otras regiones más generales que se pueden
definir en coordenadas esféricas de la siguiente manera:

B′ =

{( ρ ,θ ,φ ) ρ (θ ,φ ) ≤ ρ ≤ ρ
1

2

(θ ,φ )

∧ θ1 ≤ θ ≤ θ 2

∧ φ1 ≤ φ ≤ φ2

}

(IV.49)

En ese caso, la integral triple queda como:
θ2

φ2

1

1

ρ 2 (θ ,φ )

∫∫∫ f ( x, y, z ) dV = ∫θ ∫φ ∫ ρ (θ φ ) ( ρ cos θ senφ , ρ senθ senφ , ρ cos φ ) ρ
B

1

,

2

senφ d ρ dφ dθ

(IV.50)


157

Geraldine Cisneros


EJEMPLO 4.8

Calcular mediante integrales triples en coordenadas esféricas, el
volumen comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1
y 4.
Solución:

El volumen pedido en
este ejercicio se planteó
en el ejemplo 3.17 del
capítulo 3; sin embargo,
nótese lo fácil que resulta
calcular dicho volumen
en coordenadas esféricas.

El sólido B , en coordenadas cartesianas está definido como:

B=

{( x, y,z )

}

1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16

Y su volumen es V = ∫∫∫ dV
B

En la figura 4.24 se muestra el sólido B , pero para poder
identificar los valores de ρ , en la figura 4.28 se retira la porción
del sólido que se encuentra en el primer y en el quinto en el
octante.
Valor de ρ a
la salida de B

ρ =4

Figura 4.27
Región tridimensional
B del ejemplo 4.8

φ =0

φ =π
Valor de ρ a
la entrada de B

B

ρ =1

Figura 4.28
Porción de la región tridimensional B del ejemplo 4.8

Para identificar los valores que toma θ a la entrada y salida de la
región B , generalmente se proyecta dicha región sobre el plano

xy ; sin embargo como en este ejemplo la región es sencilla, ya
que se obtienen dos círculos concéntricos, entonces, en
coordenadas esféricas la región tridimensional B es:


158

Geraldine Cisneros

B′ =

Recuerde que el volumen
entre
dos
esferas
concéntricas se puede
calcular como:

{( ρ ,θ ,φ ) 1 ≤ ρ ≤ 4

∧ 0 ≤ θ ≤ 2π

I = ∫∫∫ ( xyz ) dV = ∫

4
V = π ( R3 − r 3 )
3

B

donde r: radio interno
R: radio externo
Entonces:

I =∫

4
V = π ( 64 − 1) = 84π
3

π
0

∫

2π
0

0

2π

∫ ∫
0

4

1

}

ρ 2 senφ d ρ dθ dφ

π

21 senφ dθ dφ = ∫ 42π senφ dθ dφ = 84π
0

π

2π

0

0

∫ ∫ ∫

EJEMPLO 4.8

π

∧ 0≤φ ≤π

Resolver la integral triple

4
1

ρ 2 senφ d ρ dθ dφ = 84π

∫∫∫

B

xyzdV planteada en el ejemplo 4.6,

pero empleando coordenadas esféricas:
Solución:
En el ejemplo 2.5 se
resolvió
la
integral
empleando coordenadas
rectangulares, mientras
que en el ejemplo 4.6 se
empleó
coordenadas
cilíndricas.

La
función
T
de
transformación
a
coordenadas esféricas es:
 ρ cosθ senφ   x 

  

  
T ( ρ ,θ ,φ ) =  ρ senθ senφ  =  y 

  

  
 ρ cos φ   z 

  

Por otra parte,
definición, ρ ≥ 0

por

El sólido B , en coordenadas cartesianas está definido como:

B=

{( x, y,z ) x

2

}

+ y 2 + z 2 ≤ 4 , x 2 + y 2 ≥ 1, x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0

Transformando a coordenadas esféricas se tiene:

x2 + y 2 + z 2 = 4 ⇒ ρ = 2
x2 + y 2 = 1 ⇒

( ρ senφ cos θ )

2

+ ( ρ senφ senθ ) = 1
2

x 2 + y 2 = 1 ⇒ ρ 2 sen 2φ ( cos 2 θ + sen 2θ ) = 1 ⇒ ρ 2 sen 2φ = 1
x2 + y 2 = 1 ⇒ ρ 2 =

1
sen 2φ

⇒ ρ = csc φ

Buscando la intersección entre ρ = 4 y ρ = csc φ

 ρ =2
1

⇒ 2 = csc φ ⇒ 2 =

senφ
 ρ = csc φ



⇒ senφ =

1
2

159

Geraldine Cisneros
Recuerde que:

0 ≤φ <π

1 π
Luego: φ = arcsen   =
2 6
En la figura 4.29 se muestra la región B y se señalan los límites
de integración empleados en coordenadas esféricas.

Valor de ρ a
la salida de B

ρ =2

φ=

θ=

π
6

Valor de ρ a
la entrada de B

π

ρ = csc φ

2

B

φ=

π
2

Figura 4.29
θ =0

Figura 4.30
Proyección del sólido B
sobre el plano xy

Región

B del ejemplo 4.8

Entonces la región B′ es:

B′ = ( ρ ,θ ,φ )


csc φ ≤ ρ ≤ 4 ∧ 0 ≤ θ ≤

π
2

∧ 0≤φ ≤

π


2

Luego, la función integrando es f ( x, y,z ) = xyz . Al componer dicha
función con la transformación:
T ( ρ ,θ ,φ ) = ( ρ cos θ senφ , ρ senθ senφ , ρ cos φ )

Se tiene:

f T ( ρ ,θ ,φ )  = ( ρ cos θ senφ )( ρ senθ senφ )( ρ cos φ ) = ρ 3 cos θ senθ sen 2φ cos φ


Por lo tanto la integral triple es:


160

Geraldine Cisneros

π

π

I = ∫∫∫ ( xyz ) dV = ∫ 2 ∫ π2 ∫
B

0

π

π

I = ∫ 2 ∫ π2 ∫
0

π

6

π

I = ∫ 2 ∫ π2
0

6

6

2
csc φ

2

csc φ

(ρ

5

(ρ

3

cos θ senθ sen 2φ cos φ ) ρ 2 senφ d ρ dφ dθ

cos θ senθ sen3φ cos φ ) d ρ dφ dθ

1
sen3φ cos θ senθ cos φ ( 64 − csc 6 φ ) dφ dθ
6
π
9
9
I = ∫ 2 cos θ senθ dθ =
0 4
8

Finalmente:
π

π

2
0

2

∫ ∫π ∫ φ ( ρ

EJEMPLO 4.9

6

2

csc

5

cos θ senθ sen3φ cos φ ) d ρ dφ dθ =

9
8

Calcular el volumen del sólido B definido por las superficies:
x 2 + y 2 = 2 x , z = 0 y z = x 2 + y 2 , empleando:

a) Coordenadas cartesianas.
b) Un cambio de variable adecuado.
Solución:
El volumen de un sólido B se obtiene mediante la integral

∫∫∫

B

dV .

La superficie de ecuación x 2 + y 2 = 2 x puede escribirse como:

( x − 1)

2

+ y 2 = 1 , por lo cual dicha ecuación es una superficie

circular cilíndrica. La superficie z = 0 es un plano horizontal y la
superficie

z = x 2 + y 2 es un paraboloide. A continuación se

muestra la gráfica del sólido B .


161

Geraldine Cisneros


B

Figura 4.30
Sólido B del ejemplo 4.9

Luego para calcular el volumen de este sólido se debe seleccionar
el sistema de coordenadas a emplear:
a) En el sistema de coordenadas cartesianas:
La integral de volumen puede resolverse utilizando la integral
iterada

∫∫∫

B

dzdydx , por lo que se debe identificar los valores que

toma la variable z a la entrada y salida de dicho sólido. En la figura
4.31 se muestra el primer orden de integración.
Valor de z a
la salida de B

z = x2 + y2

B

Valor de z a
la entrada de B

z=0

Figura 4.31
Primer orden de integración en coordenadas cartesianas
para el sólido B del ejemplo 4.9


162

Geraldine Cisneros

Por lo tanto, el volumen se calcula como:
V = ∫∫

D

∫

x2 + y 2

0

dzdA

Donde D es la proyección del sólido B en el plano xy . Dicha
proyección se ilustra en la siguiente figura.
Valor de y a
la salida de D

y = 2 x − x2

D

Valor de y a
la entrada de D

y = − 2x − x2

Figura 4.32
Región

D del ejemplo 4.9

Por lo tanto la región bidimensional D está definida como:

D=

{( x, y )

0 ≤ x ≤ 2 ∧ − 2 x − x2 ≤ y ≤ 2 x − x2

}

Por lo cual:

V =∫

2
0

∫

2 x − x2

− 2 x− x

∫

2

x2 + y 2
0

dzdydx = ∫

2
0

∫

2 x − x2

− 2 x − x2

(x

2

+ y 2 )dydx

3
22
3

V = ∫  ( 2 x − x 2 ) 2 + 2 x 2 2 x − x 2 dx = π
0 3
2



2

2 x − x2

0

− 2 x − x2

∫ ∫

∫

x2 + y 2
0

3
dzdydx = π
2

b) El cambio de variable más adecuado para este ejercicio es
emplear el sistema de coordenadas cilíndricas, ya que una de las
superficies es un cilindro, luego las superficies en este sistema
son:


163

Geraldine Cisneros


La transformación es:
 r cos θ   x 

  

  
T ( r,θ ,z ) =  rsenθ  =  y 

  

  
 z  z

  
donde:

r 2 = x2 + y 2

⇒ r ( r − 2 cos θ ) = 0 , entonces:

x 2 + y 2 = 2 x ⇒ r 2 = 2r cos θ

x 2 + y 2 = 2 x ⇒ r = 2 cos θ
Para el paraboloide se tiene:

z = x2 + y 2

⇒ z = r2

En coordenadas cilíndricas la primera integración se realiza
respecto a la variable z, cuyo valor a la entrada del sólido es z = 0
y a la salida del sólido es z = r 2 , tal como se mostró en la figura
4.31.
Cuando se proyecta el sólido en el plano xy se obtiene el disco
mostrado en la figura 4.32; sin embargo dicha región debe
definirse en coordenadas polares.
Valor de r a
la salida de D

r = 2 cos θ

La

gráfica
de
r = 2 cos θ se obtiene
para θ ∈ [ 0,π ] .
Cuando

 π
θ ∈ 0, 
 2

D

se

obtiene
la
semicircunferencia
superior, mientras que
para θ ∈  π ,π  , el radio
2 



Valor de r a
la entrada de D

r =0

θ =0
θ =π

vector es negativo y por
lo tanto se genera la
semicircunferencia
inferior.

Figura 4.33
Región

D del ejemplo 4.9

Así, la región D en coordenadas polares es:

D′ =

{( r,θ )

0 ≤ r ≤ 2 cos θ

∧ 0 ≤θ ≤π

}

Luego el volumen en coordenadas polares es:
Observe que calcular el
volumen del sólido B
en
el
sistema
de
es mucho proceso más
corto y sencillo que en
coordenadas cartesianas.

V =∫

π
0

∫

2 cos θ
0

∫

r2
0

rdzdrdθ = ∫
π

2 cos θ

0

0

∫ ∫


π
0

∫

∫

r2
0

2 cos θ
0

π
3
r 3 drdθ = ∫ 4 cos 4 θ dθ = π
0
2

3
rdzdrdθ = π
2

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