Structuri discrete - Curs5: Calculul propozițional

1. Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
Structuri discrete (F.02.O.13)
Radu Dumbr˘veanu
a
Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti
a,
Facultatea de Stiinte Reale
,
,
Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a
a
¸
¸
Distribuire-ˆ
ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0)
¸
a
2013
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
1 / 36

2. Ce este (sau ce studiz˘) logica?
a
Logica poate fi definit˘ ca ¸tiint˘ a evalu˘rii argumentelor
a
s ¸a
a
(rationamentelor).
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
2 / 36

3. Ce este (sau ce studiz˘) logica?
a
Logica poate fi definit˘ ca ¸tiint˘ a evalu˘rii argumentelor
a
s ¸a
a
(rationamentelor).
,
Un argument, ˆ logic˘, este un sir de enunturi (sau judec˘ti) ˆ care
ın
a
a , ın
,
,
ultimul enunt, numit concluzie, rezult˘ din celelate enunturi, numite
a
,
,
premize.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
2 / 36

4. Ce este (sau ce studiz˘) logica?
a
Exemplu (de argument)
Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este muritor.
¸
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
3 / 36

5. Ce este (sau ce studiz˘) logica?
a
Exemplu (de argument)
Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este muritor.
¸
Exemplu (de argument)
Z˘pada este alb˘. Alb este adjectiv. Deci z˘pada este adjectiv.
a
a
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
3 / 36

6. Ce este (sau ce studiz˘) logica?
a
Exemplu (de argument)
Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este muritor.
¸
Exemplu (de argument)
Z˘pada este alb˘. Alb este adjectiv. Deci z˘pada este adjectiv.
a
a
a
[Deci ]Argumentele (rationamentele) pot fi adev˘rate sau false (valide sau
a
,
invalide, corecte sau incorecte ...).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
3 / 36

7. Ce este (sau ce studiz˘) logica?
a
Exemplu (de argument)
Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este muritor.
¸
Exemplu (de argument)
Z˘pada este alb˘. Alb este adjectiv. Deci z˘pada este adjectiv.
a
a
a
[Deci ]Argumentele (rationamentele) pot fi adev˘rate sau false (valide sau
a
,
invalide, corecte sau incorecte ...).
[Iar ]Logica ne ofer˘ cadrul teoretic pentru a evalua corectitudinea
a
argumentelor.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
3 / 36

8. Logica formal˘
a
ˆ literatura de specialitate deseori este utilizeaz˘ sinonimul “logica
In
a
formal˘”.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
4 / 36

9. Logica formal˘
a
ˆ literatura de specialitate deseori este utilizeaz˘ sinonimul “logica
In
a
formal˘”.
a
a ıntrucˆ se face abstractie de continutul
ıt
Logica este o stiint˘ formal˘ ˆ
,
,
,
,a
rationamentelor; acestea sˆ cercetate ˆ general.
ınt
ın
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
4 / 36

10. Logica formal˘
a
ˆ literatura de specialitate deseori este utilizeaz˘ sinonimul “logica
In
a
formal˘”.
a
a ıntrucˆ se face abstractie de continutul
ıt
Logica este o stiint˘ formal˘ ˆ
,
,
,
,a
rationamentelor; acestea sˆ cercetate ˆ general.
ınt
ın
Exemplu
x este y. y este z. Deci x este z.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
4 / 36

11. Logica formal˘
a
ˆ literatura de specialitate deseori este utilizeaz˘ sinonimul “logica
In
a
formal˘”.
a
a ıntrucˆ se face abstractie de continutul
ıt
Logica este o stiint˘ formal˘ ˆ
,
,
,
,a
rationamentelor; acestea sˆ cercetate ˆ general.
ınt
ın
Exemplu
x este y. y este z. Deci x este z.
Dac˘ acest argument este adev˘rat, este adev˘rat si argumentul cu
a
a
a
,
Socrate.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
4 / 36

12. Propozitii
,
Definitie
,
Se numeste propozitie un enunt al limbajului natural sau al unui limbaj
¸
¸
simbolic despre care se poate spune c˘ este adev˘rat sau fals.
a
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
5 / 36

13. Propozitii
,
Definitie
,
Se numeste propozitie un enunt al limbajului natural sau al unui limbaj
¸
¸
simbolic despre care se poate spune c˘ este adev˘rat sau fals.
a
a
“Vlad Tepes este fiul predecesorului s˘u”;
a
,
,
“«S˘rmanul Dionis» este o carte scris˘ de Mircea Eliade”;
a
a
“Z˘pada este alb˘”;
a
a
“3 < 7”;
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
5 / 36

14. Propozitii
,
Exprimˇrile care nu sunt propozitii includ adesea ˆ
a
ıntrebˇri si comenzi –
a
acestea nu pot fi adevˇrate sau false, desi pot fi inteligibile sau absurde.
a
[G.M.Panaitescu]
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
6 / 36

15. Propozitii
,
Exprimˇrile care nu sunt propozitii includ adesea ˆ
a
ıntrebˇri si comenzi –
a
acestea nu pot fi adevˇrate sau false, desi pot fi inteligibile sau absurde.
a
[G.M.Panaitescu]
“Stinge lumina.”;
“Tu esti Mircea?”;
,
“Esti catolic?”;
,
“x:=2” (Limbajul Pascal).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
6 / 36

16. Valoare de adev˘r a unei propozitii
a
,
Este foarte important a observa cˇ fiecare propozitie este adevˇratˇ sau
a
a a
falsˇ ˆ raport cu o lume posibilˇ (sau universul discursului).
a ın
a
[G.M.Panaitescu]
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
7 / 36

17. Valoare de adev˘r a unei propozitii
a
,
Este foarte important a observa cˇ fiecare propozitie este adevˇratˇ sau
a
a a
falsˇ ˆ raport cu o lume posibilˇ (sau universul discursului).
a ın
a
[G.M.Panaitescu]
aa
De exemplu propozitia “orice fiint˘ vie nu poate exista mult timp f˘r˘
,
,a
ap˘” este adev˘rat˘ ˆ lumea nostr˘; cine stie cum stau lucrurile ˆ alte
a
a a ın
a
ın
,
sisteme solare.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
7 / 36

18. Valoare de adev˘r a unei propozitii
a
,
Este foarte important a observa cˇ fiecare propozitie este adevˇratˇ sau
a
a a
falsˇ ˆ raport cu o lume posibilˇ (sau universul discursului).
a ın
a
[G.M.Panaitescu]
aa
De exemplu propozitia “orice fiint˘ vie nu poate exista mult timp f˘r˘
,
,a
ap˘” este adev˘rat˘ ˆ lumea nostr˘; cine stie cum stau lucrurile ˆ alte
a
a a ın
a
ın
,
sisteme solare.
Sau, de exemplu, afirmatia “printr-un punct la o dreapt˘ putem duce doar
a
,
o singur˘ paralel˘” este adev˘rat˘ doar ˆ geometria lui Euclid, dar nu si ˆ
a
a
a a
ın
, ın
geometriile Bolyai-Lobacevski si Riemann.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
7 / 36

19. Notatii
,
Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r, s...) pentru a nota
propozitiile.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
8 / 36

20. Notatii
,
Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r, s...) pentru a nota
propozitiile.
,
Valorile de adev˘r le vom nota prin “1” pentru adev˘r si “0” pentru fals.
a
a ,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
8 / 36

21. Notatii
,
Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r, s...) pentru a nota
propozitiile.
,
Valorile de adev˘r le vom nota prin “1” pentru adev˘r si “0” pentru fals.
a
a ,
Simbolul “:” imediat dup˘ simbolul unei propozitii va fi utilizat cu sens de
a
,
a explica care este continutul propozitiei.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
8 / 36

22. Notatii
,
Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r, s...) pentru a nota
propozitiile.
,
Valorile de adev˘r le vom nota prin “1” pentru adev˘r si “0” pentru fals.
a
a ,
Simbolul “:” imediat dup˘ simbolul unei propozitii va fi utilizat cu sens de
a
,
a explica care este continutul propozitiei.
,
,
p : “Londra este capitala Marii Britanii”.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
8 / 36

23. Conectori/operatori logici
Conector unar:
Negatia.
,
Conectori binari:
Conjuctia;
,
Disjunctia;
,
Echivalenta;
,
Disjunctia exclusiv˘;
a
,
Conectorul lui Sheffer;
Conectorul lui Pierce.
Implicatia;
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
9 / 36

24. Conectori logici: Negatia
,
p
0
1
¬p
1
0
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
10 / 36

25. Conectori logici: Negatia
,
p
0
1
¬p
1
0
Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
10 / 36

26. Conectori logici: Negatia
,
p
0
1
¬p
1
0
Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
ˆ Pascal este operatorul “NOT”.
In
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
10 / 36

27. Conectori logici: Negatia
,
p
0
1
¬p
1
0
Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
ˆ Pascal este operatorul “NOT”.
In
ˆ C++ si Java este operatorul “!”.
In
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
10 / 36

28. Conectori logici: Negatia
,
p
0
1
¬p
1
0
Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
ˆ Pascal este operatorul “NOT”.
In
ˆ C++ si Java este operatorul “!”.
In
,
¬p : “Cursul «Structuri discrete» nu este destinat studentilor de la
,
specialit˘tile socioumane.
a,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
10 / 36

29. Conectori logici: Negatia
,
p
0
1
¬p
1
0
Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
ˆ Pascal este operatorul “NOT”.
In
ˆ C++ si Java este operatorul “!”.
In
,
¬p : “Cursul «Structuri discrete» nu este destinat studentilor de la
,
specialit˘tile socioumane.
a,
p : ???
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
10 / 36

30. Conectori logici: Conjuctia
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∧q
0
0
0
1
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
11 / 36

31. Conectori logici: Conjuctia
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∧q
0
0
0
1
Posibile simboluri: p AND q, p&q.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
11 / 36

32. Conectori logici: Conjuctia
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∧q
0
0
0
1
Posibile simboluri: p AND q, p&q.
ˆ Pascal este operatorul “AND”.
In
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
11 / 36

33. Conectori logici: Conjuctia
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∧q
0
0
0
1
Posibile simboluri: p AND q, p&q.
ˆ Pascal este operatorul “AND”.
In
ˆ C++ si Java este operatorul “&&”.
In
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
11 / 36

34. Conectori logici: Conjuctia
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∧q
0
0
0
1
Posibile simboluri: p AND q, p&q.
ˆ Pascal este operatorul “AND”.
In
ˆ C++ si Java este operatorul “&&”.
In
,
p ∧ q : “Orele de curs la SD sˆ Luni si Joi”
ınt
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
11 / 36

35. Conectori logici: Conjuctia
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∧q
0
0
0
1
Posibile simboluri: p AND q, p&q.
ˆ Pascal este operatorul “AND”.
In
ˆ C++ si Java este operatorul “&&”.
In
,
p ∧ q : “Orele de curs la SD sˆ Luni si Joi”
ınt
,
p : ???; q : ???
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
11 / 36

36. Conectori logici: Disjunctia
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∨q
0
1
1
1
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
12 / 36

37. Conectori logici: Disjunctia
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∨q
0
1
1
1
Posibile simboluri: p OR q, p + q.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
12 / 36

38. Conectori logici: Disjunctia
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∨q
0
1
1
1
Posibile simboluri: p OR q, p + q.
ˆ Pascal este operatorul “OR”.
In
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
12 / 36

39. Conectori logici: Disjunctia
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∨q
0
1
1
1
Posibile simboluri: p OR q, p + q.
ˆ Pascal este operatorul “OR”.
In
ˆ C++ si Java este operatorul “||”.
In
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
12 / 36

40. Conectori logici: Disjunctia
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∨q
0
1
1
1
Posibile simboluri: p OR q, p + q.
ˆ Pascal este operatorul “OR”.
In
ˆ C++ si Java este operatorul “||”.
In
,
p ∨ q : “Pentru a ridica diploma de absolvent aveti nevoie de buletinul de
,
identitate sau de permisul de conducere”
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
12 / 36

41. Conectori logici: Disjunctia
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∨q
0
1
1
1
Posibile simboluri: p OR q, p + q.
ˆ Pascal este operatorul “OR”.
In
ˆ C++ si Java este operatorul “||”.
In
,
p ∨ q : “Pentru a ridica diploma de absolvent aveti nevoie de buletinul de
,
identitate sau de permisul de conducere”
p : ???; q : ???
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
12 / 36

42. Conectori logici: Echivalenta
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p↔q
1
0
0
1
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
13 / 36

43. Conectori logici: Echivalenta
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p↔q
1
0
0
1
ˆ Pascal este operatorul “=”.
In
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
13 / 36

44. Conectori logici: Echivalenta
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p↔q
1
0
0
1
ˆ Pascal este operatorul “=”.
In
ˆ C++ si Java este operatorul “==”.
In
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
13 / 36

45. Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘
a
,
Este negatia echivalentei.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
14 / 36

46. Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘
a
,
Este negatia echivalentei.
,
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p⊕q
0
1
1
0
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
14 / 36

47. Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘
a
,
Este negatia echivalentei.
,
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p⊕q
0
1
1
0
ˆ Pascal: “XOR”.
In
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
14 / 36

48. Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘
a
,
Este negatia echivalentei.
,
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p⊕q
0
1
1
0
ˆ Pascal: “XOR”.
In
XOR - eXclusive OR
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
14 / 36

49. Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘
a
,
Este negatia echivalentei.
,
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p⊕q
0
1
1
0
ˆ Pascal: “XOR”.
In
XOR - eXclusive OR
ˆ Java: “ˆ”.
In
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
14 / 36

50. Conectori logici: Disjunctia exclusiv˘
a
,
Este negatia echivalentei.
,
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p⊕q
0
1
1
0
ˆ Pascal: “XOR”.
In
XOR - eXclusive OR
ˆ Java: “ˆ”.
In
ˆ C++ “ˆ” este disjunctia exclusiv˘ la nivel de bit.
In
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
14 / 36

51. Conectori logici: conectorul lui Pierce
Este negatia disjunctiei.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
15 / 36

52. Conectori logici: conectorul lui Pierce
Este negatia disjunctiei.
,
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p↓q
1
0
0
0
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
15 / 36

53. Conectori logici: conectorul lui Pierce
Este negatia disjunctiei.
,
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p↓q
1
0
0
0
Simboluri: p NOR q
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
15 / 36

54. Conectori logici: conectorul lui Pierce
Este negatia disjunctiei.
,
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p↓q
1
0
0
0
Simboluri: p NOR q
NOR - Not OR
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
15 / 36

55. Conectori logici: conectorul lui Sheffer
Este negatia conjunctiei.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
16 / 36

56. Conectori logici: conectorul lui Sheffer
Este negatia conjunctiei.
,
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p|q
1
1
1
0
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
16 / 36

57. Conectori logici: conectorul lui Sheffer
Este negatia conjunctiei.
,
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p|q
1
1
1
0
Simboluri: “↑”, p NAND q
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
16 / 36

58. Conectori logici: conectorul lui Sheffer
Este negatia conjunctiei.
,
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p|q
1
1
1
0
Simboluri: “↑”, p NAND q
NAND - Not AND
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
16 / 36

59. Conectori logici: Implicatia
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p→q
1
1
0
1
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
17 / 36

60. Conectori logici: Implicatia
,
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p→q
1
1
0
1
Analogie: p → q este adev˘rat˘ dac˘ numai dac˘ p ≤ q
a a
a
a
p → q : “Dac˘ p atunci q”
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
17 / 36

61. Implicatia
,
Implicatia este mai putin intuitiva decˆ ceilalti conectori logici.
ıt
,
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
18 / 36

62. Implicatia
,
Implicatia este mai putin intuitiva decˆ ceilalti conectori logici.
ıt
,
,
,
S˘ consider˘m dou˘ calculatoare, A si B, izolate de Internet si de orice
a
a
a
,
,
retea local˘. Ele sˆ conectate doar ˆ
a
ınt
ıntre ele. Se stie c˘ dac˘ A devine
a
a
,
,
infectat de virusi de calculator atunci ˆ scurt timp si B va fi infectat.
ın
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
18 / 36

63. Implicatia
,
Implicatia este mai putin intuitiva decˆ ceilalti conectori logici.
ıt
,
,
,
S˘ consider˘m dou˘ calculatoare, A si B, izolate de Internet si de orice
a
a
a
,
,
retea local˘. Ele sˆ conectate doar ˆ
a
ınt
ıntre ele. Se stie c˘ dac˘ A devine
a
a
,
,
infectat de virusi de calculator atunci ˆ scurt timp si B va fi infectat.
ın
,
,
Cazuri:
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
18 / 36

64. Implicatia
,
Implicatia este mai putin intuitiva decˆ ceilalti conectori logici.
ıt
,
,
,
S˘ consider˘m dou˘ calculatoare, A si B, izolate de Internet si de orice
a
a
a
,
,
retea local˘. Ele sˆ conectate doar ˆ
a
ınt
ıntre ele. Se stie c˘ dac˘ A devine
a
a
,
,
infectat de virusi de calculator atunci ˆ scurt timp si B va fi infectat.
ın
,
,
Cazuri:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
A
A
A
A
nu este infectat
nu este infectat
este infectat
este infectat
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
B
B
B
B
nu este infectat
este infectat
nu este infectat
este infectat
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
p→q
Adev˘rat
a
Adev˘rat
a
Fals
Adev˘rat
a
2013
18 / 36

65. Implicatia: Conditii suficiente si necesare
,
,
,
Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie.
a
a ,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
19 / 36

66. Implicatia: Conditii suficiente si necesare
,
,
,
Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie.
a
a ,
,
Concluzia se mai numeste conditie necesar˘ pentru ipotez˘.
a
a
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
19 / 36

67. Implicatia: Conditii suficiente si necesare
,
,
,
Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie.
a
a ,
,
Concluzia se mai numeste conditie necesar˘ pentru ipotez˘.
a
a
,
,
Ipoteza la rˆ
ındul s˘u se numeste conditie suficient˘ pentru concluzie.
a
a
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
19 / 36

68. Implicatia: Conditii suficiente si necesare
,
,
,
Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie.
a
a ,
,
Concluzia se mai numeste conditie necesar˘ pentru ipotez˘.
a
a
,
,
Ipoteza la rˆ
ındul s˘u se numeste conditie suficient˘ pentru concluzie.
a
a
,
,
Ele sˆ legate ˆ felul urm˘tor:
ınt
ın
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
19 / 36

69. Implicatia: Conditii suficiente si necesare
,
,
,
Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie.
a
a ,
,
Concluzia se mai numeste conditie necesar˘ pentru ipotez˘.
a
a
,
,
Ipoteza la rˆ
ındul s˘u se numeste conditie suficient˘ pentru concluzie.
a
a
,
,
Ele sˆ legate ˆ felul urm˘tor:
ınt
ın
a
Dac˘ nu se ˆ
a
ındeplineste conditia necesar˘ atunci nu-i ipoteza;
a
,
,
Dac˘ este ipoteza atunci este concluzia.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
19 / 36

70. Implicatia: Conditii suficiente si necesare
,
,
,
Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie.
a
a ,
,
Concluzia se mai numeste conditie necesar˘ pentru ipotez˘.
a
a
,
,
Ipoteza la rˆ
ındul s˘u se numeste conditie suficient˘ pentru concluzie.
a
a
,
,
Ele sˆ legate ˆ felul urm˘tor:
ınt
ın
a
Dac˘ nu se ˆ
a
ındeplineste conditia necesar˘ atunci nu-i ipoteza;
a
,
,
Dac˘ este ipoteza atunci este concluzia.
a
Exemplu
Din expresia “Nu-i fum f˘r˘ foc” reiese c˘ fumul este o conditie necesar˘
aa
a
a
,
pentru foc.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
19 / 36

71. Implicatia: Conditii suficiente si necesare
,
,
,
Implicatia (p → q) const˘ din premis˘ si concluzie.
a
a ,
,
Concluzia se mai numeste conditie necesar˘ pentru ipotez˘.
a
a
,
,
Ipoteza la rˆ
ındul s˘u se numeste conditie suficient˘ pentru concluzie.
a
a
,
,
Ele sˆ legate ˆ felul urm˘tor:
ınt
ın
a
Dac˘ nu se ˆ
a
ındeplineste conditia necesar˘ atunci nu-i ipoteza;
a
,
,
Dac˘ este ipoteza atunci este concluzia.
a
Exemplu
Din expresia “Nu-i fum f˘r˘ foc” reiese c˘ fumul este o conditie necesar˘
aa
a
a
,
pentru foc.
Si de aici reiese c˘ “Dac˘ este foc atunci este fum”.
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
19 / 36

72. Conectori logici
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∧q
0
0
0
1
p∨q
0
1
1
1
p↔q
1
0
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p↑q
1
1
1
0
p↓q
1
0
0
0
p⊕q
0
1
1
0
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
20 / 36

73. Conectori logici ˆ cadrul limbajului natural
ın
Limbaj natural
non p; nu p
p este fals
p si q; simultan
,
p sau q
fie p fie q
p dac˘ si numa dac˘ q;
a ,
a
necesar si suficient
,
p implic˘ q
a
dac˘ p, atunci q
a
p este necesar pentru q
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conector logic
negatia
,
Expresia logic˘
a
p sau ¬p
conjunctie
,
disjunctie
,
p∧q
p∨q
echivalent˘
a
p↔q
implicatie
,
p→q
implicatie
,
q→p
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
21 / 36

74. Negatie corect˘ (absolut˘)
a
a
,
Enunt: LibreOffice este un program liber si gratuit.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
22 / 36

75. Negatie corect˘ (absolut˘)
a
a
,
Enunt: LibreOffice este un program liber si gratuit.
,
,
Negatie incorect˘: LibreOffice este un program neliber si contra cost.
a
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
22 / 36

76. Negatie corect˘ (absolut˘)
a
a
,
Enunt: LibreOffice este un program liber si gratuit.
,
,
Negatie incorect˘: LibreOffice este un program neliber si contra cost.
a
,
,
Legile lui DeMorgan:
¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q)
¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q)
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
22 / 36

77. Negatie corect˘ (absolut˘)
a
a
,
Enunt: LibreOffice este un program liber si gratuit.
,
,
Negatie incorect˘: LibreOffice este un program neliber si contra cost.
a
,
,
Legile lui DeMorgan:
¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q)
¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q)
Negatie corect˘: LibreOffice este un program neliber sau contra cost.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
22 / 36

78. Ierarhia conectorilor logici
Lista conectorilor logici ˆ ordinea descresterii priorit˘tii: ¬, ∧, ∨, →, ↔.
ın
a,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
23 / 36

79. Ierarhia conectorilor logici
Lista conectorilor logici ˆ ordinea descresterii priorit˘tii: ¬, ∧, ∨, →, ↔.
ın
a,
,
Astfel formula
p ∨ q ∧ ¬r ↔ p → q
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
23 / 36

80. Ierarhia conectorilor logici
Lista conectorilor logici ˆ ordinea descresterii priorit˘tii: ¬, ∧, ∨, →, ↔.
ın
a,
,
Astfel formula
p ∨ q ∧ ¬r ↔ p → q
este echivalent˘ cu
a
(p ∨ (q ∧ (¬r))) ↔ (p → q)
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
23 / 36

81. Aplicatii ale conectorilor logici
,
Filtrarea rezultatelor c˘ut˘rilor (Google, MS Access, SQL etc);
a a
Expresii logice ˆ algoritmi.
ın
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
24 / 36

82. Formule propozitionale
,
Orice propozitie obtinut˘ din alte propozitii prin intermediul conectorilor
a
,
,
,
logici se numeste formul˘ propozitional˘.
a
a
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
25 / 36

83. Formule propozitionale
,
Orice propozitie obtinut˘ din alte propozitii prin intermediul conectorilor
a
,
,
,
logici se numeste formul˘ propozitional˘.
a
a
,
,
Ramura logicii care se ocupa cu formule propozitionale, operatiile cu ele
,
,
etc. se numeste “logica propozitiilor” sau “calculul propozitional”.
,
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
25 / 36

84. Tautologii
O tautologie este o expresie care ˆ
ıntotdeauna este adev˘rat˘.
a a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
26 / 36

85. Tautologii
O tautologie este o expresie care ˆ
ıntotdeauna este adev˘rat˘.
a a
De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p) → q.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
26 / 36

86. Tautologii
O tautologie este o expresie care ˆ
ıntotdeauna este adev˘rat˘.
a a
De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p) → q.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬p
1
1
0
0
p ∨ ¬p
1
1
1
1
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
26 / 36

87. Tautologii
O tautologie este o expresie care ˆ
ıntotdeauna este adev˘rat˘.
a a
De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p) → q.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬p
1
1
0
0
p ∨ ¬p
1
1
1
1
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬p
1
1
0
0
p ∧ ¬p
0
0
0
0
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
(p ∧ ¬p) → q
1
1
1
1
2013
26 / 36

88. Tautologii: Notatii
,
p⇔qˆ
ınseamn˘ c˘ p ↔ q este o tautologie
a a
p⇒qˆ
ınseamn˘ c˘ p → q este o tautologie
a a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
27 / 36

89. Identit˘ti remarcabile
a,
Comutativitatea
p∧q ≡q∧p
p∨q ≡q∨p
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
28 / 36

90. Identit˘ti remarcabile
a,
Comutativitatea
p∧q ≡q∧p
p∨q ≡q∨p
Asociativitatea
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
28 / 36

91. Identit˘ti remarcabile
a,
Comutativitatea
p∧q ≡q∧p
p∨q ≡q∨p
Asociativitatea
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
Distributivitatea
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
28 / 36

92. Identit˘ti remarcabile
a,
Regulile lui De Morgan
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
29 / 36

93. Identit˘ti remarcabile
a,
Regulile lui De Morgan
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Absorbtia
,
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
29 / 36

94. Identit˘ti remarcabile
a,
Regulile lui De Morgan
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Absorbtia
,
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
Idempotenta
,
p∧p ≡p
p∨p ≡p
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
29 / 36

95. Identit˘ti remarcabile
a,
p∧0≡0
p∨0≡p
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
30 / 36

96. Identit˘ti remarcabile
a,
p∧0≡0
p∨0≡p
p∧1≡p
p∨1≡1
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
30 / 36

97. Problem˘ (logic˘): Pentru sau anti colonizare?
a
a
Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor
a
a
a
a
a
misc˘rii contra luptei ˆ
¸ a
ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘
a
ın
a
de ani.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
31 / 36

98. Problem˘ (logic˘): Pentru sau anti colonizare?
a
a
Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor
a
a
a
a
a
misc˘rii contra luptei ˆ
¸ a
ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘
a
ın
a
de ani.
Care era atitudinea lui Aurel ˆ privinta coloniz˘rii altor planete?
ın
¸
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
31 / 36

99. Problem˘ (logic˘): Pentru sau anti colonizare?
a
a
Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor
a
a
a
a
a
misc˘rii contra luptei ˆ
¸ a
ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘
a
ın
a
de ani.
Care era atitudinea lui Aurel ˆ privinta coloniz˘rii altor planete?
ın
¸
a
[http://www.logicus.ro/index.php/rationament/
355-pentru-sau-anti-colonizare, 2.01.2013]
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
31 / 36

100. Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”
a
a
a
a
a
Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor
misc˘rii contra luptei ˆ
¸ a
ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘
a
ın
a
de ani.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
32 / 36

101. Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”
a
a
a
a
a
Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor
misc˘rii contra luptei ˆ
¸ a
ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘
a
ın
a
de ani.
¬¬¬¬¬¬¬ “coloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ de ani”.
a
ın
a
7
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
32 / 36

102. Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”
a
a
a
a
a
Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor
misc˘rii contra luptei ˆ
¸ a
ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘
a
ın
a
de ani.
¬¬¬¬¬¬¬ “coloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ de ani”.
a
ın
a
7
Un num˘r impar de negatii se reduce la o singur˘ negatie.
a
a
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
32 / 36

103. Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”
a
a
a
a
a
Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor
misc˘rii contra luptei ˆ
¸ a
ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘
a
ın
a
de ani.
¬¬¬¬¬¬¬ “coloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ de ani”.
a
ın
a
7
Un num˘r impar de negatii se reduce la o singur˘ negatie.
a
a
,
,
Respectiv ˆ
ıntreaga expresie “Aurel ... ” se reduce la “nu coloniz˘rii altor
a
planete ˆ viitoarea sut˘ de ani”.
ın
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
32 / 36

104. Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”
a
a
a
a
a
Aurel nu era de p˘rere c˘ nu trebuia s˘ se opun˘ din r˘sputeri adversarilor
misc˘rii contra luptei ˆ
¸ a
ımpotriva necoloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘
a
ın
a
de ani.
¬¬¬¬¬¬¬ “coloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘ de ani”.
a
ın
a
7
Un num˘r impar de negatii se reduce la o singur˘ negatie.
a
a
,
,
Respectiv ˆ
ıntreaga expresie “Aurel ... ” se reduce la “nu coloniz˘rii altor
a
planete ˆ viitoarea sut˘ de ani”.
ın
a
Adic˘ Aurel este ˆ
a
ımpotriva coloniz˘rii altor planete ˆ viitoarea sut˘
a
ın
a
de ani.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
32 / 36

105. Problem˘ (logic˘): Dou˘ auditorii
a
a
a
ˆ
Intr-o ¸coal˘ nou˘, ˆ fiecare dintre dou˘ auditorii libere poate s˘ se afle
s
a
a ın
a
a
Laboratorul de Fizic˘” sau Cabinetul de Informatic˘”. Pe usile
a
a
¸
”
”
auditoriilor a fost instalat˘ cˆte o pl˘cut˘ glumeat˘: pe prima us˘, pl˘cuta
a a
a ¸a
¸a
¸a a ¸
cu inscriptia Cel putin ˆ una din aceste dou˘ auditorii este plasat
¸
¸ ın
a
”
Cabinetul de Informatic˘”; pe a doua us˘, Laboratorul de Fizic˘ se afl˘ ˆ
a
¸a
a
a ın
”
ˆ
alt auditoriu”. Intre timp, apare o inspectie din exterior, care cunoaste doar
¸
¸
c˘ inscriptiile de pe pl˘cute sunt sau ambele adev˘rate, sau ambele false.
a
¸
a ¸
a
V˘ propunem s˘-l ajutati pe inspector s˘ g˘seasc˘, pe cale logic˘, unde
a
a
¸
a a
a
a
este Cabinetul de Informatic˘”.
a
”
[http://www.agir.ro/buletine/249.pdf, 2.01.2013]
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
33 / 36

106. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”
a
p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
34 / 36

107. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”
a
p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
34 / 36

108. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”
a
p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
¬p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘”.
In
a
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
34 / 36

109. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”
a
p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
¬p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘”.
In
a
a
¬q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘”.
In
a
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
34 / 36

110. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”
a
p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
¬p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘”.
In
a
a
¬q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘”.
In
a
a
Afirmatiei de pe pl˘cuta unui auditoriu (primului) ˆ corespunde expresia
¸
a ¸
ıi
logic˘: p ∨ q.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
34 / 36

111. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”
a
p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘”.
In
a
a
¬p : “ˆ primul auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘”.
In
a
a
¬q : “ˆ al doilea auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘”.
In
a
a
Afirmatiei de pe pl˘cuta unui auditoriu (primului) ˆ corespunde expresia
¸
a ¸
ıi
logic˘: p ∨ q.
a
Afirmatiei de pe pl˘cuta celuilalt (al doilea) ˆ corespunde expresia logic˘:
¸
a ¸
ıi
a
¬p.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
34 / 36

112. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”; Continuare
a
Faptul c˘ inscriptiile de pe pl˘cute sunt sau ambele adev˘rate, sau ambele
a
¸
a ¸
a
false ˆ
ınseamn˘ c˘: p ∨ q ↔ ¬p.
a a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
35 / 36

113. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”; Continuare
a
Faptul c˘ inscriptiile de pe pl˘cute sunt sau ambele adev˘rate, sau ambele
a
¸
a ¸
a
false ˆ
ınseamn˘ c˘: p ∨ q ↔ ¬p.
a a
p
0
0
1
1
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
q
0
1
0
1
p∨q
0
1
1
1
¬p
1
1
0
0
p ∨ q ↔ ¬p
0
1
0
0
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
35 / 36

114. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”; Continuare
a
Faptul c˘ inscriptiile de pe pl˘cute sunt sau ambele adev˘rate, sau ambele
a
¸
a ¸
a
false ˆ
ınseamn˘ c˘: p ∨ q ↔ ¬p.
a a
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∨q
0
1
1
1
¬p
1
1
0
0
p ∨ q ↔ ¬p
0
1
0
0
Unicul caz cˆ echivalenta este adev˘rat˘ este atunci cˆ p este 0 si q ınd
a a
ınd
,
1.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
35 / 36

115. Rezolvarea problemei logice “Dou˘ auditorii”; Continuare
a
Faptul c˘ inscriptiile de pe pl˘cute sunt sau ambele adev˘rate, sau ambele
a
¸
a ¸
a
false ˆ
ınseamn˘ c˘: p ∨ q ↔ ¬p.
a a
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∨q
0
1
1
1
¬p
1
1
0
0
p ∨ q ↔ ¬p
0
1
0
0
Unicul caz cˆ echivalenta este adev˘rat˘ este atunci cˆ p este 0 si q ınd
a a
ınd
,
1.
Astfel, ˆ primul auditoriu se afl˘ Laboratorul de Fizic˘, iar ˆ al
ın
a
a
ın
doilea auditoriu se afl˘ Cabinetul de Informatic˘.
a
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
35 / 36

116. Leg˘turi utile
a
List of logic symbols, articol de pe Wikipedia, accesibil la adresa
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_logic_symbols, consultat˘
a
la 2.01.2013.
Logical connective, articol de pe Wikipedia, accesibil la adresa
http://en.wikipedia.org/wiki/Logical_connective, consultat˘ la
a
2.01.2013.
A
The Comprehensive LTEXSymbol List, accesibil la adresa
http://www.tex.ac.uk/tex-archive/info/symbols/
comprehensive/symbols-a4.pdf, consultat˘ la 2.01.2013.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
36 / 36

117. Basic logic, accesibil la adresa
http://philosophy.hku.hk/think/logic/, consultat˘ la 2.01.2013.
a
Probleme de logic˘, accesibil la adresa http://www.invatasingur.ro/
a
logica/index.php/Pagina_principal%C4%83, consultat˘ la 2.01.2013.
a
Eating at Quonk: A tough puzzle, accesibil la adresa
http://www.cs4fn.org/quonk.html, consultat˘ la 2.01.2013.
a
Mihai Jalobeanu, Note la cursul de Logic˘ Computational˘, accesibil la
a
¸
a
adresa
http://www.itim-cj.ro/˜jalobean/Cursuri/LogComp/note.html,
consultat˘ la 2.01.2013.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Logic˘ si calculul propozitional
a ,
,
2013
36 / 36