1. An´lisis de Funciones de Variable Compleja
a
Ing. Juan Sacerdoti
Facultad de Ingenier´
ıa
Departamento de Matem´tica
a
Universidad de Buenos Aires
2005
V 1.011
1
Agradecemos al Sr. Alejandro Quadrini por la transcripci´n de este documento.
o

2. 2

3. ´
Indice general
1. N´ meros Complejos
u 9
1.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 9
1.2. Igualdad de n´ meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 10
1.3. Estructuraci´n de C como cuerpo abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 10
1.4. Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Estructuraci´n de C como estructura vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 13
1.6. Estructuraci´n de C como estructura de espacio m´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e 14
1.6.1. Propiedades generales de la funci´n distancia en C . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 14
1.6.2. Notaci´n para la funci´n distancia sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o 15
1.6.3. M´dulo de z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 16
1.7. Estructuraci´n de C como espacio normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 17
1.8. Forma bin´mica de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 18
1.8.1. Isomorfismos entre estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.2. Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda componente
nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8.3. Forma bin´mica de los n´ meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o u 20
1.9. Representaci´n geom´trica de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e 22
1.10. Forma Polar de un N´ mero Complejo. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 23
1.10.1. Forma Polar de un N´ mero Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 23
1.10.2. Igualdad en forma polar. Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.3. Producto en forma polar. Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.4. Potencia en forma polar. Radicaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 27
1.10.5. Interpretaci´n geom´trica de las operaciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . .
o e 28
1.11. Forma exponencial de un n´ mero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 29
1.11.1. Expresi´n de la forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 30
1.11.2. Definici´n de la funci´n ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o 30
1.11.3. El producto, el cociente y la potencia de complejos en forma exponencial. . . . . . 32
1.12. Conjugado de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2. Elementos de Topolog´ en el Campo Complejo
ıa 35
2.1. Definici´n de bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2. Entorno de un punto c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3. Vecinal de un punto c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4. Clasificaci´n de puntos: Interiores, exteriores y frontera
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5. Adherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6. Clasificaci´n de puntos de adherencia . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8. Conjunto acotado y conjunto compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.9. Infinito en el Campo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3

4. 4 ´
INDICE GENERAL
2.9.1. Concepto de punto infinito en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9.2. Conjunto Complejo Extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9.3. Esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9.4. Diversas acepciones de “infinito” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3. Funciones de Variable Compleja. Continuidad y L´ ımite 51
3.1. Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. Interpretaci´n geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3. Funciones de variable compleja. Caracter´ ısticas y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1. Caracter´ ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.2. Continuidad sobre un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5. L´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.1. Definici´n de l´
o ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.2. Operaciones con l´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6. Curvas en el campo complejo. Caminos y lazos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.1. Continuidad por partes de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.2. Camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.3. Lazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.4. Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.5. Caminos opuestos y yuxtapuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6.6. Ejemplos de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6.7. Camino simple. Lazo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6.8. Caminos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.7. Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8. Homotop´ de caminos y lazos . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8.1. Homotop´ de caminos . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8.2. Homotop´ de lazos . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.8.3. Homotop´ a un punto . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.9. Clasificaci´n de conjuntos conexos en C . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.9.1. Conjuntos simplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.9.2. Conjuntos m´ ltiplemente conexos . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.9.3. Cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.9.4. Grado de multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4. Derivaci´n en el Campo Complejo
o 75
4.1. Derivaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 75
4.2. Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3. Relaci´n entre derivada y diferencial. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 78
4.4. Derivaci´n y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 80
4.5. Funciones mon´genas y holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 80
4.6. Reglas de derivaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 82
4.7. Holomorf´ y ecuaci´n de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa o . . . . . . 82
4.7.1. Las componentes de una funci´n holomorfa como funciones arm´nicas .
o o . . . . . . 82
4.7.2. Propiedades de funciones conjugadas arm´nicas . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 84
4.7.3. Obtenci´n de la conjugada arm´nica de una funci´n en el entorno de un
o o o punto . . 87
4.8. Holomorf´ en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . 94
4.9. Representaci´n conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 95
´
4.9.1. Angulo entre caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5. ´
INDICE GENERAL 5
4.9.2. Transformaci´n de caminos . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.9.3. Transformaci´n de vectores tangentes . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.9.4. Aplicaci´n conforme . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.9.5. Transformaci´n de ´reas e integrales dobles .
o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.9.6. Los problemas de la representaci´n conforme
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.9.7. La inversi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.9.8. La funci´n homogr´fica . . . . . . . . . . . .
o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6. 6 ´
INDICE GENERAL

7. ´
Indice de figuras
1.1. Representaci´n del complejo (x y) en el plano cartesiano. . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2. Representaci´n del complejo z en coordenadas polares. . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3. Representaci´n geom´trica de la suma de dos complejos. . . .
o e . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4. Representaci´n geom´trica de la diferencia de dos complejos.
o e . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5. Representaci´n geom´trica del producto de dos complejos. . .
o e . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6. Ra´ quintas de un n´ mero complejo z. . . . . . . . . . . .
ıces u . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7. Conjugado de un n´ mero complejo. . . . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1. Bola de centro c y radio r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2. Entorno de un punto c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3. Vecinal de un punto c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4. Clasificaci´n de puntos en un espacio m´trico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e 38
2.5. Puntos aislados y puntos de acumulaci´n del conjunto A. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 41
2.6. Clasificaci´n de conjuntos seg´ n contengan o no a sus fronteras. . . . . . . . . . . . . . . .
o u 42
2.7. |z| > r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.8. Diversos conjuntos transformados mediante la funci´n inversi´n. . . . . . . . . . . . . . .
o o 46
2.9. Esfera de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.10. Proyecci´n estereogr´fica de una circunferencia que no pasa por el origen de coordenadas.
o a 48
2.11. Proyecci´n estereogr´fica de una circunferencia que pasa por el origen de coordenadas. . .
o a 48
3.1. Transformaci´n de regiones en R2 mediante una funci´n de variable compleja.
o o . . . . . . . 52
3.2. Transformaci´n de caminos mediante la funci´n f (z) = z 2 . . . . . . . . . . . .
o o . . . . . . . 53
3.3. Funci´n de una variable real discontinua en a. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . 57
3.4. Funci´n de una variable compleja discontinua en a. . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . 57
3.5. Composici´n de funciones de una variable compleja. . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . 61
3.6. Camino en el campo complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7. Lazo en el campo complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.8. Caminos yuxtapuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.9. Camino poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.10. Ejemplos de caminos y lazos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.11. Ejemplo de conjuntos conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.12. Ejemplo de conjuntos no conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.13. Homotop´ de los caminos γ1 y γ2 en D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . 71
3.14. Homotop´ de los lazos γ1 y γ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . 72
3.15. Conjunto simplemente conexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.16. Conjunto m´ ltiplemente conexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . 73
3.17. Ejemplos de cortadura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.18. Conjunto con grado de multiplicidad=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7

8. 8 ´
INDICE DE FIGURAS
4.1. Incremento de z a trav´s de un camino γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 75
4.2. Dominio restringido de una funci´n de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 77
4.3. Incremento de una funci´n a trav´s de caminos rectos paralelos a los ejes. . . . . . . . . .
o e 79
4.4. Trayectorias ortogonales de un par de funciones conjugadas arm´nicas . . . . . . . . . . .
o 87
4.5. Integraci´n a trav´s de un camino poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e 89
4.6. Reemplazo de un camino γ por otro poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.7. Dominio e imagen de Inv’ y f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.8. Vector tangente a γ en el punto γ(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
´
4.9. Angulo entre los caminos γ1 y γ2 en el punto zc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.10. Transformaci´n de caminos por una funci´n de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . .
o o 97
4.11. Conservaci´n del ´ngulo entre dos caminos mediante una aplicaci´n conforme f . . . . . .
o a o 100
4.12. Transformaci´n de ´ngulos para aplicaciones con distintos valores de K. . . . . . . . . . .
o a 102
4.13. L´ıneas de campo y equipotenciales para un problema inverso de representaci´n conforme.
o 105
4.14. Transformaci´n de vectores mediante una inversi´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o 106
4.15. Construcci´n geom´trica para obtener la rec´
o e ıproca de un complejo. . . . . . . . . . . . . . 106
4.16. Construcci´n geom´trica alternativa para hallar la rec´
o e ıproca de un n´ mero complejo. . . .
u 107

9. Cap´
ıtulo 1
N´meros Complejos
u
1.1. Definici´n
o
Se llama n´mero complejo a todo par ordenado (x y) de n´ meros reales.
u u
z := (x y) : x ∈ R , y ∈ R
z := N´ mero complejo
u
Al n´ mero real x (primera componente del par ordenado) se lo llama parte real o primera componente
u
del n´ mero complejo.
u
Asimismo, al n´ mero real y (segunda componente del par ordenado) se lo llama parte imaginaria o
u
segunda componente del n´ mero complejo.
u
Re(z) := x
Im(z) := y
Re(z) := parte real de z
Im(z) := parte imaginaria de z
Observaci´n: Conviene remarcar que tanto la parte real, como la parte imaginaria de un n´ mero complejo
o u
(a pesar de su denominaci´n), son ambos n´ meros reales.
o u
Al conjunto de todos los n´ meros complejos, se lo simboliza con C.
u
C := {(x y) : x ∈ R , y ∈ R }
C := Conjunto de todos los n´ meros complejos
u
Observaci´n: A partir de la definici´n de C es inmediato que:
o o
C=R×R o sea que C = R2
Sin embargo, la introducci´n del nuevo s´
o ımbolo C para representar al conjunto de los complejos, en
vez de usar directamente R2 , es conveniente para destacar y recordar la diferencia existente entre R2 y
los dem´s Rn .
a
Todo Rn conforma estructura de espacio vectorial y tambi´n estructura de espacio eucl´
e ıdeo.
En el caso particular de R2 , adem´s de las estructuras mencionadas, se agrega la estructuraci´n en
a o
ıstica no se extiende a ning´ n Rn con n ≥ 3.
cuerpo abeliano. (ver punto 1.3). Esta caracter´ u
La raz´n de esta diferencia es porque en C, adem´s de definirse la suma como en todo Rn , se establece
o a
tambi´n la multiplicaci´n, condici´n que le permite alcanzar la estructura de cuerpo abeliano.
e o o
9

10. 10 CAP´ ´
ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
1.2. Igualdad de n´ meros complejos
u
La igualdad de los n´ meros complejos es una consecuencia de la igualdad definida entre conjuntos, y
u
su aplicaci´n sobre los pares ordenados. Resulta entonces:
o
x = x′
(x y) = (x′ y ′ ) ⇔
y = y′
Es decir, dos n´ meros complejos son iguales, si y s´lo si simult´neamente, las respectivas partes reales
u o a
e imaginarias son iguales entre s´ Una igualdad en C representa entonces dos igualdades en R.
ı.
1.3. Estructuraci´n de C como cuerpo abeliano
o
Sobre el conjunto de los complejos C se definen dos leyes de composici´n interna:
o
T : C × C −→ C
((x y), (x′ y ′ )) −→ (x + x′ , y + y ′ )
P : C × C −→ C
((x y), (x′ y ′ )) −→ (xx′ − yy ′ , xy ′ + yx′ )
T := Ley suma de n´ meros complejos
u
P := Ley producto de n´ meros complejos
u
Los signos ”+” y ”·” representan las leyes de composici´n interna, suma y producto de n´ meros reales.
o u
El conjunto de los n´ meros complejos C se estructura en cuerpo abeliano con respecto a las leyes de
u
composici´n interna suma de n´ meros complejos ”T ” y producto de n´ meros complejos ”P ”.
o u u
T : C × C −→ C


((x y), (x′ y ′ )) −→ (x + x′ , y + y ′ )




=⇒ (C T P ) ∈ Cuerpo abeliano
P : C × C −→ C 



((xy) , (x′ y ′ )) −→ (xx′ − yy ′ , xy ′ + yx′ )

La demostraci´n de esta aseveraci´n es inmediata.
o o
Algunos elementos destacables en el cuerpo C son:
(0 , 0) ∈ neutro de C respecto de T
(−x , −y) ∈ sim´trico de (x y) respecto de T
e
(1 , 0) ∈ neutro de C respecto de P
x −y
, ∈ sim´trico de (x y) respecto de P , ∀(x y) = (0 0)
e
x2 + y 2 x2 + y 2
Los s´
ımbolos con los cuales se identificar´n estos elementos son:
a
s := (0 , 0)
∗
z := (−x , −y)
u := (1 , 0)
x −y
z• := ,
x2 + y 2 x2 + y 2

11. 1.4. IMPOSIBILIDAD DE ESTRUCTURAR C COMO CUERPO ORDENADO 11
1.4. Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado
El conjunto C no puede ser estructurado como cuerpo ordenado. Ello significa que no existe ninguna
relaci´n sobre C × C que cumpla simult´neamente:
o a
(a) Relaci´n de orden amplio sobre C.
o
(b) Relaci´n de orden total.
o
(c) Relaci´n de compatibilidad con las leyes de suma y producto complejo.
o
Estas condiciones presentadas para el caso de un cuerpo gen´rico (E T P ), llamando RO a la relaci´n de
e o
orden sobre E, pueden expresarse de la siguiente manera:
 ∀x ∈ E (x x) ∈ RO Reflexividad



 (x y) ∈ RO

⇒ x=y Antisimetr´ıa

RO ∈ Relaci´n de orden amplio :=
o (y x) ∈ RO


 (x y) ∈ RO


 ⇒ (x z) ∈ RO Transitividad
(y z) ∈ RO
RO ∈ Relaci´n de orden total := ∀x ∈ E, ∀y ∈ E
o {x y} =⇒ (x y) ∈ RO o (y x) ∈ RO
 (x y) ∈ RO =⇒ (xT z , yT z) ∈ RO

∀z ∈ E




RO ∈ Rel. de comp. con suma y producto :=

 (x y) ∈ RO
 (s z) ∈ RO



 =⇒ (xP z , yP z) ∈ RO
s :=Neutro de (E , T )

A partir de estas definiciones se establece entonces:

(E, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano






(E, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano ordenado := RO ∈ Relaci´n de orden amplio
o

RO ∈ Relaci´n de orden total

 o


RO ∈ Relaci´n compatible con la suma y el producto
o
Observaci´n 1: Al cumplirse simult´neamente las condiciones de orden amplio y total sobre E, resulta
o a
superflua la condici´n de reflexividad, como se muestra a continuaci´n:
o o
A partir de la condici´n de orden total, tomando x = y se obtiene:
o
∀x ∈ E {x x} =⇒ (x x) ∈ RO o (x x) ∈ RO
resultando entonces:
∀x ∈ E =⇒ (x x) ∈ RO
Observaci´n 2: Las notaciones usuales para las relaciones de orden son x ≥ y o (x y) ∈ RO. En el texto
o
se ha preferido el uso de ´sta ultima para evitar confusiones.
e ´
A continuaci´n se pasa a demostrar la tesis propuesta, que el cuerpo de los complejos no puede ser
o
ordenado.

12. 12 CAP´ ´
ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
El esquema de prueba se basa en que para dos n´ meros complejos, (0 0) (neutro de T ) y el (0 1) (m´s
u a
adelante llamado unidad imaginaria), no puede establecerse ninguna relaci´n de orden que satisfaga las
o
condiciones anteriores.
(C, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano =⇒ ∄ RO sobre C : (C, T, P ) ∈ Cuerpo ordenado
1. Orden total {(0 0) , (s 1))} ⇒ ((0 0) , (0 1)) ∈ RO o ((0 1) , (0 0)) ∈ RO
Suponiendo la primera de las
dos posibilidades:
2. ((0 0) (0 1)) ∈ RO
((0 0) (0 1)) ∈ RO
3. Compat. P ⇒ ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO
((0 0) (0 1)) ∈ RO
((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO
4. Compat. P ⇒ ((0 0) (1 , 0)) ∈ RO
((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO
((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO
5. Compat. T ⇒ ((1 0) (0 0)) ∈ RO
(1 , 0) ∈ C
((0 0) (1 0)) ∈ RO
6. (4.), (5.) y antisim. ⇒ (0 0) = (0 1) (prop. falsa)
((1 0) (0 0)) ∈ RO
Como la primera posibilidad
ha conducido a una proposici´no
falsa, se prueba con la segunda:
7. ((0 1) (0 0)) ∈ RO
((0 1)(0 0)) ∈ RO
8. Compat. T ⇒ ((0 0)(0 , −1)) ∈ RO
(0 , −1) ∈ C
((0 0)(0 , −1)) ∈ RO
9. Compat. P ⇒ ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO
((0 0)(0 , −1)) ∈ RO
Este resultado es el mismo obte-
nido en (3.). Si se sigue un pro-
cedimiento igual al ya realizado,
se obtiene tambi´n:
e
10. =⇒ (0 0) = (1 0) prop. falsa
Se deben descartar entonces las
dos posibilidades. De donde:

13. ´
1.5. ESTRUCTURACION DE C COMO ESTRUCTURA VECTORIAL 13

RO ∈ Relaci´n de orden amplio
 o

RO ∈ Relaci´n de orden total
o
11. (1.), (6.) y (10.) ∄ RO sobre C :
RO ∈ Relaci´n de compatibilidad
 o

con la suma y producto complejo

Observaci´n 1: El hecho de que C no sea un cuerpo ordenado, deja como unico Rn que cumple tal
o ´
condici´n al conjunto de los reales R. Este es el cuerpo ordenado por excelencia.
o
Observaci´n 2: Conviene remarcar que en C carece totalmente de sentido la proposici´n:
o o
z > z′
Por lo tanto, en el caso de presentarse esta notaci´n, es sencillamente un grave error.
o
1.5. Estructuraci´n de C como estructura vectorial
o
El conjunto de los n´ meros complejos C conforma una estructura vectorial, sobre un cuerpo K,
u
respecto de las leyes de composici´n interna T (suma de n´ meros complejos) y composici´n externa P
o u o
oportunamente definida:
P : C × C −→ C
(λ, (x y)) −→ (λx, λy)
P := Ley de composici´n externa de C sobre K.
o
K := Cuerpo de apoyo de la estructura vectorial o conjunto de los escalares.
La proposici´n mencionada es consecuencia inmediata de que C = R2 , es decir un caso particular de
o
n
R .
Tiene particular inter´s tomar a la terna (R + ·) como cuerpo K sobre el cual conforma C la estructura
e
vectorial.
C = { (xy) : x ∈ R , y ∈ R}





(R + ·) ∈ Cuerpo de los Reales 






C×C → C

T : =⇒ (C R + · T P ) ∈ Estructura vectorial
((x y) , (x′ y ′ )) → (x + x′ , y + y ′ ) 





P : C×C → C





′ ′ ′ ′ ′ ′ 
((x y) , (x y )) → (xx − yy , xy + yx )
Observaci´n 1: Para no incurrir en confusiones de conceptos se debe tener presente siempre las diferencias
o
que existen entre las leyes:
- Producto de n´ meros reales: ·
u
- Producto de n´ meros complejos: p
u

14. 14 CAP´ ´
ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
- Producto de C sobre K: P
Observaci´n 2: Para evitar interpretaciones err´neas se hace notar que la convenci´n adoptada para la
o o o
denominaci´n de la s´xtupla (E K + · T P ) y el conjunto E es:
o e
(E K + · T P ) := Estructura de espacio vectorial o estructura vectorial
E := Espacio vectorial
1.6. Estructuraci´n de C como estructura de espacio m´trico
o e
El conjunto C conforma una estructura de espacio m´trico, y en particular una estructura de espacio
e
eucl´
ıdeo, al definirse la funci´n distancia por la expresi´n pitag´rica:
o o o
d: C × C −→ R
(z , z ′ ) −→ (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 = d(z z ′ )
d(z z ′ ) := distancia de z a z ′
Esta caracter´ ıstica es una consecuencia inmediata de que C = R2 , es decir un caso particular de Rn .
C = { (x y) : x ∈ R , y ∈ R }




d : C × C −→ R =⇒ (C , d) ∈ Estructura de espacio eucl´
ıdeo


(z , z ′ ) −→ (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 = d(z z ′ )

Observaci´n 1: Para evitar confusiones se se˜ ala que las denominaciones adoptadas para el par (E , d) y
o n
para el conjunto E son:
(E , d) := Estructura de espacio m´trico o estructura m´trica
e e
E := Espacio m´trico
e
El hecho de poder estructurar E como espacio m´trico tiene enorme importancia.
e
En efecto, se logra con ello la base (funci´n distancia) para construir una estructura topol´gica.
o o
De esta manera el conjunto de los complejos C conforma simult´neamente una estructura algebraica
a
de cuerpo, y una estructura topol´gica, siendo ambas las dos condiciones esenciales para poder definir los
o
conceptos que son fundamento del an´lisis matem´tico: la continuidad (la convergencia) y la diferencial.
a a
1.6.1. Propiedades generales de la funci´n distancia en C
o
Las propiedades m´s importantes para destacar de la funci´n distancia sobre el conjunto de los
a o
complejos, se desprenden directamente del caso m´s general, funci´n distancia sobre los espacios eucl´
a o ıdeos.
Para facilitar su presentaci´n es conveniente usar los s´
o ımbolos
e := (0 0)
z ∗ := (−x , −y)
respectivamente par el neutro de C respecto de la suma T , y el opuesto de z respecto de T . Tambi´n se
e
agregar´ el nuevo s´
a ımbolo:
z − z ′ := z T z ′∗
z − z ′ := Diferencia entre los n´ meros complejos z y z ′
u

15. ´ ´
1.6. ESTRUCTURACION DE C COMO ESTRUCTURA DE ESPACIO METRICO 15
El detalle de las propiedades mencionadas es:
I. d(z e) = 0 ⇔ z = e
II. z − z ′ = w − w′ =⇒ d(z z ′ ) = d(w w′ )
III. d(z + z ′ , z) = d(z ′ e)
IV. d(z − z ′ , e) = d(z z ′ )
V. d(z − z ′ , e) = d(z ′ − z , e) λ∈R
VI. d(λz , λz ′ ) = |λ|d(z z ′ )
VII. d(z e) − d(z ′ e) |d(z e) − d(z ′ e)| d(z + z ′ , e) d(z e) + d(z ′ e)
VIII. d(z e) − d(z ′ e) |d(z e) − d(z ′ e)| d(z − z ′ , e) d(z e) + d(z ′ e)
IX. |Re(z)| d(z, e)
|Im(z)| d(z, e)
Es buen ejercicio demostrar estas f´rmulas en forma directa a partir de la definici´n de distancia sobre
o o
C.
1.6.2. Notaci´n para la funci´n distancia sobre C
o o
La notaci´n de la funci´n distancia sobre C, que por otra parte se emplea normalmente para cualquier
o o
Rn es:
|z − z ′ | := d(z z ′ )
|z − z ′ | := Distancia de z a z ′
De acuerdo a esta ultima convenci´n resulta:
´ o
d(z e) = |z|
En efecto:
d(z e) = |z − e|
= |z T e∗ |
= |z T e|
= |z|
La distancia d(z e) tiene una gran aplicaci´n e importancia, tanto como para adjudicarle una deno-
o
minaci´n particular. Esto se tratar´ en el apartado 1.6.3.
o a
La introducci´n del nuevo s´
o ımbolo |z − z ′ | para representar la funci´n distancia, es justificada por el
o
hecho de que ayuda a recordar todas las propiedades del p´rrafo anterior asimil´ndolas a las an´logas de
a a a
la funci´n valor absoluto en el campo real.
o
En efecto, si formalmente se opera d(z z ′ ) con las propiedades del valor absoluto real, se verifican sin
dificultad las propiedades vistas en 1.6.1:
I. |z − e| = 0 ⇔ z = e
|z| = 0 ⇔ z = e

16. 16 CAP´ ´
ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
II. z − z ′ = w − w′ =⇒ |z − z ′ | = |w − w′ |
III. |(z + z ′ ) − z| = |z ′ |
IV. |(z − z ′ ) − e| = |z − z ′ |
V. |z − z ′ | = |z ′ − z|
VI. |λz − λz ′ | = |λ||z − z ′ |
VII. |z| − |z ′ | ||z| − |z ′ || |z + z ′ | |z| + |z ′ |
VIII. |z| − |z ′ | ||z| − |z ′ || |z − z ′ | |z| + |z ′ |
IX. |Re(z)| |z|
|Im(z)| |z|
Observaci´n: El valor absoluto en el campo real por su parte estructura al conjunto R como espacio
o
eucl´
ıdeo, pues:
d(x y) = (x − y)2
= |x − y|
ıdeo Rn puede entenderse como una generalizaci´n del valor
Entonces, la distancia del espacio eucl´ o
absoluto definido para R.
1.6.3. M´dulo de z
o
Se define como m´dulo de z, tambi´n llamado valor absoluto de z, a la distancia d(z e).
o e
|z| := d(z e)
|z| := M´dulo de z
o
Esta definici´n es complementaria de la notaci´n de distancia introducida en 1.6.2, ya que ambas no
o o
son independientes, como se demuestra acto seguido:
Teorema 1.6.1.
d(z z ′ ) = |z − z ′ | ⇐⇒ d(z e) = |z|
Demostraci´n. La demostraci´n de la condici´n necesaria es:
o o o
d(z e) = |z − e|
= |z|
La condici´n suficiente:
o
d(z z ′ ) = d(z − z ′ , e)
= |z − z ′ |
La asignaci´n de una denominaci´n espec´
o o ıfica dada a la distancia d(z e) se justifica no solamente por la
frecuencia con que aparece en las f´rmulas anteriores, sino tambi´n para resaltar el papel muy importante
o e
que desempe˜ a en todo el ´lgebra y an´lisis complejo.
n a a
Basta para ello mencionar que su empleo permite:

17. ´
1.7. ESTRUCTURACION DE C COMO ESPACIO NORMADO 17
a. La definici´n de la forma polar del n´ mero complejo.
o u
b. El hallazgo de m´todos operativos m´s sencillos, derivados de la forma polar, para la multiplicaci´n,
e a o
divisi´n, potencia, radicaci´n y logaritmaci´n.
o o o
c. Establecer una norma sobre C
Todos estos conceptos ser´n desarrollados m´s adelante.
a a
El m´dulo de z, de acuerdo con la definici´n es una aplicaci´n del conjunto de los complejos sobre los
o o o
reales.
||: C −→ R
(x y) −→ x2 + y 2
Las propiedades m´s importantes del m´dulo de z son las detalladas en el p´rrafo anterior.
a o a
A ellas conviene agregar:
|z| = |z ′ | ⇔ |z|2 = |z ′ |2
cuya demostraci´n es inmediata, y adem´s:
o a
Teorema 1.6.2. El m´dulo del producto es igual al producto de los m´dulos.
o o
(zz ′ ) ∈ C =⇒ |z P z ′ | = |z||z ′ |
Demostraci´n.
o
|z P z ′ |2 = (xx′ − yy ′ )2 + (xy ′ + yx′ )2
= x2 x′2 + y 2 y ′2 + x2 y ′2 + y 2 x′2
= (x2 + y 2 )(x′2 + y ′2 )
= |z|2 |z ′ |2
1.7. Estructuraci´n de C como espacio normado
o
Se llama espacio normado a todo espacio vectorial provisto de una aplicaci´n sobre los reales no
o
negativa, llamada norma, que cumple las condiciones que se mencionan a continuaci´n:
o

(E K + · T P ) ∈ Estr. espacio vectorial)



 N : E −→ R



(E K + · T P N ) :=

 N (x) = 0 ⇔ x = e





 x −→ N (x) : N (λx) = |λ|N (x)
 
N (xT y) N (x) + N (y)
 
N (x) := Norma del vector x
A partir de las propiedades I, V I y V II del p´rrafo 1.6.2 se concluye de inmediato que la funci´n m´dulo
a o o
de z es efectivamente una norma.
||: C −→ R
=⇒ (E K + · T P ) ∈ Estr. de espacio normado
(x y) −→ x2 + y 2

18. 18 CAP´ ´
ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
En todo espacio normado, la funci´n distancia d(zz ′ ) = N (z − z ′ ) lo estructura como espacio m´trico.
o e
d: C × C −→ R
=⇒ (C d) ∈ Estructura de espacio m´trico
e
(z z ′ ) −→ N (z − z ′ )
La norma establece una elaci´n directa entre los espacios vectoriales y los espacios m´tricos.
o e
La importancia de este hecho reside en que con ello se asegura la continuidad de las operaciones
vectoriales suma y producto externo.
1.8. Forma bin´mica de los complejos
o
1.8.1. Isomorfismos entre estructuras
Se dice que una aplicaci´n f del conjunto E sobre el conjunto E ′ establece un isomorfismo entre las
o
estructuras (E T ) y (E ′ T ′ ), donde T y T ′ son leyes de composici´n interna definidas respectivamente
o
sobre E y E ′ , cuando:
a. f es biyectiva
b. La composici´n interna T ′ de la aplicaci´n de dos elementos de E sobre E ′ es igual a la aplicaci´n
o o o
sobre E ′ de la composici´n interna T de dichos elementos de E, es decir:
o
f (a T b) = f (a) T ′ f (b)
En resumen:

E = {abc . . . }



T : E × E −→ E





 ′
E = {a′ b′ c′ . . . }



′ ′
((E T ) (E T ) f ) ∈ Estructuras isomorfas := T ′ : E ′ × E ′ −→ E ′

 f : E −→ E ′







f ∈ biyectiva


a −→ a′ :


a T b −→ a′ T ′ b′


Ejemplo: La funci´n logaritmo natural
o
L: R+ −→ R
x −→ L(x)
establece un isomorfismo entre las estructuras (R+ ·) y (R +).

19. ´
1.8. FORMA BINOMICA DE LOS COMPLEJOS 19
Generalizando, una funci´n f puede establecer un isomorfismo entre las estructuras (E T P ) y (E ′ T ′ P ′ )
o
dotadas cada una de ellas con dos leyes de composici´n interna, cuando:
o

E = {abc . . . }



T : E × E −→ E





P : E × E −→ E





 ′
E = {a′ b′ c′ . . . }




 ′
′ ′ T : E ′ × E ′ −→ E ′
((E T ) (E T ) f ) ∈ Estructuras isomorfas :=
 ′
P : E ′ × E ′ −→ E ′



 f : E −→ E ′





 




 f ∈ biyectiva

a −→ a′ : a T b −→ a′ T ′ b′





a P b −→ a′ P ′ b′
 

1.8.2. Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda
componente nula
Definimos como C1 al conjunto de los complejos con segunda componente nula.
C1 := {(x, 0)}
C1 := Conjunto de los complejos con segunda componente nula o conjunto de las primeras componentes
La funci´n pr1 que se llamar´ primera proyecci´n,
o a o
pr1 : C1 −→ R
(x, 0) −→ x
establece un isomorfismo entre las estructuras (C1 T P ) y (R + ·).
Teorema 1.8.1.
C1 = {(x, 0)}
=⇒ ((R + ·) (C1 T P ) pr1 ) ∈ Estructuras isomorfas
(x (x, 0)) ∈ pr1
Demostraci´n. Se demuestra en primer lugar que la relaci´n pr1 es una aplicaci´n biyectiva.
o o o
∀x ∃ (x, 0)
x = x′
x = x′ ⇔
0=0
⇔ (x, 0) = (x′ , 0)
Enseguida se ver´ como la aplicaci´n pr1 establece el isomorfismo.
a o
x −→ (x, 0)
y −→ (y, 0)
x + y −→ (x, 0) T (y, 0) = (x + y, 0)
x · y −→ (x, 0) P (y, 0) = (x · y, 0)

20. 20 CAP´ ´
ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
Observaci´n 1: El par (x, 0) no es un n´ mero real a pesar de que es frecuente denominarlo as´ en un
o u ı,
evidente abuso de notaci´n.
o
El complejo (x, 0) es el correspondiente al real x a trav´s del isomorfismo definido.
e
Observaci´n 2: Es inmediato demostrar a partir del isomorfismo estudiado entre C1 y R que tambi´n
o e
puede establecerse otro isomorfismo entre los complejos con segunda componente nula y los reales a
trav´s de la funci´n:
e o
pr2 : {(0, y)} −→ R
(0, y) −→ y
como se verifica considerando las leyes respectivas se suma pero no las leyes de multiplicaci´n.
o
1.8.3. Forma bin´mica de los n´meros complejos
o u
Todo n´ mero complejo puede descomponerse en la suma de otros dos, con segunda y primera com-
u
ponente nula, respectivamente:
(x y) = (x 0) T (0 y)
Por el otro lado tambi´n se verifica
e
(0 y) = (y 0) T (0 1)
y entonces se concluye que un n´ mero complejo puede ser representado como:
u
(x y) = (x 0) T ((y 0) P (0 1))
que es la llamada forma cartesiana o bin´mica de los n´ meros complejos.
o u
Es conveniente tomar:
i := (0 1) i := Unidad imaginaria
Queda entonces:
(x y) = (x 0) T ((y 0) P i)
Este resultado, conjuntamente con el isomorfismo estudiado en 1.8.2 induce a pensar la posibilidad de
la existencia de un isomorfismo entre el conjunto de los complejos C y el conjunto de los binomios x + iy
operados formalmente con las reglas del ´lgebra de los n´ meros reales.
a u
En efecto, definiendo al conjunto de los nuevos entes x + iy,
B := {x + iy : x ∈ R , y ∈ R}
la funci´n
o
f : C −→ B
(x y) −→ x + iy
establece un isomorfismo entre (B + ·) y (C + ·) donde + y · son las leyes de composici´n interna sobre
o
el conjunto B, definidas en forma conveniente de acuerdo al ´lgebra de los n´ meros reales.
a u

21. ´
1.8. FORMA BINOMICA DE LOS COMPLEJOS 21
Las definiciones de estas leyes se hallan en el enunciado del teorema siguiente, y merece se˜ alarse unica-
n ´
mente que es necesario convenir que:
i2 := −1
Observaci´n 1: Debe tenerse sumo cuidado de no entrar en confusiones con las dos definiciones hechas de
o
i porque sin distintas.
Se ha usado la misma letra solamente por razones tradicionales.
En el primer caso se ha definido sobre el conjunto de los complejos
i = (0 1)
lo cual lleva a
i2 = i P i
= (−1, 0)
y por lo tanto de acuerdo a la Observaci´n 1 del p´rrafo 1.8.2
o a
i2 = −1
siendo i2 simplemente el correspondiente de −1 en el isomorfismo analizado entre C1 y R:
pr1 : i2 −→ −1
En el segundo caso, que no es una definici´n operacional de elementos de C sino de entes de B, el
o
ımbolo i2 representa a:
s´
i2 = i · i
es decir, un producto con respecto a la ley · en B. Y se establece a “contrario sensu”:
i2 = −1
El planteo del isomorfismo de las estructuras es:
(C T P ) ∈ Cuerpo complejo





B × B −→ B

+: 



((x + iy), (x + iy ′ )) −→ (x + x′ ) + i(y + y ′ )
′ 






B × B −→ B

·: 


xx′ + ixy ′ + iyx′ + yy ′ i2 = =⇒ ((B + ·) (C T P ) f ) ∈ Estr. isomorfas
((x + iy), (x′ + iy ′ )) −→ 
(xx′ − yy ′ ) + i(xy ′ + yx′ )






i · i −→ −1







C −→ B

f: 




(x y) −→ x + iy
La demostraci´n de este isomorfismo surge directamente de la definici´n de las leyes de composici´n
o o o
interna definidas sobre B.
La denominaci´n de forma bin´mica del n´ mero complejo es justificada con claridad por el isomorfismo
o o u
demostrado.

22. 22 CAP´ ´
ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
Se remarca que la importancia de este resultado reside en que la forma bin´mica permite operar con
o
los n´ meros complejos como simples n´ meros reales, con la condici´n de sustituir en la multiplicaci´n a
u u o o
i2 por −1.
Observaci´n 2: No debe olvidarse que del mismo modo que el complejo (x 0) y el real x son nociones
o
diferentes, tambi´n lo son el complejo (x y) y el binomio x + iy.
e
Sin embargo es usual confundirlos en evidente abuso de notaci´n. Esto no produce dificultades al operar
o
con complejos si se toman las precauciones del caso.
Llegado a este punto del texto en el cual se han estudiado las diferencias y relaciones existentes entre
las leyes de composici´n interna complejas y reales, se usar´n, por razones tradicionales, a partir de ahora
o a
los signos + y · tambi´n para las primeras siempre que ello no induzca a confusiones.
e
1.9. Representaci´n geom´trica de los complejos
o e
De la misma manera que no puede establecerse diferencia entre el n´ mero real x y el punto x de una
u
recta, tampoco existe ninguna diferencia entre el n´ mero complejo (x y) y el punto (x y) del plano R × R.
u
Se comprende que a partir de este razonamiento, no puede hacerse ninguna distinci´n entre el “´lge-
o a
bra”y la “geometr´
ıa”.
La representaci´n geom´trica de un n´ mero complejo es sencillamente otra forma de simbolizarlos, es
o e u
decir, otra forma de escribirlos o representarlos.
Sin embargo, hist´ricamente ha sido, y todav´ es, un modelo muy conveniente para estudiar e inter-
o ıa
pretar las relaciones entre los complejos. Por lo tanto, es importante el manejo fluido de los complejos
teniendo siempre presente su significado geom´trico.
e
La representaci´n m´s frecuente de R2 es en coordenadas cartesianas ortogonales, mediante un plano
o a
que se denominar´ plano complejo.
a
Un n´ mero complejo z = (x y) es representado por un punto del plano de coordenadas:
u
x = Re(z) como abscisa
y = Im(z) como ordenada
Observaci´n 1: Debe observarse que de acuerdo a las apreciaciones hechas m´s arriba, las palabras n´ mero
o a u
complejo y punto del plano son sin´nimos.
o
Tambi´n son equivalentes los t´rminos R×R y plano, primera componente y abscisa, segunda componente
e e
y ordenada, etc.; que se usar´n indistintamente a lo largo del texto.
a
En el plano complejo a los ejes x e y se los denomina real e imaginario respectivamente.
De acuerdo a las convenciones establecidas para la representaci´n en coordenadas cartesianas , el
o
complejo (x 0) es representado por puntos del eje imaginario.

23. ´
1.10. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO. PROPIEDADES 23
y z
(0 y) (x y)
y
(0 0) (x 0)
x x
Figura 1.1: Representaci´n del complejo (x y) en el plano cartesiano.
o
Observaci´n 2: La denominaci´n de forma cartesiana como equivalente de la bin´mica surge evidentemente
o o o
de la representaci´n gr´fica de los complejos.
o a
El origen de coordenadas representa al par (0 0)
Otra interpretaci´n del complejo z puede ser la de segmento orientado con origen en (0 0) y v´rtice
o e
en el punto (x y). La representaci´n polar permitir´ estudiar en detalle este nuevo enfoque.
o a
Esta simple observaci´n destaca como la representaci´n geom´trica ayuda a estudiar las propiedades del
o o e
n´ mero complejo. En este caso, la relaci´n entre el conjunto C y los espacios vectoriales como segmentos
u o
orientados.
1.10. Forma Polar de un N´ mero Complejo. Propiedades
u
Los n´ meros complejos (x y) pueden ser representados de otras maneras, adem´s de las ya vistas.
u a
Dada una funci´n biyectiva
o
f: C −→ C
(x y) −→ (u v) : f ∈ biyectiva
Al establecer una correspondencia uno a uno entre los pares (x y) y (u v), permite interpretar al segundo
par como una nueva forma o representaci´n del primer par.
o
En particular adquieren importancia por su facilidad de operaci´n la forma polar, y su derivada, la
o
forma exponencial.
1.10.1. Forma Polar de un N´mero Complejo
u
En el plano complejo puede observarse con ayuda de la representaci´n geom´trica, que cualquier par
o e
(x y) = (0 0) puede ser definido por otro par (r θ) cuyos elementos son:
r := Distancia al origen de coordenadas
´
w := Angulo formado entre el segmento o z y el eje x
El par (r θ) define las llamadas coordenadas polares del n´ mero complejo.
u
Al par (0 0), origen de coordenadas, se asignan convencionalmente los valores:
r=0
θ = θ1

24. 24 CAP´ ´
ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
donde θ1 es un n´ mero real arbitrario.
u
La primera coordenada polar, r, representa entonces la distancia d(z e), es decir el m´dulo de z
o
estudiado en 1.6.3.
y z
z
r
y
θ
x x
Figura 1.2: Representaci´n del complejo z en coordenadas polares.
o
r := |z| = d(z e)
r := m´dulo de z
o
El m´dulo de z est´ definido para cualquier n´ mero complejo, a´ n el (0 0), por la aplicaci´n:
o a u u o
|| : C −→ R
(x y) −→ |z| = x2 + y 2
ya estudiada anteriormente.
La segunda coordenada polar θ, que como se dijo, representa el ´ngulo entre el segmento o z y el eje
a
x. Debe elegirse entonces anal´
ıticamente, de manera que satisfaga el sistema:
r cos(θ) = x
r sen(θ) = y
A todos los valores de θ, ra´ del sistema, se los llama argumento de z.
ıces
y
arg(z) := θ : θ ∈ arctan
x
arg(z) := argumento del complejo z
La soluci´n de este sistema, no est´ un´
o a ıvocamente determinada en θ, pues si θ1 es soluci´n, tambi´n lo
o e
es θ1 + 2kπ : k ∈ Z (´ngulos congruentes entre s´
a ı).
Por lo tanto, para establecer una relaci´n uno a uno entre las coordenadas cartesianas y las polares, debe
o

25. ´
1.10. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO. PROPIEDADES 25
asignarse un s´lo valor de argumento a cada punto, por ejemplo de la siguiente manera:
o
Arg : C − {(0 0)} −→ R
 y
 − π + Arctan x < 0, y < 0

 x
−π


x = 0, y < 0




 2
 y
(x y) −→ Arg(z) = Arctan x > 0, ∀ y
 x
π

x = 0, y > 0



2

 π + Arctan y



x < 0, y 0
x
Arg(z) := Determinaci´n principal del argumento de z o valor principal.
o
Esta determinaci´n llamada principal del argumento de z se identifica por el s´
o ımbolo Arg(z), encabe-
zado con A (may´ scula).
u
Observaci´n 1: La funci´n
o o
Arctan : R −→ (−π/2 , π/2)
x −→ Arctan(x)
escrita con A may´ scula, es por convenci´n la determinaci´n principal de la funci´n multiforme (que por
u o o o
lo tanto no es una aplicaci´n) {x , arctan(x)}, relaci´n inversa de la tangente:
o o
tan : R − {(n + 1/2)π : n ∈ Z} −→ R
x −→ tan(x)
En resumen, la transformaci´n biyectiva
o
f: C −→ C

 x2 + y 2 , Arg(z) z = (0 0)
(x y) −→ (r θ) =
 (0 , θ )
1 z = (0 0) , θ1 ∈ R
es una de las posibilidades que define al nuevo par (r θ), cuyos elementos son las coordenadas polares de
un punto del plano complejo.
A su vez, la funci´n inversa de F es:
o
F −1 : C −→ C
(r θ) −→ (x y) = (r cos θ , r sen θ)
a partir de la cual puede deducirse la forma bin´mica a:
o
x + iy = r (cos θ + i sen θ)
llamada forma polar o forma trigonom´trica del n´ mero complejo.
e u
Observaci´n 2: Para definir las coordenadas polares, podr´ elegirse cualquier otra determinaci´n del
o ıa o
argumento de z, en vez de la principal, obteni´ndose resultados equivalentes.
e
Las diferentes determinaciones tienen tambi´n su utilidad, como por ejemplo para el c´lculo de logaritmos
e a
y potencias complejas.

26. 26 CAP´ ´
ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
1.10.2. Igualdad en forma polar. Congruencia
A partir de la igualdad entre pares ordenados se obtiene:
r = r′
(r θ) = (r′ θ′ ) ⇔
θ = θ′
Es decir, la igualdad de dos n´ meros complejos es condici´n necesaria y suficiente de la igualdad de sus
u o
respectivos m´dulos y argumentos.
o
Un concepto que no debe confundirse con el de igualdad es el de congruencia.
Se dice que dos complejos expresados en forma polar, son congruentes; con distinta o igual determinaci´n
o
del argumento, cuando son correspondientes de un mismo punto del plano complejo. Esto significa:
(r θ) (r′ θ′ ) := r(cos θ + i sen θ) = r′ (cos θ′ + i sen θ′ )
(r θ) (r′ θ′ ) := (r θ) es congruente con (r′ θ′ )
La congruencia para z = (0 0) se reduce a la igualdad s´lo en el caso de la igualdad de los argumentos.
o
Es decir que dos complejos expresados en forma polar con m´dulo no nulo (z = (0 0)) son congruentes,
o
cuando tienen los m´dulos iguales y sus argumentos difieren en una cantidad entera de 2π.
o
En el caso de que el m´dulo sea nulo, ´sta es condici´n suficiente para la igualdad de dos complejos;
o e o
con independencia del valor de los respectivos argumentos.
r=0
r = r′
(r θ) (r′ θ′ ) ⇔
θ = θ′
r=0
(r θ) (r′ θ′ ) ⇔ r = r′ = 0
Observaci´n 3: No debe perderse de vista la diferencia existente entre la igualdad y la congruencia. En
o
algunos casos, donde debe destacarse esta diferencia, se han creado artificios especiales. Por ejemplo,
puede suponerse que al plano polar de los complejos (r θ) se le hace corresponder uno o m´s planos
a
cartesianos (uno para cada determinaci´n) que geom´tricamente se tienen por superpuestos. Estos planos
o e
se llaman de Riemann, y son una forma de establecer una correspondencia biun´ ıvoca aplicable para
trabajar con funciones multiformes.
1.10.3. Producto en forma polar. Cociente
Una primera aplicaci´n donde la forma polar es particularmente eficaz es en el producto complejo:
o
r(cos θ + i sen θ) · r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) = r r′ ((cos θ cos θ′ − sen θ sen θ′ ) + i(cos θ sen θ′ + cos θ′ sen θ))
= r r′ (cos(θ + θ′ ) + i sen(θ + θ′ ))
donde se comprueba que:
I. El m´dulo del producto es igual al producto de los m´dulos, teorema ya demostrado en
o o
1.6.3
II. Una de las determinaciones del argumento del producto es igual a la suma de los argu-
mentos de los factores