1. Проектна робота з теми:
“ Системи рівнянь з
параметрами ”
Виконала учениця 11 х/б
класу Педан Поліна
Керівник проект у: Вчит ель
мат емат ики вищої кат егорії
Шкаран Ніна Іванівна

2. Мета проекту:
• Сформувати вміння та навички розв’язувати системи
двох рівнянь з двома змінними з параметрами;
розвивати інтерес, творчі здібності та інтуїцію учнів,
вміння застосовувати набуті знання в нових
ситуаціях, виховувати зібраність, працьовитість,
охайність, організованість, графічну та математичну
культуру.
• Завдання з параметрами вважаються важними для
розуміння і засвоєння учнями.
• Але Задачі з параметрами традиційно входять до
завдань ДПА та ЗНО з математики.
• Проектна робота пропонує системи рівнянь з
параметрами, і має за мету допомогти учням 9 класу
чітко і логічно застосовувати математичні
твердження, знаходити неординарні методи їх
розв’язування.

3. .
.
.
у
1) х+у=6 - пряма
х ²+ у ² = а - коло
Відповідь:
1) якщо r кола <18, то розв’язків немає;
2) якщо r кола=18, то розв’язок 1;
3) якщо r кола>18, то розв’язків 2;
.
6
6
F
О
А
В х
1
1
1. Для кожного значення параметра а знайдіть кількість
розв’язків системи рівнянь
• І. Будуємо графік першого рівняння:
• Отримуємо прямокутній
рівнобедрений трикутник з катетами
по 6;
• ІІ. Розглянемо розміщення кола
відносно його радіуса - √а;
• Якщо коло дотикається до прямої, то
його радіус при цьому дорівнює
висоті, а за даними цей трикутник
прямокутній, то за його
властивостями медіана дорівнює
половині гіпотенузи => за теоремою
Піфагора - АВ²=6²+6², АВ=6√2 і
√а=OF=1/2АВ=6√2/2=3√2,
• √а=√18, а=18, тобто радіус кола
дорівнює 18, звідси:

4. Задача 2
х – у = 4,
х ²+ у ² =а
Якщо а≤0, то система розв'язків
не має . Розглянемо випадок,
коли а>0. Графік першого
рівняння – пряма, графік
другого – коло з центром у
початку координат і радіусом
√а.
Якщо коло дотикається до прямої,
система має єдиний розв'язок.
Радіус кола при цьому – висота
рівнобедреного прямокутного
трикутника АОВ з катетом 4.
Отже, √а = АВ/2= 2√2, а=8.
Відповідь: при а<8 система
розв'язків не має;
при а=8 система має
один розв'язок;
при а>8 система має два
розв'язки.
А
4
-4
В
О
у
х

5. При яких значеннях параметра а система
має три розв’язки:
х² +(у-2)²= 1
У =х + а
Розглянемо рівняння:
Графік першого рівняння - коло
з радіусом 1 з центром у точці
(0;2).
Графік другого рівняння -
прямий кут, бісектрисою якого є
вісь ординат, вершиною якого
зміщується вгору або вниз,
залежно від параметра а.
Три точки перетину можливі
лише у випадку якщо а=1.
Відповідь: при а=1 система має три
точки перетину.
.
.
.2
.
1
1
у
х

6. У = а + √х
2х+у-1=0
Розв’язання:
Графік другого рівняння буде пряма,
першого - вітка параболи, що
знаходиться в І четверті, і буде
рухатись по осі ординат відносно
параметра а.
Отже, побудуємо графіки цих рівнянь
в одній системі координат.
Оскільки розміщення вітки параболи буде
залежати від параметра а, то:
якщо а є(-∞; 1], то система має один
корінь;
якщо а є(1; +∞),то система коренів не має.
Відповідь: 1) якщо а є(-∞; 1], то система
має один корінь,
2) якщо а є(1; +∞),то система
коренів не має.
.
.
.
.
1
у
. 0 1 х2
.5
2
.
Визначте кількість розв’язків системи

7. Визначте кількість розв’язків системи
3х+у-20=
у =а+√х
Розв’язання:
Графік першого рівняння буде
пряма, другого - вітка параболи,
що знаходиться в І четверті, і буде
рухатись по осі ординат відносно
параметра а.
Отже побудуємо графіки цих
рівнянь в одній системі координат.
Оскільки розміщення вітки параболи буде
залежати від параметра а, то:
якщо а є(-∞; 2], то система має один корінь;
якщо а є(2; +∞),то система коренів не має.
Відповідь: 1) якщо а є(-∞; 2], то система має
один корінь,
2) якщо а є(2; +∞),то система
коренів не має.
.
.
.
.1
1
у
.
2
0 х2
.6
.

8. Знайдіть усі значення параметра а, при яких система рівнянь не
має розв’язку:
.
.
.
.
.
B
‫׀‬х ‫׀‬ + ‫׀‬у ‫=׀‬ 1
х² + у²=а
Розв'язання
Якщо а≤0, то система розв’язків не
має. Розглянемо випадок, коли а>0:
Графік першого рівняння буде квадрат
ABCD довжиною сторони √2 і
діагоналлю 2.
Графік другого рівняння – коло з
центром у початку координат і
радіусом √а, а>0.
Система не має розв'язків, якщо коло і
квадрат не мають спільних точок (див.
рисунок).
У першому випадку √а>1, а>1, у другому
- √а< 1/√2 , а<1/2.
Відповідь: при а<1/2 або а>1.
C
A
D
у
х1

9. .
.
.
у=а
у=‫׀‬х²-6 ‫׀‬х‫8+׀‬ ‫׀‬
Графіком першого рівняння буде пряма
паралельна осі х;
Графіком другого рівняння буде
парабола,зміщена на три одиниці вправо
по осі х та на одиницю вниз по осі у, і
відображена відносно осі у та х по модулю.
Тобто:
у= |x²-6х+8->у=(x-2)(x-4)-
>y=(x-3)²-1
Отже
при а<0, розв’язків немає;
при а=0, 4 розв’язки;
при 0<а<1, 8 розв’язків;
при а=1, 6 розв’язків;
при 1<а<8, 4 розв’язки;
при а=8, 3 розв’язки;
при а>8, 2 розв’язки.
1
Знайдіть усі значення параметра а, при яких
система рівнянь має розв’язки:
у=а
y=(x-3)²-1
. ..1
.
8
.3
.
у
х
. 3
. .

10. Знайдіть кількість розв’язків відносно
параметра а:
.
.
.
.
.
‫׀‬х ‫׀‬ + ‫׀‬у ‫=׀‬ 1
х²+у²=а²
Якщо а≤0, то система розв’язків не має.
Розглянемо випадок, коли а>0:
Графік першого рівняння буде квадрат ABCD з
довжиною сторони √2, і при перетині його з
осями координат утвориться 4 прямокутних
рівнобедрених трикутника, висота кожного з
них дорівнює радіусу вписаного кола ( якщо б
коло дотикалось до сторони квадрата ), то
знайдемо довжину радіуса кола, при дотику,
або висоту трикутника:
х²+у²=а²=> х²+у²=r²=> r²=а²=> √r²=√а²
=> r=|a|.
1. АВ²=1²+1², АВ= √2;
2. Висота і медіана у прямокутному
рівнобедреному трикутнику дорівнює
половині гіпотенузи, тому висота і
медіана дорівнюють √2/2 або 1/√2 ;
Оскільки висота і медіана в прямокутному
рівнобедреному трикутнику дорівнюють
радіусу кола при дотику, то r=a=1/√2;
Тому маємо 5 випадків:
1) a< 1/√2, немає розв’язків;
2) а= 1/√2, 4 розв’язки;
3) 1/√2<a<1,8 розв’язки;
4) a=1, 4 розв’язки;
5) a>1, немає розв’язків.
х1
C
A
D B
у

11. . .
Тобто якщо а<1,розв’язків немає;
якщо 1<a<2, 2 розв’язки;
якщо а=2, 3 розв’язки;
якщо а>2, 4 розв’язки.
1
Знайдіть усі значення параметра а, при яких система рівнянь
має розв’язки:
1
.
.
.2
х
y
1

12. Скільки розв’язків має система відносно параметра а:
. ..
х²+у²+4х=0
х²+у²-2х=а²-2а
Перетворимо дані рівняння
системи:
Тому маємо 5 випадків:
1) a>3, немає розв’язків;
2) а=3, 1 розв’язок;
3) 1<a<3,2 розв’язки;
4) a=1, 1 розв’язок;
5) a<1, немає розв’язків.
у
х
1
2

13. При якому найменшому цілому додатному значенні параметра а
система рівнянь
х²+у²=36
у - а²х² = а
не має розв’язку?
• Перше рівняння задає коло
радіусом 6 з центром в початку
координат; друге рівняння –
парабола, вітками направлена
вгору (а²≥0) і з вершиною в
точці (0;а)
• Щоб система рівнянь не мала
розв’язку, необхідно, щоб ці
два графіка були розміщенні
так, як показано на рис., а
найменше ціле додатне
значення а=7.
У
Х
6
6-6
-6
0

14. При якому найменшому додатному значенні параметра а система
х²+у²=49
у = х² + а
має єдиний розв’язок?
• Перше рівняння задає коло
радіусом 7 з центром у початку
координат, друге рівняння –
парабола, вітками направлена
вгору.
• Щоб система рівнянь мала єдиний
розв’язок при найменшому
додатному значенні а, необхідно,
щоб графіки були розміщені так5,
як на рис. і а=7.
• Відповідь: а=7.
7
7
-7
-7
Х
У
0

15. При якому найбільшому значенні параметра а система
|x|+|y|=4
х² + у²= а²
має чотири розв’язки?
• Графік першого рівняння – квадрат з
центром у початку координат і
діагоналлю 8.
• Графік другого рівняння – коло з
центром у початку координат і радіусом
а.
• Система має чотири розв’язки, якщо
коло описане навколо квадрату або
вписане у квадрат.
• У першому випадку а=4, а у другому –
а=r=½AB=½√4²+4²=½√32=2√2
У
Х
4
4
-4
-4 0
А
В

16. При якому найменшому значенні параметра а система
|x|+|y|=7
х²+ (у-а)²=49
має єдиний розв’язок?
• Графік першого рівняння –
квадрат з центром у початку
координат і діагоналлю 14.
• Графік другого рівняння - коло з
центром 7.
• Система рівнянь має єдиний
розв’язок при найменшому
значенні параметра а, якщо
графіки розташовані так, як на
рис. і тоді а= -14.
У
х
0 7
7
-7
-7
-14