O slideshow foi denunciado.
Utilizamos seu perfil e dados de atividades no LinkedIn para personalizar e exibir anúncios mais relevantes. Altere suas preferências de anúncios quando desejar.
1
เมทริกซ
•นิยาม
•มิติของเมทริกซ
การเทากันของเมทริกซTransposeMatrixการบวกลบเมทริกซ
เมทริกซศูนย
การคูณเมทริกซ
ดวยส...
2
เมทริกซ
1.เมทริกซ
กลุมของจํานวนซึ่งถูกเขียนเรียงเปนแถวและเปนหลักหรือคอลัมน
ภายในเครื่องหมาย [ ] หรือ ( )
ตัวอยาง ...
3
2.การเทากันของเมทริกซ
เมทริกซ A เทากับ เมทริกซ B ก็ตอเมื่อ
ตัวอยาง เชน
1.
1 2 3 4
,
3 4 1 2
A B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜...
4
2. กําหนดให
1 2 2
,
4 6 4
x
A B
y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
และ A=B จงหาคา x
และ y
วิธีทํา A=B หมายความวา
1 2 2
4 6 ...
5
4.
2 7 2 7
5 0 5 0
x y
y x
2⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−1⎣ ⎦ ⎣ ⎦
จงหาคา x และ y
วิธีทํา
2 7 2 7
5 0 5 0
x y
y x
2⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−...
6
1. เมตริกซ
1 2
3 4
5 6
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา
t
A
วิธีทํา
A …..
1 2
3 4
5 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 3 5
2 4 6
⎡ ⎤
⎢ ...
7
1 0 2
...... 1 2 1
2 0 1
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1 2
0 2 0 ......
2 1 1
t
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
เมทริกซ A มีสมาชิกใน...
8
เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 1 คือ 3 , 4 , 1 , 2
∴เมทริกซ
t
A มีสมาชิกในหลักที่ 1 คือ 3 , 4 , 1 , 2
เมทริกซ A มีสมาชิกใ...
9
เมทริกซลบกัน คือ เมทริกซ A - เมทริกซ B เขียนแทนดวย เมทริกซ A-B คือ
เมทริกซที่นําสมาชิกของเมทริกซ A และเมทริกซ B ...
10
2
1 2...............(1)
2 3 8..............(2)
3 3.................(3)
x
y
x
+ =
+ =
= −
จากสมการ (1) และ (3)…… สามารถห...
11
1 2
1 4
2 1
+⎡ ⎤
⎢ ⎥− +⎢ ⎥
⎢ ⎥+⎣ ⎦
t
A B+
3
3
3
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
t
A B−
1 2
1 4
2 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥...
12
จากขอ 4) และ 5)……..เราเรียก 0 วาเปน เมทริกซเอกลักษณการบวก
(-A) วาเปน เมทริกซผกผันการบวกของ A
แบบฝกหัด
1. กําหน...
13
2. จงเขียนเมทริกซ 4 4[ ]ij xC c= ซึ่ง ijc =
3. จงหาคาของตัวแปร x และ y ที่ทําใหสมการเมทริกซตอไปนี้เปนจริง
3.1)
3 ...
14
3.3)
2
1 00
24 2
x
y yx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
4. จงพิจารณาวาเมทริกซที่กําหนดใหบวกกันไดหรือไม ถาไดจงหาผลบวก
4.1...
15
4.4) [ ]
2
3 , 1 4 5
7
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
4.5)
2
0
3 ,
0
4
⎡ ⎤
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
4.6)
7 5 3 1 2
,
3 1 2 7 5
0⎡ ⎤ ...
16
5.2) C-B
5.3) จงหาเมทริกซ X ซึ่งทําให A+X=C
6. กําหนด
0 1 2
1 0 3
2 3 0
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
จงหาคาของ t
A A+
17
7. ให
2 3 1 1 1 0
, ,
2 4 3 5 0 1
A B C
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
และ
a b
A B C
d c
⎛ ⎞
− + = ⎜ ⎟
⎝ ⎠...
18
ตัวอยาง เชน
1. ถา
1
1 0 3
A
2 6⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
จงหา 5 2A A−
วิธีทํา
1) หาเมทริกซ 5A
1
1 0 3
A
2 6⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
1)
5
5...
19
1 0
1 2
A
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= 2 1⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
2( 1) 0)
2
1) 2)
2 0
2
4
A
A
− 2(⎡ ⎤
⎢ ⎥= 2(2) 2(1)⎢ ⎥
⎢ ⎥2( 2(−⎣ ⎦
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= 4 2⎢ ⎥...
20
สมบัติการคูณเมทริกซดวยสเกลาร
ถา ,c d R∈ และ ,A B เปนเมทริกซมิติ mxn ใดๆ
1) 1 A A⋅ =
2) ( 1)A A− = −
3) ( ) ( ) (...
21
ถา
1 2 3
6
7 8 9
B
⎡ ⎤
⎢ ⎥= 4 5⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
สมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก คือ 1,5,9
เมทริกซเอกลักษณ คือ เมทริกซจัตุรัสที่มีส...
22
ตัวอยาง เชน
1. ถา A เปนเมทริกซ มิติ 2 x 3 และ B เปนเมทริกซ มิติ 3 x 2 แลว AxB
สามารถคูณกันได เปน เมทริกซ C ท...
23
1. ถา
2
A
1 2⎡ ⎤
⎢ ⎥= −1 0⎢ ⎥
⎢ ⎥3⎣ ⎦
และ B
1 5 2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−2 0 1⎣ ⎦
จงหา AB
วิธีทํา
2 3
3 2 3 3
3 5 4
1 5 2
2 1 15 8x
...
24
3 5 4
1 5 2
2 1 15 8
1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞
1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠
3 5 4
1 5 2
2 1 15...
25
2. ถา
1 2 1
2 1 2
1 1 2
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา AxB
วิธีทํา
1) พิจา...
26
2) หา t t
B A⋅
B
1 0⎡ ⎤
⎢ ⎥= 1 2⎢ ⎥
⎢ ⎥2 0⎣ ⎦
[ ]2 1 1A = −
t
B
1 1 2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥0 2 0⎣ ⎦
2
1
1
t
A
⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
2...
27
สมบัติการคูณของเมทริกซ
ถา S เปนเซตของเมทริกซมิติใดๆ และ , ,A B C S∈
1) A B S⋅ ∈
2) ( ) ( )AB C A BC=
3) IA AI A= =
...
28
1.2) 3B−
1.3) A−
1.4) 2 3B A−
2. กําหนดให
2 5
4 1
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
และ
4 3
1 2
B
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
จงหาคาของ 2 t
A B−
29
3. กําหนดให
2 1 4
3 0 5
A
−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
และ
1 0
1 2
4 3
B
⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
จงหา ,AB BA และ
( )t
AB
30
4. จงหาผลคูณของเมทริกซตอไปนี้
4.1) [ ]
1
2 1 1 3
4
x
⎡ ⎤
⎢ ⎥− ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
4.2) [ ]
5
3 2
1
x
⎡ ⎤
⎢ ⎥0 − 4 −⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦...
31
4.4)
4
5
0
x
−⎡ ⎤
3 − 2 1⎡ ⎤ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 5 7⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
4.5)
1 0
1 1x
⎡ ⎤
2 4 5⎡ ⎤ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥3 2 8⎣ ⎦ ⎢ ⎥0 −1⎣ ⎦
32
4.6)
1
2
3
4
x
⎡ ⎤
1 −5 4 3⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥2 3 4 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥3 2 3 2 ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
5. จงหา 3
A เมื่อกําหนดเมทริกซ A ตอไปน...
33
5.2)
1 0
0 1
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
6. กําหนด
2 2 1
, ,
3 2 0 1
x y y a
A B C
z y
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ถา...
34
7. จงหาคาของ x ที่ทําให [ ]2
3 4 2 1
1 6 0 1 1 0
5 2 1 2
x x
⎛ ⎞⎡ ⎤
⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤ − − =⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥
⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
8. กําหนด
...
35
9.ดีเทอรมิแนนต (Determinant)
เมทริกซที่สามารถหาคาดีเทอรมิแนนตได ก็ตอเมื่อ เมทริกซนั้นตองเปนเมทริกซจัตุรัส
9...
36
2. ถา
1 5
0 4
B
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา det( )B
วิธีทํา
det( ) (0)(5)
4 0
4
B
1 5
= = (1)(4) −
0 4
= −
=
3. ถา
1 1
1 0
C
−...
37
ตัวอยาง เชน
1. ถา
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา det(A)
วิธีทํา
1 2 3 2
det( ) 4 5 6 4 5
7 8 9 7 8
(...
38
9.3 การหาดีเทอรมิแนนตโดยวิธีตัวประกอบรวมเกี่ยว(Co-factor)
9.3.1 ไมเนอร (Minor) ของสมาชิกในเมทริกซ
ไมเนอร (Minor) ...
39
22 ( )M A
1 2 3
3 1 2
2 3 1
1 3
2 1
5−
23 ( )M A
1 2 3
3 1 2
2 3 1
1 2
2 3 1−
31( )M A
1 2 3
3 1 2
2 3 1
2 3
1 2 1
32 (...
40
1. จากตัวอยางที่แลวในหัวขอของไมเนอร
ถา
1 2 3
3 1 2
2 3 1
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
สามารถหา ( )ijC A ของสมาชิกตางๆใ...
41
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
21 21 22 22 23 23a C a C a C+ +
11 12 13
21 22 23
31 3...
42
2 3
0 1
0 0
a
b
c
31 32 33(0) (0) ( )C C c C+ +
det( )A 33cC
2) หา 33 ( )C A
33 ( )M A
2 3
0 1
0 0
a
b
c
2
0
a
b
ab
(3 ...
43
1 2 3
4 5 6
7 8 9
11 12 13(1) (2) (3)C C C+ +
det( )A 11 12 132 3C C C+ +
2) หา 11 12,C C และ 13C
11( )M A
1 2 3
4 5 6
...
44
(1 3) 4
13 13( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 3) 3C A M A+
= − = − − = −
3) 11 12 13det( ) 2 3A C C C= + +
( 3) 2(6) 3( 3)
( 3) 12 9...
45
ถา
a b
A
c d
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1 d b
A
c aad bc
− −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−− ⎝ ⎠
ตัวอยาง เชน
1. ถา
1 2
3 4
A
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา
1
...
46
1)
3 1
2 1 (1)( 2) (2)( ) (1)(1) (2)( )
1 2 2 2
3 1
3 4 3 1
(3)( 2) (4)( ) (3)(1) (4)( )2 2
2 2
−⎛ ⎞
− − + +⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜...
47
1
1
x
A A AB
y
x
AA AB
y
x
I AB
y
x
AB
y
−
−
⎡ ⎤⎡ ⎤
=⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎡ ⎤
=⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
∴ =⎢ ⎥
⎣ ⎦
2) ห...
48
1) หา
1
A−
1 1
2 1
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1 11
2 1( 1)(1) (2)(1)
A− −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
− −− − ⎝ ⎠
1 11
2 13
1 1
3 3
2 1
3 3
−⎛ ⎞
= ...
49
11 7
3 3
det( )
20 13
3 3
11 13 20 7
( )( ) ( )( )
3 3 3 3
1
3
C =
= −
=
4. ถา
1 2
3
A
a
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
1 1
2 1
B
−...
50
3) หา 2A I+
1 2 1 0
2 2
3 0 1
2 4 1 0
2 6 0 1
3 4
2 7
A I
a
a
a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠...
51
1 1
[ ( )]
det( )
A adj A
A
−
=
ขอสังเกต
1) ถาเมทริกซ A มีคา det( ) 0A = เราจะไมสามารถหาเมทริกซ 1
A−
ได
2) เมทริ...
52
(1 3) 4
13
2 1
( ) ( 1) ( 1)
1 1
C A + ⎛ ⎞
= − = − [(2)(−1)−(1)(1)] = −3⎜ ⎟
−⎝ ⎠
(2 1) 3
21
0 1
( ) ( 1) ( 1)
1 1
C A +...
53
จาก
1 1
[ ( )]
det( )
A adj A
A
−
=
1
1
1 1 1
1
2 0 2
2
3 1 1
1 1 1
2 2 2
1 0 1
3 1 1
2 2 2
A
A
−
−
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟− ...
54
(1 3) 4
13
0
( ) ( 1) ( 1)
0 0
b
C A + ⎛ ⎞
= − = − (0) = 0⎜ ⎟
⎝ ⎠
(2 1) 3
21
0 0
( ) ( 1) ( 1)
0
C A
c
+ ⎛ ⎞
= − = − (0...
55
1
1
1
1
[ ( )]
det( )
0 0
1
0 0
0 0
1
0 0
1
0 0
1
0 0
A adj A
A
bc
A ac
abc
ab
a
A
b
c
−
−
−
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ...
56
สมบัติของเมทริกซผกผันการคูณ
ให A เปนเมทริกซจัตุรัส มิติ nxn ใดๆ และ k R∈
1
1
11
1
11
1 1
1
1
2 1 0
3 4 3 5
2 6 8
2 ...
57
1) 1 1
AA A A I− −
= = เมื่อ I เปนเมทริกซเอกลักษณที่มีมิติเดียวกับ A
2)
1 1
( )A A− −
=
3)
1 11
( ) ( )kA A
k
− −
= ...
58
3 2
0 0 10 0 2 1
0 0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 0
A A A
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
= = ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
(0)(0) (0)(0) (10)(0) (0)(2) (0)(...
59
1.2)
2
1x xy
x y
⎛ ⎞−
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
1.3)
1 0 1
2 3 4
1 5 2
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1.4)
0 1 4
2 1 2
1 1 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
60
1.5)
1 2 5 2
2 0 1 2
1 3 8 0
1 1 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟
⎜ ⎟−1⎝ ⎠
2. กําหนด
6
5 6 0
9 1 1
x
x
5 7 5 6
− + =
8 8 9 ...
61
3. กําหนดให
1 3
0 2
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
3 4
1 2
B
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหาคาของ
3.1) det(A)
3.2) det(B)
3.3) det( )t
A
3.4...
62
3.6) det(A+B)
3.7)
1
det( )A−
3.8)
1
det( )B−
4. กําหนด
1 2 2 1 2 1
, ,
3 4 3 0 4 3
A B C
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟...
63
5. กําหนด
1 3
2 2
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
และ
2 1
1 4
B
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
จงหาคาของ
1 2
det(2 )t
A B−
6. กําหนด
2 0
1 1
A
−⎛ ⎞...
64
7. ถา
5 4 6
2 0 7
1 2 0
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหาคาของ
7.1) 13 ( )C A
7.2) 23 ( )C A
7.3) 33 ( )C A
65
8. กําหนด
4
3 8 0
1
x y
A
x y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
โดยที่ 21( ) 6C A = − และ 23 ( ) 4C A =
แลว 33 ( )C A เทากับเท...
66
9. ให A,B และ C เปน nxn เมทริกซ เมื่อ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 2 และ
det(A)=1 , det(B)=2 และ det(C)=-3 แลวจงหา
9....
67
11. กําหนดให A และ B เปนเมทริกซมิติ 2x2 ถา
5 4
2
8 16
A B
⎛ ⎞
+ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
2 1
1 5
A B
⎛ ⎞
− = ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
จงหา
1...
68
12. กําหนดให A เปนเมทริกซมิติ 2x2 และ det(A)=4 ถา I เปนเมทริกซเอกลักษณ
และ A-3I เปนเมทริกซเอกฐาน แลว det(A+3I...
69
13. ให A,B และ C เปนเมทริกซมิติ 3x3 ถา det(A)=-3 และ
1
2 3t t t
A B A C A−
− = − จงหา det(2 )t
C B−
14. จงหา 1
A−
1...
70
14.2)
1 1 1
1 0 1
1 1 0
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
15. กําหนดให
1 1
2 1
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
ถา B เปนเมทริกซ ที่ 1
2B A−
=...
71
16. ให A เปนเมทริกซ และ I เปนเมทริกซเอกลักษณมิติ 3x3 ถา
1 2 1 0 2 3
3 0 1 , 3 1 2
2 1 0 0 2 1
B C
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟...
72
17. ถา
1
1 1 1 2
0 0 1 , 0 1 1
0 1 1 0
a b
A A
c d
−
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
แลว จงหา a+b+c+d
73
11.การดําเนินการเชิงแถวของเมทริกซ
กําหนดให
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จากเมทริกซ A เราสามารถดําเนินกา...
74
3)
2
2
R
หมายความวา สมาชิกในแถวที่ 2 ใหม คือสมาชิกในแถวที่ 2 เดิมหารดวย 2
1 2 3 1 3
1
2 2 2 2 2
4 5 6 4 5 6
7 8 9 3 ...
75
1 2 3
3 3 3
6 2(3) 6 2(3) 6 2(3)− − −
1 2 3
3 3 3
0 0 0
0
=
=
1 2 3
4 5 6 0
7 8 9
∴ =
2. จงหา
1 0 1
2 1 0
1 1 1−
วิธีทํ...
76
0 1
2 1
(0)(1) (2)(1)
2
=
= −
= −
1 0 1
2 1 0 2
1 1 1
∴ = −
−
3. จงหา
2 1 0
4 3 5
2 6 8
วิธีทํา
2 1 0
4 3 5
2 6 8
2 1 0...
77
4. จงหา
0 2 1
5 1 2
9 3 3
−
− −
วิธีทํา
0 2 1
5 1 2
9 3 3
−
− −
0 2 1
5 2(0) 1 2(2) ( 2) 2(1)
9 3(0) ( 3) 3(2) ( 3) 1(3...
78
เขียน
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 0...
79
1 0 1 1 0 0
0 1 2 1 0
3 1 1
0 0
2 2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− − 2⎜ ⎟
⎜ ⎟− −
1⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1 1
1 0
2 2 2
0 1
3 1 1
0 0
2 2 2
−⎛ ⎞
0⎜ ...
80
2 1 1 0 0
3 2 0 1 0
1 3 0 0 1
−1⎛ ⎞
⎜ ⎟
− 2⎜ ⎟
⎜ ⎟− −3⎝ ⎠
1 1
1 0 0
2 2 2
3 2 0 1 0
1 3 0 0 1
−1⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− 2⎜ ⎟
⎜ ⎟−...
81
2 1
1 0 0 0
7 7
3 2
0 1 1 0
7 7
0 0 1 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−⎜ ⎟−
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−6 −1⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 1
1 0 0 0
7 7
3 2
0 1 1 0
7 7
1 1 ...
82
3. จงหา
1
A−
จาก
0 0
0 0
0 0
a
A b
c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมื่อ , , 0a b c ≠
วิธีทํา
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0 1
a
b
c
0...
83
สามารถเปลี่ยนเปนสมการเมทริกซไดดังนี้
11 1
2 2 2
ca b x
a b y c
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
เราสามารถหาเมทริกซ
...
84
61
33
2
1
x
y
x
y
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞−
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
12.2 สมการเชิงเสน 3 ตัวแปร
จะอยูในรูปแบบขางล...
85
1) เขียนสมการเมทริกซ
4 3 2 5
1 4 1 2
3 2 2 7
x
y
z
−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2) หาเ...
86
12.3 การใชกฎของคราเมอร
กําหนดระบบสมการเชิงเสน
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
...........(1)
..........(2)
..........(3)
a x...
87
1
3 2
3 84
2
2 1 42
3 2 2
1 3 3
y
2 5 −
3 −
1 − 2 −
= = =
−1
−
− −
2
2 42
1
2 1 42
3 2 2
1 3 3
z
2 1 5
3 − −3
1 −3 − −
...
88
ตัวอยาง เชน
1. ระบบสมการ
2 5
3 2 2 3
3 3 2
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + = −
− − = −
จงหารากของสมการ
วิธีทํา
2 1 1
3 2
...
89
1 0
0 1
0 0
0 1⎛ ⎞
⎜ ⎟
−1 3⎜ ⎟
⎜ ⎟−6 6⎝ ⎠
1 0
0 1
0 0
0 1⎛ ⎞
⎜ ⎟
−1 3⎜ ⎟
⎜ ⎟1 −1⎝ ⎠
1 0
0 1
0 0
0 1⎛ ⎞
⎜ ⎟
0 2⎜ ⎟
⎜ ⎟1 ...
90
1.2)
0 1 4
2 1 2
1 1 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1.3)
1 1
0 1 2 3
1 0 1 2
2 1 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟− 2 − 2⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
91
1.4)
0
0
0
a b
a c
b c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1.5)
1 2 4
3 8 0
1 2 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
92
1.6)
1 2 5 2
2 0 1 2
1 3 8 0
1 1 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟
⎜ ⎟−1⎝ ⎠
2.จงหา
1
A−
ของเมทริกซ A ตอไปนี้โดยการใชการดํ...
93
2.2)
1 0 2
2 6 4
3 1 6
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
2.3)
1 1 1
1 0 1
1 1 0
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
94
2.4)
1 1 0
0 1 2
3 0 1
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2.5)
1 1 1
2 3 19
1 7 8
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
95
2.6)
1 2 3
1 3 4
1 4 3
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
96
3.จงแกระบบสมการตอไปนี้โดยใชกฎของคราเมอร และการดําเนินการเชิงแถว
3.1)
2 3
3 2
x y
x y
− =
+ = −
97
3.2)
2 2
2 1
2 3 2 10
x y z
x y z
x y z
− − = −
− + + = −
+ − =
98
3.3)
2 9
2 0
3 2 11
x y z
x y z
x y z
− + =
+ − =
− + =
99
3.4)
2 2 1
3 2
2 2 2 0
3 1
x y z
x z t
x y z t
x y z t
+ − = −
+ − =
− + + + =
− + + =
100
3.5)
2 3 9
3 4
2 5 5 17
x y z
x y
x y z
− + =
− + = −
− + =
101
3.6)
3 3
2 3 20
7 23
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
+ + =
102
3.7)
2 4 1
2 2
3 2 3
x y z
x y
x y z
+ + =
+ = −
− − + =
103
4. กําหนดให
4 12 9
7 10 5
1 0 0
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ , ,B C D เปนเมทริกซมิติ 3x3 ซึ่ง
A B C D∼ ∼ ∼ โดยที่
...
104
6. กําหนดระบบสมการ
2
2
2 3
( 3)
x y z
x y z
x y k z k
+ + =
+ + =
+ + − =
จงหาจํานวนจริง k ที่ทําใหระบบสมการที่กําหนด...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)

10.337 visualizações

Publicada em

การคำนวณเกี่ยวกับเมทริกซ์เบื้องต้น เช่น การบวกลบคูณเมริกซ์ การหาดิเทอมิแนนท์ของเมทริกซ์ การหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ การแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้เมทรกซ์ เป็นต้น

Publicada em: Educação
  • Seja o primeiro a comentar

เมทริกซ์ระดับชั้นมัธยมปลาย(Matrix)

  1. 1. 1 เมทริกซ •นิยาม •มิติของเมทริกซ การเทากันของเมทริกซTransposeMatrixการบวกลบเมทริกซ เมทริกซศูนย การคูณเมทริกซ ดวยสเกลาร การคูณเมทริกซ ดวยเมทริกซ เมทริกซเอกลักษณ(I) Determinant Minor Co-factor ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ •มิติ2x2 •มิติ3x3 การสมการเชิงเสนโดยใชเมทริกซ กฎของคราเมอร adjointmatrix การดําเนินการเชิงแถว โจทยปญหา
  2. 2. 2 เมทริกซ 1.เมทริกซ กลุมของจํานวนซึ่งถูกเขียนเรียงเปนแถวและเปนหลักหรือคอลัมน ภายในเครื่องหมาย [ ] หรือ ( ) ตัวอยาง เชน 1 2 3 4 5 6 A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 11a คือสมาชิกแถวที่ 1 และหลักที่ 1 ………….ซึ่งก็คือ 1 12a คือสมาชิกแถวที่ 1 และหลักที่ 2 ………….ซึ่งก็คือ 2 13a คือสมาชิกแถวที่ 1 และหลักที่ 3 ………….ซึ่งก็คือ 3 21a คือสมาชิกแถวที่ 2 และหลักที่ 1 ………….ซึ่งก็คือ 4 22a คือสมาชิกแถวที่ 2 และหลักที่ 2 ………….ซึ่งก็คือ 5 23a คือสมาชิกแถวที่ 2 และหลักที่ 3 ………….ซึ่งก็คือ 6 A เปนเมตริกซที่มีแถว 2 แถว และหลัก 3 หลัก แถวที่ 1หลักที่ 2
  3. 3. 3 2.การเทากันของเมทริกซ เมทริกซ A เทากับ เมทริกซ B ก็ตอเมื่อ ตัวอยาง เชน 1. 1 2 3 4 , 3 4 1 2 A B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ เมทริกซ A ≠ เมทริกซ B เพราะวา 1) ถึงแม เมทริกซ A มีมิติ 2x2 และ เมทริกซ B มีมิติ 2x2 เทากัน 2) แต สมาชิกของเมทริกซ A ไมเหมือนกับสมาชิกของเมทริกซ B ทุกตัว คือ ให mna เปนสมาชิกของเมทริกซ A และ mnb เปนสมาชิกของเมทริกซ B เมื่อ , {1,2}m n∈ แลว 11 11 12 12 21 21 22 22 a b a b a b a b ≠ ≠ ≠ ≠ 1 3 2 4 3 1 4 2 ≠ ≠ ≠ ≠ เมตริกซ A มี มิติ ของเมทริกซ คือ (จํานวนแถว)x(จํานวนหลัก) ซึ่งก็คือ 2x3 มีมิติเทากัน มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
  4. 4. 4 2. กําหนดให 1 2 2 , 4 6 4 x A B y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ และ A=B จงหาคา x และ y วิธีทํา A=B หมายความวา 1 2 2 4 6 4 x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1x∴ = และ 6y = 3. ถา 3 2 3 2 2 1 2 4 0 4 0 x y x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ จงหาคา x และ y วิธีทํา 3 2 3 2 2 1 2 4 0 4 0 x y x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ แสดงวา…………… ( ) ( ) 2 1.......... 1 2 ............... 2 x x y y = − = จากสมการ……...…..(1)…………x=1 และจากสมการ……….(2)…………y=0 เทากัน เทากัน เทากัน เทากัน
  5. 5. 5 4. 2 7 2 7 5 0 5 0 x y y x 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−1⎣ ⎦ ⎣ ⎦ จงหาคา x และ y วิธีทํา 2 7 2 7 5 0 5 0 x y y x 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−1⎣ ⎦ ⎣ ⎦ แสดงวา…………… ( ) ( ) 2 ............... 1 1........... 2 x y y x = = − นําสมการ (1)-(2)…………………. ( 1) 2 1 1 x x y y x x y y − − = − − + = ∴ = แทนคา y=1 ลงในสมการ (1) ………... 2 2(1) 2 x y x x = = ∴ = 3.เมทริกซสลับเปลี่ยน (Transpose Matrix) เมทริกซที่มีการสลับเปลี่ยน สมาชิกจากแถวเปนหลัก และจากหลักเปนแถว เราแทนเมทริกซที่สลับเปลี่ยนแลวดวย t A วาเปนเมทริกซสลับเปลี่ยนของเมทริกซ A ตัวอยาง เชน เทากัน เทากัน
  6. 6. 6 1. เมตริกซ 1 2 3 4 5 6 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหา t A วิธีทํา A ….. 1 2 3 4 5 6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 5 2 4 6 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ……. t A เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 1 คือ 1 , 2 ∴เมทริกซ t A มีสมาชิกในหลักที่ 1 คือ 1 , 2 เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 2 คือ 3 , 4 ∴เมทริกซ t A มีสมาชิกในหลักที่ 2 คือ 3 , 4 เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 3 คือ 5 , 6 ∴เมทริกซ t A มีสมาชิกในหลักที่ 3 คือ 5 , 6 ขอสังเกต - มิติของเมทริกซ A คือ 3x2 มิติของเมทริกซ t A คือ 2x3 2. เมตริกซ 1 0 2 1 2 1 2 0 1 A −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหา t A วิธีทํา
  7. 7. 7 1 0 2 ...... 1 2 1 2 0 1 A −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 2 0 2 0 ...... 2 1 1 t A −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 1 คือ -1 , 0 , 2 ∴เมทริกซ t A มีสมาชิกในหลักที่ 1 คือ -1 , 0 , 2 เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 2 คือ 1 , 2 , -1 ∴เมทริกซ t A มีสมาชิกในหลักที่ 2 คือ 1 , 2 , -1 เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 3 คือ 2 , 0 , 1 ∴เมทริกซ t A มีสมาชิกในหลักที่ 3 คือ 2 , 0 , 1 3. เมตริกซ 3 4 1 2 5 6 7 4 3 2 1 5 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ จงหา t A วิธีทํา 3 4 1 2 ........ 5 6 7 4 3 2 1 5 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 3 6 ......... 1 2 4 5 t A 5 3⎡ ⎤ ⎢ ⎥4 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 7 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
  8. 8. 8 เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 1 คือ 3 , 4 , 1 , 2 ∴เมทริกซ t A มีสมาชิกในหลักที่ 1 คือ 3 , 4 , 1 , 2 เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 2 คือ 5 , 6 , 7 , 4 ∴เมทริกซ t A มีสมาชิกในหลักที่ 2 คือ 5 , 6 , 7 , 4 เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 3 คือ 3 , 2 , 1 , 5 ∴เมทริกซ t A มีสมาชิกในหลักที่ 3 คือ 3 , 2 , 1 , 5 4.เมทริกซศูนย เมทริกซที่มีสมาชิกทุกตัวเปนศูนย ตัวอยาง เชน - เมทริกซศูนยที่มี มิติ 1x1 คือ [ ]0 - เมทริกซศูนยที่มี มิติ 1x2 คือ [ ]0 0 - เมทริกซศูนยที่มี มิติ 2x2 คือ 0 0 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ - เมทริกซศูนยที่มี มิติ 3x2 คือ 0 0 0 0 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ……………..เปนตน 5.การบวกลบเมทริกซ เมทริกซที่สามารถนํามาบวกลบกันไดตองเปนเมทริกซที่มี มิติ เหมือนกัน เมทริกซบวกกัน คือ เมทริกซ A + เมทริกซ B เขียนแทนดวย เมทริกซ A+B คือ เมทริกซที่นําสมาชิกของเมทริกซ A และเมทริกซ B ในแถวและหลักเดียวกัน มาบวกกัน
  9. 9. 9 เมทริกซลบกัน คือ เมทริกซ A - เมทริกซ B เขียนแทนดวย เมทริกซ A-B คือ เมทริกซที่นําสมาชิกของเมทริกซ A และเมทริกซ B ในแถวและหลักเดียวกัน มาลบกันตามลําดับ ตัวอยาง เชน 1. เมทริกซ 1 2 3 4 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ และเมทริกซ 5 6 7 8 B ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหาเมทริกซ A B+ วิธีทํา 1) เมทริกซ A มีมิติเดียวกับ เมทริกซ B คือ 2x2 สามารถหา A+B ได 2) 1 2 5 6 3 4 7 8 A B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 5 2 6 3 7 4 8 6 8 10 12 A B A B + +⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ∴ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2. ถา 2 1 2 2 82 5 9 34 2 yx y xx ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ แลวจงหาคา x+y วิธีทํา 2 2 2 1 2 2 82 5 9 34 2 2 81 (2 ) 2 9 34 5 2 2 81 2 3 9 39 3 yx y xx x y y x x x y x ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ + + ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ + ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠
  10. 10. 10 2 1 2...............(1) 2 3 8..............(2) 3 3.................(3) x y x + = + = = − จากสมการ (1) และ (3)…… สามารถหาคา x=-1 ไดดังนี้ 2 2 1 2 1 1, 1 x x x + = = = − 3 3 3 3 1 x x x = − − = = − จากสมการ (2) ………..2 3 8y+ = 3 6 6 3 2 y y y = = ∴ = ( 1) 2 1x y∴ + = − + = 3. ให [ ]1 1 2A = − และ 2 4 1 B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ จงหา ,t t A B A B+ − วิธีทํา t A B+ [ ]1 1 2A = − 1 2 1 4 2 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ คาที่เลือก
  11. 11. 11 1 2 1 4 2 1 +⎡ ⎤ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ t A B+ 3 3 3 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ t A B− 1 2 1 4 2 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 2 1 4 2 1 −⎡ ⎤ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 1 5 1 −⎡ ⎤ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ t A B− สมบัติการบวกของเมทริกซ ถา S เปนเซตของเมทริกซมิติใดๆ และ , ,A B C S∈ 1) A B S+ ∈ 2) A B B A+ = + 3) ( ) ( )A B C A B C+ + = + + 4) 0 0A A A+ = + = เมื่อ 0 เปนเมทริกซศูนยที่มีมิติเทากับ A 5) ( ) ( ) 0A A A A+ − = − + = 6) ( )t t t A B A B+ = +
  12. 12. 12 จากขอ 4) และ 5)……..เราเรียก 0 วาเปน เมทริกซเอกลักษณการบวก (-A) วาเปน เมทริกซผกผันการบวกของ A แบบฝกหัด 1. กําหนดเมทริกซตอไปนี้ 1 4 5 2 1 , 7 2 6 0 1 12 8 9 3 A B ⎛ ⎞ − 5⎡ ⎤ ⎜ ⎟ = =⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.1) จงหามิติของเมทริกซ A และ เมทริกซ B 1.2) จงหา 2 23 32 12( )a b a+ − 1.3) จงหา 22 334 3a b+
  13. 13. 13 2. จงเขียนเมทริกซ 4 4[ ]ij xC c= ซึ่ง ijc = 3. จงหาคาของตัวแปร x และ y ที่ทําใหสมการเมทริกซตอไปนี้เปนจริง 3.1) 3 2 3 2 2 1 4 4 x y x y ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 0⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3.2) 2 2 2 5 5 1 x y y x 7 7⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 − 0⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ,i i j= ,i j i j+ ≠
  14. 14. 14 3.3) 2 1 00 24 2 x y yx ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 4. จงพิจารณาวาเมทริกซที่กําหนดใหบวกกันไดหรือไม ถาไดจงหาผลบวก 4.1) 1 3 2 5 , 5 2 3 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4.2) 2 3 0 0 , 5 4 0 0 −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4.3) 1 2 3 5 0 , 3 4 4 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8⎝ ⎠ ⎝ ⎠
  15. 15. 15 4.4) [ ] 2 3 , 1 4 5 7 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 4.5) 2 0 3 , 0 4 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ 4.6) 7 5 3 1 2 , 3 1 2 7 5 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥0⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 5. กําหนด , ,A B C 0 − 2 3 1 − 2 7 5 0 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 4 −1 4 2 −8 3 −1 − 2⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ จงหา 5.1) A+B
  16. 16. 16 5.2) C-B 5.3) จงหาเมทริกซ X ซึ่งทําให A+X=C 6. กําหนด 0 1 2 1 0 3 2 3 0 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ จงหาคาของ t A A+
  17. 17. 17 7. ให 2 3 1 1 1 0 , , 2 4 3 5 0 1 A B C −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ และ a b A B C d c ⎛ ⎞ − + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ แลว จงหาคาของ 2a-b+c+d 6.การคูณเมทริกซดวยสเกลาร ถา A เปนเมทริกซมิติใดๆ และ k เปนจํานวนจริงใดๆ kA คือ เมทริกซที่เกิดจาก การนํา k คูณเขาไปในสมาชิกทุกตัวของเมทริกซ A ij mxn ij mxn A a kA ka ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦
  18. 18. 18 ตัวอยาง เชน 1. ถา 1 1 0 3 A 2 6⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ จงหา 5 2A A− วิธีทํา 1) หาเมทริกซ 5A 1 1 0 3 A 2 6⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 1) 5 5( 1) 0) 3) 5 A A 5( 5(2) 5(6)⎡ ⎤ = ⎢ ⎥− 5( 5(⎣ ⎦ 5 10 30⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−5 0 15⎣ ⎦ 2) หาเมทริกซ 2A 1 1 0 3 A 2 6⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 1) 2 2( 1) 0) 3) 2 A A 2( 2(2) 2(6)⎡ ⎤ = ⎢ ⎥− 2( 2(⎣ ⎦ 2 4 12⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−2 0 6⎣ ⎦ 3) หาเมทริกซ 5 2A A− 5 2 5 0 5 2 ( 5 0 5 2 3 0 A A A A A A 5 10 30 2 4 12⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− 15 −2 0 6⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5− 2) (10− 4) (30 −12)⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥− −(−2)) ( −0) (15− 6)⎣ ⎦ 3 6 18⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥− 9⎣ ⎦ 2. ถา 1 0 1 2 A −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ จงตรวจสอบวา (2 ) 2t t A A= หรือไม วิธีทํา 1) หาเมทริกซ (2 )t A
  19. 19. 19 1 0 1 2 A −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 2( 1) 0) 2 1) 2) 2 0 2 4 A A − 2(⎡ ⎤ ⎢ ⎥= 2(2) 2(1)⎢ ⎥ ⎢ ⎥2( 2(−⎣ ⎦ −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= 4 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥2 −⎣ ⎦ (2 )t A −2 4 2⎡ ⎤ = ⎢ ⎥0 2 − 4⎣ ⎦ 2) หาเมทริกซ 2 t A 1 0 1 2 A −⎡ ⎤ ⎢ ⎥= 2 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 1 1t A − 2⎡ ⎤ = ⎢ ⎥0 1 − 2⎣ ⎦ 2( 1) 1) 2 2 2 t t A A − 2(2) 2(⎡ ⎤ = ⎢ ⎥2(0) 2(1) 2(−2)⎣ ⎦ − 4 2⎡ ⎤ = ⎢ ⎥0 2 − 4⎣ ⎦ 3) (2 ) 2t t A A∴ =
  20. 20. 20 สมบัติการคูณเมทริกซดวยสเกลาร ถา ,c d R∈ และ ,A B เปนเมทริกซมิติ mxn ใดๆ 1) 1 A A⋅ = 2) ( 1)A A− = − 3) ( ) ( ) ( )cd A c dA d cA= = 4) ( )c A B cA cB± = ± 5) ( )c d A cA dA+ = + 6) ( )t t cA cA= 7.เมทริกซเอกลักษณสําหรับการคูณ (I) 7.1 เมทริกซจัตุรัส เมทริกซที่มี จํานวนแถว เทากับ จํานวนหลัก ตัวอยาง เชน [ ] 1 2 3 1 2 1 , , ,... 3 4 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥4 5 6⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥7 8 9⎣ ⎦ เปนตน 7.2 เมทริกซเอกลักษณ (I) ถา A เปนเมทริกซจัตุรัส เรียกสมาชิกในแนวทแยงมุมจากซายบนลงมาลางขวาวา “สมาชิกใน แนวทแยงมุมหลัก” เชน ถา 1 2 3 4 A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ สมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก คือ 1,4
  21. 21. 21 ถา 1 2 3 6 7 8 9 B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= 4 5⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ สมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก คือ 1,5,9 เมทริกซเอกลักษณ คือ เมทริกซจัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก เปน 1 ทั้งหมด และสมาชิกตัวอื่น เปน 0 ทั้งหมด เราใชสัญลักษณ nI แทนเมทริกซเอกลักษณมิติ nxn เชน 2 3 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 I ⎛ ⎞ 0⎡ ⎤ ⎜ ⎟ = , Ι =⎢ ⎥ ⎜ ⎟0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ เปนตน 8.การคูณเมทริกซดวยเมทริกซ 8.1 การพิจารณาวาเมทริกซ 2 เมทริกซคูณกันได ใหเมทริกซ ij mxn ij pxq A a b ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎡ ⎤Β = ⎣ ⎦ เมทริกซ A คูณกับ เมทริกซ B เขียนสัญลักษณเปน AxB จะไดเมทริกซ C ซึ่งมีคุณสมบัติดังนี้ ij m x n ij p x qAxB a x b⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ij m x qC c⎡ ⎤= ⎣ ⎦ AxB สามารถคูณกันได เมื่อ จํานวนหลัก ของเมทริกซ A เทากับจํานวนแถวของเมทริกซ B เมื่อ , , ,m n p q I+ ∈ n p=
  22. 22. 22 ตัวอยาง เชน 1. ถา A เปนเมทริกซ มิติ 2 x 3 และ B เปนเมทริกซ มิติ 3 x 2 แลว AxB สามารถคูณกันได เปน เมทริกซ C ที่มีมิติ 2x2 2. ถา A เปนเมทริกซ มิติ 1 x 3 และ B เปนเมทริกซ มิติ 2 x 2 แลว AxB ไม สามารถคูณกันได เพราะจํานวนหลักของเมทริกซ A ไมเทากับจํานวนแถวของเมทริกซ B 8.2 การหาสมาชิกของผลคูณของเมทริกซ A x B C= หรือ อาจเขียน AxB เปน AB ตัวอยาง เชน เทากัน ไมเทากัน เมทริกซตัวตั้ง เมทริกซตัวคูณ เมทริกซผลคูณ สมาชิกของเมทริกซผลคูณ ในแถวที่ i หลักที่ j สมาชิก ในแถวที่ i ของเมทริกซตัวตั้ง สมาชิก ในหลักที่ j ของเมทริกซตัวคูณx คูณกันเปนคูๆตามลําดับ แลวนํามาบวกกัน
  23. 23. 23 1. ถา 2 A 1 2⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −1 0⎢ ⎥ ⎢ ⎥3⎣ ⎦ และ B 1 5 2⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−2 0 1⎣ ⎦ จงหา AB วิธีทํา 2 3 3 2 3 3 3 5 4 1 5 2 2 1 15 8x x x 1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 3 5 4 1 5 2 2 1 15 8 1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 3 5 4 1 5 2 2 1 15 8 1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 3 5 4 1 5 2 2 1 15 8 1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠ (1)(1)+(2)(-2)= -3 เทากันคูณกันได (1)(5)+(2)(0)= 5 (1)(2)+(2)(1)= 4 (-1)(1)+(0)(-2)= -1
  24. 24. 24 3 5 4 1 5 2 2 1 15 8 1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 3 5 4 1 5 2 2 1 15 8 1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 3 5 4 1 5 2 2 1 15 8 1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 3 5 4 1 5 2 2 1 15 8 1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 3 5 4 1 5 2 2 1 15 8 1 2 −⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 1 5 2⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥−1 0 ⋅ = − − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −2 0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥3 −⎣ ⎦ ⎝ ⎠ (-1)(5)+(0)(0)= -5 (-1)(2)+(0)(1)= -2 (3)(1)+(2)(-2)= -1 (3)(5)+(2)(0)= 15 (3)(2)+(2)(1)= 8
  25. 25. 25 2. ถา 1 2 1 2 1 2 1 1 2 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ และ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหา AxB วิธีทํา 1) พิจารณาวา AxB สามารถคูณกันได 3 3 3 3 1 2 1 1 0 0 2 1 2 0 1 0 1 1 2 0 0 1x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2) 1 2 1 1 0 0 (1)(1) (2)(0) (1)(0) (1)(0) (2)(1) (1)(0) (1)(0) (2)(0) (1)(1) 2 1 2 0 1 0 (2)(1) (1)(0) (2)(0) (2)(0) (1)(1) (2)(0) (2)(0) (1)(0) (2)(1) 1 1 2 0 0 1 (1)(1) (1)(0) (2)(0) (1)(0) (1)(1) (2)(0) x + + + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1)(0) (1)(0) (2)(1) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ 1 2 1 1 0 0 1 2 1 2 1 2 0 1 0 2 1 2 1 1 2 0 0 1 1 1 2 x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3. ถา [ ]2 1 1A = − และ B 1 0⎡ ⎤ ⎢ ⎥= 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥2 0⎣ ⎦ จงตรวจสอบวา ( )t t t A B B A⋅ = ⋅ วิธีทํา 1) หา ( )t A B⋅ [ ]2 1 1A B = − 1 0⎡ ⎤ ⎢ ⎥= 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥2 0⎣ ⎦ [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 1 (2)(1) ( 1)(1) (1)(2) (2)(0) ( 1)(2) (1)(0) 2 1 2 0 2 0 3 2 A B A B A B A B 1 0⎡ ⎤ ⎢ ⎥⋅ = − ⋅ 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥2 0⎣ ⎦ ⋅ = + − + + − + ⋅ = − + − + ⋅ = − 3 ( ) 2 t A B ⎡ ⎤ ⋅ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ เทากันคูณกันได
  26. 26. 26 2) หา t t B A⋅ B 1 0⎡ ⎤ ⎢ ⎥= 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥2 0⎣ ⎦ [ ]2 1 1A = − t B 1 1 2⎡ ⎤ = ⎢ ⎥0 2 0⎣ ⎦ 2 1 1 t A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 1 1 (1)(2) (1)( 1) (2)(1) (0)(2) (2)( 1) (0)(1) 2 1 2 0 2 0 3 2 t t t t t t t t B A B A B A B A ⎡ ⎤ 1 1 2⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 2 0⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ + − +⎡ ⎤ = ⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦ − +⎡ ⎤ = ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ∴ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 3) ( )t t t AB B A∴ = ⋅
  27. 27. 27 สมบัติการคูณของเมทริกซ ถา S เปนเซตของเมทริกซมิติใดๆ และ , ,A B C S∈ 1) A B S⋅ ∈ 2) ( ) ( )AB C A BC= 3) IA AI A= = เมื่อ A เปนเมทริกซจัตุรัส และ I เปนเมทริกซเอกลักษณที่มีมิติเดียวกับ A 4) ( ) ( ) A B C AB AC B C A BA CA + = + + = + 5) ( )t t t AB B A= แบบฝกหัด 1. กําหนดให 1 3 4 5 A −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ และ 0 4 2 1 B ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ จงหาเมทริกซตอไปนี้ 1.1) 4A
  28. 28. 28 1.2) 3B− 1.3) A− 1.4) 2 3B A− 2. กําหนดให 2 5 4 1 A −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ และ 4 3 1 2 B ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ จงหาคาของ 2 t A B−
  29. 29. 29 3. กําหนดให 2 1 4 3 0 5 A −⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ และ 1 0 1 2 4 3 B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ จงหา ,AB BA และ ( )t AB
  30. 30. 30 4. จงหาผลคูณของเมทริกซตอไปนี้ 4.1) [ ] 1 2 1 1 3 4 x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 4.2) [ ] 5 3 2 1 x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥0 − 4 −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 4.3) 8 2 3 2 x ⎡ ⎤ 1 8⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−1 0 4⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
  31. 31. 31 4.4) 4 5 0 x −⎡ ⎤ 3 − 2 1⎡ ⎤ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 5 7⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 4.5) 1 0 1 1x ⎡ ⎤ 2 4 5⎡ ⎤ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥3 2 8⎣ ⎦ ⎢ ⎥0 −1⎣ ⎦
  32. 32. 32 4.6) 1 2 3 4 x ⎡ ⎤ 1 −5 4 3⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2 3 4 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥3 2 3 2 ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 5. จงหา 3 A เมื่อกําหนดเมทริกซ A ตอไปนี้ 5.1) 1 1 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
  33. 33. 33 5.2) 1 0 0 1 −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ 6. กําหนด 2 2 1 , , 3 2 0 1 x y y a A B C z y +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ถา AB C= แลว a=?
  34. 34. 34 7. จงหาคาของ x ที่ทําให [ ]2 3 4 2 1 1 6 0 1 1 0 5 2 1 2 x x ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤ − − =⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦ 8. กําหนด 0 6 6 , 4 2 4 4 a A B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ และ 0 4 0 4 C ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ คา a ที่สอดคลองกับ สมการ ( ) ( ) (4 )t t t t t A B B A C+ = มีคาเทากับเทาใด
  35. 35. 35 9.ดีเทอรมิแนนต (Determinant) เมทริกซที่สามารถหาคาดีเทอรมิแนนตได ก็ตอเมื่อ เมทริกซนั้นตองเปนเมทริกซจัตุรัส 9.1 ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซมิติ 2x2 ถา เมทริกซ a b A c d ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ เมทริกซ A สามารถหาคาดีเทอรมิแนนตของ A เขียน แทนดวย det(A) หรือ A det( ) a b A ad bc c d = = − หลักการจํา a b A ad bc c d = = − ตัวอยาง เชน 1. ถา 2 2 2 4 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหา det( )A วิธีทํา det( ) (2)(2) 8 4 4 A 2 2 = = (2)(4) − 2 4 = − = (+) (-) (+) (-) det( )A
  36. 36. 36 2. ถา 1 5 0 4 B ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหา det( )B วิธีทํา det( ) (0)(5) 4 0 4 B 1 5 = = (1)(4) − 0 4 = − = 3. ถา 1 1 1 0 C −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ จงหา det( )C วิธีทํา det( ) ( 1)(1) 0 1 1 C −1 1 = = (−1)(0) − − −1 0 = + = 9.2 ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซมิติ 3x3 ถา เมทริกซ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ สามารถหา det(A) ไดดังนี้ 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 det( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = + + − − − 12( )a (+) (-) det( )B (+) (-) det( )C (+) (+) (+) (-) (-) (-)
  37. 37. 37 ตัวอยาง เชน 1. ถา 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหา det(A) วิธีทํา 1 2 3 2 det( ) 4 5 6 4 5 7 8 9 7 8 (1)(5)(9) (2)(6)(7) (3)(4)(8) (7)(5)(3) (8)(6)(1) (9)(4)(2) 45 84 96 105 48 72 0 A 1 = = + + − − − = + + − − − = 2. ถา 2 3 0 1 0 0 a A b c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหา det(A) วิธีทํา 2 3 2 det( ) (2)(1)(0) (3)(0)(0) (0)( )(3) (0)(1)(9) ( )(0)(2) 0 0 0 0 0 a a A b b c abc b c abc abc = 0 1 0 0 0 0 0 = + + − − − = + + − − − = (+)(+)(+) (-) (-)(-) (+)(+)(+) (-) (-)(-)
  38. 38. 38 9.3 การหาดีเทอรมิแนนตโดยวิธีตัวประกอบรวมเกี่ยว(Co-factor) 9.3.1 ไมเนอร (Minor) ของสมาชิกในเมทริกซ ไมเนอร (Minor) ของสมาชิกในเมทริกซ A คือ ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซที่เกิดจาก การตัดแถวและหลักที่สมาชิกนั้นอยูออกไป ใชสัญลักษณ ( )ijM A แทน ไมเนอรของสมาชิก ในแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ A ตัวอยาง เชน 1. ถา 1 2 3 3 1 2 2 3 1 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จะสามารถหาไมเนอรของสมาชิกตางๆในเมทริกซ A ได ดังนี้ 11( )M A 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 2 3 1 5− 12 ( )M A 1 2 3 3 1 2 2 3 1 3 2 2 1 1− 13 ( )M A 1 2 3 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 7 21( )M A 1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 3 3 1 7−
  39. 39. 39 22 ( )M A 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 3 2 1 5− 23 ( )M A 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1− 31( )M A 1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 3 1 2 1 32 ( )M A 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 3 3 2 7− 33 ( )M A 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 2 3 1 5− 9.3.2 ตัวประกอบรวมเกี่ยว (Co-factor) ของสมาชิกในเมทริกซ ตัวประกอบรวมเกี่ยว (Co-factor) ของสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j เขียนแทนดวย ( )ijC A คือ ผลคูณของ ( ) ( 1) i j+ − กับ ( )ijM A ( ) ( ) ( 1) ( )i j ij ijC A M A+ = − ตัวอยาง เชน
  40. 40. 40 1. จากตัวอยางที่แลวในหัวขอของไมเนอร ถา 1 2 3 3 1 2 2 3 1 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ สามารถหา ( )ijC A ของสมาชิกตางๆในเมทริกซ A ไดดังนี้ (1 1) 2 11 11( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 5) 5C A M A+ = − = − − = − (1 2) 3 12 12( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)C A M A+ = − = − − = 1 (1 3) 4 13 13( ) ( 1) ( ) ( 1) (7)C A M A+ = − = − = 7 (2 1) 3 21 21( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 7)C A M A+ = − = − − = 7 (2 2) 4 22 22( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 5) 5C A M A+ = − = − − = − (2 3) 5 23 23( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)C A M A+ = − = − − = 1 (3 1) 4 31 31( ) ( 1) ( ) ( 1) (1)C A M A+ = − = − = 1 (3 2) 5 32 32( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 7)C A M A+ = − = − − = 7 (3 3) 6 33 33( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 5) 5C A M A+ = − = − − = − 9.3.3 การหาดีเทอรมิแนนตแบบใชตัวประกอบรวมเกี่ยว ถา 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ det( )A 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 11 11 12 12 13 13a C a C a C+ +
  41. 41. 41 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 21 21 22 22 23 23a C a C a C+ + 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 31 31 32 32 33 33a C a C a C+ + 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 11 11 21 21 31 31a C a C a C+ + 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 12 12 22 22 32 32a C a C a C+ + 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 13 13 23 23 33 33a C a C a C+ + การหา det(A) โดยวิธีนี้ สามารถหาได 6 แบบ ซึ่งทั้ง 6 แบบ จะใหคาออกมา เทากัน คือ เปนคาของ det(A)……… ตัวอยาง เชน 1. กําหนดให 2 3 0 1 0 0 a A b c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหา det(A) วิธีทํา 1) เลือก แถว หรือ หลัก ของเมทริกซที่ทําใหสามารถหาคา det(A) ไดโดยงาย
  42. 42. 42 2 3 0 1 0 0 a b c 31 32 33(0) (0) ( )C C c C+ + det( )A 33cC 2) หา 33 ( )C A 33 ( )M A 2 3 0 1 0 0 a b c 2 0 a b ab (3 3) 33 33 6 ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) C A M A ab ab + = − = − = 3) 33det( ) ( )A cC c ab abc= = = 2. กําหนดให 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหา det(A) วิธีทํา 1) เลือก แถว หรือ หลัก ของเมทริกซ A
  43. 43. 43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13(1) (2) (3)C C C+ + det( )A 11 12 132 3C C C+ + 2) หา 11 12,C C และ 13C 11( )M A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 6 8 9 3− 12 ( )M A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 6 7 9 6− 13 ( )M A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 7 8 3− (1 1) 2 11 11( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 3) 3C A M A+ = − = − − = − (1 2) 3 12 12( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 6)C A M A+ = − = − − = 6
  44. 44. 44 (1 3) 4 13 13( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 3) 3C A M A+ = − = − − = − 3) 11 12 13det( ) 2 3A C C C= + + ( 3) 2(6) 3( 3) ( 3) 12 9 0 = − + + − = − + − = สมบัติของดีเทอรมิแนนต ให , ,A B C เปนเมทริกซจัตุรัสที่มีมิติ nxn ใดๆ 1) t A A= 2) n kA k A= 3) AB A B= 4) mm A A= 5) 1 1 A A − = เมื่อ 1 A− คือ เมทริกซผกผันการคูณของเมทริกซ A 10.ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ 10.1 ตัวผกผันการคูณของเมทริกซที่มีมิติ 2x2 ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ A คือ เมทริกซที่คูณกับเมทริกซ A แลวไดเมทริกซ เอกลักษณ (I) ใชสัญลักษณ 1 A− แทน ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ A 1 1 A A A A I− − ⋅ = ⋅ =
  45. 45. 45 ถา a b A c d ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 d b A c aad bc − −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ −− ⎝ ⎠ ตัวอยาง เชน 1. ถา 1 2 3 4 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหา 1 A− วิธีทํา จากสูตร 1 1 d b A c aad bc − −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ −− ⎝ ⎠ 4 21 3 1(1)(4) (3)(2) 4 21 3 12 2 1 3 1 2 2 −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ −− ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ −− ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ การตรวจสอบ จากผลลัพธที่ได คือ เมทริกซ 2 1 3 1 2 2 −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 2 1 1 2 1 2 1 0 3 1 3 1 3 4 3 4 0 1 2 2 2 2 − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
  46. 46. 46 1) 3 1 2 1 (1)( 2) (2)( ) (1)(1) (2)( ) 1 2 2 2 3 1 3 4 3 1 (3)( 2) (4)( ) (3)(1) (4)( )2 2 2 2 −⎛ ⎞ − − + +⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎜ ⎟− + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 3 1 1 6 6 3 2 1 0 0 1 − + −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − + −⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2) 2 1 ( 2)(1) (1)(3) ( 2)(2) (1)(4) 1 2 3 1 3 1 3 1 3 4 ( )(1) ( )(3) ( )(2) ( )(4) 2 2 2 2 2 2 − − + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 3 4 4 3 3 3 2 2 2 1 0 0 1 − + − +⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3) 1 2 1 1 2 3 1 3 4 2 2 − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟∴ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2. ถา 2 4 1 5 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ และ 3 5 B ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ แลว คา x+y ที่ไดจากสมการ 1 x A B y − ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ คือเทาใด วิธีทํา 1) ใชสมบัติ 1 1 A A A A I− − ⋅ = ⋅ = จากสมการ 1 x A B y − ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ นําเมทริกซ A คูณทั้ง 2 ขาง
  47. 47. 47 1 1 x A A AB y x AA AB y x I AB y x AB y − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ∴ =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2) หา x y ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 4 3 1 5 5 (2)(3) (4)(5) (1)(3) (5)(5) 26 28 x AB y x y x y x y ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∴ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 26, 28x y∴ = = 3) 26 28 54x y+ = + = 3. ถา 1 1 2 1 A −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ และ 2 1 3 2 B ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ และ 1 2C A B− = + แลว det( )C เทากับเทาใด วิธีทํา
  48. 48. 48 1) หา 1 A− 1 1 2 1 A −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 11 2 1( 1)(1) (2)(1) A− −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − −− − ⎝ ⎠ 1 11 2 13 1 1 3 3 2 1 3 3 −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − −− ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2) หา C 1 2 1 1 2 13 3 2 2 1 3 2 3 3 1 1 4 23 3 2 1 6 4 3 3 11 7 3 3 20 13 3 3 C A B C C C − = + −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3) หา det( )C
  49. 49. 49 11 7 3 3 det( ) 20 13 3 3 11 13 20 7 ( )( ) ( )( ) 3 3 3 3 1 3 C = = − = 4. ถา 1 2 3 A a ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ และ 1 1 2 1 B −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ และ 1 1 2C AB B− − = + แลวคาของ a ที่ทําให det( ) 1C = เทากับเทาใด วิธีทํา 1) จาก 1 1 2C AB B− − = + 1 [2 ]C A I B− = + นําเมทริกซ B คูณทั้ง 2 ขาง 1 1 [[2 ] ] [2 ][ ] [2 ][ ] 2 CB A I B B CB A I B B CB A I I CB A I − − = + = + = + ∴ = + 2) จาก 2CB A I= + ใส det เขาไปทั้ง 2 ขาง 2 2 CB A I C B A I = + = + จากโจทย det(C)=1 และ det( ) ( 1)(1) (2)(1) 1 2 3 B = − − = − − = − 1 1 2 1 B −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1)( 3) 2 2 3 A I A I − = + ∴ + = −
  50. 50. 50 3) หา 2A I+ 1 2 1 0 2 2 3 0 1 2 4 1 0 2 6 0 1 3 4 2 7 A I a a a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 4 2 (3)(7) (2 )(4) 2 7 21 8 A I a a a + = = − = − 4) หา a จาก 2 3A I+ = − 21 8 3 21 3 8 24 8 3 a a a a − = − + = = ∴ = 10.2 ตัวผกผันการคูณของเมทริกซที่มีมิติ 3x3 10.2.1 เมทริกซผูกพันของ A (Adjoint Matrix) คือ เมทริกซที่เกิดจากการนําเอาตัวประกอบรวมเกี่ยว(Co-factor) ของสมาชิก ija คือ ( )ijC A ไปแทนที่สมาชิก ija หลังจากนั้นนําเมทริกซดังกลาวไปหาเมทริกซสลับเปลี่ยน เราใช สัญลักษณ ( )adj A แทน “เมทริกซผูกพันของ A” ( ) [ ( )]t ijadj A C A= 10.2.2 เมทริกซผกผันของ A (Inverse Matrix) เราใชสัญลักษณ 1 A− แทน “เมทริกซผกผันของเมทริกซ A” สามารถหาไดตามสูตร
  51. 51. 51 1 1 [ ( )] det( ) A adj A A − = ขอสังเกต 1) ถาเมทริกซ A มีคา det( ) 0A = เราจะไมสามารถหาเมทริกซ 1 A− ได 2) เมทริกซ A ที่มีคา det( ) 0A = นี้ เราเรียกเมทริกซพวกนี้วา “เมทริกซเอกฐาน” ตัวอยาง เชน 1. ให 1 0 1 2 1 0 1 1 1 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ จงหา 1 A− วิธีทํา 1) หา det(A) 1 0 det( ) (1)(1)(1) (0)(0)(1) (1)(2)( 1) (1)(1)(1) ( 1)(0)(1) (1)(2)(0) 1 0 2 1 0 0 2 A 1 1 0 = 2 1 0 2 1 1 −1 1 1−1 = + + − − − − − = + − − − − = − 2) หา ( )adj A (1 1) 2 11 1 0 ( ) ( 1) ( 1) 1 1 C A + ⎛ ⎞ = − = − [(1)(1)−(−1)(0)] = 1⎜ ⎟ −⎝ ⎠ (1 2) 3 12 2 0 ( ) ( 1) ( 1) 1 1 C A + ⎛ ⎞ = − = − [(2)(1)−(1)(0)] = − 2⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (+)(+)(+) (-) (-)(-) det( ) 0A ≠ แสดง วาสามารถหา 1 A− ได
  52. 52. 52 (1 3) 4 13 2 1 ( ) ( 1) ( 1) 1 1 C A + ⎛ ⎞ = − = − [(2)(−1)−(1)(1)] = −3⎜ ⎟ −⎝ ⎠ (2 1) 3 21 0 1 ( ) ( 1) ( 1) 1 1 C A + ⎛ ⎞ = − = − [(0)(1)−(−1)(1)] = −1⎜ ⎟ −⎝ ⎠ (2 2) 4 22 1 1 ( ) ( 1) ( 1) 1 1 C A + ⎛ ⎞ = − = − [(1)(1)−(1)(1)] = 0⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2 3) 5 23 1 0 ( ) ( 1) ( 1) 1 1 C A + ⎛ ⎞ = − = − [(1)(−1)−(1)(0)] = 1⎜ ⎟ −⎝ ⎠ (3 1) 4 31 0 1 ( ) ( 1) ( 1) 1 0 C A + ⎛ ⎞ = − = − [(0)(0)−(1)(1)] = −1⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3 2) 5 32 1 1 ( ) ( 1) ( 1) 2 0 C A + ⎛ ⎞ = − = − [(1)(0)−(2)(1)] = 2⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3 3) 6 33 1 0 ( ) ( 1) ( 1) 2 1 C A + ⎛ ⎞ = − = − [(1)(1)−(2)(0)] = 1⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) [ ( )] 1 2 3 1 0 1 1 2 1 1 1 1 2 0 2 3 1 1 t ij t adj A C A= − −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ − −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 3) หา 1 A−
  53. 53. 53 จาก 1 1 [ ( )] det( ) A adj A A − = 1 1 1 1 1 1 2 0 2 2 3 1 1 1 1 1 2 2 2 1 0 1 3 1 1 2 2 2 A A − − − −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟− ⎜ ⎟−⎝ ⎠ −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2. ถา 0 0 0 0 0 0 a A b c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ และ A ไมเปนเมทริกซเอกฐาน แลว จงหา 1 A− วิธีทํา 1) เมทริกซ A ไมเปน เมทริกซเอกฐาน (det( ) 0)A ≠ …….สามารถหา 1 A− ได 2) หา det( )A 0 det( ) (0)(0)(0) (0)(0)(0) (0)( )(0) (0)(0)(0) ( )(0)(0) a a A b b c abc b c abc 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 = + + − − − = 3) หา ( )adj A (1 1) 2 11 0 ( ) ( 1) ( 1) ) 0 b C A bc bc c + ⎛ ⎞ = − = − ]( =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1 2) 3 12 0 0 ( ) ( 1) ( 1) 0 C A c + ⎛ ⎞ = − = − (0) = 0⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (+)(+)(+) (-) (-)(-)
  54. 54. 54 (1 3) 4 13 0 ( ) ( 1) ( 1) 0 0 b C A + ⎛ ⎞ = − = − (0) = 0⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2 1) 3 21 0 0 ( ) ( 1) ( 1) 0 C A c + ⎛ ⎞ = − = − (0) = 0⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2 2) 4 22 0 ( ) ( 1) ( 1) ) 0 a C A ac ac c + ⎛ ⎞ = − = − ( =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2 3) 5 23 0 ( ) ( 1) ( 1) 0 0 a C A + ⎛ ⎞ = − = − (0) = 0⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3 1) 4 31 0 0 ( ) ( 1) ( 1) 0 C A b + ⎛ ⎞ = − = − (0) = 0⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3 2) 5 32 0 ( ) ( 1) ( 1) 0 0 a C A + ⎛ ⎞ = − = − (0) = 0⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3 3) 6 33 0 ( ) ( 1) ( 1) ) 0 a C A ab ab b + ⎛ ⎞ = − = − ( =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) [ ( )] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t ij t adj A C A bc ac ab bc ac ab = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4.หา 1 A−
  55. 55. 55 1 1 1 1 [ ( )] det( ) 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A adj A A bc A ac abc ab a A b c − − − = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3. ถา 2 1 0 3 0 0 4 3 5 0 3 0 2 6 8 0 0 3 A ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ แลว จงหา 1 A− วิธีทํา จาก……………. 2 1 0 3 0 0 4 3 5 0 3 0 2 6 8 0 0 3 A ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 2 1 0 1 0 0 4 3 5 3 0 1 0 2 6 8 0 0 1 2 1 0 4 3 5 3 2 6 8 2 1 0 2 1 0 2 1 0 4 3 5 4 3 5 3 4 3 5 2 6 8 2 6 8 2 6 8 A A I A I − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
  56. 56. 56 สมบัติของเมทริกซผกผันการคูณ ให A เปนเมทริกซจัตุรัส มิติ nxn ใดๆ และ k R∈ 1 1 11 1 11 1 1 1 1 2 1 0 3 4 3 5 2 6 8 2 1 0 3 4 3 5 2 6 8 2 1 0 3 4 3 5 2 6 8 2 1 0 (3 ) 4 3 5 2 6 8 2 1 0 1 4 3 5 3 2 6 8 2 1 0 3 3 4 5 1 3 3 2 8 2 3 3 AI A A A A A − − −− − −− − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟ = ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟ = ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠
  57. 57. 57 1) 1 1 AA A A I− − = = เมื่อ I เปนเมทริกซเอกลักษณที่มีมิติเดียวกับ A 2) 1 1 ( )A A− − = 3) 1 11 ( ) ( )kA A k − − = เมื่อ 0k ≠ 4) 1 1 1 ( )AB B A− − − = 5) 1 1 ( ) ( )t t A A− − = 4. ถา 0 2 1 0 0 5 0 0 0 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหา B ซึ่งทําให 3 A B I= วิธีทํา 1) จาก ……………….. 3 A B I= 3 1 [ ]B A − ∴ = 2) หา 3 A เริ่มจาก…… 2 0 2 1 0 2 1 0 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 A AA ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (0)(0) (2)(0) (1)(0) (0)(2) (2)(0) (1)(0) (0)(1) (2)(5) (1)(0) (0)(0) (0)(0) (5)(0) (0)(2) (0)(0) (5)(0) (0)(1) (0)(5) (5)(0) (0)(0) (0)(0) (0)(0) (0)(2) (0)(0) (0)(0) (0)(1) (0)(5) ( + + + + + + = + + + + + + + + + + + + 0)(0) 0 0 10 0 0 0 0 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
  58. 58. 58 3 2 0 0 10 0 2 1 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 A A A ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (0)(0) (0)(0) (10)(0) (0)(2) (0)(0) (10)(0) (0)(1) (0)(5) (0)(0) (0)(0) (0)(0) (0)(0) (0)(2) (0)(0) (0)(0) (0)(1) (0)(5) (0)(0) (0)(0) (0)(0) (0)(0) (0)(2) (0)(0) (0)(0) (0)(1 + + + + + + = + + + + + + + + + + ) (0)(5) (0)(0) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3) หา 3 1 [ ]A − เมทริกซ 3 A เปนเมทริกซเอกฐาน เพราะวา คา 3 det( ) 0A = จึงไมสามารถหาเมทริกซ 3 1 [ ]A − ได……..จาก 3 1 [ ]B A − = จึงไมมีเมทริกซ B ซึ่งทําให 3 A B I= แบบฝกหัด 1. จงหาดีเทอรมิแนนตของเมทริกซตอไปนี้ 1.1) 1 2 4 6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
  59. 59. 59 1.2) 2 1x xy x y ⎛ ⎞− ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ 1.3) 1 0 1 2 3 4 1 5 2 −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.4) 0 1 4 2 1 2 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
  60. 60. 60 1.5) 1 2 5 2 2 0 1 2 1 3 8 0 1 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−1⎝ ⎠ 2. กําหนด 6 5 6 0 9 1 1 x x 5 7 5 6 − + = 8 8 9 จงหาคา x
  61. 61. 61 3. กําหนดให 1 3 0 2 A −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ และ 3 4 1 2 B ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหาคาของ 3.1) det(A) 3.2) det(B) 3.3) det( )t A 3.4) det(AB) 3.5) det(BA)
  62. 62. 62 3.6) det(A+B) 3.7) 1 det( )A− 3.8) 1 det( )B− 4. กําหนด 1 2 2 1 2 1 , , 3 4 3 0 4 3 A B C −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ และ 2 3 2 4 D ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหา det(ABCD)
  63. 63. 63 5. กําหนด 1 3 2 2 A −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ และ 2 1 1 4 B −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ จงหาคาของ 1 2 det(2 )t A B− 6. กําหนด 2 0 1 1 A −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ และ 2 1 A B A− = จงหาคาของ det(2B)
  64. 64. 64 7. ถา 5 4 6 2 0 7 1 2 0 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหาคาของ 7.1) 13 ( )C A 7.2) 23 ( )C A 7.3) 33 ( )C A
  65. 65. 65 8. กําหนด 4 3 8 0 1 x y A x y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ โดยที่ 21( ) 6C A = − และ 23 ( ) 4C A = แลว 33 ( )C A เทากับเทาใด
  66. 66. 66 9. ให A,B และ C เปน nxn เมทริกซ เมื่อ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 2 และ det(A)=1 , det(B)=2 และ det(C)=-3 แลวจงหา 9.1) 2 1 det( )t A BC B− 9.2) 1 1 det( )t BC AB C− − 10. ถา 2 2 2 2 2 2 sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos A A A B B C C ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จงหาคาของ 2 det( )A
  67. 67. 67 11. กําหนดให A และ B เปนเมทริกซมิติ 2x2 ถา 5 4 2 8 16 A B ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ และ 2 1 1 5 A B ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ จงหา 1 det(2 )A B−
  68. 68. 68 12. กําหนดให A เปนเมทริกซมิติ 2x2 และ det(A)=4 ถา I เปนเมทริกซเอกลักษณ และ A-3I เปนเมทริกซเอกฐาน แลว det(A+3I) เทากับเทาใด
  69. 69. 69 13. ให A,B และ C เปนเมทริกซมิติ 3x3 ถา det(A)=-3 และ 1 2 3t t t A B A C A− − = − จงหา det(2 )t C B− 14. จงหา 1 A− 14.1) 1 0 2 2 6 4 3 1 6 A −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠
  70. 70. 70 14.2) 1 1 1 1 0 1 1 1 0 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 15. กําหนดให 1 1 2 1 A −⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ถา B เปนเมทริกซ ที่ 1 2B A− = แลวจงหาคาของ det(3 )adjB
  71. 71. 71 16. ให A เปนเมทริกซ และ I เปนเมทริกซเอกลักษณมิติ 3x3 ถา 1 2 1 0 2 3 3 0 1 , 3 1 2 2 1 0 0 2 1 B C − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ สอดคลองกับสมการ 1 0 2 AB AC I− − = จงหา 1 A−
  72. 72. 72 17. ถา 1 1 1 1 2 0 0 1 , 0 1 1 0 1 1 0 a b A A c d − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ แลว จงหา a+b+c+d
  73. 73. 73 11.การดําเนินการเชิงแถวของเมทริกซ กําหนดให 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ จากเมทริกซ A เราสามารถดําเนินการเชิงแถวกับเมทริกซ A ไดดังตอไปนี้ เชน 1) 2 12R R+ หมายความวาคาของสมาชิกของเมทริกซในแถวที่ 1 และ 3 คงที่ แต สมาชิกในแถวที่ 2 มีการเปลี่ยนแปลงคือ นํา 2 ไปคูณสมาชิกในแถวที่ 1 แลวนํามาบวก กับสมาชิกในแถวที่ 2 จะกลายเปนสมาชิกใหมในแถวที่ 2 ดังนี้ 1 2 3 1 2 3 4 2(1) 5 2(2) 6 2(3) 6 9 12 7 8 9 7 8 9 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2) 3 2( 1)R R+ − หมายความวาคาสมาชิกในแถวที่ 3 มีการเปลี่ยนแปลงคือ นํา (-1) คูณสมาชิกในแถวที่ 2 แลวบวกกับสมาชิกในแถวที่ 3 นั้น จะกลายเปนสมาชิกใหมใน แถวที่ 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 7 ( 1)(4) 8 ( 1)(5) 9 ( 1)(6) 3 3 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ แถวที่ 1(R1) แถวที่ 2(R2) แถวที่ 3(R3) 2 12R R+ 3 2( 1)R R+ −
  74. 74. 74 3) 2 2 R หมายความวา สมาชิกในแถวที่ 2 ใหม คือสมาชิกในแถวที่ 2 เดิมหารดวย 2 1 2 3 1 3 1 2 2 2 2 2 4 5 6 4 5 6 7 8 9 3 3 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4) 22R และ 1 3R R+ มีการดําเนินการของสมาชิกในแถวที่ 2 และ 1 ดังนี้ 1 7 2 8 3 9 8 10 12 4(2) 5(2) 6(2) 8 10 12 7 8 9 7 8 9 + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 11.1 การใชตัวดําเนินการเชิงแถวหา det(A) หลักการคือ การใชตัวดําเนินการเชิงแถวมาดําเนินการกับเมทริกซจากโจทย แลวทําใหได เมทริกซใหมที่สามารถหา det(A) ไดงายขึ้น โดยคา det(A) จะยังคงเทาเดิม ตัวอยาง เชน 1. จงหา 1 2 3 4 5 6 7 8 9 วิธีทํา 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 1 5 2 6 3 7 1 8 2 9 3 − − − − − − 1 2 3 3 3 3 6 6 6 = 2 2 R 1 3R R+ 2(2)R 2 1R R− 3 1R R−
  75. 75. 75 1 2 3 3 3 3 6 2(3) 6 2(3) 6 2(3)− − − 1 2 3 3 3 3 0 0 0 0 = = 1 2 3 4 5 6 0 7 8 9 ∴ = 2. จงหา 1 0 1 2 1 0 1 1 1− วิธีทํา 1 1 0 ( 1) 1 1 2 1 0 1 1 1 − − − − − 3 22R R− 1 0 1 2 1 0 1 1 1− 1 3R R− 33 3 3 33 0 1 0 2 1 0 1 1 1 (1) ( 1) C M+ = − = = −
  76. 76. 76 0 1 2 1 (0)(1) (2)(1) 2 = = − = − 1 0 1 2 1 0 2 1 1 1 ∴ = − − 3. จงหา 2 1 0 4 3 5 2 6 8 วิธีทํา 2 1 0 4 3 5 2 6 8 2 1 0 4 2(2) 3 2(1) 5 2(0) 2 2 6 1 8 0 − − − − − − 11 1 1 11 2 1 0 0 1 5 0 5 8 2 2( 1) 1 5 2 5 8 2[(1)(8) (5)(5)] 2[8 25] 34 C M+ = = = − = = − = − = − 2 1 0 4 3 5 34 2 6 8 ∴ = − 2 12R R− 3 1R R−
  77. 77. 77 4. จงหา 0 2 1 5 1 2 9 3 3 − − − วิธีทํา 0 2 1 5 1 2 9 3 3 − − − 0 2 1 5 2(0) 1 2(2) ( 2) 2(1) 9 3(0) ( 3) 3(2) ( 3) 1(3) + + − + + − + − + 13 1 3 13 0 2 1 5 5 0 9 3 0 ( 1) 5 5 9 3 (5)(3) (9)(5) 15 45 30 C M+ = = = − = = − = − − 0 2 1 5 1 2 30 9 3 3 ∴ − = − − − 11.2 การใชตัวดําเนินการเชิงแถวหา 1 A− ถา กําหนด 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ สามารถหา 1 A− โดยการดําเนินการเชิงแถวไดใน รูปแบบดังนี้ 2 12R R+ 3 13R R+
  78. 78. 78 เขียน 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 0 0 0 1 0 0 0 1 b b b b b b b b b ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ตัวอยาง เชน 1. จงหา 1 A− จาก 1 0 1 2 1 0 1 1 1 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ วิธีทํา 1 0 1 1 0 0 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 1 0 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − −2⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −1⎝ ⎠ 1 0 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟−2 −3 1⎝ ⎠ ดําเนินการเชิงแถว 2 12R R− 3 1R R− 3 2R R+ 1 A−
  79. 79. 79 1 0 1 1 0 0 0 1 2 1 0 3 1 1 0 0 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − 1⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 0 2 2 2 0 1 3 1 1 0 0 2 2 2 −⎛ ⎞ 0⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 0 −1⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − 1⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 2 2 2 1 0 1 3 1 1 2 2 2 A− −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∴ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2. จงหา 1 A− จาก 2 1 1 3 2 2 1 3 3 A −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ วิธีทํา 3 ( 2) R − 1 3R R− 2 32R R+
  80. 80. 80 2 1 1 0 0 3 2 0 1 0 1 3 0 0 1 −1⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −3⎝ ⎠ 1 1 1 0 0 2 2 2 3 2 0 1 0 1 3 0 0 1 −1⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −3 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 0 0 2 2 2 7 7 3 0 1 0 2 2 2 7 5 1 0 0 1 2 2 2 −1⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 0 0 2 2 2 3 2 0 1 1 0 7 7 7 5 1 0 0 1 2 2 2 −1⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 R 2 13R R− 3 1R R− 2 2 ( ) 7 R −
  81. 81. 81 2 1 1 0 0 0 7 7 3 2 0 1 1 0 7 7 0 0 1 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −6 −1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 1 0 0 0 7 7 3 2 0 1 1 0 7 7 1 1 1 0 0 6 6 6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎜ ⎟1⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 1 0 0 0 7 7 11 5 1 0 1 42 42 6 1 1 1 0 0 6 6 6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎜ ⎟0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎜ ⎟1⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 1 0 7 7 11 5 1 42 42 6 1 1 1 6 6 6 A− ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎜ ⎟∴ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 1 2 R R− 3 2 7 2 R R+ 3 ( 6) R − 2 3R R+
  82. 82. 82 3. จงหา 1 A− จาก 0 0 0 0 0 0 a A b c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ เมื่อ , , 0a b c ≠ วิธีทํา 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 a b c 0⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 0⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 a b c ⎛ ⎞ 0⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟1⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 a A b c − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∴ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 12.การแกสมการเชิงเสนโดยใชเมทริกซ 12.1 สมการเชิงเสน 2 ตัวแปร จะอยูในรูปแบบขางลางนี้ เมื่อ 1 2 1 2 1 2, , , , ,a a b b c c R∈ 1 1 1 2 2 2 ...........(1) ..........(2) a x b y c a x b y c + = + = 1R a 2R b 3R c
  83. 83. 83 สามารถเปลี่ยนเปนสมการเมทริกซไดดังนี้ 11 1 2 2 2 ca b x a b y c ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ เราสามารถหาเมทริกซ x y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ไดดังนี้ 1 1 11 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 11 1 2 2 2 1 11 1 2 2 2 ca b a b a bx a b a b a by c ca bx I a by c ca bx a by c − − − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ตัวอยาง เชน 1. ระบบสมการ x+2y = 4 2x+y = 5 จงหาคา x และ y วิธีทํา 1) เขียนสมการเมทริกซ 1 2 4 2 1 5 x y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2) หาเมทริกซ x y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 2 4 2 1 5 x y − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 41 2 1 5(1)(1) (2)(2) (1)(4) ( 2)(5)1 ( 2)(4) (1)(5)3 x y x y −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
  84. 84. 84 61 33 2 1 x y x y −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 12.2 สมการเชิงเสน 3 ตัวแปร จะอยูในรูปแบบขางลางนี้ เมื่อ 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , ,a a a b b b c c c R∈ 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ...........(1) ..........(2) ..........(3) a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d + + = + + = + + = สามารถเปลี่ยนเปนสมการเมทริกซ ไดดังนี้ 11 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 da b c x a b c y d a b c z d ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ สามารถหา x y z ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ไดดังนี้ 1 11 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 dx a b c y a b c d z a b c d − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ตัวอยาง เชน 1. จงหาคา x , y และ z จากสมการเชิงเสนตอไปนี้ 4 3 2 5 4 2 3 2 2 7 x y z x y z x y z + − = − + = − + + = วิธีทํา
  85. 85. 85 1) เขียนสมการเมทริกซ 4 3 2 5 1 4 1 2 3 2 2 7 x y z −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2) หาเมทริกซ x y z ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 4 3 2 5 1 4 1 2 3 2 2 7 10 1 14 5 1 10 14 1 2 65 5 6 19 7 10 10 5 5 1 1 14 6 2 65 14 1 19 7 1 65 t x y z x y z x y z x y z − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5) ( 10)( 2) ( 5)(7) (1)(5) (14)( 2) ( 6)(7) 65 1 65 65 65 1 1 1 x y z x y z −10)( + − − + −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟(14)(5)+(1)(−2)+(−19)(7)⎝ ⎠ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∴ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
  86. 86. 86 12.3 การใชกฎของคราเมอร กําหนดระบบสมการเชิงเสน 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ...........(1) ..........(2) ..........(3) a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d + + = + + = + + = จะหาคา x , y และ z ไดดังสมการตอไปนี้ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 , , d b c a d c a b d d b c a d c a b d d b c a d c a b d x y z a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c = = = 2 2 2 3 3 3 a b c a b c ตัวอยาง เชน 1. จงหารากของระบบสมการเชิงเสน 2 5 3 2 2 3 3 3 2 x y z x y z x y z + − = − + = − − − = − วิธีทํา 5 1 1 3 2 2 2 3 3 42 1 2 1 42 3 2 2 1 3 3 x − − − − − − = = = −1 − − −
  87. 87. 87 1 3 2 3 84 2 2 1 42 3 2 2 1 3 3 y 2 5 − 3 − 1 − 2 − = = = −1 − − − 2 2 42 1 2 1 42 3 2 2 1 3 3 z 2 1 5 3 − −3 1 −3 − − = = = − −1 − − − 12.4 การใชการดําเนินการเชิงแถวแกสมการเชิงเสน กําหนดระบบสมการเชิงเสน 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ...........(1) ..........(2) ..........(3) a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d + + = + + = + + = เขียน 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a b c d a b c d a b c d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e e e ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ดําเนินการเชิงแถว x y z
  88. 88. 88 ตัวอยาง เชน 1. ระบบสมการ 2 5 3 2 2 3 3 3 2 x y z x y z x y z + − = − + = − − − = − จงหารากของสมการ วิธีทํา 2 1 1 3 2 1 3 3 − 5⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − 2 −3⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − 2⎝ ⎠ 1 1 1 2 2 2 3 2 1 3 3 − 5⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 2 −3⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 2 2 2 7 7 0 2 2 2 7 5 9 0 2 2 2 − 5⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −21⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 2 2 2 0 1 7 5 9 0 2 2 2 − 5⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 3⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 R 2 13R R− 3 1R R− 2 2 ( ) 7 R −
  89. 89. 89 1 0 0 1 0 0 0 1⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −1 3⎜ ⎟ ⎜ ⎟−6 6⎝ ⎠ 1 0 0 1 0 0 0 1⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −1 3⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 −1⎝ ⎠ 1 0 0 1 0 0 0 1⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 0 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 −1⎝ ⎠ 1, 2, 1x y z∴ = = = − แบบฝกหัด 1.จงหา det ของเมทริกซตอไปนี้โดยการใชการดําเนินการเชิงแถว 1.1) 1 0 1 2 3 4 1 5 2 −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 1 2 R R− 3 2 7 2 R R+ 3 ( 6) R − 2 3R R+
  90. 90. 90 1.2) 0 1 4 2 1 2 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.3) 1 1 0 1 2 3 1 0 1 2 2 1 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− 2 − 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠
  91. 91. 91 1.4) 0 0 0 a b a c b c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.5) 1 2 4 3 8 0 1 2 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠
  92. 92. 92 1.6) 1 2 5 2 2 0 1 2 1 3 8 0 1 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−1⎝ ⎠ 2.จงหา 1 A− ของเมทริกซ A ตอไปนี้โดยการใชการดําเนินการเชิงแถว 2.1) 1 2 4 3 8 0 1 2 1 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠
  93. 93. 93 2.2) 1 0 2 2 6 4 3 1 6 A −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 2.3) 1 1 1 1 0 1 1 1 0 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
  94. 94. 94 2.4) 1 1 0 0 1 2 3 0 1 A −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2.5) 1 1 1 2 3 19 1 7 8 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
  95. 95. 95 2.6) 1 2 3 1 3 4 1 4 3 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
  96. 96. 96 3.จงแกระบบสมการตอไปนี้โดยใชกฎของคราเมอร และการดําเนินการเชิงแถว 3.1) 2 3 3 2 x y x y − = + = −
  97. 97. 97 3.2) 2 2 2 1 2 3 2 10 x y z x y z x y z − − = − − + + = − + − =
  98. 98. 98 3.3) 2 9 2 0 3 2 11 x y z x y z x y z − + = + − = − + =
  99. 99. 99 3.4) 2 2 1 3 2 2 2 2 0 3 1 x y z x z t x y z t x y z t + − = − + − = − + + + = − + + =
  100. 100. 100 3.5) 2 3 9 3 4 2 5 5 17 x y z x y x y z − + = − + = − − + =
  101. 101. 101 3.6) 3 3 2 3 20 7 23 x y z x y z x y z + − = − + = + + =
  102. 102. 102 3.7) 2 4 1 2 2 3 2 3 x y z x y x y z + + = + = − − − + =
  103. 103. 103 4. กําหนดให 4 12 9 7 10 5 1 0 0 A −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ และ , ,B C D เปนเมทริกซมิติ 3x3 ซึ่ง A B C D∼ ∼ ∼ โดยที่ B ไดจาก A โดยการดําเนินการ 1 2 4 3 R R− C ไดจาก B โดยการดําเนินการ 15R D ไดจาก C โดยการดําเนินการ 23R แลว det(D) เทากับเทาใด 5. ระบบสมการเชิงเสน 1 1 2 x y kz x ky z x y kz + + = + + = + + = − จงหาเงื่อนไขสําหรับคา k ที่จะทําใหระบบสมการมีคําตอบเดียว มีหลายคําตอบ และไมมีคําตอบ
  104. 104. 104 6. กําหนดระบบสมการ 2 2 2 3 ( 3) x y z x y z x y k z k + + = + + = + + − = จงหาจํานวนจริง k ที่ทําใหระบบสมการที่กําหนดใหไมมีคําตอบ

×