3. 3
2.การเทากันของเมทริกซ
เมทริกซ A เทากับ เมทริกซ B ก็ตอเมื่อ
ตัวอยาง เชน
1.
1 2 3 4
,
3 4 1 2
A B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
เมทริกซ A ≠ เมทริกซ B เพราะวา
1) ถึงแม เมทริกซ A มีมิติ 2x2 และ เมทริกซ B มีมิติ 2x2 เทากัน
2) แต สมาชิกของเมทริกซ A ไมเหมือนกับสมาชิกของเมทริกซ B ทุกตัว คือ
ให mna เปนสมาชิกของเมทริกซ A และ mnb เปนสมาชิกของเมทริกซ B เมื่อ
, {1,2}m n∈ แลว
11 11
12 12
21 21
22 22
a b
a b
a b
a b
≠
≠
≠
≠
1 3
2 4
3 1
4 2
≠
≠
≠
≠
เมตริกซ A มี มิติ ของเมทริกซ คือ (จํานวนแถว)x(จํานวนหลัก) ซึ่งก็คือ 2x3
มีมิติเทากัน
มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
4. 4
2. กําหนดให
1 2 2
,
4 6 4
x
A B
y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
และ A=B จงหาคา x
และ y
วิธีทํา A=B หมายความวา
1 2 2
4 6 4
x
y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1x∴ = และ 6y =
3. ถา
3 2 3 2
2 1 2
4 0 4 0
x y x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
จงหาคา x และ y
วิธีทํา
3 2 3 2
2 1 2
4 0 4 0
x y x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
แสดงวา……………
( )
( )
2 1.......... 1
2 ............... 2
x x
y y
= −
=
จากสมการ……...…..(1)…………x=1
และจากสมการ……….(2)…………y=0
เทากัน
เทากัน
เทากัน
เทากัน
5. 5
4.
2 7 2 7
5 0 5 0
x y
y x
2⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−1⎣ ⎦ ⎣ ⎦
จงหาคา x และ y
วิธีทํา
2 7 2 7
5 0 5 0
x y
y x
2⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−1⎣ ⎦ ⎣ ⎦
แสดงวา……………
( )
( )
2 ............... 1
1........... 2
x y
y x
=
= −
นําสมการ (1)-(2)………………….
( 1) 2
1
1
x x y y
x x y
y
− − = −
− + =
∴ =
แทนคา y=1 ลงในสมการ (1) ………...
2
2(1)
2
x y
x
x
=
=
∴ =
3.เมทริกซสลับเปลี่ยน (Transpose Matrix)
เมทริกซที่มีการสลับเปลี่ยน สมาชิกจากแถวเปนหลัก และจากหลักเปนแถว
เราแทนเมทริกซที่สลับเปลี่ยนแลวดวย
t
A วาเปนเมทริกซสลับเปลี่ยนของเมทริกซ A
ตัวอยาง เชน
เทากัน
เทากัน
6. 6
1. เมตริกซ
1 2
3 4
5 6
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา
t
A
วิธีทํา
A …..
1 2
3 4
5 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 3 5
2 4 6
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
…….
t
A
เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 1 คือ 1 , 2
∴เมทริกซ
t
A มีสมาชิกในหลักที่ 1 คือ 1 , 2
เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 2 คือ 3 , 4
∴เมทริกซ
t
A มีสมาชิกในหลักที่ 2 คือ 3 , 4
เมทริกซ A มีสมาชิกในแถวที่ 3 คือ 5 , 6
∴เมทริกซ
t
A มีสมาชิกในหลักที่ 3 คือ 5 , 6
ขอสังเกต - มิติของเมทริกซ A คือ 3x2
มิติของเมทริกซ
t
A คือ 2x3
2. เมตริกซ
1 0 2
1 2 1
2 0 1
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา
t
A
วิธีทํา
16. 16
5.2) C-B
5.3) จงหาเมทริกซ X ซึ่งทําให A+X=C
6. กําหนด
0 1 2
1 0 3
2 3 0
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
จงหาคาของ t
A A+
17. 17
7. ให
2 3 1 1 1 0
, ,
2 4 3 5 0 1
A B C
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
และ
a b
A B C
d c
⎛ ⎞
− + = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
แลว จงหาคาของ 2a-b+c+d
6.การคูณเมทริกซดวยสเกลาร
ถา A เปนเมทริกซมิติใดๆ และ k เปนจํานวนจริงใดๆ kA คือ เมทริกซที่เกิดจาก
การนํา k คูณเขาไปในสมาชิกทุกตัวของเมทริกซ A
ij mxn
ij mxn
A a
kA ka
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
19. 19
1 0
1 2
A
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= 2 1⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
2( 1) 0)
2
1) 2)
2 0
2
4
A
A
− 2(⎡ ⎤
⎢ ⎥= 2(2) 2(1)⎢ ⎥
⎢ ⎥2( 2(−⎣ ⎦
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= 4 2⎢ ⎥
⎢ ⎥2 −⎣ ⎦
(2 )t
A
−2 4 2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥0 2 − 4⎣ ⎦
2) หาเมทริกซ 2 t
A
1 0
1 2
A
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= 2 1⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
1 1t
A
− 2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥0 1 − 2⎣ ⎦
2( 1) 1)
2
2
2
t
t
A
A
− 2(2) 2(⎡ ⎤
= ⎢ ⎥2(0) 2(1) 2(−2)⎣ ⎦
− 4 2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥0 2 − 4⎣ ⎦
3) (2 ) 2t t
A A∴ =
20. 20
สมบัติการคูณเมทริกซดวยสเกลาร
ถา ,c d R∈ และ ,A B เปนเมทริกซมิติ mxn ใดๆ
1) 1 A A⋅ =
2) ( 1)A A− = −
3) ( ) ( ) ( )cd A c dA d cA= =
4) ( )c A B cA cB± = ±
5) ( )c d A cA dA+ = +
6) ( )t t
cA cA=
7.เมทริกซเอกลักษณสําหรับการคูณ (I)
7.1 เมทริกซจัตุรัส
เมทริกซที่มี จํานวนแถว เทากับ จํานวนหลัก
ตัวอยาง เชน [ ]
1 2 3
1 2
1 , , ,...
3 4
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥4 5 6⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎢ ⎥7 8 9⎣ ⎦
เปนตน
7.2 เมทริกซเอกลักษณ (I)
ถา A เปนเมทริกซจัตุรัส เรียกสมาชิกในแนวทแยงมุมจากซายบนลงมาลางขวาวา “สมาชิกใน
แนวทแยงมุมหลัก” เชน
ถา
1 2
3 4
A
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
สมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก คือ 1,4
21. 21
ถา
1 2 3
6
7 8 9
B
⎡ ⎤
⎢ ⎥= 4 5⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
สมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก คือ 1,5,9
เมทริกซเอกลักษณ คือ เมทริกซจัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก เปน 1
ทั้งหมด และสมาชิกตัวอื่น เปน 0 ทั้งหมด เราใชสัญลักษณ nI แทนเมทริกซเอกลักษณมิติ nxn
เชน 2 3
1 0 0
1
0 1 0
0 0 1
I
⎛ ⎞
0⎡ ⎤ ⎜ ⎟
= , Ι =⎢ ⎥ ⎜ ⎟0 1⎣ ⎦ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนตน
8.การคูณเมทริกซดวยเมทริกซ
8.1 การพิจารณาวาเมทริกซ 2 เมทริกซคูณกันได
ใหเมทริกซ
ij mxn
ij pxq
A a
b
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤Β = ⎣ ⎦
เมทริกซ A คูณกับ เมทริกซ B เขียนสัญลักษณเปน AxB จะไดเมทริกซ C ซึ่งมีคุณสมบัติดังนี้
ij m x n ij p x qAxB a x b⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ij m x qC c⎡ ⎤= ⎣ ⎦
AxB สามารถคูณกันได เมื่อ จํานวนหลัก
ของเมทริกซ A เทากับจํานวนแถวของเมทริกซ B
เมื่อ , , ,m n p q I+
∈
n p=
22. 22
ตัวอยาง เชน
1. ถา A เปนเมทริกซ มิติ 2 x 3 และ B เปนเมทริกซ มิติ 3 x 2 แลว AxB
สามารถคูณกันได เปน เมทริกซ C ที่มีมิติ 2x2
2. ถา A เปนเมทริกซ มิติ 1 x 3 และ B เปนเมทริกซ มิติ 2 x 2 แลว AxB ไม
สามารถคูณกันได เพราะจํานวนหลักของเมทริกซ A ไมเทากับจํานวนแถวของเมทริกซ
B
8.2 การหาสมาชิกของผลคูณของเมทริกซ
A x B C=
หรือ อาจเขียน AxB เปน AB
ตัวอยาง เชน
เทากัน
ไมเทากัน
เมทริกซตัวตั้ง เมทริกซตัวคูณ เมทริกซผลคูณ
สมาชิกของเมทริกซผลคูณ ในแถวที่ i หลักที่ j
สมาชิก ในแถวที่ i ของเมทริกซตัวตั้ง สมาชิก ในหลักที่ j ของเมทริกซตัวคูณx
คูณกันเปนคูๆตามลําดับ แลวนํามาบวกกัน
26. 26
2) หา t t
B A⋅
B
1 0⎡ ⎤
⎢ ⎥= 1 2⎢ ⎥
⎢ ⎥2 0⎣ ⎦
[ ]2 1 1A = −
t
B
1 1 2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥0 2 0⎣ ⎦
2
1
1
t
A
⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
2
1
1
(1)(2) (1)( 1) (2)(1)
(0)(2) (2)( 1) (0)(1)
2 1 2
0 2 0
3
2
t t
t t
t t
t t
B A
B A
B A
B A
⎡ ⎤
1 1 2⎡ ⎤ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 2 0⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
+ − +⎡ ⎤
= ⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦
− +⎡ ⎤
= ⎢ ⎥− +⎣ ⎦
⎡ ⎤
∴ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦
3) ( )t t t
AB B A∴ = ⋅
27. 27
สมบัติการคูณของเมทริกซ
ถา S เปนเซตของเมทริกซมิติใดๆ และ , ,A B C S∈
1) A B S⋅ ∈
2) ( ) ( )AB C A BC=
3) IA AI A= =
เมื่อ A เปนเมทริกซจัตุรัส และ I เปนเมทริกซเอกลักษณที่มีมิติเดียวกับ A
4)
( )
( )
A B C AB AC
B C A BA CA
+ = +
+ = +
5) ( )t t t
AB B A=
แบบฝกหัด
1. กําหนดให
1 3
4 5
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
0 4
2 1
B
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
จงหาเมทริกซตอไปนี้
1.1) 4A
33. 33
5.2)
1 0
0 1
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
6. กําหนด
2 2 1
, ,
3 2 0 1
x y y a
A B C
z y
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ถา AB C=
แลว a=?
34. 34
7. จงหาคาของ x ที่ทําให [ ]2
3 4 2 1
1 6 0 1 1 0
5 2 1 2
x x
⎛ ⎞⎡ ⎤
⎜ ⎟⎢ ⎥⎡ ⎤ − − =⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥
⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
8. กําหนด
0 6 6
,
4 2 4 4
a
A B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
และ
0 4
0 4
C
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
คา a ที่สอดคลองกับ
สมการ ( ) ( ) (4 )t t t t t
A B B A C+ = มีคาเทากับเทาใด
35. 35
9.ดีเทอรมิแนนต (Determinant)
เมทริกซที่สามารถหาคาดีเทอรมิแนนตได ก็ตอเมื่อ เมทริกซนั้นตองเปนเมทริกซจัตุรัส
9.1 ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซมิติ 2x2
ถา เมทริกซ
a b
A
c d
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมทริกซ A สามารถหาคาดีเทอรมิแนนตของ A เขียน
แทนดวย det(A) หรือ A
det( )
a b
A ad bc
c d
= = −
หลักการจํา
a b
A ad bc
c d
= = −
ตัวอยาง เชน
1. ถา
2 2
2 4
A
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา det( )A
วิธีทํา
det( ) (2)(2)
8 4
4
A
2 2
= = (2)(4) −
2 4
= −
=
(+)
(-)
(+)
(-)
det( )A
36. 36
2. ถา
1 5
0 4
B
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา det( )B
วิธีทํา
det( ) (0)(5)
4 0
4
B
1 5
= = (1)(4) −
0 4
= −
=
3. ถา
1 1
1 0
C
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
จงหา det( )C
วิธีทํา
det( ) ( 1)(1)
0 1
1
C
−1 1
= = (−1)(0) − −
−1 0
= +
=
9.2 ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซมิติ 3x3
ถา เมทริกซ
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
สามารถหา det(A) ไดดังนี้
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
11 22 33 12 23 31 13 21 32
31 22 13 32 23 11 33 21
det( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a
=
= + +
− − − 12( )a
(+)
(-)
det( )B
(+)
(-)
det( )C
(+) (+) (+)
(-) (-) (-)
40. 40
1. จากตัวอยางที่แลวในหัวขอของไมเนอร
ถา
1 2 3
3 1 2
2 3 1
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
สามารถหา ( )ijC A ของสมาชิกตางๆในเมทริกซ A ไดดังนี้
(1 1) 2
11 11( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 5) 5C A M A+
= − = − − = −
(1 2) 3
12 12( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)C A M A+
= − = − − = 1
(1 3) 4
13 13( ) ( 1) ( ) ( 1) (7)C A M A+
= − = − = 7
(2 1) 3
21 21( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 7)C A M A+
= − = − − = 7
(2 2) 4
22 22( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 5) 5C A M A+
= − = − − = −
(2 3) 5
23 23( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)C A M A+
= − = − − = 1
(3 1) 4
31 31( ) ( 1) ( ) ( 1) (1)C A M A+
= − = − = 1
(3 2) 5
32 32( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 7)C A M A+
= − = − − = 7
(3 3) 6
33 33( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 5) 5C A M A+
= − = − − = −
9.3.3 การหาดีเทอรมิแนนตแบบใชตัวประกอบรวมเกี่ยว
ถา
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
det( )A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
11 11 12 12 13 13a C a C a C+ +
41. 41
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
21 21 22 22 23 23a C a C a C+ +
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
31 31 32 32 33 33a C a C a C+ +
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
11 11 21 21 31 31a C a C a C+ +
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
12 12 22 22 32 32a C a C a C+ +
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
13 13 23 23 33 33a C a C a C+ +
การหา det(A) โดยวิธีนี้ สามารถหาได 6 แบบ ซึ่งทั้ง 6 แบบ จะใหคาออกมา
เทากัน คือ เปนคาของ det(A)……… ตัวอยาง เชน
1. กําหนดให
2 3
0 1
0 0
a
A b
c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา det(A)
วิธีทํา
1) เลือก แถว หรือ หลัก ของเมทริกซที่ทําใหสามารถหาคา det(A) ไดโดยงาย
42. 42
2 3
0 1
0 0
a
b
c
31 32 33(0) (0) ( )C C c C+ +
det( )A 33cC
2) หา 33 ( )C A
33 ( )M A
2 3
0 1
0 0
a
b
c
2
0
a
b
ab
(3 3)
33 33
6
( ) ( 1) ( )
( 1) ( )
C A M A
ab
ab
+
= −
= −
=
3) 33det( ) ( )A cC c ab abc= = =
2. กําหนดให
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหา det(A)
วิธีทํา
1) เลือก แถว หรือ หลัก ของเมทริกซ A
65. 65
8. กําหนด
4
3 8 0
1
x y
A
x y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
โดยที่ 21( ) 6C A = − และ 23 ( ) 4C A =
แลว 33 ( )C A เทากับเทาใด
66. 66
9. ให A,B และ C เปน nxn เมทริกซ เมื่อ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 2 และ
det(A)=1 , det(B)=2 และ det(C)=-3 แลวจงหา
9.1)
2 1
det( )t
A BC B−
9.2)
1 1
det( )t
BC AB C− −
10. ถา
2 2
2 2
2 2
sin 1 cos
sin 1 cos
sin 1 cos
A A
A B B
C C
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จงหาคาของ
2
det( )A
67. 67
11. กําหนดให A และ B เปนเมทริกซมิติ 2x2 ถา
5 4
2
8 16
A B
⎛ ⎞
+ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
2 1
1 5
A B
⎛ ⎞
− = ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
จงหา
1
det(2 )A B−
68. 68
12. กําหนดให A เปนเมทริกซมิติ 2x2 และ det(A)=4 ถา I เปนเมทริกซเอกลักษณ
และ A-3I เปนเมทริกซเอกฐาน แลว det(A+3I) เทากับเทาใด
69. 69
13. ให A,B และ C เปนเมทริกซมิติ 3x3 ถา det(A)=-3 และ
1
2 3t t t
A B A C A−
− = − จงหา det(2 )t
C B−
14. จงหา 1
A−
14.1)
1 0 2
2 6 4
3 1 6
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
82. 82
3. จงหา
1
A−
จาก
0 0
0 0
0 0
a
A b
c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมื่อ , , 0a b c ≠
วิธีทํา
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0 1
a
b
c
0⎛ ⎞
⎜ ⎟
0⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
1 0 0 0
1
0 1 0 0
1
0 0 0 0
a
b
c
⎛ ⎞
0⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟1⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
1
0 0
1
0 0
1
0 0
a
A
b
c
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟∴ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
12.การแกสมการเชิงเสนโดยใชเมทริกซ
12.1 สมการเชิงเสน 2 ตัวแปร
จะอยูในรูปแบบขางลางนี้ เมื่อ 1 2 1 2 1 2, , , , ,a a b b c c R∈
1 1 1
2 2 2
...........(1)
..........(2)
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
1R
a
2R
b
3R
c
83. 83
สามารถเปลี่ยนเปนสมการเมทริกซไดดังนี้
11 1
2 2 2
ca b x
a b y c
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
เราสามารถหาเมทริกซ
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ไดดังนี้
1 1
11 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
1
11 1
2 2 2
1
11 1
2 2 2
ca b a b a bx
a b a b a by c
ca bx
I
a by c
ca bx
a by c
− −
−
−
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ตัวอยาง เชน
1. ระบบสมการ x+2y = 4
2x+y = 5
จงหาคา x และ y
วิธีทํา
1) เขียนสมการเมทริกซ
1 2 4
2 1 5
x
y
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2) หาเมทริกซ
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
1 2 4
2 1 5
x
y
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 2 41
2 1 5(1)(1) (2)(2)
(1)(4) ( 2)(5)1
( 2)(4) (1)(5)3
x
y
x
y
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
−−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
84. 84
61
33
2
1
x
y
x
y
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞−
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
12.2 สมการเชิงเสน 3 ตัวแปร
จะอยูในรูปแบบขางลางนี้ เมื่อ 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , ,a a a b b b c c c R∈
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
...........(1)
..........(2)
..........(3)
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =
+ + =
+ + =
สามารถเปลี่ยนเปนสมการเมทริกซ ไดดังนี้
11 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
da b c x
a b c y d
a b c z d
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
สามารถหา
x
y
z
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ไดดังนี้
1
11 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
dx a b c
y a b c d
z a b c d
−
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ตัวอยาง เชน
1. จงหาคา x , y และ z จากสมการเชิงเสนตอไปนี้
4 3 2 5
4 2
3 2 2 7
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + = −
+ + =
วิธีทํา
86. 86
12.3 การใชกฎของคราเมอร
กําหนดระบบสมการเชิงเสน
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
...........(1)
..........(2)
..........(3)
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =
+ + =
+ + =
จะหาคา x , y และ z ไดดังสมการตอไปนี้
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
, ,
d b c a d c a b d
d b c a d c a b d
d b c a d c a b d
x y z
a b c a b c a b c
a b c a b c
a b c a b c
= = =
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
ตัวอยาง เชน
1. จงหารากของระบบสมการเชิงเสน
2 5
3 2 2 3
3 3 2
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + = −
− − = −
วิธีทํา
5 1 1
3 2 2
2 3 3 42
1
2 1 42
3 2 2
1 3 3
x
−
− −
− − −
= = =
−1
−
− −
87. 87
1
3 2
3 84
2
2 1 42
3 2 2
1 3 3
y
2 5 −
3 −
1 − 2 −
= = =
−1
−
− −
2
2 42
1
2 1 42
3 2 2
1 3 3
z
2 1 5
3 − −3
1 −3 − −
= = = −
−1
−
− −
12.4 การใชการดําเนินการเชิงแถวแกสมการเชิงเสน
กําหนดระบบสมการเชิงเสน
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
...........(1)
..........(2)
..........(3)
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =
+ + =
+ + =
เขียน
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a b c d
a b c d
a b c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
e
e
e
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ดําเนินการเชิงแถว
x
y
z
103. 103
4. กําหนดให
4 12 9
7 10 5
1 0 0
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ , ,B C D เปนเมทริกซมิติ 3x3 ซึ่ง
A B C D∼ ∼ ∼ โดยที่
B ไดจาก A โดยการดําเนินการ 1 2
4
3
R R−
C ไดจาก B โดยการดําเนินการ 15R
D ไดจาก C โดยการดําเนินการ 23R
แลว det(D) เทากับเทาใด
5. ระบบสมการเชิงเสน
1
1
2
x y kz
x ky z
x y kz
+ + =
+ + =
+ + = −
จงหาเงื่อนไขสําหรับคา k ที่จะทําใหระบบสมการมีคําตอบเดียว มีหลายคําตอบ และไมมีคําตอบ
104. 104
6. กําหนดระบบสมการ
2
2
2 3
( 3)
x y z
x y z
x y k z k
+ + =
+ + =
+ + − =
จงหาจํานวนจริง k ที่ทําใหระบบสมการที่กําหนดใหไมมีคําตอบ