Método de optimización

1. Método 1
LAGRANGE
Realizado por Víctor Varela

2. Planteamiento del
problema
• Se requiere definir y poner cerámica a una piscina
rectangular de área 40m².
• La cerámica a lo largo de los lados horizontales
vale 16bsf por metro y por los lados verticales 25bsf
por metro.
• ¿Qué dimensiones tendrá la piscina para minimizar
el gasto?

3. Pasos detallados
A= 40m y
16 bsf /m
x
25 bsf/m Ley de no negatividad:
X > 0
Y > 0
Función Objetivo:
C = (2x)16 + (2y) 25
C = 32x + 50y
F(x , y) = 32x + 50y
Restricciones:
A= 40m²
x y =40
x y - 40 = 0
G(x , y) = xy - 40

4. ∇f= λ·∇g
<fx, fy> = λ <gx, gy>
<fx, fy> = < λgx, λgy>
fx = λgx  λ = fx/gx
fy= λgy  λ = fy/gy
fx/gx = fy/gy
Derivadas parciales:
F(x , y) = 32x + 50y
fx = 32
fy = 50
G(x , y) = xy - 40
gx = y
gy = x
Sustituimos en:
fx/gx = fy/gy
32/y = 50/ x
32x = 50y
16x = 25y
Planteamos sistema de ecuaciones
16x = 25y
x y = 40

5. 1) 16x = 25y
2) x y = 40
3) x = 25y/16
3 en 2
(25y/16) y = 40
25y² /16 = 40
y² = (40 · 16)/ 25
y² = (8 · 16)/ 5
y² = 128/5
y =
128
5
y = 5,06 m
x =
25·(5,06)
16
x = 7,91 m
Puntos críticos de la función objetivo
y = 5,06 m
x = 7,91 m

6. Prueba
X Y C = 32x + 50y
7,91 m 5,06 m 506,12 bsf
10 m 4 m 520
20 m 2 m 740
Se confirma que los valores 7,91 m para «x» y 5,06 para «y» son
los valores que minimizan el costo de la implementación de
cerámica en la piscina respetando la restricción.