Clase de Ecuaciones Cuadráticas

1. Universidad Nacional Experimental de las Fuerzas Armadas
Escuela de Enfermería
Carrera: CINU
Catedra: Matemáticas
Caracas, Abril 2021
Prof. Ing. Víctor Barrile
1

2. El contenido de esta Presentación ha sido desarrollado con el apoyo de
paginas Web especializadas, libros y la guía de matemáticas básicas del
autor. En ella se encuentran los contenidos referentes a Ecuaciones
Cuadráticas pertenecientes a la unidad III del programa de matemáticas
para los estudiantes del curso introductorio de la escuela de enfermería
de la Universidad Nacional Experimental de las Fuerzas Armadas. En
medio de esta gran conmoción que asola el mundo los profesores de
nuestra casa de estudios, damos un paso adelante en las TICS, en
búsqueda siempre de la excelencia educativa.
RESUMEN
2

3. • Definición
• Tipos y Ejemplos
• Métodos de Resolución
1. Factorización
2. Fórmula cuadrática (de Carnot)
o Propiedades del discriminante
• Aplicaciones
• Bibliografía
CONTENIDO
3

4. Una ecuación cuadrática de variable “x” es aquella que
puede escribirse en la forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde: a, b y c son números reales (a 0).
Ejemplo: 2x2 – 7x + 3 = 0 ( a = 2, b = 7, c = 3 )
DEFINICIÓN
FORMAS INCOMPLETAS
ax2 + bx = 0 Ejemplo: 3x2 – 2x = 0
ax2 + c = 0 Ejemplo: 2x2 – 32 = 0
ax2 = 0 Ejemplo: 9x2 = 0 4

5. Ejemplo N°1: Resolver x2 - 7x + 12 = 0
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Resolución: x2 7x + 12 = 0
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
x
x
(x  3)(x  4) = 0
Factorizando:
Entonces:
3x
4x
= 7x
Luego: x – 3 = 0 ó x – 4 = 0
De donde: x = 3 ó x = 4
Por tanto: X = 3; 4
3
4
5

6. Ejemplo N°2: Resolver 3x2 = 5x
Resolución:
Escribimos la ecuación de
la forma:
3x2  5x = 0
Factorizamos “x”: x( 3x  5 ) = 0
Luego: x = 0 ó 3x  5 = 0
De donde: x = 0 ó x = 5/3
Por tanto: x = 0; 5/3
Nota: No simplifique una variable en la ecuación original porque
se pierde una solución. 6

7. Ejemplo N°3: Resolver (3x – 4)(x + 1) = – 2
Resolución:
Debemos expresar la ecuación en la forma: ax2 + bx + c = 0
(3x – 4)(x + 1) = – 2
Para ello efectuamos las operaciones de
multiplicación en el primer miembro
Obtenemos: 3x2 + 3x – 4x – 4 = – 2
Reduciendo: 3x2 – x – 2 = 0
Entonces: (3x + 2)(x – 1) = 0
Luego: 3x + 2 = 0 ó x – 1 = 0
De donde: x = – 2/3 ó x = 1 X =  –2/3; 1 
3x
x
2
– 1
2x
3x
= x
Factorizando:
7

8. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
FÓRMULA CUADRÁTICA (de Carnot)
a
2
ac
4
b
b
x
2




Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0, sus raíces pueden
calcularse mediante la fórmula
A la cantidad subradical: b2 – 4ac se le llama
discriminante y se representa por 
Es decir:  = b2 – 4ac 8

9. PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE
1. Si  > 0, la ecuación tiene raíces reales y diferentes
Ejemplo: Resolver 2x2 – 3x – 1 = 0
Resolución:
Identificamos los valores de
los coeficientes:
a = 2; b = – 3; c = –1 a
2
ac
4
b
b
x
2




Reemplazamos en:
)
2
(
2
)
1
)(
2
(
4
)
3
(
)
3
(
x
2







Obtenemos:
4
17
3
x
4
17
3
x 2
1










 


4
17
3
;
4
17
3
X
4
17
3
x


De donde:
9

10. PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE
2. Si  = 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales
Ejemplo: Resolver 4x2 – 12x + 9 = 0
Resolución:
Identificamos los valores de
los coeficientes:
a = 4; b = – 12; c = 9 a
2
ac
4
b
b
x
2




Reemplazamos en:
)
4
(
2
)
9
)(
4
(
4
)
12
(
)
12
(
x
2






Obtenemos:
8
0
12
x
8
0
12
x 2
1












2
3
X
8
0
12
x


De donde:
10

11. PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE
3. Si  < 0, la ecuación tiene raíces imaginarias
Ejemplo: Resolver x2 + x + 1 = 0
Resolución:
Identificamos los valores de
los coeficientes:
a = 1; b = 1; c = 1 a
2
ac
4
b
b
x
2




Reemplazamos en:
)
1
(
2
)
1
)(
1
(
4
)
1
(
)
1
(
x
2




Obtenemos:
2
3
1
x




Por tanto: La ecuación no tiene solución en el conjunto de los
números reales ( sus soluciones son imaginarias ) 11

12. APLICACIONES
Una compañía farmacéutica determina que si se produce y vende q unidades de un
medicamento, el ingreso total por las ventas será de 100q. Si el costo variable por
unidad es de $ 2 y el costo fijo de $ 1200, determine los valores de q para los que:
Ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo (Esto es, utilidad cero)
Resolución
Datos: q
100
total
Ingreso 
Costo variable = 2q
Costo fijo = 1200
1200
q
2
q
100 

Elevando al cuadrado:
10000q = 4q2 + 4800q + 1440000
Reduciendo: q2 – 1300q + 360000 = 0
Factorizando: (q – 900)(q – 400) = 0
Luego: q = 900 ó q = 400
Respuesta: Si se producen y venden 400 ó 900 unidades, la utilidad será cero
12

13. BIBLIOGRAFIA
• Garcia. J Algebra Lineal y Geometría. Ed. Marfil. 1989
• J. Stewart. L. Redlin. Precalculo, 6ª Ed., CENGAGE Learning Editores
SA. 2012
• R. Larson. B.H. Edwards. Calculo I de una variable, 9ª ED., McGrawHill.
2010.
13