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Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física 1
Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física
TEORÍA DE ERRORES
Cuando se mide una cantidad, ya directa, ya indirectamente, la medida que se obtiene no
es necesariamente el valor exacto de tal medida, ya que el resultado obtenido estará afectado por
errores debidos a multitud de factores. Algo en apariencia tan sencillo como cronometrar el
período del péndulo en el apartado anterior sufrirá errores debidos a la precisión del cronómetro,
los reflejos del cronometrador, las corrientes de aire, el número de medidas efectuadas ... errores
que se propagarán a cualquier cantidad derivada de ésta que queramos determinar, como por
ejemplo velocidad o aceleración.
En estos casos es necesario estimar el error cometido al efectuar una medida o serie de
medidas. El conjunto de reglas matemáticas dedicado a su estudio se conoce como teoría de
errores, y resulta imprescindible tanto para sacar todo el partido posible a un conjunto de datos
experimentales como para evaluar la fiabilidad de éstos. El estudio de la teoría de errores es una
rama aparte de la matemática por derecho propio, y por su extensión no se desarrollará aquí. El
lector queda avisado de que lo que sigue es tan sólo un conjunto rápido y necesariamente breve
de las reglas fundamentales más usadas en el ámbito de la teoría de errores.
1 - Nociones previas.
Si se efectúa una medida directa de una cantidad física, el valor medido x por lo general
diferirá del valor exacto xo. Se denomina error absoluto de la medida a la diferencia g = x-xo y
error relativo al cociente g/xo. El error relativo resulta especialmente relevante porque nos
relaciona el error cometido con el valor de lo medido. Un error de 1 mm resulta magnífico si se
mide la longitud de una carretera de 100 km (representa una desviación de una parte por cada
100.000.000), adecuado si se mide una mesa de 2 m e inaceptable si se mide una hormiga de 2
mm. En los tres casos el error absoluto es el mismo, pero su cercanía relativa al valor exacto son
distintas.
Por lo general, el valor de una medida se da estimando su valor más probable x y su error,
)x. Escribir x±)x significa que cabe esperar razonablemente que el valor exacto de la cantidad
valga cualquier cantidad entre x-)x y x+)x, con x como valor más probable. La traducción de
"cabe esperar razonablemente" al lenguaje matemático queda fuera del presente desarrollo.
Existen dos tipos de errores: sistemáticos y accidentales. Los primeros actúan siempre
de la misma forma para influir en la medida (por ejemplo, una balanza desajustada que tiende
a marcar una masa 10 gr. superior a la real). Estas medidas, si se producen, producen un error
constante. Por contra, los errores accidentales son de carácter aleatorio, lo que presupone que
actúan con la misma frecuencia tanto con un signo como con el opuesto (esto es, se tiene igual
probabilidad de obtener una medida 5 gr. superior al valor real como de obtenerla 5 gr. por
debajo).
Teoría de errores 2
No se puede conocer el valor exacto de una cantidad, puesto que siempre existen errores;
tampoco se puede conocer el valor exacto de un error, puesto que dependen de procesos
aleatorios y generalmente incontrolables (aparte de ser una contradicción en sus propios
términos). Sin embargo, es preciso dar un valor de la medida con su error. La Teoría de Errores
deduce ciertas reglas para ello.
2 - Errores asociados a una medida.
a) Medidas directas. Redondeo.
Supóngase que se efectúa una evaluación directa de una cantidad, x. Se suele en este caso
tomar el propio valor de x como medición de dicha cantidad. Como error se supone la
sensibilidad del aparato utilizado en la medición, esto es, el valor mínimo que el aparato es capaz
de medir. Esto presupone implícitamente que los errores accidentales están fuera de nuestra
manipulación, ya sea porque los hayamos eliminados, ya porque seamos ignorantes de su
existencia, de manera que los únicos errores que aparecen son los de tipo aleatorio.
El error en sí es algo aproximado. Dar un valor de 24.5±0.3 mm. significa esperar que
el valor verdadero sea alguna cantidad entre 24.2 y 24.8 mm. Pero dar 24.500±0.302 mm. es lo
mismo que decir que el valor exacto ha de estar entre 24.198 y 25.802 mm; no resulta razonable,
ya que "ha de estar entre" no tiene una seguridad absoluta, sino tan sólo una cierta probabilidad.
Por ello, tanto el error como el valor más probable vienen redondeados convenientemente.
Para el error, se supone que basta con dar una, a veces dos, cifras significativas (es decir,
cifras que dan información relevante). Los criterios habituales son los siguientes:
- Si las dos primeras cifras significativas son inferiores a 25, se toman dichas cifras para
el error. De no ser así, se toma solamente una cifra. Según eso, el error 0.113 queda
convertido en 0.11, y el 6488.24 se transforma en 6000
- Si la primera cifra que se descarta es un cinco o más, la última cifra que se guarda se
aumenta en una unidad. Esto es, el valor 0.362 se convierte en 0.4 y no en 0.3
- Una vez redondeado convenientemente el error, el valor de la medida se redondea hasta
la misma cifra decimal.
Véanse unos cuantos ejemplos:
Medida Error Resultado final
464.2413 0.061 464.24±0.06
6.03 0.0005 6.0300±0.0005
46288 1553 46300±1600
3.218 0.124 3.2±0.1
0.018366 0.00783 0.018±0.008
Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física 3
b) Medidas indirectas. Propagación de errores.
A veces no se mide una cantidad directamente, sino por relación con otras cantidades.
Para medir, por ejemplo, el área de un rectángulo se miden sus lados a,b y se hace uso de la
relación S=ab. Si tanto a como b tienen sus cotas de error, evidentemente también la superficie
vendrá afectada de error. Cómo depende el error de una cantidad derivada de las medidas y
errores fundamentales viene dado mediante la teoría de la propagación de errores.
Para ello se utiliza el cálculo diferencial. Sea y una función que depende de las variables
independientes x1, x2...xn. Se puede obtener el valor del diferencial de la función y a partir de los
diferenciales de las variables xi por medio de derivadas parciales:
dy'
My
Mx1
dx1%
My
Mx2
dx2%...%
My
Mxn
dxn
En nuestro caso, y la función que nos da la cantidad medida indirectamente a partir de las
medidas directas de las cantidades x1...xn (en rigor, xi es cualquier parámetro, variable o no, que
venga dado con un margen de error; el número pi, por ejemplo, sería uno de ellos, ya que nunca
se conoce con una exactitud infinita, si bien en estos casos se supone que se conoce con un
número de cifras decimales tal que el redondeo debido a despreciar las demás cifras es
despreciable). Si los errores son lo suficientemente pequeños, podemos considerarlos como
diferenciales, ya que estos pueden interpretarse como variaciones infinitesimales. La ecuación
que nos da el error de y, )y, es entonces:
)y'
My
Mx1
)x1%
My
Mx2
)x2%...%
My
Mxn
)xn
Es posible que algunos de los términos que acompañan a los errores )xi sean positivos
o otros sean negativos, en cuyo caso podría resultar que algunos errores cancelen a otros (por
ejemplo, que la base del rectángulo sea mayor y la altura menor que sus respectivos valores
reales). Sin embargo, los errores pueden ser tanto por exceso como por defecto, por lo que hay
que considerar la posibilidad de que en el peor de los casos los errores se sumen de manera que
no sólo no se anulen, sino que se refuerzen. Para evitarlo, se considera que las derivadas
parciales aparecen en valor absoluto:
Veamos un ejemplo. Supongamos que se mide el radio r y la altura h de un cilindro,
obteniendo un volumen V=Br2
h. En tal caso, y=V, x1=r, x2=h y se tendría:
)V'
MV
Mr
)r%
MV
Mh
)h'2Brh)r%Br 2
)h
Si r = 12.6±0.3 mm, h = 35.12±0.06 mm obtendremos:
)V'2@3.1416@12.6mm@35.12mm@0.3mm%3.1516@(12.6mm)2
@0.06mm
'834.1155mm 3
%29.9256mm 3
'864.04102mm 3
Vemos que la parte de error correspondiente a )r es mucho mayor que la de )h, lo que
significa que para reducir el error del volumen es mucho más eficaz reducir el error en la
Teoría de errores 4
determinación del radio que en la de la altura. Finalmente, el volumen es V=17516.425 mm3
,
lo que tras los redondeos oportunos queda como:
V'(17500±900)mm 3
3 - Errores asociados a un conjunto de medidas.
a) Valor de la medida y error asociado.
Resulta práctica habitual realizar varias medidas de una cantidad. Ello permite prevenir
en la medida de lo posible los errores accidentales. La idea consiste en suponer (más bien confiar
en) que dos errores del mismo valor absoluto, pero de signo contrario, tienen la misma
frecuencia. Esto, es, si la medida exacta de la longitud de un objeto es 12.52 m, se tiene igual
probabilidad de medir 12.55 m que de medir 12.49 m. Si se cumplen esta y otras condiciones
determinadas, se puede aplicar la llamada estadística de Gauss, algunos de cuyos resultados se
muestran a continuación.
Supongamos un conjunto de N medidas x1, x2,... xn obtenidas para una cantidad cuyo valor
exacto es x. Para dar un valor representativo del conjunto, se toma el valor medio de dichas
medidas, xo:
xo'
x1%x2%...xN
N
/
1
N
j
N
i'1
xi
A cualquier medida xi se le adjudica un error gi igual a la diferencia entre dicha medida
y el valor medio (que ahora se toma como exacto): gi = xi - xo. ¿Cuál es, entonces, el error
asociado al conjunto de medidas? Puede hacerse un primer intento y definir el error medio como
el valor medio de los errores (su suma dividida por N); sin embargo, se demuestra fácilmente que
dicha cantidad es nula sea cuales sean los valores xi:
go'
1
N
j
N
i'1
gi'
1
N
j
N
i'1
(xi&xo)'
1
N
j
N
i'1
xi&
1
N
Nxo'xo&xo'0
Este resultado, paradójico en apariencia, no es más que un reflejo del significado del
término valor medio. Pare evitarlo, y puesto que los errores pueden serlo por defecto o por
defecto, a veces se define el error medio Fm como la media aritmética de los valores absolutos
de los errores:
Fm'
j
N
i'1
*gi*
N
En la práctica se usa más que el error medio el llamado error probable, que es un error
tal que la probabilidad de cometer un error superior a él, en valor absoluto, valga 1/2. Esto es,
la mitad de las veces que se efectúe una medida se obtendrá un error inferior en valor absoluto
al error probable. Esto se debe a motivos estadísticos, pero aquí se hará una deducción intuitiva.
Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física 5
Dicha deducción se base en el siguiente razonamiento: puesto que el valor medio de los
errores sale cero porque dichos errores tienen signo (los valores medidos están por encima o por
debajo del valor medio), eliminemos el signo. Ya se hizo en la ecuación anterior por medio de
un valor absoluto. Sin embargo, la función valor absoluto es engorrosa desde el punto de vista
analítico. Existe otra manera de convertir cualquier número real en un valor positivo: elevándolo
al cuadrado. Así que podríamos usar como error del conjunto de medidas el valor medio de los
cuadrados de los errores:
FN'
j
N
i'1
g
2
i
N
Sin embargo, en el proceso hemos reducido artificialmente el error, ya que cada error gi,
ya pequeño de por sí, ha sido elevado al cuadrado. El arreglo es inmediato: si hemos elevado al
cuadrado, saquemos la raíz cuadrada para compensar:
FN'
1
N
j
N
i'1
g
2
i '
1
N
j
N
i'1
(xi&xo)2
Esta cantidad, que se puede obtener mediante la estadística de Gauss por procedimientos
más rigurosos, es el llamado error cuadrático medio, y es el que habitualmente da como error
de un conjunto de medidas siempre que éste no sea inferior al error instrumental, esto es, al error
mínimo imputable a la sensibilidad del aparato (mínima marca en una regla, menor intensidad
mensurable en un amperímetro, etc). De lo contrario, un conjunto de medidas tales como: 10.0,
10.0, 10.1, 10.0, 10.0 mm medidos con una regla milimetrada hasta 0.1 mm arrojaría un valor
de 10.02 ± 0.04 mm, lo cual no es lógico estadísticamente hablando: con el aumento del número
de medidas aumenta la verosimilitud, pero no el número de cifras decimales del resultado. El
error cuadrático medio asociado a N medidas se designa como FN, y así suele venir indicado en
las calculadoras científicas.
Si se desea afinar más la estadística del sistema, se define el error de manera diferente.
Esto se debe a que la expresión anterior es válida solamente si xo fuese el valor exacto de la
medida; como no lo conocemos, hemos de sustituirlo por el valor medio. Ello puede dar
discrepancias no despreciables cuando el número de medidas N es pequeño. Para el caso límite
N=1, suponer que la única medida tomada coincide con el valor exacto nos induciría a llegar a
la absurda conclusión de que el error cuadrático de dicha observación es nulo. Si se admite que
el conjunto de N medidas sigue la llamada ley de Gauss, puede demostrarse que al usar el valor
medio en lugar del valor exacto, la ley correcta tiene la expresión:
FN&1'
j
N
i'1
g
2
i
N(N&1)
'
j
N
i'1
(xi&xo)2
N(N&1)
Puede verse fácilmente que el cociente entre las dos cantidades es igual a la raíz cuadrada
de (N-1)/N, cantidad que tiende a la unidad para valores de N crecientes. En la práctica, dicha
diferencia resulta poco relevante, ya que la operación de redondeo borra las diferencias entre
ambos errores. Para el conjunto de datos (51.00, 51.00, 51.50, 52.5, 52.0, 50.50, 53.50), se
Teoría de errores 6
obtiene xo=51.71428..., FN=0.95831... y FN-1=1.035099... Sea cual sea el error que se considere,
los datos arrojarían un valor final de 52 ± 1 (nunca hay que olvidar que cualquier valor de error
que se de será simplemente una estimación del error probable, nunca un valor exacto de tal error).
En la práctica, habida cuenta de la escasa diferencia entre ambos errores, se suele dar
como resultado de un conjunto de medidas el valor medio xo y el error cuadrático medio FN (a
no ser que FN sea menor que el error instrumental del aparato de medida, en cuyo caso se tomará
éste último). Únicamente tiene interés para nosotros emplear FN-1 cuando el número de medidas
no es muy grande y estamos interesados en obtener información estadística más completa del
sistema.
b) Número de medidas
Si se hacen pocas determinaciones, el valor obtenido para la cantidad medida podrá estar
afectado por importantes errores; si se efectúan demasiadas medidas, se está derrochando
esfuerzo sin obtener mejoras sustanciales en precisión. En general, el valor del error asociado
a un conjunto de medidas decrece de manera proporcional a la raíz cuadrada del número total de
medidas. Es decir, el error asociado a 500 medidas es del orden de diez veces menor que el
debido a solamente cinco medidas. Es evidente, no obstante, que no se puede esperar una
reduccióndelerroravaloresarbitrariamentepequeñosaumentandoelnúmerodemedidas,yaque
toparemosenúltimainstanciaconerroressistemáticos,límitesenlasensibilidaddelinstrumento,
etc; de manera que con una regla dividida en milímetros no se puede apreciar más allá del
milímetro, independientemente del número de medidas efectuado.
¿Cuál es el número de medidas adecuado para una observación estadísticamente
significativa? Descartados los casos en que, por las características del experimento, solamente
se pueda obtener una medición, el mínimo número de medidas admisible es de tres, ya que si
hacemos una sola medida cabe la duda de saber si éste resultado es el verdadero, y si hacemos
dos resulta arbitrario seleccionar entre ellas (¿está el valor exacto en un término medio, o hay una
medida afectada de error accidental y otra no?). El procedimiento recomendado aquí (no el único
ni, necesariamente, el mejor) es el siguiente:
a) Se calcula la dispersión D, que es la diferencia entre los valores extremos (mayor y
menor) de las medidas realizadas.
b) Si la dispersión es igual o menor que el error instrumental, es dicho error el que
figurará como error del conjunto de medidas.
c) Si la dispersión es mayor que el error instrumental, se calcula la tasa de dispersión Td,
que no es sino la dispersión relativa (respecto al valor medio) en tantos por ciento:
Td'
100@D
xo
Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física 7
Según sea el valor de Td se elige el número de medidas a realizar (la siguiente tabla es
orientativa):
Td Nº medidas.
menor del 2% bastan con las tres medidas
entre 2% y 8% se toman 6 medidas
entre 8% y 15% se toman 15 medidas
mayor del 15% se toman 50 medidas (mínimo)
Por lo general, si la tasa de desviación es superior al 15% se suele descartar el conjunto
de medidas y repetir el experimento de manera más cuidadosa y procurando minimizar cualquier
tipo de error (aparatos más sensibles, muestras aisladas de las vibraciones, etc). En caso de que
el carácter del experimento haga que las medidas difieran de modo natural entre sí, se efectuará
un conjunto elevado de mediciones.
4 - Regresión lineal: mínimos cuadrados.
En un experimento típico, se cambia el valor de una variable independiente X para
observar el comportamiento de otra variable Y dependiente de la anterior; por ejemplo, el cambio
de la densidad del agua (Y) con la temperatura (X). Cuando hacemos una representación gráfica
Y(X) (Y en el eje vertical de ordenadas y X en el eje horizontal de abscisas), la curva obtenida
tendrá una forma dada. En el laboratorio, al reproducir un experimento de este tipo,
obtendríamos una gráfica idéntica a la arrojada por la teoría. sin embargo, la existencia de
muchas fuentes de indeterminación (no sólo errores sino también las simplificaciones hechas en
la propia teoría, influencias de otros factores, etc) hacen que los datos experimentales no
coincidan exactamente con la curva teórica, sino que tiendan a disponerse alrededor de ésta.
Surge entonces la pregunta de qué curva "ajusta" mejor los datos experimentales. Con "ajusta"
se quiere decir, no que la curva pase exactamente por todos los puntos experimentales, sino que
tienda a estar lo más cerca posible de todos ellos en conjunto.
El ajuste de datos experimentales a curvas es extremadamente importante, no sólo para
poder comparar con la teoría, sino incluso para poder establecer la validez o no de la misma
teoría. El caso general es complejo y laborioso, así que nos limitaremos a una curva en la que
la dependencia entre X e Y es de tipo lineal (si se duplica X, se duplica Y).
Supongamos que para cada valor Xi de la variable independiente se obtiene un valor Yi
de la variable dependiente (aquí los subíndices i denotan distintos valores de X e Y, y no guardan
relación alguna con los valores de una misma cantidad utilizados en el apartado 6.3). El
problema consiste en encontrar una curva del tipo Y = a + bX, (una recta, en este caso) que ajuste
mejor el conjunto de datos; en concreto, se buscan los valores de a y b tales que la suma de
distancias entre la recta y todos los puntos experimentales sea mínima.
Se puede demostrar, minimizando dicha suma de distancias, que los valores a yb que nos
dan el mejor ajuste vienen dados por las siguientes expresiones:
Teoría de errores 8
a'
j Yi@j (Xi)2
& j Xi@j (XiYi)
Nj (Xi)2
& (j Xi)2
b'
Nj (XiYi) & j Xi@j Yi
Nj (Xi)2
&(j Xi)2
Cuando se quiere conocer la validez o bondad del ajuste, o cuando se tienen dudas sobre
si la relación X-Y es lineal, se acude al coeficiente de correlación lineal (C.C.L.), descrito con la
letra r, definido como:
r'
j (XiYi)
j (Yi)2
@j (Xi)2
El valor absoluto de r nos indica lo bien que los puntos experimentales ajustan a la curva
teórica. Si *r*=1, el ajuste es perfecto; un valor *r*=0.95 nos indica un buen ajuste; un
valor de *r* inferior a 0.85 no resulta apenas aceptable.

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  • 1. Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física 1 Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física TEORÍA DE ERRORES Cuando se mide una cantidad, ya directa, ya indirectamente, la medida que se obtiene no es necesariamente el valor exacto de tal medida, ya que el resultado obtenido estará afectado por errores debidos a multitud de factores. Algo en apariencia tan sencillo como cronometrar el período del péndulo en el apartado anterior sufrirá errores debidos a la precisión del cronómetro, los reflejos del cronometrador, las corrientes de aire, el número de medidas efectuadas ... errores que se propagarán a cualquier cantidad derivada de ésta que queramos determinar, como por ejemplo velocidad o aceleración. En estos casos es necesario estimar el error cometido al efectuar una medida o serie de medidas. El conjunto de reglas matemáticas dedicado a su estudio se conoce como teoría de errores, y resulta imprescindible tanto para sacar todo el partido posible a un conjunto de datos experimentales como para evaluar la fiabilidad de éstos. El estudio de la teoría de errores es una rama aparte de la matemática por derecho propio, y por su extensión no se desarrollará aquí. El lector queda avisado de que lo que sigue es tan sólo un conjunto rápido y necesariamente breve de las reglas fundamentales más usadas en el ámbito de la teoría de errores. 1 - Nociones previas. Si se efectúa una medida directa de una cantidad física, el valor medido x por lo general diferirá del valor exacto xo. Se denomina error absoluto de la medida a la diferencia g = x-xo y error relativo al cociente g/xo. El error relativo resulta especialmente relevante porque nos relaciona el error cometido con el valor de lo medido. Un error de 1 mm resulta magnífico si se mide la longitud de una carretera de 100 km (representa una desviación de una parte por cada 100.000.000), adecuado si se mide una mesa de 2 m e inaceptable si se mide una hormiga de 2 mm. En los tres casos el error absoluto es el mismo, pero su cercanía relativa al valor exacto son distintas. Por lo general, el valor de una medida se da estimando su valor más probable x y su error, )x. Escribir x±)x significa que cabe esperar razonablemente que el valor exacto de la cantidad valga cualquier cantidad entre x-)x y x+)x, con x como valor más probable. La traducción de "cabe esperar razonablemente" al lenguaje matemático queda fuera del presente desarrollo. Existen dos tipos de errores: sistemáticos y accidentales. Los primeros actúan siempre de la misma forma para influir en la medida (por ejemplo, una balanza desajustada que tiende a marcar una masa 10 gr. superior a la real). Estas medidas, si se producen, producen un error constante. Por contra, los errores accidentales son de carácter aleatorio, lo que presupone que actúan con la misma frecuencia tanto con un signo como con el opuesto (esto es, se tiene igual probabilidad de obtener una medida 5 gr. superior al valor real como de obtenerla 5 gr. por debajo).
  • 2. Teoría de errores 2 No se puede conocer el valor exacto de una cantidad, puesto que siempre existen errores; tampoco se puede conocer el valor exacto de un error, puesto que dependen de procesos aleatorios y generalmente incontrolables (aparte de ser una contradicción en sus propios términos). Sin embargo, es preciso dar un valor de la medida con su error. La Teoría de Errores deduce ciertas reglas para ello. 2 - Errores asociados a una medida. a) Medidas directas. Redondeo. Supóngase que se efectúa una evaluación directa de una cantidad, x. Se suele en este caso tomar el propio valor de x como medición de dicha cantidad. Como error se supone la sensibilidad del aparato utilizado en la medición, esto es, el valor mínimo que el aparato es capaz de medir. Esto presupone implícitamente que los errores accidentales están fuera de nuestra manipulación, ya sea porque los hayamos eliminados, ya porque seamos ignorantes de su existencia, de manera que los únicos errores que aparecen son los de tipo aleatorio. El error en sí es algo aproximado. Dar un valor de 24.5±0.3 mm. significa esperar que el valor verdadero sea alguna cantidad entre 24.2 y 24.8 mm. Pero dar 24.500±0.302 mm. es lo mismo que decir que el valor exacto ha de estar entre 24.198 y 25.802 mm; no resulta razonable, ya que "ha de estar entre" no tiene una seguridad absoluta, sino tan sólo una cierta probabilidad. Por ello, tanto el error como el valor más probable vienen redondeados convenientemente. Para el error, se supone que basta con dar una, a veces dos, cifras significativas (es decir, cifras que dan información relevante). Los criterios habituales son los siguientes: - Si las dos primeras cifras significativas son inferiores a 25, se toman dichas cifras para el error. De no ser así, se toma solamente una cifra. Según eso, el error 0.113 queda convertido en 0.11, y el 6488.24 se transforma en 6000 - Si la primera cifra que se descarta es un cinco o más, la última cifra que se guarda se aumenta en una unidad. Esto es, el valor 0.362 se convierte en 0.4 y no en 0.3 - Una vez redondeado convenientemente el error, el valor de la medida se redondea hasta la misma cifra decimal. Véanse unos cuantos ejemplos: Medida Error Resultado final 464.2413 0.061 464.24±0.06 6.03 0.0005 6.0300±0.0005 46288 1553 46300±1600 3.218 0.124 3.2±0.1 0.018366 0.00783 0.018±0.008
  • 3. Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física 3 b) Medidas indirectas. Propagación de errores. A veces no se mide una cantidad directamente, sino por relación con otras cantidades. Para medir, por ejemplo, el área de un rectángulo se miden sus lados a,b y se hace uso de la relación S=ab. Si tanto a como b tienen sus cotas de error, evidentemente también la superficie vendrá afectada de error. Cómo depende el error de una cantidad derivada de las medidas y errores fundamentales viene dado mediante la teoría de la propagación de errores. Para ello se utiliza el cálculo diferencial. Sea y una función que depende de las variables independientes x1, x2...xn. Se puede obtener el valor del diferencial de la función y a partir de los diferenciales de las variables xi por medio de derivadas parciales: dy' My Mx1 dx1% My Mx2 dx2%...% My Mxn dxn En nuestro caso, y la función que nos da la cantidad medida indirectamente a partir de las medidas directas de las cantidades x1...xn (en rigor, xi es cualquier parámetro, variable o no, que venga dado con un margen de error; el número pi, por ejemplo, sería uno de ellos, ya que nunca se conoce con una exactitud infinita, si bien en estos casos se supone que se conoce con un número de cifras decimales tal que el redondeo debido a despreciar las demás cifras es despreciable). Si los errores son lo suficientemente pequeños, podemos considerarlos como diferenciales, ya que estos pueden interpretarse como variaciones infinitesimales. La ecuación que nos da el error de y, )y, es entonces: )y' My Mx1 )x1% My Mx2 )x2%...% My Mxn )xn Es posible que algunos de los términos que acompañan a los errores )xi sean positivos o otros sean negativos, en cuyo caso podría resultar que algunos errores cancelen a otros (por ejemplo, que la base del rectángulo sea mayor y la altura menor que sus respectivos valores reales). Sin embargo, los errores pueden ser tanto por exceso como por defecto, por lo que hay que considerar la posibilidad de que en el peor de los casos los errores se sumen de manera que no sólo no se anulen, sino que se refuerzen. Para evitarlo, se considera que las derivadas parciales aparecen en valor absoluto: Veamos un ejemplo. Supongamos que se mide el radio r y la altura h de un cilindro, obteniendo un volumen V=Br2 h. En tal caso, y=V, x1=r, x2=h y se tendría: )V' MV Mr )r% MV Mh )h'2Brh)r%Br 2 )h Si r = 12.6±0.3 mm, h = 35.12±0.06 mm obtendremos: )V'2@3.1416@12.6mm@35.12mm@0.3mm%3.1516@(12.6mm)2 @0.06mm '834.1155mm 3 %29.9256mm 3 '864.04102mm 3 Vemos que la parte de error correspondiente a )r es mucho mayor que la de )h, lo que significa que para reducir el error del volumen es mucho más eficaz reducir el error en la
  • 4. Teoría de errores 4 determinación del radio que en la de la altura. Finalmente, el volumen es V=17516.425 mm3 , lo que tras los redondeos oportunos queda como: V'(17500±900)mm 3 3 - Errores asociados a un conjunto de medidas. a) Valor de la medida y error asociado. Resulta práctica habitual realizar varias medidas de una cantidad. Ello permite prevenir en la medida de lo posible los errores accidentales. La idea consiste en suponer (más bien confiar en) que dos errores del mismo valor absoluto, pero de signo contrario, tienen la misma frecuencia. Esto, es, si la medida exacta de la longitud de un objeto es 12.52 m, se tiene igual probabilidad de medir 12.55 m que de medir 12.49 m. Si se cumplen esta y otras condiciones determinadas, se puede aplicar la llamada estadística de Gauss, algunos de cuyos resultados se muestran a continuación. Supongamos un conjunto de N medidas x1, x2,... xn obtenidas para una cantidad cuyo valor exacto es x. Para dar un valor representativo del conjunto, se toma el valor medio de dichas medidas, xo: xo' x1%x2%...xN N / 1 N j N i'1 xi A cualquier medida xi se le adjudica un error gi igual a la diferencia entre dicha medida y el valor medio (que ahora se toma como exacto): gi = xi - xo. ¿Cuál es, entonces, el error asociado al conjunto de medidas? Puede hacerse un primer intento y definir el error medio como el valor medio de los errores (su suma dividida por N); sin embargo, se demuestra fácilmente que dicha cantidad es nula sea cuales sean los valores xi: go' 1 N j N i'1 gi' 1 N j N i'1 (xi&xo)' 1 N j N i'1 xi& 1 N Nxo'xo&xo'0 Este resultado, paradójico en apariencia, no es más que un reflejo del significado del término valor medio. Pare evitarlo, y puesto que los errores pueden serlo por defecto o por defecto, a veces se define el error medio Fm como la media aritmética de los valores absolutos de los errores: Fm' j N i'1 *gi* N En la práctica se usa más que el error medio el llamado error probable, que es un error tal que la probabilidad de cometer un error superior a él, en valor absoluto, valga 1/2. Esto es, la mitad de las veces que se efectúe una medida se obtendrá un error inferior en valor absoluto al error probable. Esto se debe a motivos estadísticos, pero aquí se hará una deducción intuitiva.
  • 5. Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física 5 Dicha deducción se base en el siguiente razonamiento: puesto que el valor medio de los errores sale cero porque dichos errores tienen signo (los valores medidos están por encima o por debajo del valor medio), eliminemos el signo. Ya se hizo en la ecuación anterior por medio de un valor absoluto. Sin embargo, la función valor absoluto es engorrosa desde el punto de vista analítico. Existe otra manera de convertir cualquier número real en un valor positivo: elevándolo al cuadrado. Así que podríamos usar como error del conjunto de medidas el valor medio de los cuadrados de los errores: FN' j N i'1 g 2 i N Sin embargo, en el proceso hemos reducido artificialmente el error, ya que cada error gi, ya pequeño de por sí, ha sido elevado al cuadrado. El arreglo es inmediato: si hemos elevado al cuadrado, saquemos la raíz cuadrada para compensar: FN' 1 N j N i'1 g 2 i ' 1 N j N i'1 (xi&xo)2 Esta cantidad, que se puede obtener mediante la estadística de Gauss por procedimientos más rigurosos, es el llamado error cuadrático medio, y es el que habitualmente da como error de un conjunto de medidas siempre que éste no sea inferior al error instrumental, esto es, al error mínimo imputable a la sensibilidad del aparato (mínima marca en una regla, menor intensidad mensurable en un amperímetro, etc). De lo contrario, un conjunto de medidas tales como: 10.0, 10.0, 10.1, 10.0, 10.0 mm medidos con una regla milimetrada hasta 0.1 mm arrojaría un valor de 10.02 ± 0.04 mm, lo cual no es lógico estadísticamente hablando: con el aumento del número de medidas aumenta la verosimilitud, pero no el número de cifras decimales del resultado. El error cuadrático medio asociado a N medidas se designa como FN, y así suele venir indicado en las calculadoras científicas. Si se desea afinar más la estadística del sistema, se define el error de manera diferente. Esto se debe a que la expresión anterior es válida solamente si xo fuese el valor exacto de la medida; como no lo conocemos, hemos de sustituirlo por el valor medio. Ello puede dar discrepancias no despreciables cuando el número de medidas N es pequeño. Para el caso límite N=1, suponer que la única medida tomada coincide con el valor exacto nos induciría a llegar a la absurda conclusión de que el error cuadrático de dicha observación es nulo. Si se admite que el conjunto de N medidas sigue la llamada ley de Gauss, puede demostrarse que al usar el valor medio en lugar del valor exacto, la ley correcta tiene la expresión: FN&1' j N i'1 g 2 i N(N&1) ' j N i'1 (xi&xo)2 N(N&1) Puede verse fácilmente que el cociente entre las dos cantidades es igual a la raíz cuadrada de (N-1)/N, cantidad que tiende a la unidad para valores de N crecientes. En la práctica, dicha diferencia resulta poco relevante, ya que la operación de redondeo borra las diferencias entre ambos errores. Para el conjunto de datos (51.00, 51.00, 51.50, 52.5, 52.0, 50.50, 53.50), se
  • 6. Teoría de errores 6 obtiene xo=51.71428..., FN=0.95831... y FN-1=1.035099... Sea cual sea el error que se considere, los datos arrojarían un valor final de 52 ± 1 (nunca hay que olvidar que cualquier valor de error que se de será simplemente una estimación del error probable, nunca un valor exacto de tal error). En la práctica, habida cuenta de la escasa diferencia entre ambos errores, se suele dar como resultado de un conjunto de medidas el valor medio xo y el error cuadrático medio FN (a no ser que FN sea menor que el error instrumental del aparato de medida, en cuyo caso se tomará éste último). Únicamente tiene interés para nosotros emplear FN-1 cuando el número de medidas no es muy grande y estamos interesados en obtener información estadística más completa del sistema. b) Número de medidas Si se hacen pocas determinaciones, el valor obtenido para la cantidad medida podrá estar afectado por importantes errores; si se efectúan demasiadas medidas, se está derrochando esfuerzo sin obtener mejoras sustanciales en precisión. En general, el valor del error asociado a un conjunto de medidas decrece de manera proporcional a la raíz cuadrada del número total de medidas. Es decir, el error asociado a 500 medidas es del orden de diez veces menor que el debido a solamente cinco medidas. Es evidente, no obstante, que no se puede esperar una reduccióndelerroravaloresarbitrariamentepequeñosaumentandoelnúmerodemedidas,yaque toparemosenúltimainstanciaconerroressistemáticos,límitesenlasensibilidaddelinstrumento, etc; de manera que con una regla dividida en milímetros no se puede apreciar más allá del milímetro, independientemente del número de medidas efectuado. ¿Cuál es el número de medidas adecuado para una observación estadísticamente significativa? Descartados los casos en que, por las características del experimento, solamente se pueda obtener una medición, el mínimo número de medidas admisible es de tres, ya que si hacemos una sola medida cabe la duda de saber si éste resultado es el verdadero, y si hacemos dos resulta arbitrario seleccionar entre ellas (¿está el valor exacto en un término medio, o hay una medida afectada de error accidental y otra no?). El procedimiento recomendado aquí (no el único ni, necesariamente, el mejor) es el siguiente: a) Se calcula la dispersión D, que es la diferencia entre los valores extremos (mayor y menor) de las medidas realizadas. b) Si la dispersión es igual o menor que el error instrumental, es dicho error el que figurará como error del conjunto de medidas. c) Si la dispersión es mayor que el error instrumental, se calcula la tasa de dispersión Td, que no es sino la dispersión relativa (respecto al valor medio) en tantos por ciento: Td' 100@D xo
  • 7. Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física 7 Según sea el valor de Td se elige el número de medidas a realizar (la siguiente tabla es orientativa): Td Nº medidas. menor del 2% bastan con las tres medidas entre 2% y 8% se toman 6 medidas entre 8% y 15% se toman 15 medidas mayor del 15% se toman 50 medidas (mínimo) Por lo general, si la tasa de desviación es superior al 15% se suele descartar el conjunto de medidas y repetir el experimento de manera más cuidadosa y procurando minimizar cualquier tipo de error (aparatos más sensibles, muestras aisladas de las vibraciones, etc). En caso de que el carácter del experimento haga que las medidas difieran de modo natural entre sí, se efectuará un conjunto elevado de mediciones. 4 - Regresión lineal: mínimos cuadrados. En un experimento típico, se cambia el valor de una variable independiente X para observar el comportamiento de otra variable Y dependiente de la anterior; por ejemplo, el cambio de la densidad del agua (Y) con la temperatura (X). Cuando hacemos una representación gráfica Y(X) (Y en el eje vertical de ordenadas y X en el eje horizontal de abscisas), la curva obtenida tendrá una forma dada. En el laboratorio, al reproducir un experimento de este tipo, obtendríamos una gráfica idéntica a la arrojada por la teoría. sin embargo, la existencia de muchas fuentes de indeterminación (no sólo errores sino también las simplificaciones hechas en la propia teoría, influencias de otros factores, etc) hacen que los datos experimentales no coincidan exactamente con la curva teórica, sino que tiendan a disponerse alrededor de ésta. Surge entonces la pregunta de qué curva "ajusta" mejor los datos experimentales. Con "ajusta" se quiere decir, no que la curva pase exactamente por todos los puntos experimentales, sino que tienda a estar lo más cerca posible de todos ellos en conjunto. El ajuste de datos experimentales a curvas es extremadamente importante, no sólo para poder comparar con la teoría, sino incluso para poder establecer la validez o no de la misma teoría. El caso general es complejo y laborioso, así que nos limitaremos a una curva en la que la dependencia entre X e Y es de tipo lineal (si se duplica X, se duplica Y). Supongamos que para cada valor Xi de la variable independiente se obtiene un valor Yi de la variable dependiente (aquí los subíndices i denotan distintos valores de X e Y, y no guardan relación alguna con los valores de una misma cantidad utilizados en el apartado 6.3). El problema consiste en encontrar una curva del tipo Y = a + bX, (una recta, en este caso) que ajuste mejor el conjunto de datos; en concreto, se buscan los valores de a y b tales que la suma de distancias entre la recta y todos los puntos experimentales sea mínima. Se puede demostrar, minimizando dicha suma de distancias, que los valores a yb que nos dan el mejor ajuste vienen dados por las siguientes expresiones:
  • 8. Teoría de errores 8 a' j Yi@j (Xi)2 & j Xi@j (XiYi) Nj (Xi)2 & (j Xi)2 b' Nj (XiYi) & j Xi@j Yi Nj (Xi)2 &(j Xi)2 Cuando se quiere conocer la validez o bondad del ajuste, o cuando se tienen dudas sobre si la relación X-Y es lineal, se acude al coeficiente de correlación lineal (C.C.L.), descrito con la letra r, definido como: r' j (XiYi) j (Yi)2 @j (Xi)2 El valor absoluto de r nos indica lo bien que los puntos experimentales ajustan a la curva teórica. Si *r*=1, el ajuste es perfecto; un valor *r*=0.95 nos indica un buen ajuste; un valor de *r* inferior a 0.85 no resulta apenas aceptable.