Ejercicios resueltos de la seccion 4-6

1. 4.6 BASES Y DIMENSIÓN
* Determine si el conjunto de vectores dado es una base para el espacio vectorial a que se
refiere.
EJERCICIO 1. xxPEn ,1: 2
2 
I. Combinación Lineal
    01 2
2
1  xcxc
02
2
11  xcxcc
Reacomodando Términos
0
0
0
1
2
2
1



c
xc
xc
R/: Como C1 = C2 = C3 = 0, por lo tanto el conjunto es linealmente independiente.
II. Genera a V
12
2
1
2
cxcxccbxax 
Uniendo los términos semejantes tenemos
cc
bc
ac



1
2
1
R/: Como C1 tiene 2 valores distintos, el conjunto no genera a P2.
Por paso I y II, el conjunto dado no es una base para el espacio vectorial P2.
EJERCICIO 2. 2,23,2:
2
 xxxxPEn

2. I. Combinación Lineal
    0)2(32 3
2
21  xcxxcxc
0232 33
2
221  cxcxcxcxc
Reacomodando Términos Tenemos:
02
03
0)2(
3
2
2
321



c
xc
xccc
02
03
02
3
2
321



c
c
ccc
0
0
0
3
2
1



c
c
c
Los valoresde C1, C2, C3, se obtuvieron despejando las ecuaciones segunda y tercera, luego
se sustituyo en la primera ecuación los valores de C2 , C3, para encontrar C1.
R/: Como C1 = C2 = C3 = 0, por lo tanto el conjunto es linealmente independiente.
II. Genera a V
3321
2
2
2
2)2(3 cxcccxccbxax 
Uniendo los términos semejantes tenemos
cc
bccc
ac



3
321
2
2
)2(
3
Despejando las C2 y C3 para luego sustituirlas en la segunda ecuación y poder despejar C1
2
3
3
2
c
c
a
c







 














3
2
23
2
1
1
cb
ac
b
ca
c
R/: Como podemos observar todas las C1, C2 y C3 tiene solución por lo tantoel conjuntogenera
a P2.
Por paso I y II, el conjunto dado si es una base para el espacio vectorial P2.

3. EJERCICIO 3. 























dc
ba
MEn
0
00
,
0
00
,
00
0
,
00
0
:22
donde a,b,c,d ≠ 0
I. Combinación Lineal










































00
00
00
00
0
00
0
00
00
0
00
0
43
21
4321
dccc
bcac
d
c
c
c
b
c
a
c
Reacomodando Términos Tenemos:
0
0
0
0
4
3
2
1




dc
cc
bc
ac
0
0
0
0
4
3
2
1




c
c
c
c
R/: Como C1 = C2 = C3 = C4 = 0, por lo tanto el conjunto es linealmente independiente.
II. Genera a V










































hg
fe
dccc
bcac
hg
fe
d
c
c
c
b
c
a
c
43
21
4321
0
00
0
00
00
0
00
0
Reacomodando Términos Tenemos:
hdc
gcc
fbc
eac




4
3
2
1
d
hc
c
gc
b
fc
a
ec




4
3
2
1
R/: Como podemos observar todas las C1, C2, C3 y C4 tienen soluciones, por lo tanto el conjunto
genera a 22M .
Por paso I y II, el conjunto dado si es una base para el espacio vectorial 22M .

4. EJERCICIO 4. Encuentre una baseen 3
R para el conjunto devectores en el
plano 3x-2y+z=0
Despejando para Z:
3x - 2y + z=0
Z = -3x+ 2y













































y
y
x
x
yx
y
x
z
y
x
2
0
3
0
23























2
1
0
3
0
1
yx
R/: La base es:






























 2
1
0
,
3
0
1
EJERCICIO 5. Encuentre una baseen 3
R para el conjunto devectores en la recta
x = 3t, y = -2ty z = 4t
Solución:
X= 3t , y = -2t y z = 4t
































4
2
3
4
2
3
t
t
t
t
z
y
x
R/: La base es:





















4
2
3
* En el siguiente ejercicio encuentre una base para el espacio de solución del sistema
homogéneo dado.

5. 01082
0
0432



zyx
zyx
zyx
Solución:
 













 













 

















22
133
122
2
1
5
12
2
0
0
0
12100
650
111
0
0
0
1082
432
111
0
0
0
1082
111
432
RRRRR
RRR
R
R














 












 

0
0
0
000
5
610
5
101
0
0
0
12100
5
610
111
233
211
10RRR
RRR
Quedando las siguientes ecuaciones y al sustituir el valor de z en
las ecuaciones nuestras soluciones nos dan:
0
0
5
6
0
5
1



z
zy
zx
0
0)0(
5
6
0)0(
5
1



z
y
x
0
0
0



z
y
x
R/: El vector solución es igual a cero, es una solución trivialla base es:




















0
0
0