A Semantica Nossa de Cada Dia

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Introdução
Teoria da Prova Categórica
Lógica Linear
Dialectica Categories
Conclusões
Outras Correspondências Curry-Howard
A Semântica Nossa de Cada Dia
Valeria de Paiva
I Encontro Brasileiro em Teoria das Categorias
27 janeiro 2021
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Obrigada pelo convite!
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Perspectiva Pessoal
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Jornada
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Perspectiva acadêmica
Sou lógica, faço teoria da prova e principalmente teoria de
categorias. Trabalho na indústria há 20 anos, aplicando a
matemática mais pura, de maneiras surpreendentes.
Hoje quero falar pra voces de uma jóia pouco apreciada de
matemática no século 20: A correspondência de Curry-Howard
A correspondência de Curry-Howard
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
A teoria da prova categórica
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
A teoria da prova categórica
O que eu tenho a ver com isso tudo
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Matematica e suas muitas surpresas
It often happens that there are similarities between the solutions to problems. Sometimes, these
similarities point to more general phenomena that simultaneously explain several different pieces of
mathematics. These more general phenomena can be very difficult to discover, but when they are
discovered, they have a very important simplifying and organizing role, and can lead to the solutions
of further problems, or raise new and fascinating questions. T. Gowers
Freqüentemente, há semelhanças entre as soluções de problemas.
Às vezes, essas semelhanças apontam para fenômenos mais gerais
que explicam simultaneamente várias pedaços diferentes da
matemática. Esses fenômenos mais gerais podem ser muito difı́ceis
de descobrir, mas quando são descobertos, têm um papel muito
importante na simplificação e organização de conteúdos e podem
levar à solução de outros problemas ou levantar questões novas e
fascinantes.
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Teoria de Categorias
Existe uma unidade subjacente de conceitos/teorias
matemáticas
Mais importante do que os próprios conceitos matemáticos é
como eles se relacionam
por exemplo, os espaços topológicos têm mapeamentos
contı́nuos, enquanto os espaços vetoriais vêm com
transformações lineares
Morfismos: como as estruturas se transformam em outras da
maneira (mais razoável) para organizar o edifı́cio matemático. 6 / 41

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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Provas?
Paradoxo de Russell
Programa de Hilbert: fornecer bases seguras para toda a matemática
Como? Formalização! todas as asserções matemáticas devem
ser escritas em uma linguagem formal precisa e manipuladas
de acordo com regras bem definidas.
basear toda a matemática em métodos finitı́sticos
Não há ignorabimus em matemática
Provar a consistência da Aritmética: a grande questão
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Programa de Hilbert
Consistente: nenhuma contradição pode ser obtida no formalismo da matemática
Completa: todas as afirmações verdadeiras podem ser
provadas no formalismo. A prova de consistência usa apenas raciocı́nio “ finitı́stico”sobre
objetos matemáticos finitos.
Conservativa: qualquer resultado sobre “objetos reais”obtido
usando raciocı́nio sobre “objetos ideais”(como conjuntos
incontáveis) pode ser provado sem objetos ideais.
Decidı́vel: um algoritmo para decidir a verdade ou falsidade de
qualquer declaração matemática. 8 / 41

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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Teoremas de incompletude de Gödel (1931)
O programa de Hilbert é impossı́vel, se interpretado da maneira
mais óbvia. MAS:
O próprio desenvolvimento da teoria da prova é uma con-
seqüência do programa de Hilbert. O desenvolvimento
da dedução natural e do cálculo de sequentes de Gent-
zen [também]. Gödel obteve seus teoremas de incomple-
tude enquanto tentava provar a consistência da análise. A
tradição da teoria da prova redutiva da escola de Gentzen-
Schütte é em si uma continuação direta do programa de
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Provas do século 20
Para provar a consistência da Aritmética Gentzen inventou seus
sistemas de
DEDUÇÃO NATURAL
(como os matemáticos pensam)
E CALCULO de SEQUENTES
(como ele conseguiu formalizar o raciocinio para obter o resultado
principal de que precisava, seu Hauptsatz. (1934))
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Provas como programas
Alonzo Church: o cálculo lambda (1932)
Church percebeu que os termos lambda podiam ser usados
para expressar todas as funções que poderiam ser calculadas
por uma máquina.
Em vez da “função f onde f (x) = t ”, ele simplesmente
escreveu λx.t.
O cálculo lambda é uma linguagem de programação
universal
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Curry-Howard simples
Regras de dedução natural para implicação (sem λ-termos)
A → B A
B
[A]
·
·
·
·
π
B
A → B
Regras de dedução natural para implicação (com λ-termos)
M : A → B N : A
M(N): B
[x : A]
·
·
·
·
π
M : B
λx.M : A → B
function application abstraction
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Algebra, Provas e Programas
Tipos são fórmulas/objetos na categoria apropriada,
Termos/programas são provas/morfismos na categoria,
Construtores lógicos são construções categóricas apropriadas
Mais importante: a redução é a normalização da prova (Tait)
Resultado: transferência de resultados/ferramentas da lógica para
a TC e para a Computação
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Teoria da Prova usando Categorias...
Categoria: uma coleção de objetos e de morfismos,
satisfazendo leis óbvias
Functores: a noção natural de morfismo entre categorias
Transformações naturais: a noção natural de morfismos entre
functores
Construtores: produtos, somas, limites, duais ....
Adjunções: uma versão abstrata de igualdade
Como isso se relaciona com a lógica?
Onde estão os teoremas?
Um desenrolar difı́cil e longo:
Curry, Schoenfinkel, Howard (1969, publicado em 1980), Szabo
(1978), Lambek&Scott(1986), Crole, B. Jacobs (1999), etc
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Derivações/provas do modelo, não se os teoremas são
verdadeiros ou não
Provas, definitivamente, cidadãos de primeira classe
Como? Use correspondência extendida de Curry-Howard
Por que isso é bom? Modelar derivações útil em linguı́stica,
programação funcional, compiladores ..
Por que isso é importante? O uso generalizado de
lógica/álgebra em CS significa novos problemas importantes
para resolver com nossas ferramentas favoritas.
Por que tão pouco impacto em matemática ou lógica?
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Interpretação Dialética
Se não podemos fazer o programa de Hilbert com meios
finitı́sticos, podemos fazê-lo de outra maneira?
Podemos, pelo menos, provar a consistência da aritmética?
Experimento: versão liberalizada do programa de Hilbert -
justificar sistemas clássicos em termos de noções tão
intuitivamente claras quanto possı́vel.
Abordagem de Gödel: funcionais computáveis (ou recursivos
primitivos) de tipo finito (System T), usando a Dialectica
Interpretation (porque publicada no jornal suı́ço Dialectica,
volume especial dedicado ao 70º aniversário de Paul Bernays)
em 1958.
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Categorias Dialecticas
Hyland sugeriu que para fornecer um modelo categórico da
Interpretação Dialética, deve-se olhar para os funcionais
correspondentes à interpretação da implicação lógica.
As categorias na minha tese, partindo dessa ideia, provaram
ser um modelo de Lógica Linear
A Lógica Linear apresentada por Girard (1987) como uma
ferramenta da teoria da prova: as simetrias da lógica clássica
mais o conteúdo construtivo das provas da lógica intuicionista.
Lógica Linear: uma ferramenta para semântica da
Computação.
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Lógica Linear
Uma lógica baseada em teoria da prova descrita por
Jean-Yves Girard em 1986.
Ideia básica: as hipóteses não podem ser descartadas ou
duplicadas. Eles devem ser usados exatamente uma vez -
assim como notas de dólar
Outras abordagens para contabilizar recursos lógicos antes.
Trunfo da Logica Linear: Considere os recursos quando quiser,
caso contrário, volte à lógica tradicional, A → B sse !A −◦ B
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Modelos de Logica Linear
Em Lógica Linear, as fórmulas denotam recursos. Recursos são
premissas, suposições e conclusões, como usadas em provas
lógicas. Por exemplo:
$1 −◦ latte Se eu tenho um dólar, posso comprar um Latte
$1 −◦ cappuccino Se eu tenho um dólar, posso comprar um Cappuccino
$1 Eu tenho um dólar
Podemos concluir latte ou cappuccino
— Mas usando meu dólar e uma das premissas acima, digamos
1 −◦ latte me dá um latte mas o dólar se foi
— A lógica usual não presta atenção aos usos das premissas
A implica B e A me dá B, mas ainda tenho A
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Implicação linear e conjunção (multiplicativa)
Traditional implication: A, A → B ` B
A, A → B ` A ∧ B Re-use A
Linear implication: A, A −◦ B ` B
A, A −◦ B 6` A ⊗ B Cannot re-use A
Traditional conjunction: A ∧ B ` A Discard B
Linear conjunction: A ⊗ B 6` A Cannot discard B
Of course: !A ` A⊗!A Re-use
!(A) ⊗ B ` B Discard
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Desafios de modelar a lógica linear
Modelagem categórica tradicional da lógica intuicionista:
fórmula A → objeto A da categoria apropriada
A ∧ B A × B (produto real)
A → B BA (conjunto de funções de A pra B)
Mas estes são produtos reais,
então temos projeções (A × B → A)
e diagonais (A → A × A)
que correspondem à exclusão e duplicação de recursos.
Não é linear !!!
Precisamos de produtos tensoriais e homs internos. La Jolla 1968,
Kelly, Laplaza, já sabiam como fazer.
O difı́cil é como definir o “make-everything-usual”operador ! de
LL.
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Categorias Dialecticas
Baseadas na Interpretação Dialética de Gödel (1958):
Resultado: uma interpretação da aritmética intuicionista HA
em uma teoria livre de quantificadores de funcionais de tipo
finito T.
Idéia: traduzir cada fórmula A de HA para AD = ∃u∀x.AD,
onde AD é livre de quantificador.
Uso: Se HA prova A então T prova AD(t, y) onde y é uma
string de variáveis para funcionais de tipo finito, t uma
sequência adequada de termos não contendo y
Objetivo: ser o mais construtivo possı́vel enquanto capaz de
interpretar toda a aritmética clássica
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Motivação e interpretação
Para Gödel (em 1958) a interpretação da Dialética era uma
forma de provar consistência da aritmética.
Para mim (em 1988) uma forma interna de modelar Dialectica
acabou produzindo modelos de Linear Lógica em vez de
modelos de Lógica Intuicionista, que eram esperados ...
Para Blass (em 1995) uma forma de conectar o trabalho de
Votja em Teoria dos Conjuntos com o meu e também com o
dele mesmo sobre Lógica Linear e cardinalidades do
continuum.
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Dialectica Categories A
Objects of DDial2(Sets) are triples, a generic object is
A = (U, X, R), where U and X are sets and α ⊆ U × X is an usual
set-theoretic relation. A morphism from A to B = (V , Y , β) is a
pair of functions f : U → V and F : U × Y → X such that
uαF(u, y) → fuβy. (Note direction!)
Theorem: You have to find the right structure. . .
(de Paiva 1987) The category DDial2(Sets) has a symmetric monoi-
dal closed structure, which makes it a model of (exponential-free)
intuitionistic multiplicative linear logic.
Theorem(Hard part): You also want usual logic. . .
There is a comonad ! which models exponentials/modalities and
recovers Intuitionistic and Classical Logic.
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Dialectica Categories B
Girard’s sugestion in Boulder: objects of Dial2(Sets) are triples,
a generic object is A = (U, X, R), where U and X are sets and
α ⊆ U × X is a set-theoretic relation. A morphism from A to
B = (V , Y , β) is a pair of functions f : U → V and F : Y → X
such that uαFy → fuβy. (Simplified maps!)
Theorem: You just have to find the right structure
(de Paiva 1989) The category Dial2(Sets) has a symmetric mo-
noidal closed structure, and involution which makes it a model of
(exponential-free) classical multiplicative linear logic.
Theorem (Even Harder part): You still want usual logic
There is a comonad ! which models exponentials/modalities, hence
recovers Intuitionistic and Classical Logic.
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Alguma intuição para esses morfismos?
Blass diz q devemos pensar em problemas de complexidade
computacional
Intuitivamente, um objeto de Dial2(Sets)
A = (U, X, α)
pode ser visto como representando um problema.
Os elementos de U são instâncias do problema, enquanto os
elementos de X são respostas possı́veis para as instâncias do
problema.
A relação α diz se a resposta está correta para aquela
instância do problema ou não.
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Examplos de objectos em Dial2(Sets)
1. O objeto (N, N, =) onde n está relacionado a m iff n = m.
2. O objeto (NN, N, R) onde f é R - relacionado a n iff f (n) = n.
3. O objeto (R, R, ≤) onde r1 e r2 estão relacionados iff r1 ≤ r2
4. Os objetos (2, 2, =) e (2, 2, 6=) com a igualdade/desigualdade
usual.
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
A estrutura correta?
Para “internalizar ”a noção de morfismo entre problemas,
precisamos considerar a coleção de todos os morfismos de U a V ,
V U, a coleção de todos os morfismos de Y a X, XY e precisamos
ter certeza de que um par f : U → V e F : Y → X nesse conjunto,
satisfaz a condição dialética:
∀u ∈ U, y ∈ Y , uαFy → fuβy
Isso nos dá um objeto (V U × XY , U × Y , eval) onde
eval: V U × XY × (U × Y ) → 2 é a ‘relação ’que avalia o par (f , F)
no par (u, y) e verifica a implicação dialética entre as relações.
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
A estrutura correcta!
Porque é divertido, que tal calcular a “engenharia reversa”
necessária pro nosso modelo de Lógica Linear.
A ⊗ B → C if and only if A → [B −◦ C]
U × V (α ⊗ β)XV × Y U U α X
⇓ ⇓
W
f
?
γ Z
6
(g1,g2)
W V × Y Z
?
(β −◦ γ)V × Z
6
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Aplicações de Categorias Dialecticas
Redes de Petri (≥ 2 phds), versões não comutativas Lambek,
modelo de estado (Correa et al)
Modelos genéricos de LL (Schalk), Análise Linguı́stica da
interface semântica-sintaxe para Linguagem Natural
‘Glue’ (Dalrymple, Lamping e Gupta)
versões fibracionais: “Copenhagen Interpretation”Biering,
”The dialectica monad and its cousins”Hofstra, Von Glehn
(PhD 2014), Moss, (PhD 2017); Moss e von Glehm
“Dialectica models of type theory”, LICS 2018. E um novo
trabalho com Trotta/Spadetto;
“The Compiler Forest”Budiu et al (2012); P. Hyvernat. “A
linear category of polynomial diagrams”
Piedrot (PhD 2014) interpretação da máquina Krivine; T.
Powell, “Dialectica and Learning”, P. Pradic (Phd 2020). 31 / 41

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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Aplicações Matemáticas
Blass (1995): Categorias dialéticas como uma ferramenta para
provar as desigualdades entre cardinalidades do continuum.
Blass notou que a Dialética foi usada por Vojtáš na teoria dos
conjuntos, para provar desigualdades entre invariantes
cardinais
Samuel Gomes da Silva e de Charles Morgan estavam usando
algumas ideias de Blass/Vojtáš e começamos a trabalhar
juntos. varios trabalhos na área, Samuel e seus alunos.
Recentemente numa teoria de problemas de
Kolmogorov/Veloso.
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Conclusões
Discutimos a (pouco-)apreciada correspondência de
Curry-Howard.
Indicamos sua importância para a interdisciplinaridade:
Álgebra, Provas e Programas
Exemplo principal: categorias da Dialética Dial2(Sets),
Ilustramos um teorema fácil, mas essencial, da lógica
categórica.
sugerimos brevemente o trabalho de Blass e Vojtáš de mapear
invariantes cardinais. Muito mais explicações são necessárias
...
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Take Home
Trabalhar em áreas interdisciplinares é difı́cil, mas gratificante.
A fronteira entre lógica, computação, linguı́stica e as
categorias é um otimo lugar para se divertir.
A matemática ensina uma maneira de pensar, mais do que
teoremas especı́ficos.
Barreiras: superespecialização, falta de acesso aberto e falta
de vontade de ‘perder tempo’ com formalizações
Facilitadores: comunidades cientı́ficas internacionais, acesso
aberto, interação crescente entre areas? ...
Apaixone-se por suas ideias e divirta-se conversando com muita
gente sobre elas ..
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Obrigada!
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Referências
A.Blass, Questions and Answers: A Category Arising in Linear Logic,
Complexity Theory, and Set Theory, Advances in Linear Logic (ed. J.-Y.
Girard, Y. Lafont, and L. Regnier) London Math. Soc. Lecture Notes 222
(1995).
de Paiva, A dialectica-like model of linear logic, Category Theory and
Computer Science, Springer, (1989) 341–356.
de Paiva, The Dialectica Categories, In Proc of Categories in Computer
Science and Logic, Boulder, CO, 1987. Contemporary Mathematics, vol
92, American Mathematical Society, 1989 (eds. J. Gray and A. Scedrov)
P. Vojtáš, Generalized Galois-Tukey-connections between explicit relations
on classical objects of real analysis. In: Set theory of the reals (Ramat
Gan, 1991), Israel Math. Conf. Proc. 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan
(1993), 619–643.
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
Logica Relevante
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
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Introdução
Lógica Linear
Conclusões
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