2015/10/30 競技プログラミング練習会 動的計画法

1. 競技プログラミング練習会
KMC 1回生 @utgw

2. 動的計画法(DP)
● DPで解ける問題の中から、自分が面白いと思ったものを紹介
○ 編集距離(レーベンシュタイン距離)
○ 進捗管理に失敗して1つだけになった……
● DPで解ける問題を解くコツ
○ 自分への戒めとして
○ 道に迷ったときのために
● スライド製作者はDPに疎くてとても厳しかった

3. 編集距離(レーベンシュタイン距離)
● http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=DPL_1_E&lang=jp
http://yukicoder.me/problems/610
● 文字の挿入|削除|置換で一方を他方に変形するための最小手順回数を数えたもの
● 入力：2つの文字列 s1,s2 (1 <= |s1|,|s2| <= 100)
● 出力：編集距離
● 例
○ s1 = “apple”, s2 = “ape” -> “2”
○ s1 = “perl”, s2 = “pearl” -> “1”

4. 編集距離をDPで求める流れ
● dp[i][j]: 文字列s1,s2のそれぞれi番目、j番目までの編集距離
● 明らかに dp[0][i] = i, dp[j][0] = j
(i = 0,1,...,|s1|; j = 0,1,...,|s2|)
● dp[i][j] を求めるのに必要なのは、次の3つの値
○ dp[i-1][j]
○ dp[i][j-1]
○ dp[i-1][j-1]
参考: http://d.hatena.ne.jp/naoya/20090329/1238307757

5. 編集距離をDPで求める流れ
● s1の(i-1)文字目までの文字列に1文字追加する場合
○ dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1;
● s2のj文字目を削除する場合
○ dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1;
● s1のi文字目とs2のj文字目が同じ文字になるように置換する場合
○ dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + cost;
○ ただし、 cost = s1[i-1] == s2[j-1] ? 0 : 1
○ i文字目とj文字目が等しければ、コストはかからない

6. 編集距離をDPで求める流れ
● この3つのうち、最小となるものを代入すればよい
● cost = s1[i-1] == s2[j-1] ? 0 : 1
dp[i][j] = min({dp[i-1][j] + 1,
dp[i][j-1] + 1,
dp[i-1][j-1] + cost})
● O(|S1||S2|) で求められる

7. int ld(string s1, string s2){
int dp[MAX_S+1][MAX_S+1];
int l1 = s1.size(), l2 = s2.size();
REP(i,l1+1) dp[i][0] = i; REP(i,l2+1) dp[0][i] = i;
FOR(i,1,l1+1){
FOR(j,1,l2+1){
int cost = s1[i-1] == s2[j-1] ? 0 : 1;
dp[i][j] = min({dp[i-1][j]+1, // Insertion
dp[i][j-1]+1, // Deletion
dp[i-1][j-1]+cost}); // Replace
}
}
return dp[l1][l2];
}

8. DPで解ける問題を解くコツ
1. 与えられた問題が、DPで解ける問題だということを見抜く(重要)
○ 最大値・最小値を求める
○ 数え上げ
○ etc.
2. 適切なDPテーブルの定義を考える
3. 漸化式を考える
4. 合ってそうなのに通らない場合は
○ コードのミスを見直す(他人のコードを読むつもりで)
○ 2. 3. を見直す
○ 頑張って計算量を減らす(がんばって)
参考: http://shindannin.hatenadiary.com/entry/20131208/1386512864

9. おしまい
● ありがとうございました

10. 参考
● プログラミングコンテンストチャレンジブック 第2版
ISBN: 978-4-8399-4106-2
● 動的計画法が苦手な人が、動的計画法が超苦手な人へアドバイスしてみる
http://shindannin.hatenadiary.com/entry/20131208/1386512864
● 編集距離 (Levenshtein Distance)
http://d.hatena.ne.jp/naoya/20090329/1238307757

11. おまけ：動的計画法と年収の関係について
https://twitter.com/mayah_puyo/status/643053132994375680