Trigonometria Solucion de Tríangulos Razones Ley Seno y Coseno

1. Cristian Velandia M.Sc

2. Razones Trigonométricas
Razones Trigonométricas en Angulos
Ley de Seno
Autoevaluación
Ley Coseno
TALLER – FUNCIONES

3. Al finalizar este módulo conocerás las
razones trigonométricas y sus relaciones.
TALLER – FUNCIONES
“ Un Matemático es un
Quijote moderno que
lucha en un mundo real
con armas imaginarias “ …
Aplicarás las relaciones trigonométricas para el
cálculo de distancias y ángulos en situaciones reales.
Utilizar los conocimientos geométricos para
efectuar mediciones indirectas relacionadas con
situaciones tomadas de contextos cotidianos.

4. TALLER – FUNCIONES
Observa el área del triángulo
formado por diferentes
figuras geométricas …
¿Por qué cuando cambiamos el orden de las
figuras, el área no es la misma?

5. TALLER – FUNCIONES
La trigonometría es una de las rama de
las matemáticas que estudia las
relaciones entre los lados y los ángulos
de los triángulos, siendo su significado
etimológico “medida de triángulos”.
Una de las aplicaciones más interesantes de la
trigonometría se realizan en Física, o en
Ingeniería en el estudio de fenómenos
periódicos, por ejemplo en el flujo de corriente
alterna para la ingeniería eléctrica.
El estudio de la trigonometría es muy
interesante ya que te permite resolver
una gran cantidad de situaciones y
problemas en el mundo real, resultando
fundamental especialmente en
cualquier tipo de aplicación basada en
geometrías y distancias.

6. TALLER – FUNCIONES
Las primeras aplicaciones fueron en el área
de la astronomía, la navegación y la
geodesia; casos donde NO es posible hacer
mediciones de manera directa o donde las
distancias son inaccesibles, como la
distancia de la Tierra a la Luna o la medida
del radio del Sol.
En este módulo descubrirás la aplicabilidad de la
trigonometría para todo tipo de cálculos
geométricos como la obtención de áreas,
medidas de lados y ángulos en figuras
geométricas.
Durante el estudio de los módulos
anteriores has ido adquiriendo
conocimientos de geometría analítica
tales como ángulos, rectas, relaciones
angulares, funciones trigonométricas,
triángulos, circunferencia, teorema de
Pitágoras, etc,

7. TALLER – FUNCIONES
Con el fin de iniciar nuestro estudio de
trigonometría, analicemos los ángulos y
lados en un triángulo rectángulo:
Ahora observa cuando cambiamos
el ángulo de referencia:
Ángulo
Observa que este
lado es OPUESTO
al ángulo
Observa que este lado
es cercano o
ADYACENTE al ángulo
Observa que el lado
más largo e le llama
HIPOTENUSA
Ángulo
Observa que este
lado es ADYACENTE
al ángulo
Observa que este lado
es cercano o
OPUESTO al ángulo
Observa que este es el
lado más largo:
HIPOTENUSA
Es muy importante que tengas en claro el ángulo de
referencia y los lados correspondiente.

8. TALLER – FUNCIONES

9. TALLER – FUNCIONES
A continuación se hace una generalidad de los 3 temas que se analizaran en este taller:
Cuando necesitas obtener las
medidas desconocidas de lados
y ángulos en un triángulo
rectángulo, puedes aplicar
razones trigonométricas.
Cuando necesitas obtener las
medidas desconocidas de lados
y ángulos en cualquier tipo de
triángulo, puedes aplicar la ley
de Seno.
Cuando necesitas obtener las
medidas desconocidas de lados y
ángulos en cualquier tipo de
triángulo, podemos aplicar la ley
de coseno.
a2
b2
c2
2bccosAsen 
Opuesto
Hipotenusa

a
sen A

b
sen B

c
sen C

10. TALLER – FUNCIONES
Imagina que un joven skater requiere
diseñar e implementar una rampa con
el fin de generear un salto
determinado en una competencia.
Para lograrlo decide diseñar
una rampa que tiene un
ángulo de elevación de 40
grados. Y la distancia de la
rampa debe ser de 1.5
metros.
1.5 m
40°
Para generar el análisis y obtener
las medidas tanto de los ángulos y
lados de la rampa, generemos un
dibujo de esta en dos
dimensiones.
?
?
Ang = 40°
Observa que este
lado es OPUESTO
al ángulo. No
conocemos aún
la medida
Observa que este lado es cercano o ADYACENTE al
ángulo de referencia No conocemos aun la medida.
Lado más largo o
HIPOTENUSA = 1.5m

11. TALLER – FUNCIONES
Con el fin de obtener las medidas de lados y ángulos en
un triángulo rectángulo, podemos aplicar las siguientes
razones trigonométricas:
Para hallar la medida de los lados de la rampa,
utilizamos las razones trigonométricas de la
siguiente manera:
Ahora para hallar el lado adyacente podemos
utilizar la razón trigonométrica coseno o tangente
ya que tenemos ahora el dato de lado opuesto.
Lado Opuesto
Seno (ángulo) =
Hipotenusa
Lado Adyacente
Coseno (ángulo) =
Hipotenusa
Lado Opuesto
Tangente ( ángulo) =
Lado Adyacente
Entonces para nuestra aplicación de la rampa
obtenemos:
Ang = 40°
OPUESTO
ADYACENTE
HIPOTENUSA = 1.5m
Lado Opuesto
Seno (ángulo) =
Hipotenusa
Lado Opuesto
Seno (40°) =
1.5 m
Lado Opuesto(1.5) (0,642) =
Lado Opuesto0,964 m =
Lado Adyacente
Coseno (40) =
Hipotenusa
Lado Adyacente
Coseno (40) =
1.5
Lado Adyacente(1.5) ( 0,766) =
La función seno la
obienes en la
calculador con la
tecla sin y luego el
ángulo

12. TALLER – FUNCIONES
Sabias que la Torre de Pisa perdió la posición vertical apenas
comenzó a construirse en agosto de 1173. Tiene una altura de
55.8m y una distancia desde la parte mas alta al piso de
aproximadamente 55m.
Distancia=55.4m
El peso estimado es de 14.700 toneladas. Posee 8 niveles; la
base está decorada con arcos ciegos de 15 columnas. Los 6
niveles siguientes presentan columnata externa y está
rematada por un campanario. La Torre tiene una escalera de
espiral interna con 294 escalones.
Te gustaría saber ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la
Torre? Puedes aplicar las diferentes razones
trigonométricas y hallar la función inversa con el fin de
obtener el ángulo, tal como se muestra a continuación:
Ángulo
Lado Adyacente
Coseno (ángulo) =
Hipotenusa
55.6 m
Coseno (ángulo) =
55.8 m
Coseno (ángulo) = 0.996
Coseno (ángulo) = 0.996
Con el fin de hallar el ángulo de inclinación
aplicamos la función inversa de coseno: Arcoseno.
ángulo = Cos-1 (0.996 )
ángulo = 5.1 grados
La función arcoseno
la obienes en la
calculadora con shift
coseno o segunda
función seno.

13. 53° ?
Se requiere delimitar un área triangular para aislar un perro labrador.
La distancia desde la casa del hombre hasta el árbol es de 14.5 metros
y el ángulo que forma este cable con la cerca del lote es de 53°. ¿Cuál
es la distancia entre las casas y el árbol?
TALLER – FUNCIONES
Para la solución de este ejercicio cuentas con 2 minutos
?

14. TALLER – FUNCIONES
Para la solución de este ejercicio
graficamos el siguiente triángulo:
53°
OPUESTO
ADYACENTE
Lado Opuesto
Seno (ángulo) =
Hipotenusa
Lado Opuesto
Seno (53°) =
14.5 m
Lado Opuesto(14.5) (0,79) =
Lado Opuesto11.5 m =
Para hallar la medida de los otros lados
podemos utilizar la razón trigonométrica
coseno o tangente:
Lado Opuesto
Tangente ( ángulo) =
Lado Adyacente
11.5
Tangente ( 53° ) =
Lado Adyacente
11.5
( 1.32 ) =
Lado Adyacente
11.5
( 1.32 )
Lado Adyacente =
Despejamos la variable del lado adyacente.
Pasamos esta variable a multiplicar y el valor de
tangente de 53 a dividir:
8.71 mLado Adyacente =

15. TALLER – FUNCIONES
Recuerda que en el inicio de este módulo
citamos que las razones trigonométricas se
aplican solamente en triángulos rectángulos
(triángulos con un ángulo de 90 grados).
En cualquier triángulo la relación de
cualquiera de sus lados al seno del
ángulo opuesto es constante.
La ley de senos establece la siguiente
relación entre ángulos y lados:
No todos los triángulos poseen un ángulo
recto (90º). Aquellos triángulos que no
poseen un ángulo recto se les llama
triángulos oblicuángulos.
c
Csen
b
Bsen
a
Asen


a
sen A

b
sen B

c
sen C
Esta ley se puede utilizar de esta forma y
ofrece el mismo resultado final

16. Se tiene un triángulo oblicuángulo con las siguientes
medidas: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los
restantes elementos. Se conocen 2 ángulos y un lado por
lo tanto se aplica la ley del seno.
A 180  (C  B)
A 180 105  45
A  30o
TALLER – FUNCIONES
Aplica la siguiente estrategia:
Recuerda que la suma de los ángulos internos de un
triángulo es igual a 180. Por lo tanto para conocer el ángulo
A debemos restar a 180 el ángulo B y C respectivamente.

6
sen 30

b
sen 45
Ahora, con todos los ángulos aplicamos la
ley de seno para hallar el lado b:

a
sen A

b
sen B
Remplazamos valores dada
por la ley de seno:

6(sen 45)  b(sen30)
6(sen 45)
(sen 30)
 b
8.48  b
Despejamos la variable b de la ecuación:
De la misma forma obtenemos el lado C

a
sen A

b
sen B

c
sen C

17. Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de
125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente.
¿Qué tan largo es el lago?
TALLER – FUNCIONES
Para la solución de este ejercicio cuentas con 2 minutos

18. Para medir la longitud d de un lago, se
estableció y se midió una línea de base AB de
125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y
124.3º, respectivamente.
¿Qué tan largo es el lago? 
1.14
9.165180
)3.1246.41(180
)(180




C
C
C
BAC
TALLER – FUNCIONES
Estrategia de solución:
Como nos dan la medida de un lado
deberíamos conocer el ángulo en C para
luego utilizar la ley de senos y encontrar d.
Recuerda que la suma de todos los
ángulos internos de un triángulo son 180°.
6.411.14
125
sen
d
sen

Ahora, aplicamos la ley de
seno para hallar el lado d:
Asen
a
Csen
c

Remplazamos valores dada
por la ley de seno:
d
d
sen
sen
sendsen



66.340
1.14
)6.41(125
)1.14()6.41(125
Despejamos la variable d de la ecuación:

19. TALLER – FUNCIONES
Cuando NO tienes entre los datos un par de elementos opuestos, la ley de senos
NO es suficiente. La ley de los Cosenos es una expresión que te permite conocer
un lado de un triángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto
al lado que quieres conocer. En 3 ecuaciones la ley de cosenos establece que:
Como te puedes dar cuenta la ley de
cosenos se puede considerar como una
extensión del teorema de Pitágoras y es
aplicable a todos los triángulos.

a2
 b2
 c2
 2bccosA
b2
 a2
 c2
 2accosB
c2
 a2
 b2
 2abcosC

20. Paso 1: Utiliza la ley de cosenos
para despejar b.
cmb
b
Baccab
Baccab
96.5
4.32cos)45.6)(3.10(2)45.6()3.10(
cos2
cos2
22
22
222




TALLER – FUNCIONES
Obtener la medida del lado b y los
ángulos α y θ del triángulo:
Paso 2: Utiliza la ley de senos para encontrar
. Puesto que el lado c es más corto que el
lado a,  debe ser agudo.

44.35
96.5
)4.32(45.6
)(
)()(
1


















sen
sen
b
senc
sen
sencsenb
sen
b
sen
c
Paso 3: Calcular el tercer ángulo

16.112
)44.354.32(180
)(180







21. TALLER – FUNCIONES
52°
Obtener la distancia y los ángulos del campo de golf.
Para ello cuentas con 2 minutos.
a
c
b

22. Paso 1: Utiliza la ley de cosenos
para hallar la distancia a:
a2
 b2
 c2
 2bccos A
a  b2
 c2
 2bccos A
a  (500)2
 (420)2
 2(500)(420)cos52
a  426400  258577.8
a  409.6m
TALLER – FUNCIONES
Paso 2: Utiliza la ley de senos para encontrar .

c
sen C

a
sen A
c(sen A)  a(sen C)
sen C 
c(sen A)
a
C  sen1 420(sen 52)
409,6






C  54o
Paso 3: Calcular el tercer ángulo
B 180  (A  C)
B 180  (52  54)
B  74o
52°
Obtener la distancia y los ángulos del
campo de golf:
a
c
b

23. TALLER – FUNCIONES