1. 3
Progresiones aritméticas y geométricas
Zenón de Elea (s. V a. C.)
Introducción
Fue un filósofo griego de la escuela eleática, nacido en Elea
(Italia meridional). Fue discípulo de Parménides (uno de
En este módulo se estudiarán progresiones. Una progresión es una lista de núme- los filósofos griegos más importantes de la época y de los
ros que siguen una ley general de formación. Según como sea esa ley, las más señalados en la escuela eleática) y, según varios
progresiones que se verán serán aritméticas o geométricas. Se verá cómo estas escritores, enseñó en Atenas durante algún tiempo.
progresiones tienen aplicación en el cálculo de interés compuesto y en el crecimien-
Zenón trató de mostrar que la realidad es una e invariable
to exponencial de algunos seres vivos. y que todo movimiento es ilusorio. Era costumbre suya
mostrar lo absurdo de algunas creencias y frecuentemente
se valía de paradojas (expresión o situación que parece
absurda y sin embargo es razonable), en las que dice que
Objetivos todo movimiento es un engaño.
Contrastadas con la realidad, las pruebas de Zenón contra
1. Caracterizar sucesiones de números reales o complejos.
el movimiento se revelan al punto como paradojas y como
2. Deducir fórmulas compactas para la suma de estas sucesiones. auténticos paralogismos (argumento o contradicción falsa).
Preguntas básicas
1. ¿Cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una geométrica?
2. ¿Habrá progresiones que sean a la vez aritméticas y geométricas?
3. ¿Se puede conocer a qué valor tiende la suma de infinitos términos de una progre-
sión geométrica?
4. ¿Se puede conocer a qué valor tiende la suma de infinitos términos de una progre-
sión aritmética?
Contenido
3.1 Progresiones aritméticas
3.1.1 Suma de términos de una progresión aritmética Visite el sitio
3.2 Progresiones geométricas http://docencia.udea.edu.co/cen/
3.2.1 Suma de términos de una progresión geométrica AlgebraTrigonometria/
Vea el módulo 3 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Álgebra y trigonometría 37

2. Capítulo 1: Elementos de aritmética
3.1 Progresiones aritméticas
Escuche Historia del ajedrez Una progresión aritmética es una sucesión de números reales de la forma siguiente:
en su multimedia de
Àlgebra y trigonometría a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an , donde la diferencia entre cualquier par de números consecu-
tivos es siempre constante, es decir, an an 1 d para todo n. El término d se llama
diferencia constante.
En la notación anterior se tendrá que:
a1: primer término de la progresión.
d: diferencia común.
n: número de términos.
Según lo anterior, otra forma de escribir la progresión aritmética es:
a1 , a1 d , a1 2d , a1 3d ,..., a1 ( n 1) d . Como consecuencia de lo anterior, en
una progresión aritmética en la cual la diferencia común es d y el primer término es
a1 , se tiene que el enésimo término se denota por an a1 ( n 1) d .
Ejemplo 15
La sucesión 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 es una progresión aritmética en la cual el primer
término es 3 y la diferencia común es 3.
Ejemplo 16
Halle el término de lugar 12 de la progresión aritmética 10, 7, 4, ...
Solución
Se tiene que a1 = 10, d 3 . Se sabe que an a1 ( n 1) d . En consecuencia, para
n = 12 se tiene que a12 10 12 1

3. 3

4. , a12 23.
Ejemplo 17
Si el cuarto término de una progresión aritmética es 14 y el noveno es 34, encuentre
el primer término.
Solución
Como an a1 (n 1) d , se tiene entonces que:
para n = 4, 14 a1 3d.
para n = 9, 34 a1 8d .
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se concluye que a1 2 y d = 4.
Ejemplo 18
Encuentre una progresión aritmética de siete términos cuyo primer término es 1/2 y
cuyo último término es 13/2.
38

5. Módulo 3: Progresiones aritméticas y geométricas
Solución
1
Se sabe que a1 ,n 7, an a1 n 1

6. d .
2
13 1
En nuestro caso se tiene que 7 1

7. d . Por tanto, 6 = 6d o sea que
2 2
d = 1. De lo anterior se concluye que la progresión aritmética es:
1 3 5 7 9 11 13
, , , , , , .
2 2 2 2 2 2 2
3.1.1 Suma de términos de una progresión aritmética
Dada una progresión aritmética con n términos, de la forma
a1 , a1 d , a1 2 d , a1 3d ,..., a1 ( n 1) d , de este modo su suma se expresa
como Sn a1 a1 d a1 2d a1 3d ... a1 ( n 1) d . Se puede fácilmen-
te demostrar que Sn viene dada por la siguiente fórmula compacta:
n
Sn ª 2a1 n 1

8. d º .
2¬ ¼
Demostración
Si Sn denota la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética, se
tiene:
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... a1 (n 1)d @ .
Si invertimos el orden de la suma anterior, se tiene:
Sn a1 (n 1)d @ a1 (n 2)d @ ... a1 d @ a1 .
Si se suman las dos igualdades anteriores, se tiene:
2Sn 2a1 (n 1)d @ 2a1 (n 1)d @ ... 2a1 (n 1)d @.
Puesto que hay n términos de la forma 2a1 (n 1)d @ , podemos decir que:
2Sn n ˜ 2a1 (n 1)d @ .
n
Por lo tanto, S n ˜ 2 a1 (n 1)d @ .
2
Escuche La paradoja de
Zenón en su multimedia de
Como el enésimo término de una progresión aritmética es an a1 (n 1)d , enton- Álgebra y trigonometría
n
ces también S n ˜ (a1 an ).
2
Álgebra y trigonometría 39

9. Capítulo 1: Elementos de aritmética
Ejemplo 19
Halle la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética 5, 1, 3, 7,!
Solución
Se tiene que a1 5, d 4, n 10.
10
S10
2
2 u 5

10. 10 1

11. u 4

12. 130.
Ejemplo 20
La suma de los primeros 15 términos de una progresión aritmética es 360. Halle el
primer término y la diferencia común si el término de lugar 15 es 39.
Solución
n
Se sabe que Sn a1 an

13. .
2
Se sabe también que S15 360, a15 39.
15 a1 39

14. 360 , 15a1 585 720,
2
a1 9.
Como an a1 n 1

15. d , entonces 39 9 14 d ,
15
d .
7
Ejemplo 21
Encuentre la suma de los enteros impares de 1 hasta 51 inclusive.
Solución
a1 1, d 2, an 51 .
Como an a1 n 1

16. d , entonces
51 1 n 1

17. u 2,
n 26.
Por consiguiente,
40

18. Módulo 3: Progresiones aritméticas y geométricas
26
S26 u 1 51

19. 2
676.
3.2 Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una expresión de la forma a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an y en
donde la razón r de dos términos consecutivos cualesquiera es constante; es decir,
ak 1
r
ak , para 1 d k d n, es constante.
Hay que notar que como consecuencia de la definición, en toda progresión
geométrica se cumple que an a1 r n 1 , donde an es el término situado en el lugar
enésimo.
Ejemplo 22
La sucesión 4, 12, 36, 108, 324, 972 es una progresión geométrica que consta de seis
términos.
Ejemplo 23
Dada una progresión geométrica donde r = 3, a1 2 , halle el quinto término.
Solución
Si en la fórmula en que an a1r n 1 se toma a1 2 , r = 3, n = 5, se tiene que
a5 162.
Ejemplo 24
Si en una progresión geométrica el octavo término es 32 y el quinto es 4, halle los
cuatro primeros términos.
Solución
Se sabe que an a1r n 1. En consecuencia, se tendrán las siguientes dos ecuaciones:
32 a1r 81 , haciendo n = 8, y
4 a1r 5 1 , haciendo n = 5.
De las anteriores ecuaciones se tiene que r 3 8 y, por tanto, r = 2, y reemplazando
este valor en cualquiera de las ecuaciones anteriores se tiene que a1 = 1/4. Por
consiguiente, los primeros cuatro términos de la progresión son: 1/4, 1/2, 1, 2.
Álgebra y trigonometría 41

20. Capítulo 1: Elementos de aritmética
3.2.1 Suma de términos de una progresión geométrica
Dada una progresión geométrica con n términos de la forma
a1 , a1 r , a1 r 2 , a1 r 3 ,..., a1 r n 1 , la suma que se denota por Sn viene dada por
Sn a1 a1r a1r 2 a1r 3 ... a1r n 1 .
Se puede demostrar fácilmente que Sn viene dada por la siguiente fórmula compacta:
a1 (1 r n )
Sn , con r z 1.
1 r
Demostración
Si Sn denota la suma de los n términos de una progresión geométrica, se tiene que:
Sn a1 a1r a1r 2 ... a1r n 1
y por tanto:
rS n a1r a1r 2 a1r 3 ... a1r n .
Restando miembro a miembro, se tiene:
S n rSn a1 a1r n ,
a1 (1 r n )
(1 r ) Sn a1 (1 r n ), Sn .
1 r
Como el enésimo término de una progresión geométrica viene dado por an a1 r n 1
a1 a1r n
con n t 2, entonces también S n .
1 r
a1 ra1r n 1
Sn
1 r
a1 ran
.
1 r
Cuando el valor absoluto de la razón es menor que 1, es decir, r 1, se puede
demostrar que la «suma» de los infinitos términos de una proyección geométrica de
a1
este tipo viene dada por Sn .
1 r
Ejemplo 25
Halle la suma de los 7 primeros términos de la sucesión 5, 10, 20, !
La progresión es geométrica con a 5, r 2 y n 7.
42

21. Módulo 3: Progresiones aritméticas y geométricas
S7
5 u 1 2

22. 7

23. 215.
1 2

24. Ejemplo 26
Halle la suma de una progresión geométrica en la cual el primer término es 4, el
1 1
ultimo término es y la razón común es .
8 2
Solución
1 1
a1 4, an , r .
8 2
1 §1·
4 u¨ ¸
a1 ra n 8 ©2¹ 63
Sn .
1 r 1
1 8
2
Ejemplo 27
Divida el número 195 en tres partes que formen una progresión geométrica cuyo
tercer término exceda al primero en 120.
Solución
Sea x el primer término y r la razón común de la progresión.
Se debe cumplir que:
x xr xr 2 195,
xr 2
x 120.
De la segunda ecuación se tiene:
x r 2 1

25. 120,
120
x .
r2 1
Por tanto,
120 120 r 120r 2
195.
r2 1 r2 1 r2 1
7
Simplificando se obtiene que 5r 2 8r 21 0, r 3, r y por tanto
5
x 15, x 125. Así: 15, 45, 135 y 125, 175, 245 son progresiones geométricas
que cumplen estas posibilidades.
Álgebra y trigonometría 43