Download luận văn thạc sĩ ngành phương pháp dạy toán học với đề tài: Dạy học các phương trình và bất phương trình vô tỉ lớp 10, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------
Dương Thị Ngọc Hân
DẠY HỌC CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ LỚP 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------
Dương Thị Ngọc Hân
DẠY HỌC CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ LỚP 10
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS Lê Thị Hoài Châu
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

3. Lời cảm ơn
Toâi xin göûi lôøi caûm ôn chaân thaønh ñeán PGS.TS Leâ Thò Hoaøi
Chaâu, coâ ñaõ höôùng daãn vaø giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh luaän vaên duø raát
baän roän vôùi coâng taùc chuyeân moân.
Toâi cuõng xin caûm ôn :
- Caùc thaày coâ ñaõ truyeàn thuï cho chuùng toâi nhöõng lí thuyeát boå ích
veà didactic toaùn, cung caáp cho chuùng toâi nhöõng coâng cuï hieäu
quaû ñeå thöïc hieän luaän vaên.
- Ban giaùm hieäu tröôøng THPT Tröông Ñònh ñaõ taïo ñieàu kieän
cho toâi tieán haønh thöïc nghieäm.
- Ban laõnh ñaïo vaø chuyeân vieân phoøng Sau ñaïi hoïc ñaõ taïo ñieàu
kieän thuaän lôïi cho chuùng toâi trong suoát khoùa hoïc.
- Caùc baïn, anh, chò cuøng lôùp, vì chuùng toâi ñaõ luoân ñoäng vieân
nhau cuøng vöôït qua nhöõng khoù khaên trong quaù trình hoïc taäp
cuõng nhö nghieân cöùu luaän vaên.
Cuoái cuøng, toâi xin daønh loøng bieát ôn saâu saéc ñeán gia ñình vì ñaõ
taïo ñieàu kieän cho toâi ñöôïc hoïc cao hoïc vaø luoân öu tieân cho vieäc hoïc
cuûa toâi.
Döông Thò Ngoïc Haân

4. Danh mục các bảng
Bảng 1: Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong SGK toán 9......................................... 21
Bảng 2: Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong nhóm cơ bản ...................................... 40
Bảng 3: Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong nhóm nâng cao.................................... 49
Bảng 4: Các phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới căn thức................... 53
Bảng 5: Kết quả thực nghiệm 1................................................................................ 61
Bảng 6: Kết quả thực nghiệm 2 – câu 1....................................................................74
Bảng 7: Kết quả thực nghiệm 2 – câu 2a .................................................................75
Bảng 8: Kết quả thực nghiệm 2 – câu 2b .................................................................77

5. MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
CHƯƠNG 1. MỘT NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ...............................................................................7
1.1. SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH .......7
1.2. SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỈ............................................................................................................................12
CHƯƠNG 2. MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.......................................................................................15
2.1. LƯỚT QUA CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK TOÁN LỚP 9.............................15
2.1.1. Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình toán 9..............16
2.1.2. Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong SGK toán lớp 9 ....................16
2.2. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Ở LỚP 10. ............22
2.2.1. Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình Đại số 10 ........22
2.2.2. Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong SGK Đại số 10.....................24
CHƯƠNG 3. MỘT NGHIÊN CỨU VỀ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG
GIẢI CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ .........................................................57
3.1. THỰC NGHIỆM 1 .........................................................................................57
3.1.1. Phân tích tiên nghiệm bài tập 4 ...............................................................58
3.1.2. Phân tích hậu nghiệm bài tập 4 ................................................................61
3.2. THỰC NGHIỆM 2 .........................................................................................63
3.2.1. Phân tích tiên nghiệm...............................................................................64
3.2.2. Phân tích hậu nghiệm ...............................................................................74
KẾT LUẬN..............................................................................................................81
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................83
PHỤ LỤC
PHIẾU THỰC NGHIỆM
BIÊN BẢN QUAN SÁT TIẾT DẠY LỚP 10 NÂNG CAO

6. 1
MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương trình và bất phương trình luôn là một nội dung trọng tâm của toán
phổ thông dù đã qua nhiều lần cải cách giáo dục, thay sách giáo khoa. Liên quan
đến phương trình, bất phương trình, thực tế cho thấy đây luôn là một nội dung khó
đối với học sinh. Đứng trước bài toán : giải bất phương trình
5
1
1
x
x
+
<
−
, học sinh
có thể đưa ra cách giải như sau:
Điều kiện: 1 0x− ≠ .
2
5
1 5 1
1
1 0
5 0 5 1
5 (1 )
x
x x
x
x
x x
x x
+
< ⇔ + < −
−
 − >

⇔ + ≥ ⇔ − ≤ <
 + < −
Lập luận ở trên là sai vì khi x lấy giá trị trong R thì nhị thức bậc nhất (1 – x)
có thể âm, dương hoặc bằng 0. Ở vị trí của người giảng dạy chúng tôi đặt ra câu hỏi
là vì sao học sinh lại thực hiện phép biến đổi như trên? Hướng quan sát của mình
đến lời giải của bài toán : giải phương trình
5
1
1
x
x
+
=
−
, chúng tôi nhận thấy:
Điều kiện: 1 0x− ≠
2
5
1 5 1
1
1 0
4
5 (1 )
x
x x
x
x
x
x x
+
= ⇔ + = −
−
− ≥
⇔ ⇔ =
+ = −
Trong phương trình, để nhân biểu thức ở mẫu lên thì điều kiện là 1 0x− ≠ .
Khi đó, trong bất phương trình học sinh cũng nhân mẫu lên mà không quan tâm giá
trị âm, dương của biểu thức ở mẫu. Sai lầm trên sinh ra từ chỗ học sinh đã áp dụng

7. 2
phép biến đổi tương đương các phương trình cho bất phương trình. Nhìn lại chương
trình và sách giáo khoa, điều khiến chúng tôi quan tâm là sự gắn kết của hai đối
tượng phương trình, bất phương trình, thể hiện qua những ghi nhận sau đây:
- Về cách cấu tạo của chương trình toán phổ thông, phương trình luôn luôn
được đặt trước bất phương trình. Điều đó khiến chúng tôi tự hỏi : dạy học bất
phương trình thừa hưởng những kiến thức, nội dung gì từ dạy học phương
trình
- Ta biết rằng giữa phương trình và bất phương trình luôn có một sự tương
ứng. Chẳng hạn, nếu ta có bài toán giải phương trình dạng ax+b = c, thì
tương ứng ta cũng có bài toán giải bất phương trình dạng ax+b > c. Cũng
vậy, phương trình dạng loga x b= tương ứng với bất phương trình dạng
loga x b> . Hay phương trình ( ) ( )f x g x= , và các bất phương trình
( ) ( )f x g x> , ( ) ( )f x g x< tương ứng với nhau. Giữa lời giải phương trình
và bất phương trình tương ứng có những nét tương tự, chúng tôi tự hỏi : phải
chăng đây là một trong những nguồn gốc sai lầm của học sinh ?
Hai câu hỏi xuất phát trên là lý do để chúng tôi chọn đề tài : “Dạy học các
phương trình và bất phương trình vô tỉ ở lớp 10”.
II. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
Liên quan đến sai lầm của học sinh, didactic toán thừa nhận quan điểm :
không phải mọi sai lầm đều là ngẫu nhiên, tùy tiện, mà có những sai lầm có thể dự
đoán trước. Sai lầm kiểu này sinh ra từ kiến thức, những kiến thức đã từng có ích,
nhưng không còn đúng, hoặc không còn phù hợp nữa trong tình huống mới, tổng
quát hơn. Hiện tượng này sinh ra do cách học bằng thích nghi : ở đây, kiến thức
được xây dựng qua tình huống nên nó thường mang tính chất địa phương. Việc xây
dựng một kiến thức tổng quát hơn đòi hỏi phải loại bỏ kiến thức cũ. Kiến thức cũ ấy
có thể dẫn đến một quan niệm hay một cách thức hành động chỉ đúng trong một lớp
tình huống nào đó. Thừa nhận luận điểm này, didactic toán đưa ra ba mô hình để

8. 3
giải thích những sai lầm liên quan đến một tri thức cụ thể, sai lầm có tính hệ thống
và có thể dự đoán trước : quan niệm, quy tắc hành động, hợp đồng dạy học.
Vấn đề là các quy tắc hành động, quan niệm, hợp đồng dạy học liên quan đến
đối tượng tri thức O thường được hình thành từ quan hệ của thể chế dạy học đối với
O. Tuy nhiên, không chỉ đơn giản như vậy. Chẳng hạn, để làm rõ quan niệm (liên
quan đến một đối tượng tri thức O) của học sinh ta có thể phải nghiên cứu trường
quan niệm của O. Đây là một khái niệm khó mà chúng tôi nghĩ là mình không đủ
khả năng để nghiên cứu. Giới hạn trong khuôn khổ quy tắc hành động, chúng tôi sẽ
nghiên cứu quan hệ thể chế với đối tượng phương trình, bất phương trình vô tỉ để
cố gắng dự kiến và giải thích những sai lầm mà ta có thể gặp ở học sinh.
 Thuyết nhân học
Quan hệ thể chế là một khái niệm cơ bản của Thuyết nhân học trong didactic
toán.Theo thuyết nhân học, R(I,O) – mối quan hệ của thể chế I với đối tượng tri
thức O là tập hợp các tác động qua lại mà I có với O. Nó cho biết O xuất hiện ở
đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì, ... trong I.
Mối quan hệ cá nhân X với đối tượng tri thức O, kí hiệu R(X,O), là tập hợp
các tác động qua lại mà X có với O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào, thao
tác O ra sao.
Trong thể chế I mà cá nhân X tồn tại và hoạt động, R(X,O) hình thành hay
thay đổi dưới các ràng buộc của R(I,O). Từ ràng buộc của thể chế, cá nhân X chỉ
phô bày công khai những gì làm với O mà cá nhân đánh giá là phù hợp với thể chế.
Câu hỏi mấu chốt là làm thế nào để nghiên cứu R(I,O) và R(X,O) ? Khái
niệm praxéologie là chìa khóa giúp trả lời câu hỏi này. Mỗi praxéologie là một bộ
tứ [ / / / ]T τ θ Θ , trong đó T là kiểu nhiệm vụ được giải quyết nhờ kĩ thuật τ , θ là
yếu tố công nghệ giải thích cho kĩ thuật, Θ là yếu tố lí thuyết giải thích cho công
nghệ θ . Khi T là một kiểu nhiệm vụ của toán học thì praxéologie đó được gọi là
praxéologie toán học hay tổ chức toán học – OM. Các tổ chức toán học liên quan

9. 4
đến O cho phép ta xác định R(I,O) vì R(I,O) hình thành và biến đổi bởi một tập hợp
những nhiệm vụ mà cá nhân phải thực hiện nhờ vào những kĩ thuật xác định. Đồng
thời, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép hình dung
được một số yếu tố của quan hệ cá nhân với cùng đối tượng O này đã nảy sinh trong
trong lúc thực hiện những nhiệm vụ trong thể chế.
 Qui tắc hành động
Qui tắc hành động được sử dụng để giải thích sai lầm của học sinh. Một cách
cụ thể hơn, qui tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ
rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một
nhiệm vụ xác định.
Nếu như hợp đồng dạy học có nguồn gốc là quan hệ thể chế với đối tượng tri
thức mà ta đang bàn đến thì các quy tắc hành động lại được hình thành từ những
kiến thức địa phương đã từng có ích. Như vậy, các quy tắc đó có phạm vi hợp thức
của nó. Câu trả lời sai có thể đến từ việc áp dụng một qui tắc hành động ở ngoài
phạm vi hợp thức (Những yếu tố cơ bản của Didactic toán (2009), tr 81)
Điều quan trọng là cần phải làm rõ sự cần thiết phải vận dụng những yếu tố
nêu trên vào trong luận văn này. Trước hết cần xác định luận văn xem xét cùng lúc
2 đối tượng tri thức là O1 - phương trình vô tỉ và O2 - bất phương trình vô tỉ, I là thể
chế dạy học toán lớp 10, cá nhân X thâm nhập vào trong I ở vị trí học sinh.
Câu hỏi về sai lầm của học sinh đòi hỏi phải nghiên cứu R(X,O1) và
R(X,O2). Nhưng quan hệ của cá nhân X đối với một đối tượng tri thức lại chịu ảnh
hưởng nhiều của quan hệ mà thể chế duy trì với đối tượng này, nên việc nghiên cứu
quan hệ R(I,O1) và R(I,O2) là điều cần thiết. Điều đó được thực hiện thông qua việc
nghiên cứu các tổ chức toán học liên quan đến O1 và O2. Việc xác định mối liên hệ
giữa các kĩ thuật giải, sự ưu tiên hay vắng mặt của các kĩ thuật giúp xác định được
đặc trưng của thể chế đối với việc dạy học O1 và O2 : thể chế quy định dạy những
gì liên quan đến hai đối tượng, và dạy như thế nào, ... Từ đó ta có thể tìm thấy
nguồn gốc của một số sai lầm của học sinh

10. 5
III. CÂU HỎI NGHIÊN CỨU
Với sự lựa chọn các yếu tố thích hợp của Didactic toán làm cơ sở lí luận,
luận văn này nghiên cứu tìm lời giải đáp cho vấn đề xuất phát đã đặt ra. Vấn đề đó
được cụ thể hóa bởi các câu hỏi sau đây:
CH1. Giữa hai đối tượng phương trình và bất phương trình vô tỉ có mối liên
hệ gì? Về định nghĩa và về kĩ thuật giải chúng có điểm gì giống và khác nhau?
CH2. Mối liên hệ trên có tác động gì vào dạy học các đối tượng này? Việc
dạy học chúng có ảnh hưởng lẫn nhau không? Nếu có thì đó là gì? Nó thể hiện như
thế nào trong thể chế dạy học toán lớp 10?
CH3. Về phía học sinh, ở bước chuyển từ phương trình vào bất phương trình
vô tỉ tồn tại những sai lầm nào? Đâu là nguồn gốc của những sai lầm đó ?
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Để trả lời cho câu hỏi CH1, chúng tôi tiến hành phân tích các giáo trình Đại
số sơ cấp. Kết quả sẽ được trình bày trong chương 1 và đây cũng chính là cơ sở
tham chiếu cho các nghiên cứu tiếp theo.
Tham chiếu những kết quả thu được từ chương 1, chúng tôi tiến hành nghiên
cứu chương trình, tài liệu hướng dẫn giáo viên, sách giáo khoa. Và bằng cách phân
tích sâu vào sách giáo khoa, xem xét các kiểu nhiệm vụ, các kĩ thuật giải, chúng tôi
cố gắng chỉ ra sự gắn kết, tác động qua lại trong dạy học hai đối tượng phương trình
và bất phương trình vô tỉ để trả lời cho câu hỏi CH2. Nghiên cứu này sẽ được trình
bày trong chương 2. Chúng tôi chọn phân tích hai bộ sách Toán 9 tập một và Đại số
10 nâng cao do nhóm tác giả Phan Đức Chính và nhóm tác giả Đoàn Quỳnh làm
tổng chủ biên. Trong đó, việc phân tích bộ sách Toán 9 tập một nhằm phục vụ cho
mục tiêu xem xét những kiến thức đã được học ở cấp THCS về đối tượng vì tri thức
được xây dựng có tính chất kế thừa.

11. 6
Câu hỏi CH3 sẽ được làm sáng tỏ từ những kết quả phân tích ở chương 2.
Tính thỏa đáng của giả thuyết về sai lầm của học sinh được khẳng định qua một
thực nghiệm dưới hình thức kiểm tra viết được đặt trong chương 3.
Phần kết luận, chúng tôi trình bày những gì đã đạt được trong luận văn.

12. 7
CHƯƠNG 1. MỘT NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VỀ PHƯƠNG
TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Mở đầu
Mục đích của chương này là làm sáng tỏ các vấn đề mà câu hỏi CH1 đã nêu ra :
- Giữa phương trình và bất phương trình có sự liên hệ, gắn kết với nhau như
thế nào?
- Ngoài những liên hệ như trên, riêng hai đối tượng phương trình và bất
phương trình vô tỉ còn có những đặc trưng gì thể hiện sự gắn kết giữa chúng?
Cụ thể là về định nghĩa, về kĩ thuật giải có những điểm gì giống và khác
nhau?
Các kiến thức về phương trình và bất phương trình có thể tìm thấy trong các
giáo trình về Đại số sơ cấp. Ở đây, phân tích của chúng tôi chủ yếu dựa vào tài liệu
sau:
- Hoàng Kỳ (chủ biên), Hoàng Thanh Hà (2009), Đại số sơ cấp và thực hành
giải toán.
Lí do mà chúng tôi lựa chọn quyển trên đây để phân tích là vì nó trình bày
các vấn đề lý thuyết và thực hành giải toán liên quan đến hai đối tượng nghiên cứu
khá đầy đủ và đây là sách viết cho dự án đào tạo giáo viên THCS.
1.1. SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
 Về khái niệm phương trình, bất phương trình
Quyển (Hoàng Kỳ, 2009, tr 243) giới thiệu khái niệm phương trình :
“ Cho hai hàm số của n biến phức x1, x2,... xn là f(x1, x2, ... xn) và g(x1, x2, ... xn). Ta gọi
tập hợp n số phức x = (x1, x2, ... xn) n
C∈ là một điểm trong không gian phức n chiều. Khi
đó các hàm số của f(x1, x2, ... xn) và g(x1, x2, ... xn) được xem là các hàm một biến f(x) và

13. 8
g(x) trong n
C . Giả sử f(x) có miền xác định là 1
n
D C⊂ , g(x) có miền xác định là
2
n
D C⊂ .
Ta định nghĩa phương trình
f(x) = g(x) (1)
là kí hiệu của hàm mệnh đề “giá trị của hai hàm số f(x) và g(x) là bằng nhau”.
... Thay cho trường C, ta có thể lấy một trường số K bất kì (có thể là Q, R) làm trường cơ
sở... ”
Đối với bất phương trình, (Hoàng Kỳ, 2009, tr 325) đưa vào định nghĩa
“Cho hai hàm số f(x) và g(x), với n
x R∈ , ( )f x R∈ , ( )g x R∈ trong đó f(x) có miền xác
định là n
P R⊆ và g(x) có miền xác định là n
Q R⊆ và cả hai hàm số được xét trong miền
xác định chung S P Q= ∩ .
Bất phương trình f(x) > g(x) là kí hiệu của hàm mệnh đề: “ giá trị của f(x) lớn hơn giá trị
của g(x)”
... Hoàn toàn tương tự như trên ta định nghĩa được các bất phương trình: f(x) < g(x),
( ) ( ), ( ) ( )f x g x f x g x≤ ≥ .”
Như vậy, các khái niệm phương trình và bất phương trình đều định nghĩa dựa vào
hàm mệnh đề. Ngoài sự khác biệt về miền xác định của các hàm số thì hai định
nghĩa chỉ khác nhau ở dấu bằng và dấu bất đẳng thức.
Đối với các khái niệm có liên quan đến phương trình, tác giả trình bày các khái
niệm về ẩn, miền xác định, nghiệm, giải phương trình, các trường hợp có thể xảy ra
khi giải phương trình. Chẳng hạn
“Ta gọi x là ẩn của phương trình (1); nếu coi f và g là hàm của n biến x1, x2,... xn trong
không gian C thì (1) là phương trình của n ẩn x1, x2,... xn . Tập các giá trị thừa nhận được
của các đối số được gọi là miền xác định (tập xác định) của phương trình (1), đó là tập
1 2S D D= ∩
Nếu x lấy giá trị a S∈ mà f(a) và g(a) là một đẳng thức đúng thì a được gọi là một nghiệm
của phương trình (1),...
Có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau đây:
1) Phương trình vô nghiệm: không có giá trị a nào của S sao cho f(a) và g(a) bằng
nhau

14. 9
2) Phương trình hằng đẳng trên S: bất kì giá trị a nào của S cũng thỏa mãn phương
trình
3) Có ít nhất 1 giá trị a S∈ thỏa mãn phương trình
Trong 2 trường hợp 2) và 3) ta nói phương trình có nghiệm... ”
Các khái niệm có liên quan đến phương trình được trình bày chi tiết, đầy đủ.
Trong khi đó, tác giả chỉ đưa ra khái niệm nghiệm sau khi định nghĩa bất phương
trình. Thuật ngữ miền xác định của bất phương trình có xuất hiện trong định nghĩa
bất phương trình, nhưng sau đó không được xem xét lại. Khái niệm này được hiểu
thông qua miền xác định của hàm số với một sự khác biệt cơ bản : trong trường hợp
phương trình, miền xác định của hàm số f(x), g(x) có thể là một tập con của C,
nhưng chỉ là tập con của R đối với các bất phương trình. Chúng ta biết rằng nguyên
nhân là trong C không có quan hệ sắp thứ tự. Sự khác biệt này không được cuốn
sách nói rõ. Sự khác biệt này cũng không được nói đến một cách tường minh khi
cuốn sách đưa vào khái niệm nghiệm của bất phương trình. Có thể hiểu rằng quyển
này thừa nhận các khái niệm có liên quan đến phương trình có thể chuyển qua cho
bất phương trình, không trình bày lại.
 Về các phép biến đổi phương trình, bất phương trình:
• Các định nghĩa
Về khái niệm phương trình tương đương, phương trình hệ quả, ta tìm thấy
định nghĩa sau trong cuốn sách (Hoàng Kỳ, 2009, tr 248-249)
“ Để cho gọn, ta viết P1(x), P2(x) để chỉ hai phương trình
Định nghĩa 1. P2(x) được gọi là hệ quả của P1(x) trên S nếu tập nghiệm M1 của P1(x) là
tập con của tập nghiệm M2 của P2(x),
1 2M M⊆ .
Ta kí hiệu 1 2( ) ( )P x P x⇒ (trên S). ...
Định nghĩa 2. P1(x) và P2(x) được gọi là tương đương nếu M1 = M2. Nói khác đi, P1(x) và
P2(x) là tương đương trên S khi và chỉ khi P1(x) và P2(x) là hệ quả của nhau.
Ta kí hiệu bởi: 1 2( ) ( )P x P x⇔ ... ”

15. 10
Ta thấy ngay sự tương đương của các phương trình vừa định nghĩa có các
tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Quan hệ tương đương được định nghĩa ở trên
thỏa mãn các tính chất của một quan hệ tương đương trên tập tất cả các phương
trình.
Về sự tương đương giữa các bất phương trình, quyển này đã trình bày :
“ Khái niệm tương đương đã phát biểu cho các phương trình cũng được mở rộng ra cho các
bất phương trình: “Các bất phương trình được gọi là tương đương nếu các tập nghiệm của
chúng bằng nhau”
Khái niệm hệ quả cũng mở rộng cho các bất phương trình. Hai bất phương trình là tương
đương khi và chỉ khi bất phương trình này là hệ quả của bất phương trình kia và ngược lại.”
Do khái niệm tương đương, hệ quả đã phát biểu cho phương trình được mở
rộng ra cho bất phương trình nên phần này được trình bày khá ngắn gọn. Đặc biệt,
khái niệm bất phương trình hệ quả là không được trình bày mà được hiểu là tương
tự như trong phương trình, thừa hưởng của phương trình.
• Các định lí về phép biến đổi phương trình, bất phương trình :
Để xác định sự tương đương của các phương trình thì (Hoàng Kỳ, 2009, tr
250-252) đưa ra các định lí về phép biến đổi tương đương. Trước đó tác giả có giải
thích thế nào là biến đổi tương đương như sau:
“ Quá trình giải một phương trình là quá trình biến đổi phương trình đó để đi đến một
phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải. Nếu các phép biến đổi không làm thay
đổi tập nghiệm của phương trình thì phương trình đã cho đã được biến đổi tương đương,
còn nếu thay đổi miền xác định của phương trình thì có thể tập hợp nghiệm cũng đã bị thay
đổi. Muốn biết rõ hơn, ta dựa vào các định lí sau:
Định lí 1. Cho phương trình f(x) = g(x). Nếu h(x) có nghĩa trong miền xác định của phương
trình đã cho thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x h x g x h x= ⇔ + = + .
Định lí 2. Cho phương trình f(x) = g(x). Nếu biểu thức h(x) có nghĩa và khác không trong
miền xác định của phương trình đã cho thì: ( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )f x g x f x h x g x h x= ⇔ =
Định lí 3: Nếu nâng hai vế của một phương trình lên lũy thừa bậc lẻ thì ta được một
phương trình tương đương với phương trình đã cho (trên trường số thực).

16. 11
Nếu ta nâng 2 vế của phương trình trên R lên một lũy thừa bậc chẵn thì nói chung ta chỉ
được phương trình hệ quả của phương trình đã cho mà không được phương trình tương
đương. ”
Để thuận tiện chúng tôi gọi phép biến đổi nêu trong định lí 1 là phép biến đổi
cộng, nêu trong định lí 2 là phép biến đổi nhân. Khi thực hiện phép biến đổi cộng
cần chú ý biểu thức h(x) phải có nghĩa trong miền xác định của phương trình. Khi
thực hiện phép biến đổi nhân thì còn phải lưu ý thêm điều kiện ( ) 0h x ≠ .
Điều đáng chú ý là ở định lý 3 người ta chỉ nói đến phép biến đổi tương
đương trên trường số thực R (trong khi tập xác định của các phương trình có thể
rộng hơn R). Lý do nằm ở chỗ : trong R, mỗi số thực chỉ có một căn bậc lẻ duy
nhất, nên nếu nâng hai vế của phương trình lên lũy thừa bậc lẻ ta được một phương
trình tương đương. Nhưng điều đó không đúng nữa trong tập số phức C (lúc này ta
cũng chỉ được phương trình hệ quả như trường hợp nâng lên lũy thừa bậc chẵn).
Với các số thực dương thì ngay cả trong R cũng đã có hai căn bậc chẵn đối dấu, nên
nếu nâng hai vế của phương trình lên lũy thừa bậc chẵn ta thường chỉ được một
phương trình hệ quả.
Ta thấy ở đây vai trò quan trọng của tập xác định. Nếu ý thức rõ điều này, có
thể người ta sẽ tránh được một số sai lầm khi chuyển kĩ thuật giải phương trình vào
áp dụng cho bất phương trình.
Khi trình bày các định lí về biến đổi tương đương trong bất phương trình,
quyển (Hoàng Kỳ, 2009, tr 326) có nêu : “Đối với các bất phương trình tương
đương, ta có các định lí sau, tương tự như các định lí về phương trình tương
đương, với sự thay đổi ít nhiều khi cần thiết”. Từ đó quyển này trình bày các định
lí,
“ Ta kí hiệu các bất phương trình là f < g, f > g, ... mà không ghi tên các ẩn để cho gọn, và
có thể hiểu là một ẩn hoặc nhiều ẩn. ...
Định lí 2. f g f h g h> ⇔ + > +
( h có nghĩa trong miền xác định của bất phương trình đã cho)

17. 12
Định lí 3.
. .
0
f h g h
f g
h
>
> ⇔ 
>
hoặc
. .
0
f h g h
h
<

<
Trong bất phương trình ta cũng có các phép biến đổi cộng và nhân tương tự
như trong phương trình. Để thực hiện phép biến đổi cộng điều cần lưu ý là h(x) phải
có nghĩa trong miền xác định của bất phương trình, chiều của bất phương trình
không đổi. Do vậy phép biến đổi cộng trong phương trình và trong bất phương trình
là hoàn toàn giống nhau. Điểm phải lưu ý là phép biến đổi nhân trong bất phương
trình cần phải xác định giá trị của h(x) là dương hay âm chứ không phải chỉ là điều
kiện ( ) 0h x ≠ như phép biến đổi nhân trong phương trình. Nếu h(x) > 0 thì khi nhân
vào dấu của bất phương trình không đổi chiều. Trong trường hợp này phép biến đổi
nhân trong bất phương trình và trong phương trình là giống nhau. Nếu h(x) < 0 thì
khi nhân vào dấu của bất phương trình bị đổi chiều. Đây chính là điểm khác biệt
giữa hai phép biến đổi.
Kết luận:
Các khái niệm và định lí về bất phương trình có nhiều điểm tương tự với
phương trình. Trong nhiều trường hợp chỉ cần thay từ “phương trình” bởi từ “bất
phương trình”, dấu “=” bởi dấu “<” hoặc “>” là thu được kết quả. Sự khác biệt
sinh ra từ chỗ tập xác định của phương trình có thể rộng hơn R, trong khi điều đó
không thể được đối với bất phương trình. Việc không tính đến sự khác nhau giữa C
và R về quan hệ thứ tự và phép khai căn có thể là nguồn gốc của một số sai lầm gặp
ở học sinh khi chuyển các kĩ thuật giải phương trình vào bất phương trình.
1.2. SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỈ
 Về định nghĩa
Từ định lí về phép biến đổi cộng trong phương trình (bất phương trình) ta có
hệ quả là mọi phương trình (bất phương trình) đều có thể đưa về dạng f(x) = 0

18. 13
(f(x) < 0). Sử dụng hệ quả này trong định nghĩa phương trình và bất phương trình
vô tỉ, tác giả Hoàng Kỳ đã viết:
Định nghĩa. Ta gọi là phương trình vô tỉ, mọi phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức.
Hay nói khác đi, đó là một phương trình có dạng f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm số vô tỉ
(có chứa căn thức của biến số);... (Hoàng Kỳ, 2009, tr 276)
Định nghĩa. Bất phương trình vô tỉ là bất phương trình có dạng f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0)
trong đó f(x) là một hàm số vô tỉ của x. (Hoàng Kỳ, 2009, tr 340)
Hai định nghĩa trên về hình thức là đồng nhất, giống nhau:
+ Dạng phương trình là f(x) = 0, dạng bất phương trình là f(x) > 0 (hoặc
f(x) < 0).
+ Vế trái của phương trình, bất phương trình: f(x) là một hàm số vô tỉ.
 Về các định lí biến đổi phương trình và bất phương trình vô tỉ
Cung cấp lí thuyết để thực hiện các phép biến đổi khi giải phương trình vô tỉ,
tác giả Hoàng Kỳ phát biểu các định lí sau, trên trường số thực
Định lí 1. 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )kk f x g x f x g x++ = ⇔ =
Định lí 2.
2( ) ( )2 ( ) ( )
( ) 0
kf x g xk f x g x
g x
 =
= ⇔ 
≥
Định lí 3. 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )k kf x g x f x g x+ += ⇔ =
Định lí 4. 2 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
k k
f x g x
f x g x
f x
=
= ⇔ 
≥
hoặc
( ) ( )
( ) 0
f x g x
g x
=

≥
Các định lí này chính là hệ quả của ba định lý tổng quát nêu trên, và được
chứng minh dựa vào tính chất của căn số. Chúng tôi chú ý đến định lí 1 và 2. Cùng
thực hiện thao tác nâng lũy thừa hai vế của phương trình, khi nâng lũy thừa bậc lẻ ta
có ngay phương trình tương đương; nhưng nâng lũy thừa bậc chẵn ta chỉ được
phương trình hệ quả, phải thêm vào điều kiện ( ) 0g x ≥ ta mới có phương trình
tương đương.

19. 14
Để giải bất phương trình vô tỉ, trên trường số thực, quyển này cũng đưa ra
các định lí về biến đổi tương đương để làm mất dấu căn thức:
Định lí 1. 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )kk f x g x f x g x++ ≥ ⇔ ≥
Định lí 2. 2
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
k
k
f x
g x
f x g x
f x g x
g x
 ≥

<≥ ⇔  ≥

 ≥
Định lí 3. 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )kk f x g x f x g x++ ≤ ⇔ ≤
Định lí 4. 2
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
k
k
f x
f x g x g x
f x g x
 ≥

≤ ⇔ ≥

≤
Tương ứng với dạng phương trình vô tỉ ( ) ( )n f x g x= có 2 dạng bất phương
trình vô tỉ là ( ) ( )n f x g x≤ và ( ) ( )n f x g x≥ . Và cũng tương tự như phép biến đổi
trong phương trình, để giải hai bất phương trình trên cần thực hiện phép nâng lũy
thừa để bỏ dấu căn. Trong các định lí 1 và 3, nâng lũy thừa bậc lẻ hai vế của bất
phương trình ta có ngay bất phương trình tương đương. Phép nâng lũy thừa bậc
chẵn trong các định lí 2 và 4 đòi hỏi phải có thêm một số điều kiện để có bất
phương trình tương đương, cụ thể là các điều kiện ( ) 0f x ≥ và ( ) 0g x ≥ . Các hệ
hoặc tuyển các hệ là các trường hợp có thể xảy ra và theo định nghĩa, quy ước về
dấu của căn số.
Tóm lại, khi thực hiện các phép biến đổi trong phương trình và bất phương
trình vô tỉ trên trường số thực cần lưu ý:
+ Đặt các điều kiện để đảm bảo biểu thức trong căn bậc chẵn (nếu có) phải không
âm, và dấu 2k
để chỉ căn số số học nên cũng phải không âm.
+ Đối với căn bậc lẻ thì không cần điều kiện gì cho căn thức.

20. 15
CHƯƠNG 2. MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỀ PHƯƠNG
TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Mở đầu
Trên cơ sở tham chiếu những kết quả nghiên cứu ở chương 1, trong chương này
chúng tôi cố gắng tìm lời giải đáp cho các câu hỏi sau:
- Trong thể chế được xem xét, phương trình và bất phương trình vô tỉ tồn tại
ra sao ?
- Về phía học sinh, khi thao tác trên hai đối tượng này liệu họ có thể phạm sai
lầm gì hay không? Sai lầm đó có nguồn gốc từ đâu?
Muốn vậy, việc nghiên cứu thể chế gắn với 2 đối tượng quan sát là rất cần
thiết. Cụ thể trong quá trình tiến hành phân tích chương trình và SGK toán phổ
thông hiện hành chúng tôi cố gắng tìm hiểu sự gắn kết và sự tác động qua lại trong
việc dạy học 2 đối tượng. Dù đã xác định cấp lớp để nghiên cứu là lớp 10 nhưng do
tri thức được xây dựng có tính kế thừa qua các cấp học nên cũng cần thiết phải nhìn
lại những gì mà học sinh đã được trang bị ở trước thời điểm lựa chọn nghiên cứu,
quan sát. Cụ thể, do đối tượng phương trình, bất phương trình vô tỉ được xây dựng
trên cơ sở phép khai căn được trình bày ở lớp 9 nên trước hết chúng tôi sẽ nhìn lại
chương trình và sách giáo khoa ở lớp này.
2.1. LƯỚT QUA CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK TOÁN LỚP 9
Các kết quả được trình bày trong phần này dựa trên việc phân tích các quyển sau:
Sách giáo khoa Toán 9 tập một, kí hiệu GK9
Sách bài tập Toán 9 tập một BT9
Sách giáo viên Toán 9 tập một GV9

21. 16
2.1.1. Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình toán 9
Ở lớp 9 học sinh được tìm hiểu về căn thức (bậc 2 và bậc 3) ngay trong
chương 1 với thời lượng giảng dạy là 17 tiết. Các vấn đề liên quan đến căn bậc 3 chỉ
được giảng dạy trong 1 tiết. Nội dung trọng tâm là giảng dạy căn bậc hai. Điều cần
lưu ý khi dạy học chương này là:
“Các phép biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai luôn gắn với điều kiện có nghĩa (điều
kiện xác định) của biểu thức. Đây là một vấn đề khó và phức tạp đối với học sinh, bởi vì
việc tìm điều kiện xác định thường gắn với giải hệ bất phương trình và phương trình mà
đến cấp THPT mới được học. Do vậy yêu cầu xem xét điều kiện của biểu thức chỉ dừng ở
mức độ cho học sinh hiểu. Phần lớn các bài tập trong sách có liên quan đến biểu thức chữ
đều cho trước điều kiện của chữ. Các điều kiện này đôi khi hẹp hơn điều kiện xác định của
biểu thức. ...” , theo [GV9, tr 14].
Hai trong những mục tiêu cần đạt được của chương 1 nêu trong GV9 là:
- Biết được liên hệ của phép khai phương với phép bình phương. Biết dùng liên hệ này
để tính toán đơn giản và tìm một số nếu biết bình phương hoặc căn bậc hai của nó.
- Nắm được liên hệ giữa quan hệ thứ tự với phép khai phương và biết dùng liên hệ này
để so sánh các số. [GV9, tr 13]
Theo đó, không có bài nào hay đề mục nào giới thiệu rõ ràng về phương trình và bất
phương trình vô tỉ. GK9 đã lồng ghép giảng dạy hai đối tượng này vào trong bài
toán: Tìm số x biết x thỏa một điều kiện cho trước liên quan đến căn bậc 2. Hay nói
khác đi, các phương trình và bất phương trình vô tỉ chưa phải là một đối tượng được
chính thức “gọi tên” trong chương trình toán lớp 9, căn thức mà học sinh làm việc
chính yếu là căn thức bậc 2.
2.1.2. Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong SGK toán lớp 9
• Về phương trình vô tỉ:
Như vừa nói trên, vấn đề giải các phương trình, bất phương trình vô tỉ tồn tại
trong GK9 dưới dạng bài toán “ tìm số x biết x thỏa một điều kiện cho trước liên
quan đến căn bậc 2”. Trước tiên, GK9 nhắc lại định nghĩa căn bậc 2,

22. 17
Ở lớp 7, ta đã biết:
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2
= a. [GK9, tr 4]
Theo định nghĩa đó, mỗi số dương a có hai căn bậc 2. Tiếp theo, GK9 đưa vào định
nghĩa căn bậc hai số học
ĐỊNH NGHĨA
Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
Ví dụ 1. Căn bậc hai số học của 16 là 16( 4)=
Căn bậc hai số học của 5 là 5
 Chú ý. Với 0a ≥ , ta có:
Nếu x a= thì 0x ≥ và 2
x a=
Nếu 0x ≥ và 2
x a= thì x a= [GK9, tr 4]
Theo [GV9, tr 15] thì chú ý này là cơ sở để giải phương trình dạng x a= và một
số phương trình quy về dạng đó, chẳng hạn như phương trình 2 14x = .
Ví dụ 1: [GK9, bài 4 /tr 7]
Tìm số x không âm, biết 15=x
Giải
Từ chú ý về căn bậc 2 số học, ta có x = 152
Vậy x = 225
Ví dụ trên đã đưa vào một tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ
 Tpt
(pt : phương trình) : Tìm x, biết rằng f(x)≥ 0 và f(x) = a
pt
ltτ : Nâng lũy thừa (lt)
Nếu a < 0 thì kết luận không có x thỏa yêu cầu bài toán
Nếu 0≥a ,
+ Bình phương 2 vế được phương trình f(x) = a2
+ Giải phương trình trên tìm x

23. 18
pt
ltθ : Yếu tố công nghệ lý thuyết chính là chú ý mà chúng tôi vừa trích dẫn ở
trên.
Trong ví dụ 1 học sinh không cần đặt điều kiện để căn thức có nghĩa vì điều
kiện đã được cho trước, thêm vào đó hằng số a = 5 là không âm nên khi giải chỉ cần
bình phương lên là tìm được nghiệm. Khảo sát những câu hỏi được cho ứng kiểu
nhiệm vụ này trong GK9, BT9 thì điều kiện của biểu thức dưới dấu căn f(x) hoặc
được cho trước, hoặc không cần kiểm tra vì nghiệm x tìm được luôn làm cho f(x)
không âm, điều này thể hiện đúng theo những lưu ý khi dạy học chương 1 mà chúng
tôi đã nêu ở phần trên. Đối với hằng số a trong phương trình, hầu hết được cho
không âm; trường hợp a < 0 là rất ít, chỉ chiếm 3/23 câu. Do vậy, đối với kiểu
nhiệm vụ này học sinh có thể quên đi việc kiểm tra không âm khi bình phương 2 vế.
Một kiểu nhiệm vụ khác được xem xét qua ví dụ sau :
Ví dụ 2 : [BT9, bài 17/ tr 8]
Tìm x, biết 2
9 2 1x x= +
Giải
Vì 2
9 3x x= nên để tìm x thỏa mãn 2
9 2 1x x= + ta đưa về tìm x thỏa mãn
3 2 1x x= + tức là tìm nghiệm của phương trình
3 2 1x x= + (1)
Ta xét hai trường hợp :
+ Khi 3 0 0x x≥ ⇔ ≥ , ta giải phương trình 3 2 1x x= +
Ta có 3 2 1 1x x x= + ⇔ = .
Giá trị x =1 thỏa mãn 0x ≥ nên x =1 là một nghiệm của phương trình (1).
+ Khi 3 0 0x x< ⇔ < , ta giải phương trình 3 2 1x x− = +
Ta có
1
3 2 1
5
x x x− = + ⇔ =−

24. 19
Giá trị
1
5
x = − thỏa mãn 0x < nên
1
5
x = − là một nghiệm của phương trình
(1).
Tổng hợp hai trường hợp trên, ta thấy hai giá trị x1 =1 và 2
1
5
x = − là các
nghiệm của phương trình (1).
Vậy các giá trị cần tìm là x1 =1 và 2
1
5
x = − .
Ta xác định được ở đây một kiểu nhiệm vụ, đó là :
 pt
h®tT (hđt: hằng đẳng thức) : Tìm x sao cho ( )
2
( ) ( )f x g x= .
Kĩ thuật giải kiểu nhiệm vụ này là
τ pt
h®t : +Biến đổi ( )
2
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x= ⇔ =
+ Giải phương trình trên tìm nghiệm x
θ pt
h®t : Hằng đẳng thức AA =2
và tính chất của trị tuyệt đối
Kiểu nhiệm vụ này được đưa vào nhằm củng cố, vận dụng hằng đẳng thức
AA =2
nên đặc trưng biểu thức dưới dấu căn luôn có dạng ( )
2
( )f x được GK9 đảm
bảo. Như chúng tôi đã trình bày trong phần 2.1.1 thì vấn đề tìm điều kiện xác định
của biểu thức dưới dấu căn là vấn đề khó mà đến cấp THPT mới được học nên GK9
đã lựa chọn kĩ thuật “hằng đẳng thức” là duy nhất để giải phương trình vô tỉ dạng
này.
• Về bất phương trình vô tỉ
Sau khi trình bày định nghĩa, tính chất về mối liên hệ của phép khai phương
với quan hệ thứ tự được nêu qua định lí
ĐỊNH LÍ
Với hai số a và b không âm, ta có a b a b< ⇔ < [GK9, tr 5]

25. 20
Theo [GV9, tr 15] thì tính chất này không những là cơ sở cho giải toán so
sánh các số thông qua so sánh căn bậc hai số học mà còn là cơ sở cho giải toán về
bất đẳng thức, bất phương trình chứa căn bậc hai. Cụ thể, bài toán tìm x sao cho
f(x) < a (hoặc axf ≤)( , axf >)( ; axf ≥)( ) đã được nhắc đến.
Ví dụ 3: [GK9, Hoạt động 5/tr 6]
Tìm số x không âm, biết 1>x
Giải
11 = , nên 1>x có nghĩa là 1>x .
Với 0≥x , ta có 11 >⇔> xx . Vậy x >1
Điều đáng lưu ý là đối với các bất phương trình dạng ( )f x a< (hoặc
( ) ; ( ) ; ( )f x a f x a f x a> ≤ ≥ ) thì điều kiện của f(x) luôn được cho trước, hằng
số a trong bất phương trình luôn luôn không âm, và để tìm x học sinh chỉ cần bình
phương 2 vế lên, giải bất phương trình f(x) < a2
tìm x và kết hợp lại với điều kiện
của x ở đề bài để kết luận nghiệm.
Như vậy, ta xác định được ở đây kiểu nhiệm vụ tương ứng với kĩ thuật giải như sau:
 Tbpt
(bpt : bất phương trình) : Tìm x sao cho f(x) < a , biết rằng f(x) ≥ 0
và a ≥ 0.
Từ bài toán trên chúng tôi ghi nhận kiểu nhiệm vụ sau đây:
bpt
ltτ : Nâng lũy thừa
+ Biến đổi 2 2
( ) ( ) ( )f x a f x a f x a< ⇔ < ⇔ <
+ Giải bất phương trình trên tìm nghiệm x
+ Kết hợp điều kiện kết luận nghiệm x
bpt
ltθ : Định lí về so sánh các căn bậc 2 số học [GK9, tr 5]
Chúng tôi thống kê lại 3 kiểu nhiệm vụ đã xét ở trên cùng với số bài tập được
cho:

26. 21
Bảng 1 : Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong SGK toán lớp 9
Kiểu nhiệm vụ SGK SBT
Ví dụ (hoạt
động)
Bài tập
Tpt
: Tìm x, biết rằng f(x)≥ 0 và
f(x) = a
0≥a 0 7 13
a < 0 0 0 3
pt
h®tT : Tìm x sao cho ( ) ( )f x g x= 0 8 4
Tbpt
: Tìm x sao cho f(x) < a , biết
rằng f(x) ≥ 0 và a ≥ 0
0≥a 2 2 2
a < 0 0 0 0
Tổng 2 17 22
Qua bảng thống kê trên nhận thấy trường hợp a < 0 xuất hiện với tần số rất
thấp 3/29, do vậy đối với 2 kiểu nhiệm vụ Tpt
và Tbpt
thì 2 kĩ thuật giải có thể quy về
một cách chung là bình phương 2 vế để bỏ dấu căn, không cần kiểm tra điều kiện
hai vế không âm.
Kết luận:
Việc tìm điều kiện có nghĩa của biểu thức dưới dấu căn bậc hai là nằm ngoài
kiến thức của học sinh lớp 9, do vậy GK9 chỉ đưa vào giảng dạy phương trình và
bất phương trình vô tỉ ở mức độ thấp – mức độ tiếp cận. Các dạng được cho rất đơn
giản, không yêu cầu những phép biến đổi phức tạp. Dựa trên quan điểm đó, dạng
phương trình ( )f x a= , bất phương trình ( )f x a< , ( )f x a> được giảng dạy
trong chương trình với kĩ thuật giải chúng có thể đưa về một qui tắc chung : bình
phương lên để bỏ dấu căn bậc hai. Hay nói khác đi, học sinh đã thực hiện một phép
biến đổi hệ quả trong giải phương trình và bất phương trình vô tỉ để tìm nghiệm; do
điều kiện 2 vế của phương trình hoặc bất phương trình không âm được thể chế đảm
bảo trong hầu hết trường hợp nên ít khi dẫn đến sai lầm.

27. 22
2.2. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Ở LỚP 10.
Các kết quả được trình bày trong phần này dựa trên việc phân tích những tài
liệu sau:
- Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao, kí hiệu GK10
- Sách bài tập đại số 10 nâng cao BT10
- Sách giáo viên đại số 10 nâng cao GV10
2.2.1. Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình Đại số 10
Chương trình Đại số 10 được phân thành 6 chương :
- Chương 1 : Mệnh đề - Tập hợp
- Chương 2 : Hàm số bậc nhất và bậc hai
- Chương 3 : Phương trình và Hệ phương trình
- Chương 4 : Bất đẳng thức và Bất phương trình
- Chương 5 : Thống kê
- Chương 6 : Góc lượng giác và Công thức lượng giác
Như vậy, các nội dung về phương trình, bất phương trình được đề cập ở
chương 3 và chương 4. Ở đây, việc dạy học chủ đề phương trình, bất phương trình
có mục đích là chuẩn hóa và nâng cao kiến thức đã biết về chủ đề này.
Phương trình và bất phương trình vô tỉ được chính thức đưa vào giảng dạy.
Theo hướng giảm nhẹ yêu cầu về kiến thức và kĩ năng, chương trình không yêu cầu
giải cầu giải các phương trình và bất phương trình vô tỉ có chứa tham số. Những
vấn đề chung về phương trình được giảng dạy trong chương 3, ở §1 (Đại cương về
phương trình). Tuy nhiên, phương trình, bất phương trình vô tỉ lại được nói đến
trong §8 của chương 4, khi nghiên cứu một số phương trình và bất phương trình qui
về bậc hai. Tại sao chương trình lại sắp xếp như vậy? Giải thích điều này, [GV10, tr
100] có nêu: do có liên quan đến bất phương trình bậc hai nên phương trình vô tỉ

28. 23
chủ yếu được giới thiệu chủ yếu trong chương IV... Ở đây ta thấy được sự gắn kết
giữa phương trình và bất phương trình: việc giải một phương trình lại dẫn đến việc
giải một bất phương trình, hai đối tượng được dạy lồng ghép vào nhau. Ngoài ra,
theo tên gọi của §8 thì chương trình đưa vào phương trình và bất phương trình vô tỉ
nhằm củng cố, rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình bậc hai. Do
vậy căn thức chủ yếu được giới thiệu trong chương trình lớp 10 vẫn là căn thức bậc
hai.
Tên gọi của chương 3 là Phương trình, hệ phương trình, nhưng nội dung chủ
yếu tập trung vào phương trình, hệ phương trình bậc nhất (nhiều ẩn) và bậc hai
(hai ẩn). Còn chương 4 có tiêu đề Bất đẳng thức và bất phương trình, nhưng trọng
tâm đặt vào bất phương trình bậc nhất, bậc 2. Nội dung của chương 3 và chương 4
được phân thành những mục sau :
Chương 3 : §1. Đại cương về phương trình
§2. Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn
§3. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai
§4. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
§5. Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn
Chương 4 : §1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
§2. Đại cương về bất phương trình
§3. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
§4. Dấu của nhị thức bậc nhất
§5. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
§6. Dấu của tam thức bậc hai
§7. Bất phương trình bậc hai
§8. Một số phương trình và bất phương trình qui về bậc hai

29. 24
Liếc qua GK10, chúng tôi thấy chỉ có các nội dung trình bày trong §1, §3của
chương 3 và §2, §8 của chương 4 có liên quan đến phương trình, bất phương trình
vô tỉ. Vì thế, trong phần phân tích SGK, chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu các mục
này.
2.2.2. Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong SGK Đại số 10
Phương trình, bất phương trình được nói đến sau khi đã nghiên cứu chương 1
(Mệnh đề - Tập hợp) trong đó có đề cập đến các khái niệm mệnh đề, mệnh đề chứa
biến. Các khái niệm này được sử dụng để định nghĩa phương trình, bất phương
trình.
 Về khái niệm phương trình và các phép biến đổi tương đương
Liên quan đến phương trình nói chung chỉ có §1 với tên gọi Đại cương về
phương trình. Ở đây ta thấy những nội dung sau :
- Khái niệm phương trình
- Khái niệm phương trình tương đương
- Định lí về hai phép biến đổi tương đương phương trình (cộng, nhân hai vế
của phương trình với cùng một biểu thức chứa biến)
- Khái niệm phương trình hệ quả
Ngoại trừ việc được phát biểu bằng một ngôn ngữ gần gũi với học sinh THPT,
các khái niệm này được trình bày giống như những định nghĩa, định lý mà chúng tôi
đã nêu trong chương 1.
Ngoài ra, GK10 còn đưa vào định lý sau :
ĐỊNH LÍ 2
Khi bình phương 2 vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương
trình đã cho, [ ] [ ]
2 2
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x= ⇒ = , [GK10, tr 69]
Ngay sau định lý này, GK10 nêu chú ý :

30. 25
CHÚ Ý
1) Có thể chứng minh được rằng : Nếu hai vế của một phương trình luôn cùng dấu thì khi
bình phương hai vế của nó ta được phương trình tương đương.
2) Nếu phép biến đổi một phương trình dẫn đến phương trình hệ quả thì sau khi giải
phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm được vào phương trình đã cho để
phát hiện và loại bỏ nghiệm ngoại lai. [GK10, tr 69]
Có thể thấy định lý và chú ý nêu trên chính là cơ sở cho việc giải các phương
trình vô tỉ được nói đến sau này.
 Về khái niệm bất phương trình và các phép biến đổi tương đương
Vấn đề này được đề cập đến trong §2. (Đại cương về bất phương trình) của
chương 4. Cùng một cách thức với phương trình, ở đây GK10 trình bày :
- Khái niệm bất phương trình một ẩn
- Bất phương trình tương đương
- Biến đổi tương đương các bất phương trình.
Các lý thuyết trình bày trong §2 này có thể được nắm bắt dễ dàng nếu đã nắm
vững về phương trình. Khẳng định điều này, GV10 gợi ý về dạy học bất phương
trình như sau:
“Do học sinh đã được học các vấn đề tương tự về phương trình nên bài này có thể giảng
nhanh, tập trung vào các phép biến đổi bất phương trình. Giáo viên cần nhấn mạnh sự khác
nhau giữa phương trình và bất phương trình khi thực hiện nhân 2 vế với cùng một biểu thức:
Đối với bất phương trình, khi thực hiện nhân cả 2 vế với h(x) phải luôn để ý đến dấu của
h(x).” [GV10, tr159]
Như vậy bất phương trình được giảng dạy với “sự thừa hưởng” khá nhiều từ
phương trình, hầu như chỉ cần thay dấu = bởi dấu bất đẳng thức. Điều cần phải lưu
ý, như GV10 trình bày, là phải phân biệt sự khác nhau giữa phép biến đổi nhân
trong phương trình và bất phương trình.
Ngoài ra GK10 cũng có trình bày một hệ quả mà nó chính là yếu tố công nghệ
giải thích cho kĩ thuật giải bất phương trình vô tỉ,

31. 26
HỆ QUẢ
Cho bất phương trình f(x) < g(x) có tập xác định D.
1) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc ba [ ] [ ]
3 3
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x< ⇔ <
2) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai
Nếu f(x) và g(x) không âm với mọi x thuộc D thì [ ] [ ]
2 2
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x< ⇔ <
Như đã chỉ ra trong khi xem xét chương trình, hai đối tượng nghiên cứu được
giới thiệu chung trong cùng §8, cụ thể là mục 2, GK10 đã nêu:
2. Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai
Khi giải phương trình hoặc bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai, ta thực hiện
một số biến đổi tương đương để đưa nó về một phương trình hoặc bất phương trình không
còn chứa ẩn trong dấu căn bậc hai. Trong quá trình biến đổi cần lưu ý:
- Nêu các điều kiện xác định của phương trình hoặc bất phương trình và nêu điều kiện
của nghiệm (nếu có);
- Chỉ bình phương hai vế của phương trình hoặc bất phương trình khi cả hai vế đều
không âm.
Gộp các điều kiện đó với phương trình hoặc bất phương trình mới nhận được, ta có một
hệ phương trình hoặc bất phương trình tương đương với phương trình hoặc bất phương
trình đã cho (tức là phương trình hoặc bất phương trình đã cho và hệ thu được có cùng
tập nghiệm). [GK10, tr 148]
GK10 đã không có định nghĩa rõ ràng mà dùng chính định nghĩa phương trình
và bất phương trình vô tỉ để làm tên gọi thay cho nó. Điều này có thể lí giải là do
trong chương trình toán 10 học sinh chủ yếu tìm hiểu phương trình và bất phương
trình vô tỉ với trường hợp căn thức là căn bậc hai. Bên cạnh đó, tên gọi được GK10
sử dụng cũng phù hợp với cách gọi tên phương trình, bất phương trình dựa vào đặc
điểm của nó. Ví dụ: phương trình chứa tham số, phương trình chứa ẩn trong dấu trị
tuyệt đối, ...
Để giải các phương trình và bất phương trình vô tỉ GK10 đưa ra một qui tắc
gồm 2 bước như trên mà nguồn gốc của nó chính là các định lí, hệ quả như chúng
tôi vừa trình bày.

32. 27
 Về các tổ chức toán học liên quan đến phương trình và bất phương trình
vô tỉ
Sau khi giới thiệu lý thuyết đại cương về phương trình, nhằm nhấn mạnh vai
trò của tập xác định chúng tôi tìm thấy bài tập sau trong GK10:
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm
của nó:
)a x x= − ) 3 2 2 6b x x x− − = − +
3
) 3
3
x
c x x
x
−
= + −
−
) 1d x x x+ − = − [GK10, tr71]
Tập xác định của các phương trình trên là những tập hữu hạn hoặc là tập rỗng,
do đó có thể thế từng phần tử trong tập xác định vào phương trình đã cho để kết
luận tập nghiệm của nó. Vì kĩ thuật giải không dựa vào phép biến đổi tương đương
nên chúng tôi không chú trọng xem xét các phương trình dạng trên trong luận văn
này.
Trong các kiểu nhiệm vụ mà chúng tôi xem xét ở phần sau của luận văn thì
f(x), g(x), h(x) là các đa thức (bậc 1, bậc 2) hoặc các phân thức.
 Tptcb
(ptcb: phương trình cơ bản) : Giải phương trình vô tỉ dạng
f(x) = g(x)
Kiểu nhiệm vụ này được gặp đầu tiên trong chương 3, §1. Nó được đưa ra với
mục đích giúp học sinh phân biệt đâu là phép biến đổi tương đương, đâu là phép
biến đổi hệ quả, vậy nên kĩ thuật sử dụng phép biến đổi hệ quả được giới thiệu đầu
tiên:
 τ pt
hq (hq: hệ quả):
+ Bình phương hai vế đưa về phương trình hệ quả 2
)()( xgxf =
+ Tìm nghiệm x của phương trình trên
+ Thế nghiệm x vào phương trình ban đầu để loại nghiệm ngoại lai

33. 28
pt
hqθ : Định lí 2 (về phép biến đổi hệ quả khi bình phương hai vế của phương
trình)
Ví dụ 4 : [GK10, bài 4/ tr 71]
Giải phương trình sau bằng cách bình phương 2 vế 31 −=− xx
Giải
2
)3(131 −=−⇒−=− xxxx
01072
=+−⇒ xx
2=⇒ x hoặc 5=x
Thử lại x = 2 không thỏa mãn phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm x = 5
Như đã nói, phương trình vô tỉ chủ yếu được giới thiệu trong chương 4 nên tại
thời điểm này kĩ thuật pt
hqτ được chỉ định và hướng dẫn trong đề bài. Kĩ thuật pt
hqτ sử
dụng qui tắc nâng lũy thừa hay bình phương hai vế để bỏ dấu căn. Vì không có điều
kiện hai vế không âm nên dẫn đến phương trình hệ quả, do đó phải có bước kiểm tra
nghiệm bằng cách thế vào phương trình ban đầu.
Kiểu nhiệm vụ Tptcb
được gặp lại trong §3 của chương 3 với mục tiêu là quy về
giải phương trình bậc hai một ẩn. Khi đó kĩ thuật “đặt ẩn phụ” được giới thiệu trong
phần bài tập cũng bằng cách chỉ định rõ kĩ thuật trong đề bài.
Ví dụ 5: [GK10, bài 27/ tr 85]
Bằng cách đặt ẩn phụ giải phương trình 015111245124 22
=++−−− xxxx
Giải
Ta có: 015111245124 22
=++−−− xxxx
0411124511124 22
=++−−+−⇔ xxxx
Đặt 011124 2
≥+−= xxt . Khi đó phương trình trở thành:
0452
=+− tt 1=⇔ t hoặc t = 4

34. 29
t = 1 2 2 2
4 12 11 1 4 12 11 1 4 12 10 0x x x x x x⇔ − + =⇔ − + =⇔ − + =: ptvn
t = 4 2 2 2
4 12 11 4 4 12 11 16 4 12 4 0x x x x x x⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − − =
3 13
2
x
+
⇔ = hoặc
3 13
2
x
−
=
Vậy
3 13 3 13
;
2 2
S
 + − 
=  
  
Kĩ thuật được sử dụng ở đây là :
 pt
τÈn : Đặt ẩn phụ
+ Nếu 0,,;)()( 2
≠∈+= aRmamxafxg thì đặt 0,)( ≥= txft
+ Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc 2 theo biến t :
at2
- t + m = 0
+ Giải phương trình tìm nghiệm t
+ Giải phương trình txf =)( tìm nghiệm x
pt
θÈn : Định nghĩa căn số học
Ẩn phụ ( )t f x= được dùng trong trường hợp này vì nếu bình phương lên sẽ
làm tăng đáng kể bậc của phương trình (bậc 4) và học sinh khó có thể giải được. Kĩ
thuật pt
τÈn tỏ ra khá hiệu quả thế nhưng nó không được trình bày rõ ràng trong
GK10, ngay cả khi đến chương 4, §8 học sinh được tìm hiểu sâu hơn về phương
trình vô tỉ.
Đến chương 4 học sinh lại làm việc với Tptcb
và thêm một kĩ thuật nữa được
giới thiệu, cụ thể
Ví dụ 6 : [GK10, ví dụ 2/ tr 148]
Giải phương trình 2
3 24 22 2 1x x x+ + = +
Phân tích. Điều kiện xác định của phương trình đã cho là 2
3 24 22 0x x+ + ≥ (1)
Dễ thấy nghiệm của phương trình đã cho phải thỏa mãn điều kiện 2 1 0x + ≥ (2)

35. 30
Với các điều kiện (1) và (2), phương trình đã cho tương đương với phương trình
2 2
3 24 22 (2 1)x x x+ + = + (3)
Hiển nhiên (3) kéo theo (1). Do đó nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của phương
trình (3) thỏa mãn bất phương trình (2). Nói một cách khác, phương trình đã cho tương
đương với hệ gồm bất phương trình (2) và phương trình (3).
Sau đây là bài giải ví dụ 2
Giải. Phương trình đã cho tương đương với hệ
2 2
2 1 0
( )
3 24 22 (2 1)
x
I
x x x
+ ≥

+ + = +
Ta có
2
1 1
( ) 2 2
1 x = 2120 21 0
x x
I
xx x
 ≥ − ≥ − 
⇔ ⇔ 
  = −− − =  hoÆc
21x⇔ =
Nghiệm của phương trình đã cho là x = 21
Ví dụ này cho phép xác định kĩ thuật là pt
ltτ :
 pt
ltτ : Nâng lũy thừa
+



=
≥
⇔= 2
)()(
0)(
)()(
xgxf
xg
xgxf
+ Giải hệ tìm được nghiệm x
pt
ltθ : Chú ý (về phép biến đổi tương đương khi bình phương hai vế của
phương trình) [GK10, tr 70]
Thông qua một bài toán cụ thể, GK10 hướng dẫn phân tích và thành lập nên kĩ
thuật giải. Kĩ thuật được lập dựa trên quy tắc là chỉ bình phương hai vế của phương
trình khi hai vế không âm. Điều kiện của nghiệm là vấn đề mà học sinh cần lưu ý
trong kĩ thuật pt
ltτ và phải có hiểu biết về tính chất của căn bậc 2 là ( ) 0f x ≥ .
Chúng ta thấy rằng kiểu nhiệm vụ Tptcb
là sự tiến triển của kiểu nhiệm vụ Tpt
ở
lớp 9. Biểu thức chứa biến dưới dấu căn không còn được đảm bảo không âm và

36. 31
hằng số a cũng được thay bằng một biểu thức chứa biến mà giá trị âm, dương là
chưa xác định.
Ở lớp 10, để giải quyết Tptcb
, theo một trình tự về thời gian các kĩ thuật
pt
hqτ , pt
τÈn , pt
ltτ lần lượt được giới thiệu trong GK10. Song GV10, tr 192 chỉ nhắc đến
2 kĩ thuật pt
τÈn , pt
ltτ khi hướng dẫn các lưu ý trong dạy học phương trình vô tỉ. Tại
sao kĩ thuật pt
hqτ lại không được ưu tiên sử dụng ?
Trên cơ sở học sinh đã thao tác tốt với kiểu nhiệm vụ Tptcb
, GK10 đưa vào một
số tổ chức toán học khác liên quan đến phương trình vô tỉ mà Tptcb
được thực hiện
như một nhiệm vụ con.
 pt
Tntc (ntc: nhân tử chung) :Giải phương trình vô tỉ dạng h(x) f(x) = h(x).g(x)
 ân
pt
nhτ : Nhân vào 2 vế của phương trình cho cùng một biểu thức
1
( )h x
+ Giải phương trình h(x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2,...
+ Thế các giá trị x1, x2, ... vào phương trình ban đầu để xác định nghiệm
của phương trình
+ Với 1 2, ,...x x x≠ nhân 2 vế của phương trình ban đầu cho
1
( )h x
được
phương trình tương đương f(x) = g(x)
+ Thực hiện kiểu nhiệm vụ Tptcb
.
ân
pt
nhθ : Định lí về các phép biến đổi tương đương (nhân cùng một biểu thức
chứa ẩn vào hai vế của phương trình) [GK10, tr 68]
 pt
ntcτ : Đặt nhân tử chung (ntc)
+ Chuyển vế, đặt h(x) làm nhân tử chung được phương trình tích
( )( ) f(x) -g(x) = 0h x
+ Giải phương trình h(x) = 0
+ Giải phương trình f(x) = g(x) - kiểu nhiệm vụ Tptcb

37. 32
pt
ntcθ : Định lí về các phép biến đổi tương đương (cộng cùng một biểu thức vào
hai vế của phương trình) [GK10, tr 68]
Ví dụ 7 : [BT10, bài 4.72/ tr 114]
Giải phương trình : ( 1) 16 17 ( 1)(8 23)x x x x+ + = + − (1)
Giải
 Kĩ thuật ân
pt
nhτ :
Ta có: x = -1 là nghiệm của (1)
Với 1 1 0x x≠ − ⇒ + ≠ , khi đó
( )
2
2
23 238 23 0
(1) 16 17 8 23 8 8
16 17 8 23
2 x = 46 8 0
x x x
x x
x x
xx x
 − ≥ ≥ ≥  
⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔  
+ = −   =− + =  hoÆc
4x⇔ =
Vậy { }1;4S = −
 Kĩ thuật pt
ntcτ
( )(1) ( 1) 16 7 (8 23) 0 1 0 16 7 8 23
1 4
x x x x x x
x x
⇔ + + − − = ⇔ + = + = −
⇔ =− =
hoÆc
hoÆc
Khi giải quyết kiểu nhiệm vụ trên bằng kĩ thuật ân
pt
nhτ , ta đã thực hiện việc đơn
giản thừa số giống nhau ở hai vế bằng cách nhân biểu thức
1
, ( ) 0
( )
h x
h x
≠ vào hai vế
của phương trình. Điều cần lưu ý ở đây là phải có điều kiện ( ) 0h x ≠ để phép chia có
nghĩa.
Một kĩ thuật khác được BT10 đề nghị là pt
ntcτ để giúp học sinh tránh việc đặt
điều kiện ( ) 0h x ≠ . Đối với kĩ thuật này học sinh chỉ thực hiện bước chuyển vế và
sau đó là đặt nhân tử chung đưa về dạng phương trình tích mà học sinh đã biết cách
giải ở lớp 8 là ( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0h x f x g x h x f x g x− =⇔ = − =hoÆc

38. 33
Một tổ chức toán học khác được BT10 đưa vào qua bài tập mà chúng tôi xem
xét ngay sau đây
Ví dụ 8: [BT10, bài 4.76a/ tr 115]
Giải bất phương trình : 3 4 1 8 6 1 1x x x x+ − − + + − − =
Giải
Điều kiện : 1x ≥
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình sau
1 2 1 3 1 (1)x x− − + − − =
Với 1 5x≤ < , ta có 10 2 0x − − < và 10 3 0x − − < . Khi đó
(1) 2 1 3 1 1
1 2
5
x x
x
x
⇔ − − + − − =
⇔ − =
⇔ =
Với 5 10x≤ < , ta có 10 2 0x − − ≥ và 10 3 0x − − < . Khi đó
(1) 1 2 3 1 1
1 1: ôn úng
x x
lu
⇔ − − + − − =
⇔ = ®
Với 10x ≥ , ta có 10 2 0x − − > và 10 3 0x − − ≥ . Khi đó
(1) 2 1 1 3 1
1 3
10
x x
x
x
⇔ − − + − − =
⇔ − =
⇔ =
Vậy tập nghiệm của phương trình là [ ]5;10S =
 pt
Th®t : Giải phương trình vô tỉ dạng ( ) ( )
2 2
f(x)+a + f(x)+b = c với
( , ,a b c R∈ )

39. 34
 τpt
h®t : + Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( )f x a f x b c+ + + =
+ Biện luận các giá trị của x để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
+ Thực hiện kiểu nhiệm vụ Tptcb
.
θpt
h®t : Hằng đẳng thức 2
A A= và tính chất của trị tuyệt đối.
Kiểu nhiệm vụ pt
Th®t đã gặp ở lớp 9. Quyển BT10 đã cho với mức độ khó hơn,
trong căn thức lại có căn thức. Việc khai căn dẫn đến giải phương trình có hai dấu
giá trị tuyệt đối nên có thể gây khó khăn cho học sinh trong việc biện luận để giải
phương trình chứa trị tuyệt đối.
 pt
tíchT : Giải phương trình vô tỉ dạng h(x) f(x) = 0
(Từ “tích” được dùng với ý nghĩa chỉ phương trình trên là phương trình tích)
Chúng tôi xác định kiểu nhiệm vụ này trong ví dụ dưới đây:
Ví dụ 9 : [GK10, bài 3/ tr 71]
Giải phương trình: 2
( 3 2) 3 0x x x− + − =
Giải
Điều kiện 3x ≥
2 2
( 3 2) 3 0 3 2 0 3 0x x x x x x− + − = ⇔ − + = − =hoÆc
Phương trình 2
3 2 0x x− + = có 2 nghiệm là x =1, x = 2. Cả 2 nghiệm bị loại
do điều kiện 3x ≥ .
Phương trình 3 0 3 0 3x x x− = ⇔ − = ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm là x = 3.
Lời giải cho thấy kĩ thuật sử dụng ở đây là
 tích
pt
τ : + Điều kiện : ( ) 0f x ≥
+ Phương trình h(x) f(x) = 0 f(x) = 0 h(x) = 0⇔ hoÆc
+ Giải phương trình f(x) = 0 - kiểu nhiệm vụ Tptcb
+ Giải phương trình h(x) = 0.

40. 35
tích
pt
θ : Tính chất vắng mặt ước của không trên trường số thực
Định nghĩa căn bậc hai số học
Với mỗi tổ chức toán học liên quan đến phương trình vô tỉ, tương ứng cũng có
những tổ chức toán học liên quan đến bất phương trình vô tỉ mà chúng tôi dẫn ra
trong phần tiếp theo của luận văn.
 bptcb
béT (bptcb: bất phương trình cơ bản) : Giải bất phương trình vô tỉ dạng
f(x) < g(x)
Ví dụ 10: [GK10, ví dụ 3/ tr 149]
Phân tích. Điều kiện xác định của phương trình đã cho là 2
3 10 0 (1)x x− − ≥
Dễ thấy nghiệm của phương trình đã cho phải thỏa mãn điều kiện 2 0 (2)x − >
Với hai điều kiện (1) và (2), bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
2 2
3 10 ( 2) (3)x x x− − < −
Như vậy, bất phương trình đã cho tương đương với hệ gồm ba bất phương trình (1), (2) và
(3).
Sau đây là bài giải ví dụ 3
Giải. Bất phương trình đã cho tương đương với hệ
2
2 2
3 10 0
( ) 2 0
3 10 ( 2)
x x
I x
x x x
 − − ≥

− >

− − < −
Ta có
2 5
( ) 2 5 14
14
x x
I x x
x
≤ − ≥

⇔ > ⇔ ≤ <
 <
hoÆc
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [5 ;14)
Từ ví dụ trên xác định được kĩ thuật giải là
 bpt
ltτ : Nâng lũy thừa

41. 36





<
>
≥
⇔<
2
)()(
0)(
0)(
)()(
xgxf
xg
xf
xgxf
bpt
ltθ : Hệ quả 2 (về quy tắc nâng lũy thừa bậc hai trong bất phương trình)
Kĩ thuật bpt
ltτ được GK10 trình bày rõ ràng thông qua một ví dụ cụ thể. Quá
trình phân tích để dẫn đến lời giải tuân thủ những điều cần lưu ý mà GK10 đã nêu ra
đối với phương trình và bất phương trình vô tỉ mà chúng tôi đã đề cập trong phần
đầu của mục: nêu điều kiện của bất phương trình, nêu điều kiện của nghiệm, chỉ
bình phương 2 vế của bất phương trình khi chúng không âm.
Cũng tương tự trong phương trình, một kĩ thuật khác được sử dụng để giải
quyết bptcb
béT là :
 bpt
τÈn : Đặt ẩn phụ
+ Nếu 0,,;)()( 2
≠∈+= aRmamxafxg thì đặt 0,)( ≥= txft
+ Đưa về giải bất phương trình bậc 2 theo biến t : at2
- t + m < 0
+ Giải bất phương trình tìm nghiệm t
+ Giải phương trình txf =)( tìm nghiệm x
bpt
θÈn : Định nghĩa căn số học
Ví dụ 11 : [GK10, bài 72c, tr 154]
Giải bất phương trình: 2
6 ( 2)( 32) 34 48x x x x− − < − +
Hướng dẫn. Đặt 2
( 2)( 32) 34 48y x x x x= − − = − +
Với bất phương trình trên đây thì học sinh đặt ẩn phụ như hướng dẫn và sau
đó là giải bất phương trình bậc hai theo biến y. Kĩ thuật
bpt
τÈn không được trình bày
tường minh như
bpt
ltτ mà chỉ được hướng dẫn trong đề bài ở phần bài tập. Trước đó
học sinh đã làm việc với kĩ thuật
pt
τÈn trong kiểu nhiệm vụ Tptcb
, do vậy có thể lí giải

42. 37
rằng kĩ thuật
bpt
τÈn được suy ra tương tự, thay dấu “=” trong phương trình bởi dấu
“<” của bất phương trình.
 bptcb
bé-knnT (knn: không nghiêm ngặt) : Giải bất phương trình vô tỉ dạng
≤f(x) g(x)
Ví dụ 12 : [GK10, bài 67b, tr 151]
Giải bất phương trình: 2 1 2 3x x− ≤ −
Kĩ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này không được trình bày trong GK10
mà suy luận từ é
bptcb
bT . Cụ thể có 2 kĩ thuật để thực hiện é -
bptcb
b knnT
 -
bpt
lt knnτ : Biến đổi tương đương
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x
 ≥

≤ ⇔ ≥
 ≤
- knn
bpt
ltθ : Hệ quả 2 (về quy tắc bình phương hai vế của bất phương trình).
 -
bpt
knnτÈn : + Nếu 0,,;)()( 2
≠∈+= aRmamxafxg thì đặt 0,)( ≥= txft
+ Đưa về giải bất phương trình bậc 2 theo biến t : at2
- t + m ≤ 0
+ Giải bất phương trình tìm nghiệm t
+ Giải phương trình txf =)( tìm nghiệm x
bpt
θÈn- knn : Định nghĩa căn số học
Chúng ta thấy rằng viết dấu “ <, >” thành dấu “ ,≤ ≥ ” là điều cần làm để có kĩ
thuật giải dạng ( ) ( )f x g x≤ từ dạng ( ) ( )f x g x< .
 bptcb
Tlín : Giải bất phương trình vô tỉ dạng f(x) > g(x)
Một cách tương tự với kiểu nhiệm vụ bptcb
béT , GK10 cũng đưa ra 2 kĩ thuật giải
đối với bptcb
línT như sau:

43. 38
 bpt
ltτ : Nâng lũy thừa



≥
<
⇔>
0)(
0)(
)()(
xf
xg
xgxf hoặc



>
≥
2
)()(
0)(
xgxf
xg
bpt
ltθ : Hệ quả 2 (về quy tắc nâng lũy thừa hai vế của bất phương trình)
Ví dụ 13 : [GK10, ví dụ 4, tr 150]
Giải bất phương trình 2
4 3x x x− > −
Ví dụ này được GK10 trình bày rất rõ ràng, phân tích chi tiết các trường hợp có thể
xảy ra từ đó cho phép xác định kĩ thuật như vừa chỉ rõ trên đây.
Với bpt
ltτ để làm mất dấu căn bậc 2 bằng cách bình phương hai vế của bất phương
trình phải xét hai trường hợp có thể của g(x) là g(x) < 0 hoặc ( ) 0g x ≥ . Học sinh
cần phải lưu ý điều này.
 bpt
τÈn : Đặt ẩn phụ
+ Nếu 0,,;)()( 2
≠∈+= aRmamxafxg thì đặt 0,)( ≥= txft
+ Đưa về giải bất phương trình bậc 2 theo biến t : at2
- t + m > 0
+ Giải bất phương trình tìm nghiệm t
+ Giải phương trình txf =)( tìm nghiệm x
bpt
θÈn : Định nghĩa căn số học
Ví dụ 14 : [BT10, bài 4.80/ tr 116]
Giải bất phương trình 6253)1)(4( 2
<++−++ xxxx
Với kĩ thuật dùng ẩn phụ thì học sinh có thể thao tác khá dễ dàng vì điều cần
làm là giải bất phương trình bậc theo biến t sau khi đã đặt ( ) 0t f x= ≥ . Cách
làm này đã khá quen thuộc.

44. 39
Dạng bất phương trình không nghiêm ngặt tương ứng với ( ) ( )f x g x> là
( ) ( )f x g x≥ liên quan đến tổ chức toán học được chỉ ra dưới đây.
 bptcb
Tlín - knn : Giải bất phương trình vô tỉ dạng ≥f(x) g(x)
Ví dụ 15 : [GK10, bài 85c, tr156]
Giải bất phương trình: 2
8 2( 1)x x x− ≥ +
Cũng có hai kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này là:
 -
bpt
lt knnτ : Nâng lũy thừa
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
g x
f x g x
f x
<
≥ ⇔ 
≥
hoặc 2
( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x
≥

≥
- knn
bpt
ltθ : Hệ quả 2 (về quy tắc nâng lũy thừa hai vế của bất phương trình)
 bpt
τÈn - knn : Đặt ẩn phụ
+ Nếu 0,,;)()( 2
≠∈+= aRmamxafxg thì đặt 0,)( ≥= txft
+ Đưa về giải bất phương trình bậc 2 theo biến t : at2
- t + m > 0
+ Giải bất phương trình tìm nghiệm t
+ Giải phương trình txf =)( tìm nghiệm x
bpt
θÈn - knn : Định nghĩa căn số học
Giống như bất phương trình ( ) ( )f x g x≤ học sinh cũng phải suy luận từ kĩ
thuật giải ( ) ( )f x g x> để thành lập kĩ thuật giải dạng ( ) ( )f x g x≥ .
Chúng ta cùng nhìn lại các phương trình và bất phương trình vô tỉ cơ bản đã
xem xét :

45. 40
Bảng 2: Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong nhóm cơ bản
Tptcb
( )( ) ( )f x g x=
bptcb
béT
( )( ) ( )f x g x<
bptcb
bé -knnT
( )( ) ( )f x g x≤
bptcb
Tlín
( )( ) ( )f x g x>
bptcb
Tlín -knn
( )( ) ( )f x g x≥
τpt
hq : Bình phương
hai vế đưa về
phương trình hệ
quả
2
)()( xgxf =
pt
τÈn : Đặt ẩn phụ
( )t f x=
bpt
τÈn : Đặt ẩn phụ
( )t f x=
bpt
τÈn-knn :Đặt ẩn
phụ ( )t f x=
bpt
τÈn : Đặt ẩn phụ
( )t f x=
bpt
τÈn-knn :Đặt ẩn
phụ ( )t f x=
pt
ltτ :bình phương
hai vế không âm
của phương trình
2
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
f x g x
g x
f x g x
=
≥
⇔ 
=
bpt
ltτ :bình phương
hai vế không âm
của bất phương
trình
2
( ) ( )
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
f x g x
f x
g x
f x g x
<
 ≥

⇔ >

<
- knn
bpt
ltτ :bình
phương hai vế
không âm của bất
phương trình
2
( ) ( )
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
f x g x
f x
g x
f x g x
≤
 ≥

⇔ ≥

≤
bpt
ltτ : bình
phương hai vế
không âm của
bất phương
trình
( ) ( )
( ) 0
( ) 0
f x g x
g x
f x
>
<
⇔ 
≥
hoặc



>
≥
2
)()(
0)(
xgxf
xg
-
bpt
lt knnτ : bình
phương hai vế
không âm của
bất phương
trình
( ) ( )
( ) 0
( ) 0
f x g x
g x
f x
≥
<
⇔ 
≥
hoặc
2
( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x
≥

≥
Ngoại trừ khác nhau ở dấu “<, >” với “ ,≤ ≥ ” thì chúng tôi không nhận thấy
điểm khác biệt nào trong kĩ thuật giải bất phương trình nghiêm ngặt và bất phương
trình không nghiêm ngặt đang xét trên đây.
Kĩ thuật pt
hqτ không được ưu tiên sử dụng để giải quyết Tptcb
là do tác động
của việc dạy học các kiểu nhiệm vụ bptcb
béT và bptcb
línT , bptcb
bé - knnT và bptcb
lín - knnT . Nếu học sinh

46. 41
chuyển cách làm được phép trong pt
hqτ : bình phương hai vế để bỏ dấu căn bậc hai mà
không quan tâm đến điều kiện hai vế không âm sang cho bất phương trình thì việc
kiểm tra loại bỏ nghiệm ngoại lai là không thể thực hiện được. Như vậy các kĩ thuật
giải bất phương trình vô tỉ đã tác động vào làm hạn chế hoặc ưu tiên các kĩ thuật
giải của phương trình vô tỉ.
Nhìn vào bảng thì ta có thể thấy kĩ thuật giải các kiểu nhiệm vụ có thể phân
thành hai nhóm, một là “nâng lũy thừa”, hai là “đặt ẩn phụ”. GK10 đã trình bày khá
rõ nhóm kĩ thuật “nâng lũy thừa” trong giải các phương trình và bất phương trình vô
tỉ cơ bản. Việc giải chúng yêu cầu học sinh phải tuân thủ qui tắc “chỉ bình phương
hai vế của phương trình (bất phương trình) khi cả hai vế không âm”. Nhưng trong
phương trình vô tỉ học sinh được phép sử dụng phép biến đổi hệ quả, như thế
liệu học sinh có chuyển cách làm từ trong phương trình sang bất phương trình
vô tỉ không? Bởi vì, GK10 lựa chọn giới thiệu đến học sinh những lý thuyết về bất
phương trình bằng sự thừa hưởng từ phương trình và như thế kĩ thuật giải bất
phương trình cũng thừa hưởng từ kĩ thuật giải phương trình. Để trả lời câu hỏi này
cần đặt học sinh vào tình huống phải giải quyết nhiệm vụ cụ thể mà chúng tôi sẽ
trình bày trong chương sau.
Thực hiện việc khảo sát các phương trình cụ thể đã cho đối với 5 kiểu nhiệm
vụ trong bảng trên thì thấy:
- Khi g(x) có bậc là 1 thì học sinh sử dụng nhóm kĩ thuật nâng lũy thừa để
giải tìm nghiệm.
- Khi g(x) có bậc là 2 thì học sinh sử dụng nhóm kĩ thuật đặt ẩn phụ để giải
tìm nghiệm và đặt )(xft =
Hay nói khác đi, bậc của đa thức g(x) là tín hiệu để học sinh nhận biết khi nào dùng
kĩ thuật “nâng lũy thừa” khi nào dùng “ẩn phụ”.

47. 42
Với bất phương trình vô tỉ GK10 cũng đưa vào một số dạng nâng cao mà để
giải chúng học sinh phải thực hiện phép biến đổi tương đương đưa về bất phương
trình về dạng cơ bản vừa xét ở trên.
 bpt
TmÉu : Giải bất phương trình vô tỉ dạng ∈
g(x)
< a ,a R
f(x)
(hoặc
g(x)
> a
f(x)
)
(Chúng tôi dùng từ “mẫu” để chỉ mẫu thức là biểu thức có chứa ẩn dưới dấu căn)
 ân
bpt
nhτ : Nhân 2 vế của bất phương trình cho cùng một biểu thức ( )f x
+ Bất phương trình đã cho tương đương với hệ
( ) 0
( ) ( )
f x
a f x g x
>

>
+ Giải phương trình ( ) ( )a f x g x> : Kiểu nhiệm vụ é
bptcb
bT hoặc bptcb
Tlín .
ân
bpt
nhθ : Định lí về phép biến đổi tương đương (nhân vào hai vế của bất phương
trình cùng một biểu thức), [GK10, tr 115]
Ví dụ 16: [GK10, bài 72b, tr154]
Giải bất phương trình
2
2 4
1
3 10
x
x x
−
>
− −
Giải
Bất phương trình đã cho tương đương với hệ
2
2
3 10 0
3 10 2 4
x x
x x x
 − − >

− − < −
2
2 2 2
3 10 0 2 5
2 4 0 2 5
3 10 (2 4) 3 13 26 0
x x x x
x x x
x x x x x
 − − > < − >
 
⇔ − > ⇔ > ⇔ > 
 − − < − − + >
hoÆc
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( )5;+∞ .

48. 43
Để giải bất phương trình
g(x)
< a
f(x)
ta nhân vào hai vế của bất phương trình
cùng một biểu thức, trong trường hợp này là biểu thức ( )f x . Trong phép nhân
này, ( )f x mang giá trị dương (điều kiện mẫu số khác không) nên khi nhân vào
bất phương trình không đổi chiều, ta được bất phương trình tương đương. Chú ý
rằng trường hợp này phép biến đổi nhân của bất phương trình là giống với của
phương trình, chỉ thay dấu “=” bởi dấu “< ”. Như thế, liệu học sinh có đồng nhất
phép biến đổi nhân của phương trình với bất phương trình là một hay không?
Trên đây là trường hợp căn thức ở mẫu, với trường hợp căn thức trên tử chúng tôi
cũng xác định được một dạng bất phương trình vô tỉ liên quan đến kiểu nhiệm vụ
dưới đây,
 bpt
Ttö : Giải bất phương trình vô tỉ dạng ∈
f(x)
< a ,a R
g(x)
( hoặc
f(x)
> a
g(x)
)
(Chúng tôi dùng từ “tử” để chỉ tử số là biểu thức có chứa ẩn dưới dấu căn)
 ân
bpt
nhτ : Nhân hai vế của bất phương trình cho cùng một biểu thức g(x)
+ Bất phương trình đã cho tương đương với hệ sau
( ) 0
( ) ( )
g x
f x ag x
>

<
hoặc
( ) 0
( ) ( )
g x
f x ag x
<

>
+ Nghiệm của bất phương trình là hợp các tập nghiệm của 2 hệ trên.
ân
bpt
nhθ : Định lí về phép biến đổi tương đương (nhân vào hai vế của bất phương
trình với cùng một biểu thức) , [GK10, tr 115]
Ví dụ 17: [GK10, bài 73c, tr154]
Giải bất phương trình
5
1
1
x
x
+
<
−
Giải
Bất phương trình đã cho tương đương với

49. 44
1 0
( )
5 1
x
I
x x
− >

+ < −
hoặc
1 0
( )
5 1
x
II
x x
− <

+ > −
Ta có
2 2
1 1
( ) 5 0 5
5 (1 ) 3 4 0
x x
I x x
x x x x
 < <
 
⇔ + ≥ ⇔ ≥ − 
 + < − − − > 
5 1
5 1
1 4
x
x
x x
− ≤ < −
⇔ ⇔ − ≤ < −
< − > hoÆc
1
( ) 1
5 0
x
II x
x
>
⇔ ⇔ >
+ ≥
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [ ) ( )5; 1 1,− − ∪ +∞
Để giải một phương trình hoặc một bất phương trình có dạng phân thức,
thông thường là thực hiện phép biến đổi “nhân mẫu lên”. Chẳng hạn, đối với bất
phương trình
f(x)
< a
g(x)
đang xét, khi thực hiện nhân mẫu lên vế phải thì bất
phương trình quay về dạng cơ bản. Việc nhân g(x) lên đòi hỏi phải xét hai trường
hợp có thể xảy ra của g(x) vì giá trị âm, dương của g(x) là chưa xác định.
 bpt
ntcT : Giải bất phương trình vô tỉ dạng ≤h(x) f(x) h(x).g(x) (hoặc
≥h(x) f(x) h(x).g(x) )
 ân
bpt
nhτ : Nhân hai vế của bất phương trình cho cùng một biểu thức
1
( )h x
+ Xét h(x) = 0, kiểm tra nghiệm của phương trình h(x) = 0 có là nghiệm
của bất phương trình đã cho hay không.
+ Xét h(x) > 0, bất phương trình tương đương với f(x) g(x)≤ : kiểu
nhiệm vụ bptcb
bé - knnT .

50. 45
+ Xét h(x) < 0 bất phương trình tương đương với f(x) > g(x) : kiểu
nhiệm vụ bptcb
lín - knnT .
+ Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của các tập nghiệm
trong 3 trường hợp trên.
ân
bpt
nhθ : Định lí về các phép biến đổi tương đương (nhân vào hai vế của bất
phương trình cùng một biểu thức) [GK10, tr 115]
 bpt
ntcτ : Đặt nhân tử chung
+ Chuyển vế, đặt h(x) làm nhân tử chung để đưa về bất phương trình tích:
( )( ) f(x) -g(x) < 0h x ( )
( ) 0
f(x) -g(x) 0
h x
I
<
⇔ 
>
hoặc ( )
( ) 0
f(x) -g(x) < 0
h x
II
>


+ Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp 2 tập nghiệm của hệ (I)
và hệ (II).
bpt
ntcθ : Định lí về các phép biến đổi tương đương (cộng vào hai vế của bất
phương trình cùng một biểu thức) [GK10, tr115].
Ví dụ 18 : [BT10, bài 4.81/ tr 116]
Giải bất phương trình 2 2
( 3) 4 9x x x− + ≤ − (1)
Giải
 Kĩ thuật ân
bpt
nhτ
+ Ta có x = 3 là nghiệm của bất phương trình (1)
+ Với x > 3, 2
(1) 4 3x x⇔ + ≤ +
( )
2
22
3 0 3
5
4 0
6
54 3
6
x x
x x R x
x x x

 + ≥ ≥ −
  −
⇔ + ≥ ⇔ ∈ ⇔ ≥ 
  −+ ≤ +  ≥

Kết hợp điều kiện x > 3 ta nhận được ( )3;x∈ +∞
+ Với x < 3, 2
(1) 4 3x x⇔ + ≥ +

51. 46
( )
22 2
3 03 0
4 0 4 3
3
3
5
6
5
3 3
6
xx
x x x
x
x
x R x
x x
+ ≥+ < 
⇔  
+ ≥ + ≥ + 
≥ −
< − 
⇔ − 
∈ ≤ 
−
⇔ < − − ≤ ≤
hoÆc
hoÆc
hoÆc
Kết hợp điều kiện x < 3 ta có tập nhận được
5
;
6
x
− 
∈ −∞  
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [ )
5
; 3;
6
S
− 
= −∞ ∪ +∞  
 Kĩ thuật bpt
ntcτ
Ta có ( )2
(1) ( 3) 4 ( 3) 0x x x⇔ − + − + ≤
2 2
3 0 3 0
( ) ( )
4 3 4 3
x x
I II
x x x x
− ≥ − ≤  
⇔  
+ ≤ + + ≥ +  
hoÆc
Giải hệ (I) ta có 3x ≥
Giải hệ (II) ta có
5
6
x
−
≤
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [ )
5
; 3;
6
S
− 
= −∞ ∪ +∞  
Khi thực hiện kiểu nhiệm vụ bpt
ntcT bằng kĩ thuật ân
bpt
nhτ ta cũng thực hiện một
phép nhân hai vế của bất phương trình cho cùng biểu thức là
1
, ( ) 0
( )
h x
h x
≠ và còn
phải xét thêm h(x)< 0 hay h(x) > 0, bởi nếu h(x) < 0 thì chiều của bất phương trình
bị thay đổi.
 bpt
Th®t : Giải bất phương trình vô tỉ dạng ( ) ( )
2 2
∈f(x) + f(x) > c, (c R)
 τ bpt
h®t : + Biến đổi bất phương trình về dạng ( ) ( )f x g x c+ >
+ Biện luận các giá trị của x để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

52. 47
θbpt
h®t : Hằng đẳng thức 2
A A= và tính chất của trị tuyệt đối.
Tổ chức toán học trên được xác định qua bài toán sau
Ví dụ 19 : [BT10, bài 4.79d, tr 116]
Giải bất phương trình sau: 2
( 6) 9 6 9 1x x x x+ + − − + >
Giải
Bất phương trình đã cho tương đương với 3 3 1x x+ − − > (1)
Với 3x < − , ta có x + 3 < 0 và x – 3 < 0. Khi đó
(1) ( 3) 3 1
6 1 (!)
x x⇔ − + + − >
⇔ − >
Với 3 3x− ≤ < , ta có 3 0x + ≥ và x – 3 < 0. Khi đó
(1) 3 3 1
1
2
x x
x
⇔ + + − >
⇔ >
Với 3x ≥ , ta có x + 3 > 0 và 3 0x − ≥ . Khi đó
[ )
(1) 3 ( 3) 1
6 1, 3;
x x
x
⇔ + − − >
⇔ > ∀ ∈ +∞
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1
;
2
S
 
= +∞ 
 
Nếu như ở lớp 9 hằng đẳng thức 2
A A= chỉ vận dụng trong phương trình
vô tỉ thì ở lớp 10 nó cũng xuất hiện khi giải bất phương trình vô tỉ. Vì thực hiện
phép khai căn nên quá trình giải liên quan mật thiết với giải bất phương trình chứa
giá trị tuyệt đối. Việc biện luận các giá trị của x để bỏ dấu trị tuyệt đối sẽ khó khăn
hơn nếu biểu thức trong dấu trị tuyệt đối lại có chứa căn bậc hai, chẳng hạn như
trong bài toán sau
Ví dụ 20 : [BT10, bài 4.79a, tr116]

53. 48
Giải bất phương trình : 3 5x x− + >
Giải
Nếu 5 0x− ≤ < bất phương trình luôn luôn đúng
Xét 0x ≥ .
Nếu 3 5x< + tức là 4x > , bất phương trình đã cho tương đương với
5 3x x+ > + . Không có x thỏa mãn bất phương trình này.
Nếu 3 5x≥ + tức là 4x ≤ , bất phương trình đã cho tương đương với
3 5x x+ > +
2 2
3 3 7 33
29 6 5 7 4 0
x x
x
x x x x x
< <  −
⇔ ⇔ ⇔ < 
− + > + − + > 
Kết hợp ta có :
7 33
5
2
x
−
− ≤ <
Tổ chức toán học được đưa vào trong ví dụ trên là
 bpt
Ttt® (ttđ: trị tuyệt đối) : Giải bất phương trình vô tỉ dạng
∈a + f(x) > g(x), a R
 τ bpt
tt® : + Biện luận các giá trị của x để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
+ Thực hiện các kiểu nhiệm vụ nhiệm vụ bptcb
béT và bptcb
línT
θbpt
h®t : Hằng đẳng thức 2
A A= và tính chất của trị tuyệt đối.
Để thấy rõ điểm tương đồng trong kĩ thuật giải phương trình và bất phương trình vô
tỉ đã chỉ ra trong nhóm nâng cao ta nhìn vào bảng thống kê bên dưới

54. 49
Bảng 3: Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong nhóm nâng cao
( )( ) ( ) ( ). ( )pt
ntcT h x f x h x g x=
ân
pt
nhτ : nhân vào hai vế của phương trình
biểu thức chứa ẩn
1
, ( ) 0
( )
h x
h x
≠
bpt
TmÉu
( )
( )
g x
a
f x
<
 
 
 
ân
bpt
nhτ : nhân vào hai vế của bất phương
trình biểu thức ( )f x
Chiều của bất phương trình không đổi.
bpt
Ttö
( )
( )
f x
a
g x
 
< 
 
 
ân
bpt
nhτ : nhân vào hai vế của bất phương
trình biểu thức g(x)
Chiều của bất phương trình thay đổi phụ
thuộc giá trị âm, dương của g(x).
( )( ) ( ) ( ). ( )bpt
ntcT h x f x h x g x≤
ân
bpt
nhτ : nhân vào hai vế của bất phương
trình biểu thức
1
, ( ) 0
( )
h x
h x
≠
Chiều của bất phương trình thay đổi phụ
thuộc giá trị âm, dương của h(x).
pt
hđtT ( ) ( )
2 2
( ) ( )f x a f x b c
 
+ + + = 
 
pt
hđtτ : thực hiện phép khai căn và bỏ dấu
trị tuyệt đối
bpt
hđtT ( ) ( )
2 2
( ) ( )f x g x c + > 
 
bpt
hđtτ : thực hiện phép khai căn và bỏ dấu trị
tuyệt đối
bpt
ttđT ( )( ) ( )a f x g x+ >
bpt
ttđτ : bỏ dấu trị tuyệt đối

55. 50
Đối với các phương trình và bất phương trình liên quan đến phép khai căn,
có thể nhận thấy khó khăn của học sinh nghiêng về tính chất của trị tuyệt đối vì thế
chúng tôi sẽ không phân tích sâu hơn trong luận văn này.
Để giải quyết các kiểu nhiệm vụ pt
ntcT và bpt
TmÉu , bpt
Ttö , bpt
ntcT đều thực hiện phép
biến đổi là nhân vào hai vế một biểu thức thích hợp để đưa về giải những dạng cơ
bản.
+ Trong pt
ntcT , nhân hai vế của phương trình cho biểu thức
1
, ( ) 0
( )
h x
h x
≠ thì
được phương trình tương đương.
+ Với bpt
TmÉu , phép nhân biểu thức ( )f x (điều kiện ( ) 0f x ≠ ) vào hai vế
của bất phương trình cũng cho ta bất phương trình tương đương vì ( ) 0f x > .
Trong trường hợp này phép biến đổi nhân của bất phương trình là giống với của
phương trình
+ Xét bpt
ntcT , phép nhân biểu thức
1
, ( ) 0
( )
h x
h x
≠ vào hai vế của bất phương
trình không dẫn đến một bất phương trình tương đương.
Tuy nhiên, hai kiểu nhiệm vụ pt
ntcT và bpt
ntcT có nét giống nhau về dạng khá rõ và
do đó là điểm tương đồng trong kĩ thuật giải. Chúng tôi đặt ra câu hỏi: Học sinh có
gặp phải sai lầm do chuyển kĩ thuật giải pt
ntcT sang cho bpt
ntcT hay không? Tức là, ở
học sinh có tồn tại phép biến đổi sau đây không?
≠
≤ ⇔ 
≤
h(x) 0
h(x) f(x) h(x).g(x)
f(x) g(x)
Để tránh việc phải phân chia 2 trường hợp của h(x) trong khi thực hiện kiểu
nhiệm vụ bpt
ntcT , thể chế đã giới thiệu kĩ thuật bpt
ntcτ . Trong kĩ thuật này, học sinh thực
hiện phép biến đổi tương đương là cộng vào hai vế của bất phương trình cùng một

56. 51
biểu thức, dấu của bất phương trình không thay đổi. Như thế, việc đặt nhân tử
chung cũng tạo nên sự thống nhất trong kĩ thuật giải pt
ntcT và bpt
ntcT .
Tương ứng với pt
tíchT , chúng tôi cũng dẫn ra hai kiểu nhiệm vụ sau đây liên
quan đến bất phương trình vô tỉ.
 bpt
tíchT : Giải bất phương trình vô tỉ dạng h(x) f(x) < 0 (hoặc h(x) f(x) > 0 )
Ví dụ 21: [BT10, Bài 4.35b/ tr 107]
Giải bất phương trình ( 2) ( 3)( 4) 0x x x+ + + <
Giải
Bất phương trình đã cho tương đương với hệ
3 0 3 0
( 3)( 4) 0
4 0 4 0
2 0
2 0 2 0
x x
x x
x x
x
x x
+ > + < 
+ + >  
⇔ + > + <  
+ <  + < + < 
hoÆc
⇔ -3 < x < -2 hoÆc x < -4
Vậy ( ); 4 ( 3; 2)S = −∞ − ∪ − −
Lời giải trên cho phép chúng tôi xác định kĩ thuật giải cho bpt
tíchT là
 tích
bpt
τ : Bất phương trình đã cho tương đương với hệ
( ) 0
( ) 0
f x
h x
>

<
tích
bpt
θ : Qui tắc nhân dấu
Tính chất của căn bậc hai
Từ bất phương trình nghiêm ngặt ( ) ( ) 0h x f x < ta cũng tìm được tổ chức toán học
liên quan đến dạng bất phương trình không nghiêm ngặt tương ứng với nó
 bpt
tích - knnT : Giải bất phương trình vô tỉ dạng ≤h(x) f(x) 0 (hoặc
≥h(x) f(x) 0)

57. 52
 tích-knn
bpt
τ : Bất phương trình đã cho tương đương với hệ
( ) 0
( ) 0
f x
h x
≥

≤
tích
bpt
θ : Qui tắc nhân dấu
Tính chất căn bậc 2
Ví dụ 22: [BT10, bài 4.35/ tr 107]
Giải bất phương trình ( 2) 3 4 0x x x+ + + ≤
Giải
Bất phương trình đã cho tương đương với hệ
3 0 3
4 0 4 3 2
2 0 2
x x
x x x
x x
+ ≥ ≥ − 
 
+ ≥ ⇔ ≥ − ⇔ − ≤ ≤ − 
 + ≤ ≤ − 
Vậy [ ]3; 2S = − −
Hai kiểu nhiệm vụ trên đây được đề nghị trong chương 4, § 3 (Bất phương
trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn). Vì vậy chúng được đưa ra nhằm rèn
luyện kĩ năng giải hệ, khi đó f(x) và h(x) đều được cho là các đa thức bậc nhất.
BT10 còn đề nghị thêm một kĩ thuật để giải bpt
tích - knnT trong §7 (Bất phương trình bậc
hai) qua một bài tập, cụ thể :
Ví dụ 23: [BT10, bài 4.62/ tr 114]
Giải bất phương trình 2
( 1) 2 0x x x− − − ≥
Giải
Nhận xét: 1x = − và 2x = là nghiệm của phương trình 2
2 0x x− − =
Nếu 1x ≠ − và 2x ≠ thì bất phương trình tương đương với hệ
2
x -1 0 1
1 22 0
x
x xx x
≥ ≥ 
⇔ 
< − >− − >  hoÆc
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [ ) { }2; 1S= +∞ ∪ −